(共16张PPT)
情境引入：观察下列图片中物体的特点
考察下列两个函数：
(1) ; (2) .
思考:对于上述两个函数，f(x)与f(-x)，
g(x)与g(-x)，有什么关系？
对于函数y=f(x),当自变量x取一对相反数时，相应的两个
函数值也是一对相反数.这样的函数是奇函数
（一）奇函数、偶函数的定义
奇函数：设函数y=f(x)的定义域为D，如果对于D内任意一个 x ，都有 且
f(-x)=-f(x).则这个函数叫做奇函数。
偶函数：设函数y=f(x)的定义域为D，如果对于D内任意一个 x ，都有 且
f(-x)=f(x).则这个函数叫做偶函数。
对于函数y=g(x),当自变量x取一对相反数时，相应的两个
函数值相等.这样的函数是偶函数
考察奇函数y=f（x）的图像，依奇函数的定义可知：
点P（x， f（x） ）与点P‘（-x，-f（x） ）
都在这个奇函数的图像上。直观上容易发现，点P绕原点O旋转1800 后与点P’重合.这说明这两点关于坐标原点对称，所以它的图像关于原点对称；反之亦然.
(二）奇函数、偶函数图像的对称性
如果一个函数是奇函数，则这个
函数的图像是以坐标原点为对称中心
的中心对称图形；反之，如果一个函
数的图像是以坐标原点为对称中心的
中心对称图形，则这个函数为奇函数
考察偶函数y=g（x）的图像，依偶函数的定义可知：
点P（x， g（x） ）与点P‘（-x，g（-x） ）
都在这个偶函数的图像上。这两点关于y轴对称，所以它的图像关于y轴对称；反之亦然.
如果一个函数是偶函数，则这个
函数的图像是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图像是以y轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数为偶函数
x
0
y
1
1
2
4
-1
-2
图象关于y轴对称
f(-x)=f(x)
偶函数
性质
图象关于原点对称
f(-x)= - f(x)
奇函数
思考
（1）判断函数f(x)=x3+x 的奇偶性.
（2）如图，给出函数
f(x)=x3+x 图像的一部
分，你能根据f(x)的奇
偶性画出它在y轴左边
的图像吗？
因为对定义域内的每一个x，都有
f(-x)=(-x)3+（-x）=-(x3+x)=-f(x),
0
x
y
解:对于函数f(x)= x3 +x,其定义域为（-∞，+∞）.
所以，函数 f(x)=x3+x为奇函数。
.
.
.
.
.
.
例1 判断下列函数的奇偶性
(2) 定义本身就是判断或证明函数奇偶性的方法。
（1）由定义知，若 x是定义域中的一个数值，则–x也必然在定义域中，因此函数是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称。例如，函数f(x)=x2在（-∞，+∞）上是偶函数，但 f(x)=x2在 [-1，2]上无奇偶性。
函数奇偶性的说明：
(3) 偶函数一定满足f(-x)=f(x),奇函数一定满足 f(-x)=-f(x);偶函数的图像关于y轴对称,奇函数的图像关于原点对称。
课堂练习
1.已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整。
2.判断下列函数的奇偶性：
（偶函数）
（奇函数）
0
0
y
x
f(x)
y
x
g(x)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
达标练习
（1）已知f(x)=x5+bx3+cx且f(-2)=10，那么f(2)等于（ ）。
A、-10 ; B、10 ; C、20 ; D、与b、c有关
（2）下面四个命题中，正确的个数是（ ）
①奇函数的图像关于原点对称。
②偶函数的图像关于y轴对称。
③奇函数的图像一定过原点。
④偶函数的图像一定与y轴相交。
A、4 ; B、3 ; C、2 ; D、1
（3）如果定义在[3-a,5]上的函数f(x)为奇函数，那么，
a= ________
(4)判断函数的奇偶性
① ②
③ ④
A
C
8
1 是偶函数，2是奇函数，3、4无奇偶性。
小结
作业: P49 A组1，5题，
P52A组9
本节课学习了函数奇偶性的定义和判断函数奇偶性
的方法。（先看定义域后看f(-x)和f(x)的关系，
f(-x)=f(x) →偶， f(-x)=-f(x)→奇）2.1.4函数的奇偶性（学案 ）
【学习目标】
理解函数奇偶性的定义及其图象特征。
能根据定义判断函数的奇偶性。
结合函数的奇偶性研究函数的其他性质。
【自主学习】
1.作出函数f(x)=和g(x)=的图象，观察图象的对称性。
：列表
-2 -1 0 1 2
：描点作图
由图象可知，的图象关于 对称，用式子可表达为 。
的图象关于 对称，用式子可表达为 。
2. 设函数的定义域为D，
则这个函数叫偶函数。偶函数的图象是 。
设函数的定义域为D，
则这个函数叫奇函数。奇函数的图象是 。
3. 函数根据奇偶性可分成四类： 。
跟踪1：判断下列函数的奇偶性
① ②
③ ④
跟踪2：研究函数的性质（定义域，值域，单调性，奇偶性）并作出图象
跟踪3：课本49页练习A
1.
2.
3.
4.
5.
【典例示范】
例1.判断函数的奇偶性
① ②
③ ④
总结提高：
判断函数奇偶性的步骤是：
例2. 已知函数对任意实数，都有，判断函数的奇偶性
例3：已知为R上的奇函数，当时，，求时函数的解析式
【巩固拓展】
1、已知为R上的奇函数，且当x时，f(x)=,求f(x)。
【归纳总结】
1. 判断函数奇偶性首先要看什么？
2. 判断函数奇偶性的步骤：
3、奇偶性对函数的其他性质有什么影响？
【快乐体验】
1、下列说法中，不正确的是（ ）
A. 图象关于原点成中心对称的函数一定是奇函数
B. 奇函数的图象一定经过原点
C. 偶函数的图象若不经过原点，则它与轴交点的个数一定是偶数
D.图象关于轴成轴对称的函数一定是偶函数
2、若函数的定义域是，则下列函数中，可能是偶函数的一个为（ ）。
A. B. C. D.
3、已知函数①；②；③，则（ ）
A. 都是偶函数 B. 都是奇函数 C. 仅②是偶函数 D.仅①是奇函数
4、已知为偶函数，当时，则时，（ ）
A. B. C. D.
5、若是偶函数，则
6、已知，若10，则
7、定义在R上的两个函数中，是偶函数，奇函数，并且
则 ， 。
8、已知函数在R上是奇函数，并且在上是减函数，试说明函数在上是增函数还是减函数？2.1.4函数的奇偶性
教学目标：理解函数的奇偶性
教学重点：函数奇偶性的概念和判定
教学过程：
1、通过对函数，的分析，引出函数奇偶性的定义
2、函数奇偶性的几个性质：
（1）奇偶函数的定义域关于原点对称；
（2）奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；
（3）是偶函数，是奇函数；
（4）,
；
（5）奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；
（6）根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
3、判断下列命题是否正确
(1)函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。
此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称，那么函数一定是非奇非偶函数，这一点可以由奇偶性定义直接得出。
(2)两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。
此命题错误。一方面，如果这两个函数的定义域的交集是空集，那么它们的和或差没有定义；另一方面，两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数，如,，可以看出函数与都是定义域上的函数，它们的差只在区间[－1，1]上有定义且，而在此区间上函数既是奇函数又是偶函数。
（3）是任意函数，那么与都是偶函数。
此命题错误。一方面，对于函数， 不能保证或；另一方面，对于一个任意函数而言，不能保证它的定义域关于原点对称。如果所给函数的定义域关于原点对称，那么函数是偶函数。
（4）函数是偶函数，函数是奇函数。
此命题正确。由函数奇偶性易证。
（5）已知函数是奇函数，且有定义，则。
此命题正确。由奇函数的定义易证。
（6）已知是奇函数或偶函数，方程有实根，那么方程的所有实根之和为零；若是定义在实数集上的奇函数，则方程有奇数个实根。
此命题正确。方程的实数根即为函数与轴的交点的横坐标，由奇偶性的定义可知：若，则。对于定义在实数集上的奇函数来说，必有。故原命题成立。
4、补充例子
例：定义在上的奇函数在整个定义域上是减函数，若，求实数的取值范围。
课堂练习：教材第53页 练习A、B
小结：本节课学习了函数奇偶性的概念和判定
课后作业：第57页 习题2-1A第6、7、8题函数的奇偶性
题组一 函数的奇偶性的判定
1.已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是 ( )
①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x.
A.①③ B.②③
C.①④ D.②④
解析：由奇函数的定义验证可知②④正确，选D.
答案：D
2.(2010·长郡模拟)已知二次函数f(x)＝x2－ax＋4，若f(x＋1)是偶函数，则实数a的值为( )
A.－1 B.1 C.－2 D.2
解析：∵f(x)＝x2－ax＋4，
∴f(x＋1)＝(x＋1)2－a(x＋1)＋4
＝x2＋2x＋1－ax－a＋4
＝x2＋(2－a)x＋5－a，
f(1－x)＝(1－x)2－a(1－x)＋4
＝x2－2x＋1－a＋ax＋4
＝x2＋(a－2)x＋5－a.
∵f(x＋1)是偶函数，
∴f(x＋1)＝f(－x＋1)，
∴a－2＝2－a，即a＝2.
答案：D
3.(2009·浙江高考)若函数f(x)＝x2＋(a∈R)，则下列结论正确的是 ( )
A. a∈R，f(x) 在(0，＋∞)上是增函数
B. a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数
C. a∈R，f(x)是偶函数
D. a∈R，f(x)是奇函数
解析：当a＝16时，f(x)＝x2＋，f′(x)＝2x－，
令f′(x)＞0得x＞2.
∴f(x)在(2，＋∞)上是增函数，故A、B错.
当a＝0时，f(x)＝x2是偶函数，故C正确.
D显然错误，故选C.
答案：C
题组二 函数奇偶性的应用
4.已知函数f (x)＝ax4＋bcosx－x，且f (－3)＝7，则f (3)的值为 ( )
A.1 B.－7 C.4 D.－10
解析：设g(x)＝ax4＋bcosx，则g(x)＝g(－x).由f (－3)＝g(－3)＋3，得g(－3)＝f(－3)－3＝4，所以g(3)＝g(－3)＝4，所以f (3)＝g(3)－3＝4－3＝1.
答案：A
5.已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝( )
A.－2 B.2 C.－98 D.98
解析：由f(x＋4)＝f(x)，得f(7)＝f(3)＝f(－1)，
又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，
f(1)＝2×12＝2，∴f(7)＝－2.故选A.
答案：A
6.设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)＝ ( )
A.0 B.1 C. D.5
解析：由f(1)＝，
对f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，
令x＝－1，
得f(1)＝f(－1)＋f(2).
又∵f(x) 为奇函数，∴f(－1)＝－f(1).
于是f(2)＝2f(1)＝1；
令x＝1，得f(3)＝f(1)＋f(2)＝，
于是f(5)＝f(3)＋f(2)＝.
答案：C
7.已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，且f()＞0＞f(－)，则方程f(x)＝0的根的个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析：由于函数是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，因此在(－∞，0)上单调递增，又因为f()＞0＞f(－)＝f()，所以函数f(x)在(，)上与x轴有一个交点，必在(－，－)上也有一个交点，故方程f(x)＝0的根的个数为2.
答案：C
8.(2010·滨州模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足：当x＞0时，f(x)＝2008x＋log2008x，则方程f(x)＝0的实根的个数为 .
解析：当x＞0时，f(x)＝0即2008x＝－log2008x，在同一坐标系下分别画出函数f1(x)＝2008x，f2(x)＝－log2008x的图象(图略)，可知两个图象只有一个交点，即方程f(x)＝0只有一个实根，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x＜0时，方程f(x)＝0也有一个实根，又因为f(0)＝0，所以方程f(x)＝0的实根的个数为3.
答案：3
题组三 函数的奇偶性与单调性的综合问题
9.定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈ 上是增函数.若方程f(x)＝m(m＞0)在区间上有四个不同的根x1，x2，x3，x4， 则x1＋x2＋x3＋x4＝ .
解析：由f(x－4)＝－f(x) f(4－x)＝f(x)，
故函数图象关于直线x＝2对称，
又函数f(x)在上是增函数，且为奇函数，
故f(0)＝0，故函数f(x)在(0,2]上大于0，
根据对称性知函数f(x)在上单调递增，求实数a的取值范围.
解：(1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)要使f(x)在上单调递增，
结合f(x)的图象知
所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3].
(理)已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数.
(1)求a、b的值；
(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围.
解：(1)因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，
即＝0，解得b＝1，从而有f(x)＝.
又由f(1)＝－f(－1)，知＝－，解得a＝2.
故a＝2，b＝1.
(2)由(1)知f(x)＝＝－＋.
由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数.
又因f(x)是奇函数，
从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0
等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k).
因f(x)是减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k，
即对一切t∈R有3t2－2t－k>0.
从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得k<－.
