2.1.2函数的表示方法
学习目标：
会用列表法、图像法、解析法表示一些具体的函数，体会不同的函数表示法在实际情况下的用法；
结合现实生活中的丰富实例，了解简单的分段函数，并能做简单的应用.
知识疏理：
问题1下面是我国解放后五次人口普查数据表
年份 1953 1964 1982 1990 2000
总人口数（亿） 5.9 6.9 10.1 11.3 12.7
这张表中，所表示的函数定义域为{1953,1964,1982,1990,2000}，值域为{5.9,6.9,10.1,11.3，12.7}
1、列表法：
通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫列表法．
问题2：y = 2x + 1的图象能否表示一个函数？为什么？
2、图象法：
如果图形是函数的图象，则图象上的任意点的坐标满足函数的关系式，反之满足函数关系的点都在图象上．这种由图形表示函数的方法叫做图象法．
问题3：我们在作函数y = 2x + 1的图象时，先列表，后描点作图．这实际上就是函数的列表法表示和图象法表示，而y = 2x + 1这种表示方法则叫做解析法．你能给解析法下个定义吗？
3、解析法：
如果在函数中，是用代数式来表达的，这种方法叫做解析法．（也称为公式法）。再比如y=x2, s=4.9t2等等.
4、三种表示函数的方法各有优缺点：
(1) 用解析法表示函数关系
优点：简捷明了．能从解析式清楚看到两个变量之间的全部相依关系，并且适合于进行理论分析和推导计算．
缺点：在求对应值时，有时要做较复杂的计算．
(2) 用列表法表示函数关系
优点：对于表中自变量的每一个值，可以不通过计算，直接把函数值找到，查询时很方便．
缺点：表中不能把所有的自变量与函数对应值全部列出，而且从表中看不出变量间的对应规律．
(3) 用图象法表示函数关系
优点：形象直观可以形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质，把抽象的函数概念形象化．
缺点：从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值．
5、分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则， 这样的函数通常叫做分段函数。
例4：国内投寄信函(外埠),邮资按下列规则计算:
信函质量不超过100g时,每20g付邮资80分,即信函质量不超过20g付邮资80分,信函质量超过20g,但不超过40g付邮资160分,依此类推;
信函质量大于100g且不超过200g时,每100g付邮资200分,即信函质量超过100g,但不超过200g付邮资(A+200)分,(A为质量等于100g的信函的邮资),信函质量超过200g,但不超过300g付邮资(A+400)分,依此类推.设一封x g(0例5. 设x是任意一个实数，y是不超过x的最大整数，试问x和y之间是否是函数关系？如果是，画出这个函数的图象。
解：对每一个实数x，都可以写成等式：x=y+a，其中y是整数，a是一个小于1的非负数，例如，6.48=6+0.48，6=6+0，－1.35=－2+0.65，
－12.52=－13+0.48，……，
这个“不超过x的最大整数”所确定的函数记为 y=[x].
例如，当x=6时，y=[6]=6；
当x=π时，y=[π]=3；
当x=－1.35时，y=[－1.35]=－2. 如下图所示
师生互动：
画出函数y=∣x∣与函数y=∣x－2∣的图像
例2、如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为x，面积为y，
把y表示为x的函数。
例3、某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
（1）5km以内（含5km），票价2元；
（2）5km以上，每增加5km，票价增加1元（不足5km的按5km计算）
如果某条线路的总里程数为20km，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图像
快乐体验（同学们，会了不等于做对！）
画出函数y=的图像
已知函数f（x）=，若f（x）=3，则x的值是 （ ）
A.1 B.或- C.，1 D.
3、如图示，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，由点B（起点）沿折线BCDA向点A（终点）运动，设点P运动的路程为x，△APB的面积为y。
（1）求y与x的函数关系式y=f（x）；
（2）画出函数y=f（x）的图像；
4、甲、乙两人分别骑自行车与摩托车从A城出发到B城旅游．甲、乙两人离开A城的路程与时间之间的函数图象如图所示．根据图象你能得到甲、乙两人旅游的哪些信息？
参考答案：
根据图象能得到甲、乙两人旅游的以下一些信息：
1．甲骑自行车从A城去B城用了8个小时．乙骑摩托车从A城去B城用了2个小时．
2．甲比乙早4个小时出发，晚2个小时到达．
3．甲骑自行车在出发后第一个2小时内行驶了40千米，第二个2小时内行驶了20千米，然后停留了1个小时，又在1个小时内行驶了20千米，最后用2个小时行驶了20千米完成全程到达B城．
4．乙骑摩托车在2小时内行驶了100千米路程到达B城．
5．甲、乙在距A城60多千米的地方相遇一次．
5、对于每个实数x，设函数f(x)取y=x+2,y=2,y=-2x+4三个函数中的最小值，用分段函
数写出f(x)的解析式，并求函数f(x)的最大值.
6、已知函数f(x)=画出这个函数的图像，指出这个函数的定义域，值域，
并求f{f[f(-3)]}的值.
7、设定义在正整数集上的函数f(x)满足2.1.2函数的表示方法(一)
教学目标：在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数
教学重点：图像法、列表法、解析法表示函数
教学过程：
1、列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫列表法
2、图像法：如果图形是函数的图像，则图像上的任意点的坐标满足函数的关系式，反之满足函数关系的点都在图像上.这种由图形表示函数的方法叫做图像法.
3、如果在函数中，是用代数式来表达的，这种方法叫做解析法
4、与x轴垂直的直线至多与函数的曲线有一个交点
5、用计算机软件画出函数，，，的图像
6、讨论分别用，分别替换函数中的，以后函数的图像会发生哪些变化？
7、讨论分别用，分别替换函数中的，以后函数的图像会发生哪些变化？
8、讨论分别用，分别替换函数中的，以后函数的图像会发生哪些变化？
9、讨论分别用，分别替换函数中的，以后函数的图像会发生哪些变化？
10、试作出下列函数的图像：
（1） （2）
11、若，那么函数的图像有何性质？
12、与的图像之间有何关系
13、第44页例3
课堂练习：教材第45页 练习A、B
小结：本节课学习了图像法、列表法、解析法表示函数.
课后作业：第58页 习题2-1B第5题(共23张PPT)
1．常用的函数表示方法
图象法
2．它们各有哪些优点
解析法
列表法
阅读教材Ｐ38－Ｐ41回答下列问题
① 列表法:通过列出自变量与对应
函数值的表来表示函数关系的方法
它的优点是不必计算就可以知
道自变量取某些值时的函数值.
举例:1. 数学用表中的
平方表,
银行的“利息表”;
平方根表,
三角函数表,
年份 1990 1991 1992 1993 1994 1995
生产
总值 18598.4 21662.5 26651.9 34560.5 46670.0 57494.9
年份 1996 1997 1998 1999 2000 2001
生产
总值 66850.5 73142.7 76967.1 80422.8 89404.0
表1 国内生产总值 单位:亿元
② 图象法:用“图形”表示函数的方法
它的优点是表示函数的变化情况
形象直观.
函数的图象：对于函数y=f(x)(x∈A)定义域内的每一
个x值，都有唯一的y值与它对应，把这两个对应的数
构成的有序实数对(x,y)作为点P的坐标，即P(x,y),则
所有这些点的集合F叫做函数y=f(x)的图象，即
F={P(x,y) ︱y=f(x),x ∈A}.
如果F是函数y=f(x)的图象，则图象上的任一点的
坐标(x,y)都满足函数关系式y=f(x)；反之，满足
函数关系式y=f(x)的点(x,y)都在图像F上。
我国人口出生率变化曲线
教材P39页：如何检验一个图形是否是
一个函数的图象？
③ 解析法:用解析式表示两个变量
的函数关系.
它的优点是关系清楚,容易求数函
值,便于研究函数的性质.
y=ax2+bx+c(a≠0),
等等 .
y=
举例:s=60t2,
r2,
A=
rl,
S=2
1、如何画出简单函数的图象？步骤
有哪些？
⑴列表；
⑵描点；
⑶连线
1、x的取值分布要恰当；
2、连线时要用光滑的曲线连接。
2、高斯函数y=[x]是如何定义的？说出其图象特点。
3、画例3中函数的图象并说出其特点。
函数的图象不仅可以是一段光滑
的曲线,还可以是若干条线段,甚
至 一些孤立的点.
练习：41页2
加上范围
求解析式
例1(P54) 某种笔记本每个5元,买x
(x
个笔记本的钱数记为
{1,2,3,4,})
y(元).试写出以x为自变量的函数y
的解析式,并画出这个函数的图象.
教科书P54 - 例1
解:这个函数的定义
域是集合{1,2,3,4},函数解析式为
它的图象由4个孤立点组成,如图所
示,这些点的坐标分别是(1,5),(2,10),
(3,15),(4,20).
例2(P54) 国内投寄信函(外埠),邮资按下列规则计算:
1.信函质量不超过100g时,每20g付邮资80分,即信函质量不超过20g付邮资80分,信函质量超过20g,但不超过40g付邮资160分,依此类推;
2.信函质量大于100g且不超过200g时,每100g付邮资200分,即信函质量超过100g,但不超过200g付邮资(A+200)分,(A为质量等于100g的信函的邮资),信函质量超过200g,但不超过300g付邮资(A+400)分,依此类推.
设一封xg(0解:这个函数的定义域是
函数的解析式为
y=
它的图象是六条线段(不包括在端点),
都平行于x轴,如图所示.
例 3 (P55) 21世纪游乐园要建造一个直径为20m的圆形喷水池.如图所示.计划在喷水池的周边靠近水面的位置建一圈喷水头,使喷出的水柱在离池中心4m
处达到最高,高度为
6m.另外还要在喷
水池的中心设计一
个装饰物,使各方向
喷来的水柱在此处
汇合.这个装饰物的
高度应当如何设计
解:过水池的中心任意选取一个截面,如图所示.
由物理学知识可知,喷出的水柱轨迹是抛物线
型.建立如图所示的直角坐标系,由已知条件易
知,水柱上任意一个点距中心的水平距离x(m)
与此点的高度y(m)之间的函数关系是
y=
于是,所求函数解析式是
y=
所以装饰物的高度为
教科书P56 – 练习1，2，3.
请大家练习：
小结:
1. 作函数的图象的三个步骤：
(1) 、(2) 、(3) .
2. 函数的图象不仅可以是一段光滑
的曲线,还可以是若干条线段,甚
至 一些孤立的点.
3. 应用数学知识解决实际问题,关键
是将实际问题数学化,认真分析题
意,将实际问题抽象,转化成数学问
题.
列表
描点
连线
作业:教科书P56习题2.2 - 4~6.
同学们再见2.1.2 函数的表示方法 测试题（2）
选择题：
1、函数的图像是下图中的 （ ）
2、函数，则的值是 （ ）
A. B. C. D.
3、下列各组函数中和相同的是 （ ）
A. B.
C.
D.
4.如右图,在直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥OC,且AB=1,OC=BC=2,直线l:x=ｔ,截此梯形所得位于l左方的图形面积为S,则函数S=f(t)的大致图象是以下图形中
( )
5、 设函数f(x)= ,若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题：
6、已知函数，则___________.
7、的定义域为_________,值域为___________.
8、f(x)=,，则___________________.
三、解答题：
9、设 画出函数y＝H(x－1)的图象
10、已知函数的图象由两条射线及开口向下的抛物线
(包括端点)组成，如图所示，试求函数的表达式。
参考答案：
1，C ；2，A ；3， D；4，C ；5，C ；6，3；7，[0，2]，
[0，1]；8，；9，略；
10，解：设左射线所在直线的表达式为y＝kx＋b
∵ (1，1)，(0，2)在直线上，故
∴ 左射线的表达式为y＝－x＋2，x＜1．同理可得右射线的表达式 为
y＝x－2，x＞3
再设抛物线的表达式为y＝a(x－2)2＋2
∵ 点(1，1)在此抛物线上，∴a＋2＝1a＝－1
∴ 中间抛物线的表达工为y＝－(x－2)2＋2＝－x2＋4x－2 1≤x≤3
总上所述，所求函数表达式为y＝
www.
