(共31张PPT)
我们把研究关于“两点之间，线段最短” “垂线段最短”等问题，称它们为最短路径问题.最短路径问题在现实生活中经常碰到，今天我们就通过几个实际问题,具体体会如何运用所学知识选择最短路径.
新 课 引 入
第十三章 轴对称
13.4课题学习
最短路径问题
问题1 相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访
海伦，求教一个百思不得其解的问题：
如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
A
B
l
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的
知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马
问题”．
你能将这个问题抽象为数学问题吗？
l
A
B
C
C
转化为数学问题
当点C在直线 l 的什么位置时，AC与BC的和最小？
分析：
A
B
l
如图，点A、B分别是直线l异侧的两个点，
如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点A、点B
的距离的和最短？
联想：
两点之间，线段最短.
l
A
B
C
B
（1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？
（2）我们能否把左图A、B两点转化到直线l 的异侧呢？
（3）利用什么知识可以实现转化目标？
分析：
l
A
B
C
l
A
B
C
l
A
B
C
B′
如图，作点B关于直线 l 的对称点B′ .
当点C在直线 l 的什么位置时，AC与CB′的和最小？
在连接AB′两点的线中，线段AB′最短. 因此，线段AB′与直线 l 的交点C的位置即为所求.
在直线 l 上任取另一点C′ ，
连接AC′ 、BC′ 、B′ C′ ．
∵直线 l 是点B、B′的对称轴，
点C、C′在对称轴上，
∴BC=B′C，BC′=B′C′．
∴AC+BC=AC+B′C=AB′．
在△AB′C′中，AB′< AC′+B′C′，
∴AC+BC < AC′+B′C′，
即AC+BC最小．
l
A
B
C
B′
C′
证明：如图.
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称变换，把复杂问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择．
方法总结：
问题1 归纳
l
A
B
C
l
A
B
C
B′
l
A
B
C
抽象为数学问题
用旧知解决新知
联想旧知
解决实
际问题
A
B
l
问题2
（造桥选址问题）如图，A和B两地在同一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）
思考：
你能把这个问题转化
为数学问题吗？
如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么折线AMNB在什么情况下最短呢？
a
B
A
b
M
N
由于河宽是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小.
分析：
l
A
B
C
a
B
A
b
M
N
A'
如图，如果将点A沿与河岸垂直的方向平移到点A′，使AA′等于河宽，则AA′=MN，AM=A′N，问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？
参考右图，利用“两点之间，线段最短”可以解决.
如图，沿垂直于河岸的方向平移A到A′，使AA′等于河宽，连接A′B交河岸于点N，在点N处造桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.
a
B
A
b
M
N
A'
解：
另任意造桥M′N′，
连接AM′、BN′、A′N′.
由平移性质可知，
AM＝A′N，AM′＝A′N′，
AA′＝MN＝M′ N′.
∴AM+MN+BN＝AA′+A′B，
AM′+M′N′+BN′＝AA′+A′N′+BN′.
在△A′N′B中，由线段公理知A′N′+BN′ ＞A′B，
∴AM′ +M′N′ +BN′ ＞ AM+MN+BN.
证明：
a
B
A
b
M
N
A'
N′
M′
总结归纳：
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换，把较复杂的问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择。
问题2 归纳
抽象为数学问题
用旧知解决新知
联想旧知
解决实
际问题
l
A
B
C
小结归纳
l
A
B
C
l
A
B
C
B′
转化
轴对称
变换
平移
变换
两点之间，线段最短.
1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ）
P
Q
l
A
M
P
Q
l
B
M
P
Q
l
C
M
P
Q
l
D
M
D
尝试应用：
2.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是 米.
A
C
B
D
河
1000
4、如图所示，M、N是△ABC边AB与AC上两点，在BC边上求作一点P，使△PMN的周长最小。
M’
P
归纳总结
本节课你有什么收获？
①学习了利用轴对称解决最短路径问题
②感悟和体会转化的思想
补偿提高
如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山
脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返
回P 处，请画出旅游船的最短路径．
A
B
C
P
Q
山
河岸
大桥
思路分析：
由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线
段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为
一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC
的同侧，如何在BC上找到
一点R，使PR与QR 的和最
小”．
A
B
C
P
Q
山
河岸
大桥
新知1
运用轴对称解决距离最短问题
运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核
心，所有作法都相同.
新知2
利用平移确定最短路径选址
解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题.
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平
移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题.
必做题
教材第91页复习题13第15题.
布置作业13.4 课题学习 最短路径问题
【当堂达标】
选择题：
1． 有一以互相平行的直线a、b为岸的河流，其两侧有村庄A和村庄B，现在要在河上建一座桥梁MN（桥与河岸垂直），使两村庄之间的距离最短，从作图痕迹上来看，正确的是( )
2．（2015 黔南州）如图，直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短，作法为：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′与直线l相交于点C，则点C为所求作的点．在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是（ ）
A． 转化思想 B． 三角形的两边之和大于第三边
C．两点之间，线段最短 D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
3．（2015 营口）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（ ）
A． 25° B． 30° C． 35° D． 40°
4．（2015 遵义）如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）
A． 50° B． 60° C． 70° D． 80°
二、填空题：
5．如图，AD是等边△ABC的BC边上的高，AD＝6，M是AD上的动点，E是AC边的中点，则EM＋CM的最小值为____．
6、如图，在平面直角坐标系中，点A(－2，4)，B(4，2)，在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是 。
三、解答题：
7、 如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．
(1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？
(2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？
【拓展应用】
8、如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径
【学习评价】
自评 师评
参考答案：
1、D
2、D．
3、B
分析： 分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．
4、分析： 据要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″=∠HAA′=80°，进而得出∠AEF+∠AFE=2（∠AA′E+∠A″），即可得出答案．
解答：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠C=50°，
∴∠DAB=130°，
∴∠HAA′=50°，
∴∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°，
∵∠EA′A=∠EAA′，∠FAD=∠A″，且∠EA′A+∠EAA′=∠AEF，∠FAD+∠A″=∠AFE，
∴∠AEF+∠AFE=∠EA′A+∠EAA′+∠FAD+∠A″=2（∠AA′E+∠A″）=2×50°=100°
∴∠EAF=180°﹣100°=80°，
故选D．
5、6；
6、（2,0）
7、分析：(1)到A，B两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，又要在河边，所以作AB的垂直平分线，与EF的交点即为符合条件的点．
(2)要使厂部到A村、B村的距离之和最短，可联想到“两点之间线段最短”，作A(或B)点关于EF的对称点，连接对称点与B点，与EF的交点即为所求．
解：(1)如图1，取线段AB的中点G，过中点G画AB的垂线，交EF于P，则P到A，B的距离相等．也可分别以A、B为圆心，以大于AB为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与EF的交点P即为所求．
(2)如图2，画出点A关于河岸EF的对称点A′，连接A′B交EF于P，则P到A，B的距离和最短．
解：沿AH-HG-GB路线走是最短的路线如图所示
作法：（1）作点A关于直线MN的 对称点
（2）作点B关于直线LN的对称点
（3）连接
与直线MN交于点H，与直线LN交于点G，即在点H处牧马，在点G处饮马，再回家所走路程最短
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313.4 课题学习 最短路径问题
【学习目标】
能利用轴对称解决简单的最短路径问题,
体会图形的变化在解决最值问题中的作用.
【重点难点】
重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题
难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题
【学习过程】
自主学习：
如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，走哪条路最近？你的理由是什么？
二、合作探究：
探索最短路径问题
活动一：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图中的A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．
你能将这个问题抽象为数学问题吗？
追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？
问题2：如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC与CB的和最小？
追问3：对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？你能用所学的知识证明你的作法正确吗？
选址造桥问题
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直．)
尝试应用
如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ）
如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是 米.
4、如图所示，M、N是△ABC边AB与AC上两点，在BC边上求作一点P，使△PMN的周长最小。
四、补偿提高
如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径．
【学后反思】
参考答案：
探究一、
追问1、
答：将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．
追问2
答：(1)从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； (2)在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地，再回到B 地的路程之和；(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小(如图)．
追问3
作法：
(1)作点B 关于直线l 的对称点B′；
(2)连接AB′，与直线l 交于点C.
则点C 即为所求．
证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C 不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.由轴对称的性质知， BC ＝B′C，BC′＝B′C′.
∴ AC ＋BC＝ AC ＋B′C ＝ AB′，
AC′＋BC′＝ AC′＋B′C′.
在△AB′C′中， AB′＜AC′＋B′C′，
∴ AC ＋BC＜AC′＋BC′.
即 AC ＋BC 最短.
探究二、
分析：从A到B要走的路线是A→M→N→B，如图所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可．
解：在直线a上取任意一点M′，作M′N′⊥b于点N′，平移AM，使点M′移动到点N′的位置，点A移动到点A′的位置，连接A′B交直线b于点N，过点N作MN⊥a于点M，则路径AMNB最短．
理由如下：如图，点M′为直线a上任意一点(不与点M重合)，
∵线段A′N′是线段AM平移得到的
∴AA′＝MN′，A′N′＝AM
∴AM′＋MN′＋BN′＝A′N′＋AA′＋BN′
∵MN平行AA′且MN＝AA′
∴MN可以看作是AA′经过平移得到的
∴A′N＝AM
∴AM＋NB＝A′N＋NB
∵根据两点之间线段最短，得A′N＋NB＝A′B
∴AM＋NB＝A′N＋NB
∵根据两点之间线段最短，得A′N＋NB＝A′B∴AM＋NB∵MN＝MN′
∴AM＋MN＋NB尝试应用：
1、D；
2、1000；
A
答案如图所示：
P点就是所求做的点
补偿提高
5、思路分析：
由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线
段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为
一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC
的同侧，如何在BC上找到
一点R，使PR与QR 的和最
小”．
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1轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
【教材分析】
教学目标 知识技能 能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用.
过程方法 在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透感悟转化思想.
情感态度 通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性.
重点 利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题
难点 如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题
【教学流程】
环节 导 学 问 题 师 生 活 动 二次备课
情境引入 如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，走哪条路最近？你的理由是什么？前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”． 教师出示问题，引导学生思考、回答，引入课题。
自主探究合作交流自主探究合作交流 探索最短路径问题活动一：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？答：将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？ 答：(1)从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； (2)在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地，再回到B 地的路程之和；(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小(如图)．问题2：如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC与CB的和最小？ 追问3：对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？追问4：你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？展示点评：作法：(1)作点B 关于直线l 的对称点B′；(2)连接AB′，与直线l 交于点C.则点C 即为所求．追问5、 你能用所学的知识证明AC ＋BC最短吗？证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C 不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.由轴对称的性质知， BC ＝B′C，BC′＝B′C′. ∴ AC ＋BC＝ AC ＋B′C ＝ AB′，AC′＋BC′＝ AC′＋B′C′. 在△AB′C′中， AB′＜AC′＋B′C′，∴ AC ＋BC＜AC′＋BC′.即 AC ＋BC 最短. 选址造桥问题如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直．)展示点评：从A到B要走的路线是A→M→N→B，如图所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可．解：在直线a上取任意一点M′，作M′N′⊥b于点N′，平移AM，使点M′移动到点N′的位置，点A移动到点A′的位置，连接A′B交直线b于点N，过点N作MN⊥a于点M，则路径AMNB最短．理由如下：如图，点M′为直线a上任意一点(不与点M重合)，∵线段A′N′是线段AM平移得到的∴AA′＝MN′，A′N′＝AM∴AM′＋MN′＋BN′＝A′N′＋AA′＋BN′∵MN平行AA′且MN＝AA′∴MN可以看作是AA′经过平移得到的∴A′N＝AM∴AM＋NB＝A′N＋NB∵根据两点之间线段最短，得A′N＋NB＝A′B尝试应用 如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ）如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是 米. 4、如图所示，M、N是△ABC边AB与AC上两点，在BC边上求作一点P，使△PMN的周长最小。 教师出示问题学生先自主思考，后小组交流，最后展示答案，师生共同评价：答案：1、D；2、1000；A答案如图所示：P点就是所求做的点
成果展示 本节课你有什么收获？①学习了利用轴对称解决最短路径问题②感悟和体会转化的思想 师引导学生归纳总结.梳理知识，并建立知识体系.
补偿提高 如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径． 思路分析： 由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC 的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR 的和最小”．
作业设计 作业：教材第91页复习题13第15题. 学生认定作业，独立完成
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