2021-2022学年人教版九年级数学上册 22.2 二次函数与一元二次方程 课件（40张）

(共40张PPT)
第二十二章 二次函数
22.2 二次函数与一元二次方程
【学习目标】
（1）知道抛物线y=ax +bx+c与x轴交点情况与一元二次方程ax +bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)的根的情况之间的关系.
（2）会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
【课前预习】
1．关于二次函数y=mx -x-m+1(m≠0)．以下结论：①不论,m取何值，抛物线总经过点(1,0)；②若m＜0，抛物线交x轴于A、B两点，则AB＞2；③当x=m时，函数值y≥0；④若m＞1，则当x＞1时，y随x的增大而增大．其中正确的序号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
2．关于二次函数y=x -2x-3，下列说法错误的是（ ）
A．顶点坐标为(1,-4) B．对称轴为x=1
C．抛物线与x轴有两个交点 D．X=2与x=-2时函数值一样大
3．若抛物线y=x +bx+c与x轴两个交点间的距离为4．对称轴为x=2，P为这条抛物线的顶点，则点P关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A．(2,4) B．(-2,4) C．(-2,-4) D．(2,-4)
4．已知直线y=kx+2过一、二、三象限，则直线y=kx+2与抛物线y=x -2x+3的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
5．在平面直角坐标系中，已知A(-1,m)和B(5,m)是抛物线上y=x +bx+1的两点，将抛物线y=x +bx+1的图象向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴没有交点，则n的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【课前预习】答案
1．B
2．D
3．A
4．C
5．C
二次函数的一般式：
（a≠0）
______是自变量，____是____的函数。
x
y
x
当 y = 0 时，
ax + bx + c = 0
复习回顾
ax + bx + c = 0
这是什么方程？
我们学习了的“一元二次方程”
一元二次方程与二次函数有什么关系？
问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：
h=20t-5t2，
考虑以下问题：
一、二次函数与一元二次方程的关系
（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？
O
h
t
15
1
3
∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.
解：解方程 15=20t-5t2,
t2-4t+3=0,
t1=1,t2=3.
你能结合上图，指出为什么在两个时间求的高度为15m吗？
（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？
你能结合图形指出为什么只在一个时间球的高度为20m？
O
h
t
20
4
解方程：
20=20t-5t2,
t2-4t+4=0,
t1=t2=2.
当球飞行2秒时，它的高度为20米.
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？
O
h
t
你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度
20.5
解方程：
20.5=20t-5t2,
t2-4t+4.1=0,
因为(-4)2-4 ×4.1<0,
所以方程无解.
即球的飞行高度达不到20.5米.
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
O
h
t
0=20t-5t2,
t2-4t=0,
t1=0,t2=4.
当球飞行0秒和4秒时，它的高度为0米.
即0秒时球地面飞出，4秒时球落回地面.
从上面发现，二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程
一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数为一元二次方程.
如：y=5时，则5=ax2+bx+c就是一个一元二次方程.
为一个常数
（定值）
所以二次函数与一元二次方程关系密切．
例如，已知二次函数y = －x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．
反过来，解方程x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值．
观察思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？
（1）y=x2+x-2；
（2）y=x2-6x+9；
（3）y=x2-x+1.
二、利用二次函数与x轴的交点讨论一元二次方程的根的情况
1
x
y
O
y = x2－6x＋9
y = x2－x＋1
y = x2＋x－2
观察图象，完成下表：
抛物线与x轴公共点个数 公共点 横坐标 相应的一元二次
方程的根
y = x2－x＋1 /
y = x2－6x＋9
y = x2＋x－2
0个
1个
2个
x2-x+1=0无解
0
x2-6x+9=0，x1=x2=3
-2, 1
x2+x-2=0，x1=-2,x2=1
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac
有两个交点
有两个不相等的实数根
b2-4ac > 0
有两个重合的交点
有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系
知识要点
例1：已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．
(1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点；
(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．
(1)证明：∵m≠0，
∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.
∵(m－2)2≥0，
∴Δ≥0，
∴此抛物线与x轴总有两个交点；
(2)解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0，
所以 x－1＝0或mx－2＝0，
解得 x1＝1，x2＝ .
当m为正整数1或2时，x2为整数，即抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数．
所以正整数m的值为1或2.
变式：已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2.
(1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；
(2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值．
(1)证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，
∴不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；
(2)解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2，
∴x1(2)＋x2(2)＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3，
∴a＝1.
例2：如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线
运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.
（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？
（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？
（3）铅球离地面的高度能否达
到3m？为什么？
解 （1）由抛物线的表达式得
即
解得
即当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始
位置的水平距离是1m或5m.
（2）由抛物线的表达式得
即
解得
即当铅球离地面的高度为2.5m时，它离初始位
置的水平距离是3m.
（3）由抛物线的表达式得
即
因为 所以方程无实根.
所以铅球离地面的高度不能达到3m.
一元二次方程与二次函数紧密地联系起来了.
例3：求一元二次方程 的根的近似值（精确到0.1）.
分析：一元二次方程 x -2x-1=0 的根就是抛物线 y=x -2x-1 与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
解：画出函数 y=x -2x-1 的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在-1与0之间,另一个在2与3之间.
先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是-0.4或-0.5，利用计算器进行探索，见下表：
x … -0.4 -0.5 …
y … -0.04 0.25 …
观察上表可以发现，当x分别取-0.4和-0.5时，对应的y由负变正，可见在-0.5与-0.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但当x=-0.4时更为接近0.故x1≈-0.4.
同理可得另一近似值为x2≈2.4.
一元二次方程的图象解法
利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根.
(1)用描点法作二次函数 y=2x2+x-15的图象；
(2)观察估计二次函数 y=2x2+x-15的图象与x轴的交点的横坐标；
由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐标一个是-3,另一个在2与3之间,分别约为-3和2.5(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值);
(3)确定方程2x2+x-15=0的解;
由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根为:x1≈-3,x2≈2.5.
方法归纳
例4:已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为(　　)
A．x1≈－2.1，x2≈0.1
B．x1≈－2.5，x2≈0.5
C．x1≈－2.9，x2≈0.9
D．x1≈－3，x2≈1
解析：由图象可得二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－1，而对称轴右侧图象与x轴交点到原点的距离约为0.5，∴x2≈0.5；又∵对称轴为x＝－1，则
＝－1，∴x1＝2×(－1)－0.5＝－2.5.故x1≈－2.5，x2≈0.5.故选B.
B
解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确．
方法总结
二次函数与一元二次不等式的关系(拓展)
问题1 函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么
方程ax2+bx+c=0的根是 _____ _____;
不等式ax2+bx+c>0的解集 是___________;
不等式ax2+bx+c<0的解集 是_________.
3
-1
O
x
y
x1=-1， x2=3
x<-1或x>3
-1合作探究
函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么
方程ax2+bx+c=2的根是 ______________;
不等式ax2+bx+c>2的解集是___________;
不等式ax2+bx+c<2的解集是_________.
3
-1
O
x
2
(4,2)
(-2,2)
x1=-2， x2=4
x<-2或x>4
-2y
问题2：如果不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集是x≠2 的一切实数，那么函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有____ 个交点，坐标是______.方程ax2+bx+c=0的根是______.
1
(2,0)
x=2
2
O
x
问题3：如果方程ax2+bx+c=0 （a≠0）没有实数根，那么函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有______个交点；
不等式ax2+bx+c<0的解集是多少？
0
解：（1）当a>0时, ax2+bx+c<0无解；
（2）当a＜0时, ax2+bx+c<0的解集是一切实数.
3
-1
O
x
试一试：利用函数图象解下列方程和不等式:
(1) ①-x2+x+2=0;
②-x2+x+2>0;
③-x2+x+2<0.
(2) ①x2-4x+4=0;
②x2-4x+4>0;
③x2-4x+4<0.
(3) ①-x2+x-2=0;
②-x2+x-2>0;
③-x2+x-2<0.
x
y
0
2
0
x
y
-1
2
x
y
0
y= -x2+x+2
x1=-1 , x2=2
1 ＜ x＜2
x1＜-1 , x2＞2
x2-4x+4=0
x=2
x≠2的一切实数
x无解
-x2+x-2=0
x无解
x无解
x为全体实数
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 a＞0 a＜0
有两个交点x1,x2
（x1＜x2）
有一个交点x0
没有交点
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次不等式的关系
y＜0，x1＜x＜x2.
y＞0，x2＜x或x＜x2 .
y＞0，x1＜x＜x2.
y＜0，x2＜x或x＜x2.
y＞0.x0之外的所有实数；y＜0，无解
y＜0.x0之外的所有实数；y＞0，无解.
y＞0，所有实数；y＜0，无解
y＜0，所有实数；y＞0，无解
知识要点
交
点
b2-4ac>0
b2-4ac<0
b2-4ac=0
两个交点
没有交点
一个交点
二次函数与x轴的交点
当二次函数y=ax2+bx+c中y的值确定，求x的值时，二次函数就变为一元二次方程。即当y取定值时，二次函数就为一元二次方程。
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数与x轴的交点的横坐标是一元二次方程的解
课堂小结
【课后练习】
1．二次函数y＝kx ﹣6x+3的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是（ ）
A．k＜3 B．k＜3且k≠0 C．k≤3 D．k≤3且k≠0
2．直线y=4x+1与抛物线y=x +2x+k有唯一交点，则k是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．-1
3．已知函数y=3-(x-m)(x-n)，其中m＜n并且a，b是方程3-(x-m)(x-n)=0的两个根，其a＜b中，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（ ）
A．m＜a＜b＜n B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．a＜m＜n＜b
4．直线y＝x+a不经过第二象限，则关于x的函数y=ax2+2x+1与坐标轴的交点个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．2个或3个
5．已知二次函数y=ax +bx+c，若a＜0，a-b+c＞0，则一定有（ ）
A．b-4ac≥0 B．b-4ac＞0 C．b-4ac≤0 D．b-4ac＜0
6．若二次函数y=ax -2ax+c与x轴的一个交点坐标为(3,0)，则关于x的方程ax -2ax+c=0的实数根是______．
7．已知函数 y=(k-3)x +2x+1 的图象与 x 轴有交点，则 k的取值范围为______．
8．已知直线y=5x+k与抛物线y=x +3x+5交点的横坐标为1，则k=__________，交点坐标为__________．
9．若二次函数y=mx -(2m+2)x-1+m的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是__________．
10．抛物线y=ax -4x+5的对称轴为直线x=2．
（1）a=_____；
（2）若抛物线y=ax -4x+5+m在-1＜x＜6内与x轴只有一个交点，则m的取值范围是__．
【课后练习】答案
1．B 2．C 3．D 4．D 5．B
6．x1＝-1，x2＝3．
7．k≤4
8．4 （1，9））
9．m＞-且m≠0
10．1 m=-1或-17＜m≤-10