1.2.2集合的运算（一）
教学目标：
理解两个集合的交集的含义，会求两个集合的交集
教学重、难点：
会求两个集合的交集
教学过程：
（一）复习集合的概念、子集的概念、集合相等的概念。
（二）讲述新课
一、
1、观察下面两个图的阴影部分，它们同集合A、集合B有什么关系？
2、考察集合A={1，2，3},B={2,3,4}与集合C={2,3}之间的关系.
二、
一般地，由所有属于A又属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．
记作A∩B（读作＂A交B＂），
即A∩B=｛x|x∈A，且x∈B｝．
如：｛1,2,3,6｝∩｛1,2,5,10｝=｛1,2｝．
又如：Ａ＝｛a,b,c,d,e｝,B={c,d,e,f}.则A∩B={c,d,e}
三、基本性质
A∩B= B∩A; A∩A=A; A∩Ф=Ф; A∩B=AAB
注：是否给出证明应根据学生的基础而定.
四、补充例子
例1．设A=｛x|x>-2｝,B=｛x|x<3｝，求A∩B.
解：A∩B=｛x|x>-2｝∩｛x|x<3｝=｛x|-2
例2．设A=｛x|x是等腰三角形｝，B=｛x|x是直角三角形｝，求A∩B.
解：A∩B=｛x|x是等腰三角形｝∩｛x|x是直角三角形｝=｛x|x是等腰直角三角形｝．
例3、已知集合M＝｛(x,y)|x+y=2｝,N={(x,y)|x－y=4},那么集合M∩N为( )
A.x=3,y=－1 B.(3，－1)
C.｛3，－1｝ D.｛(3，－1)｝
分析： 由已知得M∩N＝｛(x,y)|x+y=2,且x－y=4｝={(3,－1)}.
也可采用筛选法.首先，易知A、B不正确，因为它们都不是集合符号.又集合M，N的元素都是数组(x,y)，所以C也不正确.
注： 求两集合的交集即求同时满足两集合中元素性质的元素组成的集合.本题中就是求方程组的解组成的集合.另外要弄清集合中元素的一般形式.
课堂练习：第18页练习A、B
小结：本节课我们学习了交集的概念、和基本性质
课后作业：（略）
B
A(共14张PPT)
问题提出
1.对于两个集合A、B，二者之间一定具有包含关系吗？试举例说明.
2.两个实数可以进行加、减、乘、除四则运算，那么两个集合是否也可以进行某种运算呢？
venn图表示
A
B
思考 :集合A、B与集合 的关系如何？ 与 的关系如何？
如{1，2，3，4，5} {3，4，5，6，8}={3，4，5}
例1 ：求下列每对集合的交集
（一）交集
考察集合：
A={1，2，3，4，5}，B={3，4，5，6，8}，
上述集合A，B的所有公共元素构成一个新的集合{3，4，5}
一般地，对于给定的两个集合A、B，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，叫做集合A与B的交集，记作
读作“A交B”
（二）并集
考察下列集合：
A={1，3，5}，B={2，3，4，6}，
思考:上述集合中，集合A，B所有元素构成一个新的集合是？
定义：一般地，对于给定的两个集合A,B,由两个集合的所有元素构成的集合，叫做集合A与B的并集，记作
A
B
思考:如何用venn图表示 ？
思考: 集合A、B与集合 的关系如何？ 与 的关系如何？
A
B
练习： 写出满足条件 的所有集合M.
{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}
（三）补集
考察下列各组集合：
（1）U={1，2，3，4，…，10}，
A={1，3，5，7，9}，B={2，4，6，8,10}；
（2）U= ，A= ， B= .
思考:在上述各组集合中，集合U，A，B三者之间有哪些关系？
全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，通常用U表示.
如在研究数集时，常把实数集R作为全集，如果所讨论的数仅限于自然数，也可取自然数集N作为全集
如果给定集合A是全集U的子集，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，称为集合A在U中的补集.记作 .
读作“A在U中的补集”
A
U
维恩图表示
作业:
P20习题1-2A组： 6，7，8，9.
练习： B组： 1-5
总结：集合的运算
（1）交集、并集、补集
（2）运算和性质，应用第2课时 集合的运算
一、集合的运算
1．交集：由 的元素组成的集合，叫做集合A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝ ．
2．并集：由 的元素组成的集合，叫做集合A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝ ．
3．补集：集合A是集合S的子集，由 的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集，记作，即＝ ．
二、集合的常用运算性质
1．A∩A＝ ，A∩＝ ，A∩B= ，B∩A，A∪A＝ ，
A∪＝ ，A∪B＝B∪A
2．＝ ，＝ ， ．
3． ，
，
4．A∪B＝A
A∩B＝A
例1. 设全集，方程有实数根，方程
有实数根，求.
解：当时，，即；
当时，即，且 ∴，
∴
而对于，即，∴.
∴
变式训练1.已知集合A=B=
（1）当m=3时，求；
（2）若AB，求实数m的值.
解： 由得∴-1＜x≤5,∴A=.
（1）当m=3时，B=，则=，
∴=.
(2)∵A=∴有42-2×4-m=0,解得m=8.
此时B=,符合题意，故实数m的值为8.
例2. 已知,或.
(1)若,求的取值范围;
(2) 若,求的取值范围.
解:(1), ∴，解之得.
(2) , ∴. ∴或， 或
∴若,则的取值范围是；若,则的取值范围是.
变式训练2：设集合A=B
（1）若AB求实数a的值；
（2）若AB=A，求实数a的取值范围；
（3）若U=R，A（）=A.求实数a的取值范围.
解:由x2-3x+2=0得x=1或x=2,故集合A=
（1）∵AB∴2B，代入B中的方程，
得a2+4a+3=0,∴a=-1或a=-3;
当a=-1时，B=满足条件；
当a=-3时，B=满足条件；
综上，a的值为-1或-3.
（2）对于集合B，
=4（a+1）2-4(a2-5)=8(a+3).
∵AB=A，∴BA,
①当＜0,即a＜-3时，B=，满足条件；
②当=0，即a=-3时，B，满足条件；
③当＞0，即a＞-3时，B=A=才能满足条件，
则由根与系数的关系得
即矛盾；
综上，a的取值范围是a≤-3.
（3）∵A（）=A，∴A，∴A
①若B=，则＜0适合；
②若B≠，则a=-3时，B=，AB=，不合题意；
a＞-3，此时需1B且2B，将2代入B的方程得a=-1或a=-3（舍去）；
将1代入B的方程得a2+2a-2=0
∴a≠-1且a≠-3且a≠-1
综上，a的取值范围是a＜-3或-3＜a＜-1-或-1-＜a＜-1或-1＜a＜-1+或a＞-1+.
例3. 已知集合A=B，试问是否存在实数a，使得AB 若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
解:方法一 假设存在实数a满足条件AB=则有
（1）当A≠时，由AB=，B，知集合A中的元素为非正数，
设方程x2+(2+a)x+1=0的两根为x1,x2,则由根与系数的关系，得
（2）当A=时，则有=(2+a)2-4＜0，解得-4＜a＜0.
综上（1）、（2），知存在满足条件AB=的实数a,其取值范围是（-4，+∞）.
方法二 假设存在实数a满足条件AB≠，则方程x2+(2+a)x+1=0的两实数根x1，x2至少有一个为正，
因为x1·x2=1＞0，所以两根x1,x2均为正数.
则由根与系数的关系，得解得
又∵集合的补集为
∴存在满足条件AB=的实数a,其取值范围是（-4，+∞）.
变式训练3.设集合A={（x,y）|y=2x-1,x∈N*},B={(x,y)|y=ax2-ax+a,x∈N*}，问是否存在非零整数a,使A∩B≠？若存在，请求出a的值；若不存在，说明理由.
解：假设A∩B≠，则方程组
有正整数解，消去y,得ax2-(a+2)x+a+1=0.
由Δ≥0，有（a+2）2-4a(a+1)≥0,解得-.因a为非零整数，∴a=±1，
当a=-1时，代入（*）， 解得x=0或x=-1,
而x∈N*.故a≠-1.当a=1时，代入（*）,
解得x=1或x=2，符合题意.故存在a=1,使得A∩B≠,
此时A∩B={（1，1），（2，3）}.
例4. 已知A＝{x｜x2－2ax＋(4a－3)＝0，x∈R}，又B＝{x｜x2－2ax＋a2＋a＋2＝0，x∈R}，是否存在实数a，使得AB＝ 若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由．
解：1变式训练4.设集合为函数的定义域,集合为函数的值域,集合为不等式的解集.（1）求；（2）若,求的取值范围．
解：（1）解得A=（-4，2）， B= 。 所以
（2）a的范围为<0
1．在解决有关集合运算题目时，关键是准确理解题目中符号语言的含义，善于转化为文字语言．
2．集合的运算可以用韦恩图帮助思考，实数集合的交、并运算可在数轴上表示，注意在运算中运用数形结合思想．
3．对于给出集合是否为空集，集合中的元素个数是否确定，都是常见的讨论点，解题时要有分类讨论的意识.
基础过关
典型例题
小结归纳
归纳小结第一讲 集合与集合的运算
班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________
一 选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)
1.(2010·天津)设集合A={x||x-a|<1,x∈R},B={x|1A.{a|0≤a≤6} B.{a|a≤2,或a≥4}
C.{a|a≤0,或a≥6} D.{a|2≤a≤4}
解析:由于不等式|x-a|<1的解是a-1答案:C
2.(2010·安徽)若集合
答案:A
3.已知M={x|x=a2+2a+4,a∈Z},N={y|y=b2-4b+6,b∈Z},则M N之间的关系是( )
A.MN
B.NM
C.M=N
D.M与N之间没有包含关系
解析:取a=0,则4∈M,但4N,若不然,有b2-4b+6=4,bZ.又取b=0,6∈N,但6M.
答案:D
4.设全集为U,若命题p:2010∈A∩B,则命题 p是( )
A.2010∈A∪B B.2010A且2010B
C.2010∈( UA)∩( UB) D.2010∈( UA)∪( UB)
解析:命题 p是2010∈ U(A∩B),即2010∈(UA)∪( UB).
答案:D
评析:本题考查集合的运算及非命题的概念,要求对于集合中的运算性质 U(A∩B)=( UA)∪( UB)与 U(A∪B)=( UA)∩(UB)能够加强联想与发散.
5.已知集合P={y=x2+1},Q={y|y=x2+1},S={x|y=x2+1},M={(x,y)|y=x2+1},N={x|x≥1},则( )
A.P=M B.Q=S
C.S=M D.Q=N
解析:集合P是用列举法表示,只含有一个元素,集合Q,S,N中的元素全是数,即这三个集合都是数集,集合Q是函数y=x2+1中y的取值范围{y|y≥1},集合S是函数y=x2+1中x的取值范围R;集合N是不等式的解集{x|x≥1},而集合M的元素是平面上的点,此集合是函数y=x2+1图象上所有的点组成的集合.选D.
答案:D
评析:解集合问题时,对集合元素的准确性识别十分重要,不要被x,y等字母所迷惑,要学会透过现象看本质.
6.定义集合M与N的新运算如下:M*N={x|x∈M或x∈N,但x?M∩N}.若M={0,2,4,6,8,10,12},N={0,3,6,9,12,15},则(M*N)*M等于( )
A.M B.{2,3,4,8,9,10,15}
C.N D.{0,6,12}
解析:因为M∩N={0,6,12},所以M*N={2,3,4,8,9,10,15},所以(M*N)*M={0,3,6,9,12,15}=N,故选C.
答案:C
评析:本题给出了新运算“*”的定义,并要求求(M*N)*M的解,解决这类信息迁移题的基本方法是以旧代新法,把新定义的运算“*”纳入到已有的集合交 并 补的运算体系之中,并用已有的解题方法来分析 解决新的问题.另外此题还可以用Venn图来分析求解.
二 填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.)
7.(2010·重庆)设U={0,1,2,3},A={x∈U|x2+mx=0},若 UA={1,2},则实数m=________.
解析:依题意得A={0,3},因此有0+3=-m,m=-3.
答案:-3
8.已知A={x|x>3或x<-1},B={x|a≤x≤b}.若A∪B=R,A∩B={x|3解析:画出数轴可知a=-1,b=4.
答案:-1,4
9.已知U={实数对(x,y)},A={(x,y)|lg(y-4)-lg(x-2)=lg3},B={(x,y)|3x-y-2=0},则 瘙綂
[KG-1mm]UA∩B=________.
解析:容易错解为:由lg(y-4)-lg(x-2)=lg3,得y=3x-2,故A=B,则 UA∩B=.
上述解答的错因是将条件进行了非等价变形而扩大了变量的取值范围.实际上,由lg(y-4)-lg(x-2)=lg3,得y=3x-2(x>2),
∴A={(x,y)|lg(y-4)-lg(x-2)=lg3}={(x,y)|y=3x-2(x>2)},
UA ={(x,y)|y=3x-2(x≤2)}.
答案: UA∩B={(x,y)|y=3x-2(x≤2)}
10.已知集合A B与集合A⊙B的对应关系如下表:
A {1,2,3,4,5} {-1,0,1} {-4,8}
B {2,4,6,8} {-2,-1,0,1} {-4,-2,0,2}
A⊙B {1,3,6,5,8} {-2} {-2,0,2,8}
若A={-2009,0,2010},B={-2009,0,2011},试根据图表中的规律写出A⊙B=__________.
解析:通过对表中集合关系的分析可以发现:集合A⊙B中的元素是A∪B中的元素再去掉A∩B中的元素组成,故当A={-2009,0,2010},B={-2009,0,2011}时,A⊙B={2010,2011}.
答案:{2010,2011}
三 解答题:(本大题共3小题,11 12题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.)
11.规定?与?是两个运算符号,其运算法则如下:对任意实数a,b有:a?b=ab,a?b=b(a2+b2+1)且-2解:根据运算法则有
当a=0时,b=1.
把a=-1,b=1或a=0,b=1代入x=(a+b)2+1得x=1或x=2.故A={1,2}.
12.已知集合A={2,x,x2,xy},集合B={2,1,y,x},是否存在实数x,y使A=B 若存在,试求x,y的值;若不存在,说明理由.
解:假设存在实数x,y使A=B,若x=1,则集合A,B中出现2个1,这与集合中元素的互异性矛盾,所以必有
(1)由x2=y且xy=1,解得x=y=1,与集合中元素的互异性矛盾.
(2)由x2=1且xy=y,解得x=1,y∈R(舍去)或x=-1,y=0.经检验x=-1,y=0适合题意.
13.已知两集合A={x|x=t2+(a+1)t+b},B={x|x=-t2-(a-1)t-b},求常数a、b,使A∩B={x|-1≤x≤2}.
解得a=-1,b=-1.