(共43张PPT)
1.2
集合之间的关系与运算
1．2.1 集合之间的关系
知识整合
1．对于两个集合A与B，如果集合A的________一个元素都是集合B的元素，就说集合A________集合B(或集合B______集合A)，记作A______B(或B________A)，这时，也说集合A是集合B的________．
2．集合A不包含于集合B(或集合B不包含集合A)，记作A________B(或B________A)．
3．如果________，并且________，那么集合A叫集合B的真子集，记作________或________．
4．空集是任意一个集合的________，记作 ________A；空集又是任意________集合的________，任意一个集合都是它本身的________．
特别警示：若A B，则先考虑A＝ 的情形，在解题时容易忽略这一点而导致不必要的错误．
5．一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的________一个元素都是集合B的元素，同时，集合B的________一个元素都是集合A的元素，就说集合A________集合B，记作________，对于集合A、B，如果A B，同时B A，那么________．
经验公式：有限集合的子集的个数：
n个元素组成的集合的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．
答案：1.任意 包含于 包含 子集
2．
3．集合A是集合B的子集 B中至少有一个元素不属于A A? B B? A
4．子集 非空 真子集 子集
5．任意 任意 等于 A＝B A＝B
名师解答
我们知道，两个实数之间有相等、大于、小于等关系，那么元素与集合、集合与集合之间是否也有类似的关系？集合间的基本关系与实数间的关系可否比较？
(1)从属关系(∈)只能用在元素与集合之间；包含关系( 、?)只能用在集合与集合之间．在使用以上符号的时候先要弄清楚是元素与集合还是集合与集合之间的关系．比如表示元素与集合之间的关系有：1∈N，－1 N,1∈{1},0∈{0}等，但不能写成0＝{0}或0 {0}；表示集合与集合之间的关系有：N R，{1,2,3} {1,2,3}，{1,2,3}?{1,2,3,4}等．
(2)集合与集合的关系有包含关系、相等关系．其中包含关系有：包含于( )、包含( )、真包含于( ?)、真包含(? )等．用这些符号时要注意方向，如A B与B A是相同的，但A B与B A是不同的．
(3)集合间的基本关系与实数间的关系比较：
研究对象 关系及符号比较
集合 关系 包含于(被包含)真包含于 包含
真包含 等于 不包
含于
符号
?
? ＝
实数 关系 小于等于
小于 大于等于大于 等于 不等
于
符号 ≤
< ≥
> ＝ ≠
通过比较，相信我们能较好地理解元素与集合之间，集合与集合之间的关系，并能够找到很好的学习和记忆本节知识的方法——类比法！
深入学习
题型一 判定集合间的关系
【例1】 判断下列关系是否正确．
(1){a} {a}；(2){1,2,3}＝{3,2,1}；
(3) ?{0}；(4)0∈{0}；
(5) ∈{0}；(6) ＝{0}；
(7) ?{0,1,2}；(8){1}?{x|x≤5}．
解：(1)任何一个集合是它本身的子集，
因此，{a} {a}，正确；
(2)两个集合中的元素相同，故用“＝”号，正确；
(3)空集是任何非空集合的真子集，正确；
(4){0}中只有一个元素0,0∈{0}，正确；
(5) 与{0}是两个集合，不能用∈连接；
(6) 中没有任何元素，而{0}中有一个元素，二者不相等；
(7)空集是任何非空集合的真子集，正确；
(8)∵1<5，∴1∈{x|x≤5}．
∴{1}?{x|x≤5}，正确．
由以上分析可知：
(1)(2)(3)(4)(7)(8)正确，(5)(6)错误．
变式训练 1 已知X＝{x|x＝n2＋1，n∈N＋}，Y＝{y|y＝k2－4k＋5，k∈N＋}，试判断集合X与Y的关系，并给出证明．
解：集合X中，x＝2,5,10,17，…，集合Y中，y＝(k－2)2＋1＝2,1,2,5,10,17，…，可得X?Y.证明如下：
对于任意的元素x∈X，有
x＝n2＋1＝(n2＋4n＋4)－4(n＋2)＋5
＝(n＋2)2－4(n＋2)＋5.
由n∈N＋，知n＋2∈N＋，
∴x具有y＝k2－4k＋5，k∈N＋的形式．∴x Y.
又k＝2时，y＝1，∴1∈Y.而1 X，从而X?Y.
题型二 子集关系的应用
【例2】 满足条件{1,2}?M {1,2,3,4,5}的集合M的个数是
( )
A．3 B．6
C．7 D．9
分析：根据已知条件确定M中元素的组成情况，进而求解．
答案：C
解法一：由已知得集合M必含有元素1和2，且至少有一个不同于1和2的元素，故符合条件的集合M为{1,2,3}、{1,2,4}、{1,2,5}、{1,2,3,4}、{1,2,3,5}、{1,2,4,5}、{1,2,3,4,5}共7个，故选C.
解法二：由已知得集合M必含有元素1和2，且至少有一个不同于1和2且等于3，或4，或5的元素，所以集合M的个数为集合{3,4,5}的非空子集的个数，即23－1＝7，故选C.
评析：本题是利用真子集和子集的定义解题，可根据元素个数由少到多来分类处理．
变式训练 2 已知集合A＝{x|x>2或x<－1}，B＝{x|a
解：将集合A中的元素，即适合x>2或x<－1的实数在数轴上表示出来．如下图①②.
∵B A，∴a≥2或a＋1≤－1.解得a≥2或a≤－2.即所求a的取值范围为a≥2或a≤－2.
题型三 集合相等关系的应用
【例3】 已知三元素集合A＝{x，xy，x－y}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，求x与y的值．
分析：依据“相等”的定义和集合中元素的互异性，构造x、y的方程．
解：∵0∈B，A＝B，∴0∈A.
∵集合A为三元素集，∴x≠xy.∴x≠0.
又∵0∈B，y∈B，∴y≠0.
从而x－y＝0，x＝y.
这时，A＝{x，x2,0}，B＝{0，|x|，x}，∴x2＝|x|.
解得x＝0(舍去)或x＝1(舍去)或x＝－1.
经验证：x＝－1，y＝－1是本题的解．
变式训练 3 已知M＝{a，a＋d，a＋2d}，N＝{a，aq，aq2}(a≠0)，且M＝N，求q的值．
整体探究解读
题型一 判定集合的个数
【例1】 满足{a} M?{a，b，c，d}的集合M共有
( )
A．6个 B．7个
C．8个 D．15个
分析：用子集及真子集的概念来解决．
解：∵{a} M，
∴M中至少含有一个元素a.
又∵M?{a，b，c，d}，
∴M中至多含有三个元素．
由此可知满足条件的集合M有：{a}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}共7个．故选B.
答案：B
答案：B
评析：当判定用特征性质描述法表示的两个集合关系时，一是可用赋值法，二是从两集合元素的特征性质p(x)入手，通过整理化简，看是否是一类元素．
题型三 利用集合之间的关系求参数范围
【例3】 设A＝{x|－2≤x≤a，a≥－2}，B＝{y|y＝2x＋3，x∈A}，C＝{z|z＝x2，x∈A}，且C B，求实数a的取值范围．
分析：B与C分别是函数y＝2x＋3，x∈A及z＝x2，x∈A的值域，且两个函数定义域均为A，可借助函数图象分析得a，需以2为界分两部分进行讨论．
解：∵A＝{x|－2≤x≤a，a≥－2}，
∴B＝{y|y＝2x＋3，x∈A}＝{y|－1≤y≤2a＋3}．
(1)当a≥2时，C＝{z|0≤z≤a2}，
∵C B，∴a2≤2a＋3，解得2≤a≤3.
(2)当－2≤a<2时，C＝{z|0≤z≤4}．
∵C B，∴4≤2a＋3，解得 ≤a<2.
综合(1)(2)得 ≤a≤3.
评析：集合与不等式的关系问题主要分两类：(1)不含参数的一般可直接求解；(2)含参数问题，往往要等价转换集合的表示或化简集合，然后依据数形结合进行分类讨论．
【例4】 (1)设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若B A，求实数a组成的集合；
(2)设A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，求实数m的取值范围．
分析：以上两题，虽然一个是等式，一个是不等式，但殊途同归，解题方法一样．由于B可能为空集，且B＝ 时，仍然有B A成立，因此，都要分B＝ ，B≠ 两种情况讨论．
解：(1)∵x2－8x＋15＝0，∴x＝3，或x＝5.
∴A＝{3,5}．∵B A，
∴①B＝ 时，a＝0.
②B≠ 时，由B A知，3∈B或5∈B.
(2)当B≠ 时，如下图，
由B A得
解得2≤m≤3.
当B＝ 时，m＋1>2m－1，解得m<2.
由以上可得m≤3.
评析：(1)①B A说明集合B的任何一个元素都属于A.
②集合B可能为 ，这一点在解题时常常容易忽视，从而致错．在解题时要特别注意这个“陷阱”．
(2)①画数轴解决不等式问题，形象直观，提高了正确率和解题速度．
②本题能够加深对空集的理解．空集是不含任何元素的集合．本题中的集合B在什么条件下是空集呢？当且仅当不等式m＋1≤x≤2m－1不成立时，B＝ ，这个不等式何时不成立？当且仅当m＋1>2m－1时，不成立．
③当B≠ 时，2≤m≤3；当B＝ 时，m<2.怎么最终结果变成了m≤3？这是因为2≤m≤3时和m<2时，都有B A.将这两个不等式标在数轴上，如下图，可以发现，这两部分连接成一体了，因此，只要写出m≤3就可以．
④在集合问题中，常常需要分类讨论，当A B时，A可以是 ，但常常由于解题时忽略这一点而致错．
题型四 子集综合问题
【例5】 一特警小组共有5人，上级要求组长至少带一名特警队员去执行一项特殊任务．问有多少种不同的分组方案？
分析：可把这一特警小组的5名队员看做一个集合．
解：设特警小组组长为a，其他四名特警队员分别为b，c，d，e.组成含组长a去执行任务的集合为A，则满足{a}?A {a，b，c，d，e}．则A为{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，e}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，c，d}，{a，c，e}，{a，d，e}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，d，e}，{a，c，d，e}，{a，b，c，d，e}．共计15种不同的分组方案．
【例6】 同时满足：①M {1,2,3,4,5}，②若a∈M，则6－a∈M的非空集合M有多少个？写出这些集合．
解：由题意知，a∈M,6－a∈M，且M {1,2,3,4,5}，故以M中元素的个数进行分类．
①M中含1个元素时，若3∈M，则6－3∈M，
∴M＝{3}；
②M中含2个元素时，M为{1,5}，{2,4}；
③M中含3个元素时，M为{1,3,5}，{2,3,4}；
④M中含4个元素时，M为{1,2,4,5}；
⑤M中含5个元素时，M为{1,2,3,4,5}．
因此满足条件的集合共有7个，即{3}，{1,5}，{2,4}，{1,3,5}，{2,3,4}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．
评析：正确理解条件若a∈M，则6－a∈M的含义，也就是说元素1与5,2与4,3分别成对出现，转化为三个元素的非空子集，由2n－1可得共23－1＝7(个)．1．集合{0,1}的子集有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】 D
2．若M＝{x|－1＜x＜1}，则（ ）
A．{0}∈M B． ∈M
C．0 M D．{0} M
【答案】 D
3．若A＝{x|1＜x＜2，x∈R}，B＝{x|x＜a}，且A B，则实数a的取值范围是________．
【答案】 a≥2
4．写出集合{a，b，c}的所有子集，并指出哪些是它的真子集．
【解析】 所有子集有： ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}；其中除原集合{a，b，c}外的其余7个均为其真子集．
（本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！）
一、选择题（每题5分，共20分）
1．已知集合M＝{8}，集合P＝{1,4,8}，则有（ ）
A．M＝P B．P M
C．P?M D．M?P
【解析】 ∵8∈P，∴M P，又M≠P，故MP.
【答案】 D
2．集合A＝{x|x2－36＝0}，则集合A的子集有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【解析】 ∵A＝{－6,6}，其子集有 ，{－6}，{6}，{－6,6}共4个．
【答案】 D
3．已知A?{1,2,3}，且A中至少有一个奇数，则这样的集合A共有（ ）
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
【解析】 当A中含有1个奇数时，A可能为{1}，{3}，{1,2}，{2,3}；当A中含有2个奇数时，A为{1,3}．
【答案】 C
4．集合P＝{x|y＝x2}，Q＝{y|y＝x2}，则下列关系中正确的是
A．P?Q B．P＝Q
C．P Q D．P?Q
【解析】 ∵P＝{x|y＝x2}＝R，
Q＝{y|y＝x2}＝{y|y≥0}，
∴P?Q.
【答案】 D
二、填空题（每题5分，共10分）
5．已知集合U，S，T，F的关系如图所示，
则下列结论：
①S U；②F T；③S T；④S F；⑤S F；⑥F U.正确的有________．
【解析】 由图可看出S U，F U，S T.
【答案】 ①③⑥
6．已知 ?{x|x2－x＋a＝0}，则实数a的取值范围是________．
【解析】 ∵ ?{x|x2－x＋a＝0}，
∴方程x2－x＋a＝0有实根，
∴Δ＝（－1）2－4a≥0，a≤.
【答案】 a≤.
三、解答题（每题10分，共20分）
7．求满足{x|x2＋1＝0，x∈R}?M {x|x2－1＝0，x∈R}的集合M的个数．
【解析】 因为{x|x2＋1＝0，x∈R}＝ ，{x|x2－1＝0，x∈R}＝{－1,1}，即M为集合{1，－1}的非空子集，所以M为{1}或{－1}或{1，－1}，共3个．
8．若集合M＝{x|x2＋x－6＝0}，N＝{x|（x－2）（x－a）＝0}，且N M，求实数a的值．
【解析】 由x2＋x－6＝0，得x＝2或x＝－3.
因此，M＝{2，－3}．
若a＝2，则N＝{2}，此时N M；
若a＝－3，则N＝{2，－3}，此N＝M；
若a≠2且a≠－3，则N＝{2，a}，时此时N不是M的子集，
故所求实数a的值为2或－3.
9．（10分）试写出满足条件{1,2,5}?M?A＝{1,4,8，x，y，x－y}的所有不同的集合M.
【解析】 由{1,2,5}M，知M中一定含有1,2,5.由{1,2,5}A，知2∈A且5∈A，则A＝{1,4,8,2,5,3}，或A＝{1,4,8,2,5，－3}，或A＝{1,4,8,2,5,7}．
若M为四元素集合，则可以为{1,2,5,4，}，{1,2,5,8}，{1,2,5,3}，{1,2,5，－3}，{1,2,5,7}．
若M为五元素集合，则可以为{1,2,5,4,8}，{1,2,5,4,3}，{1,2,5,4，－3}，{1,2,5,4,7}，{1,2,5,8,3}，{1,2,5,8，－3}，{1,2,5,8,7}．集合之间的关系
教学目标：
知识与技能目标：
理解子集、真子集、两个集合相等概念；
掌握有关子集、真子集的符号及表示方法，会用它们正确表示一些简单的集合，培养学生的符号表示的能力；
会求已知集合的子集、真子集；
能判断两集合间的包含、相等关系，并会用符号准确地表示出来。
过程与方法目标：
经历并体验使用最基本的集合语言表示有关的数学对象的过程与方法，发展运用数学语言进行交流的能力。
情感、态度与价值观目标：
（1）感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义；
（2）培养学生用集合的观点分析问题、解决问题的能力。
（3）在学习集合语言的过程中，逐步养成实事求是、扎实严谨的科学态度，学习用数学的思维方式解决问题、认识世界。
教学重点：子集、真子集、集合相等的概念
教学难点：正确区分子集与真子集、属于与包含
教学过程设计：
（一）引入
上节课我们学习了集合、集合元素的概念以及集合的表示方法。下面我们来看有这样三个集合：
问：1、哪些集合表示方法是列举法．
2、哪些集合表示方法是描述法．
3、集合M中元素与集合N有何关系．集合M中元素与集合P有何关系．
学生：M、N是用列举法表示的，P是用描述法表示的。集合M中任何元素都是集合N的元素，集合M中任何元素都是集合P的元素。
在上面见到的集合M与集合N、集合M与集合P通过元素建立了某种关系，而具有这种关系的两个集合在今后学习中会经常出现，本节将研究有关两个集合间关系的问题。
（二）新授知识
1．子集
（1）子集：如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A 叫做集合B的子集，记作： ， 读作：A包含于B或B包含A
如：① N*NZQR
② A={x|x=6k,k}B={x|x=2m，m}
规定：空集是任意一集合的子集。
性质：① （任何一个集合是它本身的子集）
② （空集是任何集合的子集）
（2）真子集：如果说集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作： （或 ），读作“A真包含于B”或“B真包含A”
如：N*NZQR
注：正确区分“”与“包含”：“属于”用在元素与集合之间；“包含”用在集合与集合之间。
（3）集合相等：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，同时集合B的每一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。
即：如果AB，且BA，那么A=B
如：，可见，集合 是指A、B的所有元素完全相同．
确定整数x、y，使。
解：由集合相等的定义得或
∴（舍） 或
∴x、y的值是2、5。
确定下列每组两个集合的包含关系或相等关系：
（1） 和
（2） 和
（过程略）
由例题我们可以发现，C中的元素都属于D，而D中有一个元素不属于C，我们把C叫做D的真子集。
例3、（1）写出的所有子集；所有真子集；
（2）写出满足{3，4}P{0，1，2，3，4}的所有集合P。
例4 用适当的符号（ ， ）填空：
（1） ； ； ；
（2） ； ；
（3） ；
（4）设 ， ，
C={x|x=4k±1,k∈Z},则A B C．
解：（1）0 0 ；
（2） ＝ ， ；
（3） ，
∴ ；
（4）A，B，C均表示所有奇数组成的集合，∴A＝B＝C．
例5、说出下列每对集合之间的关系
A={1，2，3，4，5}，B={1，3，5}；
P={x|5x=1}, Q=x||x|=1};
C={x|x是奇数}，D={x|x是整数}。
解：略
（三）
小结：子集、真子集、集合的相等；正确区分“属于”、“包含”
（四）
布置作业。1.2.2集合的运算（1）
教学目的：使学生掌握并集、交集的概念、表示方法，会用Venn图表示两个集合的
交集、并集，会求两个集合的并集、交集。
教学重点：对交集、并集的理解及其运算 性质。
教学难点： 会将集合间的交与并的各种不同情况的韦恩图表示出来。
教学过程：
一、复习提问
考察下列各个集合，说出集合C与集合A、B之间的关系：
（1）A＝{1,3,5}，B＝{2,4,6}，C＝{1,2,3,4,5,6}
（2）A＝{x|x是有理数}，B＝{ x|x是无理数 }，C＝{ x|x是实数 }
二、新课
1、并集
上述两个问题中，A是C的真子集，B也是C的真子集，集合C是由所有属于
集合A或属于集合B的元素组成的。
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素
所组成的集合，称为集合A与B的并集（union set），
记作：A∪B，读作：A并B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}，用Venn图表示如上。
在上述两个问题中，有A∪B＝C。
例4、设A＝{4,5,6,8}，B＝{3,5,7,8}，求A∪B（注意集合中的元素互不相同）
例5、设集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜3}，求A∪B（用数轴表示较清楚）
2、交集
（1）A＝{2,4,6,8,10}，B＝{3,5,8,12}，C＝{8}
（2）A＝{x|x是珠海四中2005年9月在校的女同学}，B＝{ x|x 是珠海四中2005年9
月入学的高一年级学}，C＝{ x|x是珠海四中2005年9月入学的高一年级女同学}
观察上面两个问题，你能发现集合C与集合A、B之间的关系吗？
一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交
集（intersetion set）。记作A∩B（读作A交B），
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}，Venn图表示如右：
在上述问题中，A∩B＝C。
例6、珠海市四中开运动会，设A＝{x|x是珠海四中高一年级参加百米跑的同学}
B＝{x|x是珠海四中高一年级参加跳高的同学}，求A∩B
解：A∩B＝{x|x是珠海四中高一年级既参加百米跑又参加跳高比赛的同学}
例7、设平面内直线l1上的点的集合为L1，直线l2上的点的集合为L2，试用
集合的运算表示l1、l2的位置关系。
解：平面内的两条直线有三种位置关系：相交、平行、重合。所以，
（1）直线l1、l2相交于一点P时，L1∩L2＝{点P}；
（2）直线l1、l2平行时，L1∩L2＝ ；
（3）直线l1、l2重合时，L1∩L2＝L1＝L2。
3、练习：P17 1、2、3
4、作业：P18 1、2、3
补充练习：
第（2008广东文）二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行．若集合{参加北京奥运会比赛的运动员}，集合{参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合{参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是A． B． C． D．答案（D）
B
A
A
B
A∩B