1集合与集合的表示方法
教学目的：
知识与技能目标：
（1）使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法
（2）使学生初步了解“属于”关系的意义
（3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义
（4）理解集合的特征性质，掌握集合的表示方法。
过程与方法目标：
（1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；
（2）启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造性地解决问题；
（3）通过学生自学教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。
情感态度、价值观目标：
激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。
教学重点：集合的基本概念及表示方法
教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合
授课类型：新授课
课时安排：2课时
教学方法：学生自学与教师点拔相结合
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．简介数集的发展，复习最大公约数和最小公倍数，质数与和数；
2．教材中的章头引言；
3．集合论的创始人——康托尔（德国数学家）；
4．“物以类聚”，“人以群分”；
5．教材中例子（P4）。
二、讲解新课：
阅读教材第一部分，问题如下：
（1）有哪些概念？是如何定义的？
（2）有哪些符号？是如何表示的？
（3）集合中元素的特性是什么？
（一）集合的有关概念（例子见教材）：
1、集合的的有关概念
（1）集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）。
（2）元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。
（3）空集：不含任何元素的集合。记作Φ。
2、常用数集及记法
（1）自然数集（非负整数集）：非负整数全体构成的集合。记作N
（2）正整数集：自然数集内排除0的集合。记作N*或N+
（3）整数集：整数全体构成的集合。记作Z
（4）有理数集：有理数全体构成的集合。记作Q
（5）实数集：实数全体构成的集合。记作R
注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括
数0。
（2）非负整数集内排除0的集。记作N*或N+ 。Q、Z、R等其它
数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0
的集，表示成Z*
3、元素对于集合的隶属关系
（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A
（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作
4、集合中元素的特性
（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，
或者不在，不能模棱两可。
（2）互异性：集合中的元素没有重复。
（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）
注：1、集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……
元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……
2、“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写。
练习题
1、教材P5练习
2、下列各组对象能确定一个集合吗？
（1）所有很大的实数。 （不确定）
（2）好心的人。 （不确定）
（3）1，2，2，3，4，5．（有重复）
阅读教材第二部分，问题如下：
1．集合的表示方法有几种？分别是如何定义的？
2．有限集、无限集、空集的概念是什么？试各举一例。
（二）集合的表示方法
1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的
方法。
例如，由方程的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}
注：（1）有些集合亦可如下表示：
从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53，…，100}
所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}
这是在集合中的元素比较多，元素又呈现一定的规律性，在不致于发生错误的情况下，可以用几个元素作为代表，其他元素用省略号表示。
（2）a与{a}不同：a表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只
有一个元素。
特征性质描述法：用集合中元素的特征性质来描述集合。
特征性质：如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素都具有性质P（x），而不属于集合A的元素都不具有性质P（x），则性质P（x）叫做集合A的一个特征性质。
格式：{x∈I| P（x）}
含义：表示集合A是由集合I中具有性质P（x）的所有元素构成的。
例如，不等式的解集可以表示为：或
所有直角三角形的集合可以表示为：
注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分。
如：{直角三角形}；{大于104的实数}
（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}
3、维恩图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。（下一节还讲）
注：何时用列举法？何时用特征性质描述法？
有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法。
如：集合
有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。
如：集合；集合{1000以内的质数}
注：集合与集合是同一个集合
吗？
答：不是。
集合是点集，集合= 是数集。
（三） 有限集与无限集
有限集：含有有限个元素的集合。
无限集：含有无限个元素的集合。
空集：不含任何元素的集合。记作Φ，如：
注：空集不能作为有限集，有限集是指非空集合。
练习题：
1、P6练习
2、用描述法表示下列集合
①{1，4，7，10，13}
②{-2，-4，-6，-8，-10}
3、用列举法表示下列集合
①{x∈N|x是15的约数} {1，3，5，15}
②{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}} {（1，1），（1，2），（2，1）（2，2）}
注：防止把{（1，2）}写成{1，2}或{x=1，y=2}
③
④ {-1，1}
⑤ {（0，8）（2，5），（4，2）}
⑥
{（1，1），（1，2），（1，4）（2，1），（2，2），（2，4），（4，1），（4，2），（4，4）}
三、小 结：本节课学习了以下内容：
1．集合的有关概念
（集合、元素、属于、不属于、有限集、无限集、空集）
2．集合的表示方法
（列举法、描述法、维恩图共3种）
3．常用数集的定义及记法
四、课后作业：教材P9习题1.1
五、板书设计：
课题一、知识点（一） （二） 例题：1． 2．
六、课后反思：
本节课在教学时主要教会学生学习集合的表示方法，在认识集合时，
应从两方面入手：
（1）元素是什么？
（2）表示集合时，集合中的元素与使用的代表字母名称无关。(共13张PPT)
1．回忆集合的概念
2．集合中元素有那些性质？
3．空集、有限集和无限集的概念
一、复习：
问题引入：
如何表示一个集合？
如：由两个元素0，1构成的集合怎么表示？
如果一个集合是有限集，元素又不太多，常常把集合的所有元素都列举出来，写在花括号内表示这个集合
{0，1}
1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法.
二、讲述新课：集合的表示方法
例如，24所有正约数构成的集合可以表示为{1，2，3，4，6，8，12，24}
注意：
（1）大括号不能缺失.
(2)有些集合种元素个数较多，元素又呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可如下表示：从1到100的所有整数组成的集合：{1，2，3，…，100}
自然数集N：{1，2，3，4，…,n,…}
（3）区分a与{a}：{a}表示一个集合，该集合只有一个元素.a表示这个集合的一个元素.
（4）用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序.相同的元素不能出现两次.
问题：正偶数的集合怎么表示，能否使用列举法？
问题解决：用集合中元素的特征性质来描述
2描述法：
在集合I中，属于集合A的任意元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有性质p(x),则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质，于是集合A可以表示如下：
{x∈I| p(x) }
所有直角三角形的集合可以表示为： {x|x是直角三角形}
如，不等式 的解集可以表示为： 或
3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合.
注：（1）在不致混淆的情况下，也可以写成：{直角三角形}；{大于104的实数} （2）注意区别：实数集，{实数集}.
例1：用列举法表示下列集合
例2：用描述法表示下列集合
小结：
本节课学习了集合的表示方法（列举法、描述法、文氏图）
作业: 1，2
练习：教材第8页练习A、B
习题1-1A：1，集合的概念导学案
学习目标
知识与技能：（1）初步理解集合的含义，知道常用的数集及其记法。（2）初步了解“属于”关系的意义。（3）初步了解有限集、无限集、空集的意义。
过程与方法：（1）通过实例，初步体会元素与集合的“属于”关系，从观察分析集合的元素入手，正确地理解集合。（2）观察关于集合的几组实例，并举出各种集合的例子，初步感受集合语言在描述客观现实和数学对象中的意义。（3）学会借助实例分析，探究数学问题（如集合中元素的确定性、互异性和无序性）。
情感、态度与价值观：（1）在学习运用集合语言过程中，增强认识事件的能力，初步培养实事求是，扎实严谨的科学态度。（2）探索利用直观图示理解抽象概念，体会数形结合的思想。
1.集合的概念
一般地，把一些__________不同的对象看成一个整体，就说这个__________是由这些对象的全体构成的集合。
集合是现代数学中不加定义的基本概念，学习这个概念应注意以下两点：
（1）集合是一个“整体”
（2）构成集合的对象必须是“确定”的且“不同”的。
“确定”是指构成集合的对象具有非常明确的特征，这个特征不是模棱两可的。一般地，判定一组对象a1，a2，a3，…，an能否构成集合，就是要看判定的对象a1，a2，a3，…，an是否具有一个确定的特性，如果有，能构成集合；如果没有，就不能构成集合。
“不同”是指构成集合的各个对象互不相同，即相同的对象归入一个集合时，该对象只能出现一次。
例1：下列各组对象中，哪些能组成集合？哪些不能组成集合？
（1）参加2010年全国高考的山东考生。
（2）所有数学难题。
（3）数组2,2，4,6。
（4）参加2010年广州亚运会的运动员。
（5）全国所有大湖。
2. 元素的概念
构成集合的每个对象叫做这个集合的元素。
集合通常用大写字母A、B、C、…来表示，元素常用小写字母a、b、c、…来表示。
例2：试考察下列各集合中的元素：
（1）方程x2=4的解；（2）正方形的全体。
3. 元素与集合的关系
元素与集合的关系有属于与不属于两种：元素a属于集合A，记作a∈A；元素a不属于集合A，记作。
例3：用符号∈和 填空。
（1）设集合A是正整数的集合，则0______A， ，（-1）0______A；
（2）设集合B是小于 的所有实数的集合，则 ，
4. 集合中元素的性质
集合的元素有以下三个特性：
（1）元素的确定性。
设A是一给定的集合，a是某一个具体对象，则a或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。如大于2小于10的偶数只有4,6,8，它们是确定的，可构成集合，而“我国的小河流”，由于“小”这个标准不确定，所以不能构成集合。
（2）元素的互异性。
对于给定集合中的任意两个元素，都是不同的对象，不能重复出现，例如x2-4x+4=0的根构成的集合的元素只有一个元素2，不能出现两个重复的元素2、2.
（3）元素的无序性。
在给定集合中的元素之间无顺序关系，即集合中的元素相互交换次序所得的集合与原来的集合是同一个集合。例如集合 与集合 是同一个集合。
例4：判断下列说法是否正确，并说明理由。
（1） 这些数组成的集合有5个元素。
（2）方程（x-3）（x-2)2=0的解组成的集合有3个元素。
5. 集合的分类
依据集合所含元素的个数分为有限集、无限集。
（1）有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集。如中国古代四大发明组成的集合，其中元素有有限个，故为有限集。
（2）无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集。如所有自然数组成的集合，由于元素个数无限，故称之为无限集。
我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作 。“空集”是一个实实在在的集合，只不过此集合中无任何元素，故称之为空集。如“方程x2+2=0的实数根”组成的集合，因为方程x2+2=0无实数根，故它是空集。
例5：下列各组对象能否构成集合，若能构成集合，则指出它们是有限集、无限集，还是空集。
（1）中国的所有人组成的集合；
（2）广东省2011年应届高中毕业生；
（3）数轴上到原点的距离小于1的点；
（4）方程x2=0的解构成的集合；
（5）你们班中成绩较好的同学；
（6）小于1的正整数构成的集合。
6. 特定集合的表示
为了书写方便，我们规定常见的数集用特定的字母表示，下面是几种常见的数集表示方法，请牢记：
（1）全体非负整数的集合通常简称为非负整数集（或自然数集），记作N。
（2）非负整数集内排除0的集合，也称正整数集，记作N*或N+。
（3）全体整数的集合通常简称为整数集，记作Z.
（4）全体有理数的集合通常简称为有理数集，记作Q。
（5）全体实数的集合通常简称为实数集，记作R。
例6：给出下列关系：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，其中正确的个数为（ ）
1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 集合的判定
（1）集合是现代数学中不加定义的基本概念，学习这个概念应注意以下两点：
①集合是一个“整体”
②构成集合的对象必须是“确定”的且“不同”的。其中“确定”是指构成集合的对象具有非常明确的特征，这个特征不是模棱两可的。“不同”是指构成集合的各个对象互不相同。
特别地，我们把不含有任何元素的集合称为空集，记作 ，如“方程x2+5=0的实数范围内的解”，我们知道，方程x2+5=0在实数范围内无解，故其解集为空集。
（2）空集虽不含任何元素，可它却有两个方面的作用：
①空集客观地反映了一些问题的实际意义，如方程组的解的集合就是空集，又如不等式x2<0的解的集合也是空集。
②空集在反映集合与集合之间的关系上起到了“桥梁”的作用，使一些难以表达的问题得到表达。
重点提示：以上两条是判定某些对象能否构成集合的标准。判定一组对象a1，a2，a3，…，an能否构成集合，就是要看判定的对象a1，a2，a3，…，an是否具有一个确定的特性，如果有，能构成集合；如果没有，就不能构成集合。
例7：下列所给的对象能构成集合的是____________________。
所有正三角形；
高一数学必修1课本上的所有难题；
比较接近1的正整数全体；
某校高一年级的16岁以下的学生；
平面直角坐标系中到原点距离等于1的点；
a，b，a，c。
8. 集合元素性质的应用
集合的确定性就是若A是一个给定的集合，x是某一具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必须有一种且只有一种成立。
例如，可知，而，即集合中元素的标准是明确给定的。
集合的互异性就是说：“对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的。”
如方程（x-1）2=0的解集记为，而不能记为。
例8：若，求实数a的值。
9.元素分析法
解决集合问题，应对集合的概念有深刻的理解，解题时能不能把集合转化为相关的数学知识是解题的关键，而集合离不开元素，所以分析元素是解决集合问题的核心。元素分析法就是抓住元素进行分析，即元素是什么？具备哪些性质？是否满足元素的三个特性（即确定性、互异性、无序性）？
【例】集合A是由元素n2-n，n-1和1组成的，其中n∈Z，求n的取值范围。
例9：设A是实数集，且满足条件：
若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
集合A不可能是单元素集；
集合A中至少有三个不同的元素。
10.利用分类讨论思想解决与集合有关的问题
分类讨论思想是数学中的重要思想方法。在解决与集合有关的问题时往往借助集合的互异性、确定性、无序性入手，求出与之相关的参数。
【例】A是由2，a，b组成的集合，B是由2，2a，b2组成的集合，当集合A与集合B是同一集合时，求a，b的值。
例10：由实数所组成的集合中，最多含有元素的个数为（ ）
A．2 B. 3 C. 4 D. 5
11. 利用元素与集合间的关系定义的新概念处理策略
集合中元素的求解与个数的计算是高考考查的知识点之一，在解题时要特别注意元素的互异性，相同的对象要看成一个元素。近几年，在各地的高考题或模拟题中，常出现这样一种新题型，题目中出现的一些符号或运算法则是教材中不曾介绍过的内容，但我们可以根据题中的所给条件，通过自学，利用大脑中储备的知识解决。
【例】设P，Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P+Q中的元素是a+b，其中a∈P，b∈Q，则P+Q中元素的个数是（ ）
A．9 B.8 C.7 D.6
例11：设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a，b∈S，对于有序元素对（a，b），在S中唯一确定的元素a*b与之对应），若对任意的a，b∈S，有a*(b*a)=b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是（ ）
A．（a*b）*a=a B. [a*(b*a)]*（a*b）=a
C．b*(b*b)=b D. （a*b）*[b*(a*b)]=b集合的表示方法
一.集合的表示法：列举法、描述法和图示法
列举法：将所给集合中的元素一一列举出来，写在大括号里，元素与元素之间用逗号分开，常用于表示有限集.
描述法：将所给集合中全部元素的共同特性和性质用文字或符号语言描述出来．常用于表示无限集.
使用描述法时，应注意六点：
①写清集合中元素的代号；
②说明该集合中元素的性质；
③不能出现未被说明的字母；
④多层描述时，应当准确使用“且”，“或”；
⑤所有描述的内容都要写在大括号内；
⑥用于描述的语句力求简明、确切.
图示法：画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，常用于表示又需给具体元素的抽象集合，对已给出了具体元素的集合当然也可用图示法来表示.
如：A={1，2，3，4}
例1、设集合A={a，a+b, a+2b},B={a,ac,ac2} ,且A=B，求实数c值．
分析：欲求c值，可列关于c的方程或方程组，根据两集合相等的意义
及集合元素的互异性，有下面两种情况：（1）a+b=ac且a+2b= ac2，（2）a+b= ac2且a+2b=ac两种情况．
解：（1）a+b=ac且a+2b= ac2，消去b得：a+ ac2-2ac=0．∵a=0时，集B中三元素均为零，根据集合元素互异性舍去a=0．∴c2-2c+1=0，即c=1，但 c=1时，B中的三个元素也相同，舍去c=1，此时无解．
（2）a+b= ac2且a+2b=ac，消去b得： 2ac2-ac-a=0．∵a=0时，集B中三元素均为零，根据集合元素互异性舍去a=0．∴2c2-c-1=0，即c=1或，但 c=1时，B中的三个元素也相同，舍去c=1，∴．
点评： 两集合相等的意义是两集合中的元素都相同，在求集合中元素字母的值时，可能产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验，去伪存真．
（5）常用数集及专用记号
（1）非负整数集（或自然数集）N={0，1，2，……}
（2）正整数集N*（或N＋）={1，2，3，……}
（3）整数集Z={0，±1，±2，……}
（4）有理数集Q={整数与分数}
（5）实数集R={数轴上的点所对应的数}.
强调：实数集不可记为{R}或{实数集}，0≠≠{} ，≠{0}，≠{空集}.
强调：排除0和负数的数集也可表示为R*、Z*、Q*或R＋、Z＋、Q＋．
二.基本运算
1.交集
（1）定义：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组合的集合叫A与B的交集．记作，即{，且}
（2）交集的图示
上图阴影部分表示集合A与B的交集．
（3）交集的运算律
， ，，
2.并集
（1）定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，记作，即{，或}
（2）并集的图示
以上阴影部分表示集合A与B的并集．
（3）并集的运算律
，，，
3、补集
（1）定义：设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）.记作，即 CSA=
（2）补集的图示
4、常用性质
AA=A，AΦ=Φ，AB=BA，ABA， ABB．
AA=A，AΦ=A，AB=BA，ABA，ABB．
，
，
例2、集合{，且}，AU，BU，且{4，5}，{1，2，3}，{6，7，8}，求集合A和B．
分析：利用集合图示较为直观．
解：由{4，5}，则将4，5写在中，
由{1，2，3}，则将1，2，3写在集A中，
由{6，7，8}，则将6，7，8写在A、B之外，
由与中均无9，10，则9，10在B中，
故A={1，2，3，4，5}，B={4，5，9，10}．
5、容斥原理：有限集A的元素个数记作card(A).对于两个有限集A，B，有
card(A∪B)= card(A)+card(B)- card(A∩B)．
