2021春北师版九下数学2.2二次函数 y=a(x-h)2+k图象与性质课件（36张）

(共36张PPT)
2 y=a(x-h)2+k的图象与性质
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
开口向下
开口向下
开口向下
直线X=0
(0,0)
(0,1)
(0,-1)
直线X=0
直线X=0
前情回顾
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
开口向上
开口向上
开口向上
直线x=0
直线x=1
直线x=-1
(0, 0)
(1, 0)
(-1, 0)
前情回顾
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y = 2(x+3)2
y = -3(x-1)2
y = -4(x-3)2
向上
直线x=-3
( -3 , 0 )
直线x=1
直线x=3
向下
向下
( 1 , 0 )
( 3, 0)
前情回顾
O
x
y
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
–5
–4
–3
–2
–1
–5
–4
–3
–2
–1
（0,3）
（0,-3）
如何由
的图象得到
的图象。
、
3
3
1
2
-
-
=
x
y
3
3
1
2
+
-
=
x
y
上下平移
O
x
y
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
–5
–4
–3
–2
–1
–5
–4
–3
–2
–1
x= - 2
(-2,0)
(2,0)
x= 2
如何由
的图象得到
的图象。
、
左右平移
说出（1）抛物线y=2x +3和抛物线y=2x -3如何由抛物线y=2x 平移而来.
式 形
+ 向上
－ 向下
式 形
+ 向左
　－ 向右
（2）二次函数y=2(x-3) 与抛物线y=2(x+3) 如何由抛物线y=2x 平移而来。
y=ax2
y=a(x-h)2
y=ax2+k
y=ax2
k>0
k<0
上移
下移
左加
右减
说出平移方式，并指出其顶点与对称轴。
例3.画出函数 的图象.指出它的开口方向、顶点与对称轴.
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
… …
解: 先列表
再描点
后连线.
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
典型例题
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
-10
直线x=－1
…
…
…
…
2
1
0
-1
-2
-3
-4
x
解: 先列表
再描点、连线
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
抛物线
的开口方向、对称轴、顶点
向左平移1个单位
向下平移1个单位
向左平移1个单位
向下平移1个单位
平移、方法1:
平移方法2:
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
-10
x=－1
(2)抛物线 和 有什么关系
1.
2.
3.
-1
-2
-3.
0.
1.
2.
3.
4.
-1
x
y
y=2x2
(1，1)
(0，0)
(1，0)
在同一坐标系内,画出四个抛物线的草图。
向下平移一个单位
向左平移一个单位
向左平移一个单位
向下平移
一个单位
归纳总结:
(1)a的符号决定抛物线的开口方向
的图象性质:
(2)对称轴是直线x=h
(3)顶点坐标是(h,k)
图象的性质:开口向下,对称轴是x=-1,顶点坐标是(-1,-1)
相同
不同
向上
向下
x=h
（h，k）
h、k
要点归纳
练习1:指出下面函数的开口方向，对称轴，顶点坐标，最值及增减性。
1) y=2(x+3)2+5
2) y=4(x-3)2+7
3) y=-3(x-1)2-2
4) y=-5(x+2)2-6
练习2:对称轴是直线x= -2的抛物线是( )
A y= -2x2-2 B y=2x2-2
C y= -2(x+2)2-2 D y= -5(x-2)2-6
C
学以致用
1、试分别说明将抛物线的图象通过怎样的平移得到y=x2的图象：
(1) y=(x-3)2+2 (2)y=(x+4)2－5
2.与抛物线y=－4x 2形状相同，
顶点为（2，-3）的抛物线
解析式为_______________________
y= - 4(x-2)2-3或y= 4(x-2)2-3
函数y= (x+1)2-9的图象是 ，开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是___，当 时，函数y有最 __值，是 ，当 x __ 时， y随x 的增大而减小，当 x 时， y随x 的增大而增大，它可由函数__平移得到。
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
-10
试一试
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5
向上
( 1 , －2 )
向下
向下
( 3 , 7)
( 2 , －6 )
向上
直线x=－3
直线x=1
直线x=3
直线x=2
(－3, 5 )
y=－3(x－1)2－2
y = 4(x－3)2＋7
y=－5(2－x)2－6
1.完成下列表格:
学以致用
2.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平移得到
3.抛物线y =－4(x－3)2＋7能够由抛物线y=4x2平移得到吗
学以致用
如何平移：
学以致用
1．抛物线的上下平移
（1）把二次函数y=(x+1)2的图象，
沿y轴向上平移３个单位，
得到_____________的图象；
（2）把二次函数_____________的图象，
沿y轴向下平移2个单位，得到y=x 2+1的图象.
y=(x+1)2+3
y=x2+3
学以致用
2．抛物线的左右平移
（1）把二次函数y=(x+1) 2的图象，
沿x轴向左平移３个单位，
得到_____________的图象；
（2）把二次函数_____________的图象，
沿x轴向右平移2个单位，得到y=x 2+1的图象.
y=(x+4)2
y=(x+2)2+1
学以致用
3．抛物线的平移：
（1）把二次函数y=3x 2的图象，
先沿x轴向左平移３个单位，
再沿y轴向下平移2个单位，
得到_____________的图象；
（2）把二次函数_____________的图象，
先沿y轴向下平移2个单位，
再沿x轴向右平移3个单位，
得到y=-3(x+3) 2－2的图象.
y=3(x+3)2-2
y=-3(x+6)2
学以致用
向上平移3个单位后，
顶点的坐标是________；
4.抛物线
的顶点坐标是______；
5.抛物线
的对称轴是_____.
6.抛物线
(-1,0)
(-1,3)
x=-1
学以致用
7．把二次函数y=4(x－1) 2的图象, 沿x轴向 ___ 平移____个单位，得到图象的对称轴是直线x=3.
8．把抛物线y=－3(x+2) 2，先沿x轴向右平移2个单位，再沿y轴向下平移1个单位，得到_________的图象．
右
2
y= -3x2-1
学以致用
9．把二次函数y=－2x 2的图象，先沿x轴向左平移３个单位，再沿y轴向下平移2个单位，得到图象的顶点坐标是______．
(-3,-2)
学以致用
10.如图所示的抛物线：
当x=_____时，y=0；
当x<－2或x>0时， y_____0；
当x在 _____ 范围内时，y>0；
当x=_____时，y有最大值_____.
3
0或-2
<
－2 < x<0
-1
3
学以致用
y = ax2
y = ax2 + k
y = a(x - h )2
y = a( x - h )2 + k
上下平移
左右平移
上下平移
左右平移
结论: 抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同。∣a∣越大开口越小。
各种形式的二次函数的关系
左加右减上加下减
归纳总结
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
开口向上
开口向上
开口向上
开口向上
开口向上
开口向下
开口向下
直线x=0
直线x=0
直线x=-1
直线x=1
直线x=-1
直线x=-1
直线x=h
(0,0)
(0,2)
(-1,0)
(1,-2)
(-1,-2)
(-1,2)
(h,k)
学以致用
（1）抛物线y=a(x+2)2-3经过点（0，0），则a=__________　　
（2）设抛物线的顶点为（1，-2），且经过点（2，3），求它的解析式。
（3）抛物线y=3x2向右平移3个单位再向下平移2个单位，得到的抛物线是　　　　　　。
（4）抛物线y=2(x+m)2+n的顶点是　　　　。
学以致用
一条抛物线的形状与抛物线
相同,其对称轴与抛物线
相同,且顶点的纵坐标是4,写出这条抛物
线的解析式.
学以致用
一条抛物线的形状与抛物线 相同,其顶点坐标是(-1,3),写出这个抛物线的解析式.
解:设函数解析式为
又∵所求抛物线顶点坐标是(-1,3),所以h=-1,k=3
∴这个函数的解析式为:y=2(x+1)2+3 或
即:y=2x2 +4x+5 或y=-2x2 -4x+1
∵所求抛物线的形状与 相同,
∴a=-2或a=2.
学以致用
C(3,0)
B(1，3)
要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长
A
x
O
y
1
2
3
1
2
3
解:如图建立直角坐标系,
点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.
因此可设这段抛物线对应的函数是
∵这段抛物线经过点(3,0)
∴ 0=a(3－1)2＋3
解得:
因此抛物线的析式为:
y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3)
当x=0时,y=2.25
答:水管长应为2.25m.
3
4
a=－
y= (x－1)2＋3 (0≤x≤3)
3
4
－
学以致用
本节课主要运用了数形结合的思想方法,通过对函数图象的讨论,分析归纳出 的性质:
(1)a的符号决定抛物线的开口方向
(2)对称轴是直线x=h
(3)顶点坐标是(h,k)
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
开口向上
开口向上
开口向上
直线X=0
直线X=h
直线X=h
(0,k)
(h,0)
(h,k)
归纳总结