高中2009级教学案
学科 数学 编制人 审核人 教学案编号 1
课型 新授课 课题 1.1.1集合的概念
课标要求 初步理解集合的含义，了解属于关系的意义，知道常用数集及其记法。
重点难点 集合的概念与集合中元素的性质
教学过程设计
知识要点集合：一般地，把一些能够 对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的 （或 ）。构成集合的每个对象叫做这个集合的 （或 ）。2.集合中元素的性质： 、 、 。3.集合与元素的表示：集合通常用 来表示，它们的元素通常用 来表示。4.元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说 ，记作 ，读作 。如果a不是集合A的元素，就说 ，记作 ，读作 。5.空集： ，记作 。6.集合的分类：含有有限个元素的集合叫做 ，含有无限个元素的集合叫做 。7.常用的数集及其记号：（1）自然数集： ，记作 。（2）正整数集： ，记作 。（3）整数集： ，记作 。（4）有理数集： ，记作 。（5）实数集： ，记作 。
典例解析你能否确定，你所在班级中，高个子同学构成的集合？并说明理由。你能否确定，你所在班级中，最高的3位同学构成的集合？ 变式训练：教材第4页练习A第1题例2. （1） -3 N； （2）3.14 Q； （3） Q； （4）0 Φ ； （5） Q； （6） R； （7）1 N+； （8） R。变式训练：教材第5页练习A第3题课后作业教材第5页练习B第2题、第9页习题1-1B第3题思考与讨论已知由1，三个实数构成一个集合，求应满足的条件。五、归纳小结
www.(共9张PPT)
“集合”与“整体”、“一类”、“一群”等词语的含义相近.例如：“数学书的全体”、“地球上人的全体”、“所有文具的全体”都可以看成一些“对象”的集合.
在现代数学中，集合是一种简洁、高雅的数学语言，我们怎样理解数学中的“集合”？
新课引入
（一）集合的概念：
各种各样的事物或一些抽象的符号，都可以看作对象。一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是有这些对象的全体构成的集合（或集）。构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）
如：小于10的自然数
0，1，2，3，4，5，6，7，8，9
构成了一个集合
集合举例
上述每个集合我们都用自然语言来描述，怎样用集合语言描述集合呢？
（1）方程 的解的全体构成一个集合，其中每一个解都是这个集合的元素；
（2）平行四边形的全体构成一个集合，其中每一个平行四边形都是这个集合的一个元素；
（3）平面上与一个定点O的距离等于定长r的点的全体构成一个集合，这个集合是以O为圆心、半径为r的圆.圆上的每个点都是这个集合的元素
问题：
（二）“元素”与“集合”：
1. 集合通常用大写英语字母A，B，C，…来表示，元素通常用小写英语字母a，b，c，…来表示；
2、元素与集合的关系
（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A
（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作要注意“∈”的方向，不能把a∈A颠倒过来写.
3.空集
考虑方程x+1=x+2的解的全体构成的集合.显然这个集合不含任何元素.
一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作Ф
知识探究
任意一组对象是否都能组成一个集合？集合中的元素有什么特征？
思考1：某单位所有的“帅哥”能否构成一个集合？由此说明什么？
集合中的元素必须是确定的
思考2：在一个给定的集合中能否有相同的元素？由此说明什么？
集合中的元素是不重复出现的
思考3：0705班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？由此说明什么？
集合中的元素是没有顺序的
（三）集合中元素的特性
（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了.
思考：某单位所有的“帅哥”能否构成一个集合？
（2）互异性：集合中的元素一定是不同的.
思考：在一个给定的集合中能否有相同的元素？
（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.
自然数集（非负整数集）：记作 N
自然数集包括数0
正整数集：记作 或
整数集：记作 Z
有理数集：记作 Q
实数集：记作 R
2.常用数集及符号
（四）、集合分类及数集
1.分类：
（1）含有有限个元素的集合叫做有限集
（2）含有无穷个元素的集合叫做无限集
小结：
本节课我们了解集合论的发展，学习了集合的概念及有关性质
作业：P10 习题1-1B第3题 练习：教材第5页 练习A、B第一章 集合与简易逻辑
课时训练1 集合的概念与运算
【说明】 本试卷满分100分，考试时间90分钟.
一、选择题（每小题6分，共42分）
1.已知集合A={x||x2-4|≤1,x∈Z},则集合A的真子集个数为（ ）
A.2个 B.1个 C.4个 D.3个
答案：D
解析：A={x|3≤x2≤5,x∈Z}={2,-2},故A的真子集个数为22-1=3.
2.设全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，集合B={2，3，4}，则A∩B等于（ ）
A.{1} B.{0，1}
C.{0，1，2，3} D.{0，1，2，3，4}
答案：A
解析：B={0，1}，A∩（B）={1}.
3.已知M={y|y=x2},N={y|x2+y2=2},则M∩N等于（ ）
A.{（1， 1），（-1，1）} B.{1}
C.［0，1］ D.［0，］
答案：D
解析：∵M=［0，+∞］，N=［-，］，
∴M∩N=［0，］.
4.给定集合A、B，定义一种新运算：A*B={x|x∈A或x∈B,但xA∩B},又已知A={0，1，2}，B={1，2，3}，则A*B等于（ ）
A.{0} B.{3} C.{0，3} D.{0，1，2，3}
答案：C
解析：依题意x∈A∪B,但xA∩B,而A∪B={0，1，2，3}，A∩B={1，2}故A*B={0，3}.
5.设M={0，1}，N={11-a,lga,2a,a},若M∩N={1}，则a值（ ）
A.存在，且有两个值 B.存在，但只有一个值
C.不存在 D.无法确定
答案：C
解析：若11-a=1,则a=10,lga=1,与集合元素互异性矛盾，同理知lga≠1;若2a=1,则a=0,此时lga无意义；若a=1,则lga=0,此时M∩N={0，1}.故不存在这样的a值.
6.设集合M={x|x-m<0},N={y|y=ax-1,a>0且a≠1,x∈R},若M∩N=，则m的范围是（ ）
A.m≥-1 B.m>-1 C.m≤-1 D.m<-1
答案：C
解析：M={x|x
-1}，又M∩N=，则m≤-1.
7.已知向量的集合M={a|a=λ1(1,0)+(1+λ12)(0,1)，λ1∈R},N={a|a=(1,6)+λ2(2,4)，λ2∈R},则M∩N等于（ ）
A.{（-1， 2）} B.{（-1，2），（3，10）}
C. D.{(1,2),(-1,2)}
答案：B
解析：M={a|a=(λ1,λ12+1),λ1∈R}，N={a|a= (1+2λ2,6+4λ2),λ2∈R},
设a∈M∩N,则故a=（3，10）或（-1，2）.
二、填空题（每小题5分，共15分）
8.下列各式：①2 006{x|x≤2 007};②2 007∈{x|x≤2 007};③{2 007}{x|x≤2 007};④∈{x|x<2 007},其中正确的是____________.
答案：②③
解析：①应为2 006∈{x|x≤2 007};④应为{x|x<2 007}.
9.设全集U={x|0答案：{2，3} {3，4}
解析：U={1，2，3，4，5}，由2{1,3,4,5}知2∈A，∴22-5×2+q=0即q=6.∴A={2,3},A={1,4,5},故3∈B，∴p=-7,B={3,4}.
10.已知集合A={-1，2}，B={x|mx+1=0},若A∩B=B，则所有实数m的值组成的集合是_______.
答案：{0，1，-}
解析：A∩B=BBA,
故B为或{-1}或{2}.
当B=时，m=0;当B={-1}时，m=1;当B={2}时，m=-.
三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）
11.已知集合A={x|x2-3x+2=0},集合B={x|x2-ax+a-1=0},若A∪B=A，求实数a的值.
解析：A={x|x2-3x+2=0}={1,2}，
A∪B=ABA；
B={x|x2-ax+a-1=0}={x|(x-1)(x-a+1)=0}；
则有a-1=2a=3或a-1=1a=2.
故实数a的值为2或3.
12.设函数f(x)=log2(2x-3)的定义域为集合M，函数g(x)=的定义域为集合N.
（1）求集合M、N；
（2）求集合M∩N，M∪N，（N）∩M.
解析：(1)由2x-3>0得x>,故M={x|x>},由（x-3）(x-1)>0得x<1或x>3,故N={x|x<1或x>3}.
(2)M∩N={x|x>3}，
M∪N={x|x<1或x>}.
∵N={x|1≤x≤3},
∴(N)∩M={x|13.已知集合A={x|x2-6x+8<0},B={x|(x-a)(x-3a)<0}.
(1)若AB,求a的取值范围；
（2）若A∩B=,求a的取值范围；
(3)若A∩B={x|3解析：A={x|2当a>0时，B={x|a当a=0时，B=;
当a<0时，B={x|3a(1)若AB，则a>0且
即≤a≤2.
(2)若A∩B=，则a≤0满足;
当a>0时，则3a≤2或a≥4.
∴a的取值范围为a≤或a≥4.
(3)若A∩B={x|3当a>0时,则a>3；当a≤0时不满足.
∴a的取值范围是a>3.
14.已知集合A的元素全为实数，且满足：若a∈A，则∈A.
(1)若a=2,求出A中其他所有元素.
（2）0是不是集合A中的元素？请你设计一个实数a∈A,再求出A中的所有元素.
（3）根据（1）（2），你能得出什么结论？请证明你的猜想（给出一条即可）.
解析：（1）由2∈A,得=-3∈A.
又由-3∈A，得∈A.
再由-∈A，得∈A.
而∈A时，=2∈A.
故A中元素为2，-3，-，.
（2）0不是A的元素.若0∈A，则=1∈A，而当1∈A时，不存在，故0不是A的元素.
取a=3,可得A={3,-2,-}.
(3)猜想：①A中没有元素-1，0，1；
②A中有4个元素，且每两个互为负倒数.
证明：①由上题，0、1A，若0∈A，则由=0,得a=-1.
而当=-1时，a不存在，故-1A,A中不可能有元素-1，0，1.
②设a1∈A,则a1∈Aa2=∈Aa3==-∈Aa4==∈Aa5==a1∈A.
又由集合元素的互异性知，A中最多只有4个元素：a1,a2,a3,a4,且a1a3=-1,a2a4=-1,显然a1≠a3,a2≠a4.
若a1=a2,即a1=，得a12+1=0,
此方程无解；同理，若a1=a4,即a1=,此方程也无实数解.
故a1≠a2,a1≠a4.∴A中有4个元素.
www.1.1.1集合的概念
教学目标：（1）使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法
（2）使学生初步了解“属于”关系的意义
（3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义
教学重点：集合的基本概念
教学过程：
1．引入
（1）章头导言
（2）集合论与集合论的创始者-----康托尔（有关介绍可引用附录中的内容）
2．讲授新课
阅读教材，并思考下列问题：
（1）有那些概念？
（2）有那些符号？
（3）集合中元素的特性是什么？
（4）如何给集合分类
（一）有关概念:
1、集合的概念
（1）对象：我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号，都可以称作对象.
（2）集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合.
（3）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素.
集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……
2、元素与集合的关系
（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A
（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作
要注意“∈”的方向，不能把a∈A颠倒过来写.
3、集合中元素的特性
（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了.
（2）互异性：集合中的元素一定是不同的.
（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.
4、集合分类
根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：
（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф
（2）含有有限个元素的集合叫做有限集
（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集
注：应区分，，，0等符号的含义
5、常用数集及其表示方法
（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N
（2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N*或N+
（3）整数集：全体整数的集合.记作Z
（4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q
（5）实数集：全体实数的集合.记作R
注：（1）自然数集包括数0.
（2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+，Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*
课堂练习：教材第5页 练习A、B
小结：本节课我们了解集合论的发展，学习了集合的概念及有关性质
课后作业：第十页 习题1-1B第3题
附录：
集合论的诞生
韩雪涛
集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的.十七世纪数学中出现了一门新的分支：微积分.在之后的一二百年中这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果.其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础.十九世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动.正是在这场运动中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端.到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念.他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素.人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日.
康托尔的不朽功绩
前苏联数学家柯尔莫戈洛夫评价康托尔的工作时说：“康托尔的不朽功绩在于他向无穷的冒险迈进”.因而只有当我们了解了康托尔在对无穷的研究中究竟做出了些什么结论后才会真正明白他工作的价值之所在和众多反对之声之由来.
数学与无穷有着不解之缘，但在研究无穷的道路上却布满了陷阱.因为这一原因，在数学发展的历程中，数学家们始终以一种怀疑的眼光看待无穷，并尽可能回避这一概念.但试图把握无限的康托尔却勇敢地踏上了这条充满陷阱的不归路.他把无穷集这一词汇引入数学，从而进入了一片未开垦的处女地，开辟出一个奇妙无比的新世界.对无穷集的研究使他打开了“无限”这一数学上的潘多拉盒子.下面就让我们来看一下盒子打开后他释放出的是什么.
“我们把全体自然数组成的集合简称作自然数集，用字母N来表示.”学过集合那一章后，同学们应该对这句话不会感到陌生.但同学们在接受这句话时根本无法想到当年康托尔如此做时是在进行一项更新无穷观念的工作.在此以前数学家们只是把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着的东西来解释.无限永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在.这种关于无穷的观念在数学上被称为潜无限.十八世纪数学王子高斯就持这种观点.用他的话说，就是“……我反对将无穷量作为一个实体，这在数学中是从来不允许的.所谓无穷，只是一种说话的方式……”而当康托尔把全体自然数看作一个集合时，他是把无限的整体作为了一个构造完成了的东西，这样他就肯定了作为完成整体的无穷，这种观念在数学上称为实无限思想.由于潜无限思想在微积分的基础重建中已经获得了全面胜利，康托尔的实无限思想在当时遭到一些数学家的批评与攻击是无足为怪的.然而康托尔并未就此止步，他以完全前所未有的方式，继续正面探讨无穷.他在实无限观念基础上进一步得出一系列结论，创立了令人振奋的、意义十分深远的理论.这一理论使人们真正进入了一个难以捉摸的奇特的无限世界.
最能显示出他独创性的是他对无穷集元素个数问题的研究.他提出用一一对应准则来比较无穷集元素的个数.他把元素间能建立一一对应的集合称为个数相同，用他自己的概念是等势.由于一个无穷集可以与它的真子集建立一一对应――例如同学们很容易发现自然数集与正偶数集之间存在着一一对应关系――也就是说无穷集可以与它的真子集等势，即具有相同的个数.这与传统观念“全体大于部分”相矛盾.而康托尔认为这恰恰是无穷集的特征.在此意义上，自然数集与正偶数集具有了相同的个数，他将其称为可数集.又可容易地证明有理数集与自然数集等势，因而有理数集也是可数集.后来当他又证明了代数数[注] ( http: / / www.21cnjy.com / " \l "注 )集合也是可数集时，一个很自然的想法是无穷集是清一色的，都是可数集.但出乎意料的是，他在1873年证明了实数集的势大于自然数集.这不但意味着无理数远远多于有理数，而且显然庞大的代数数与超越数相比而言也只成了沧海一粟，如同有人描述的那样：“点缀在平面上的代数数犹如夜空中的繁星；而沉沉的夜空则由超越数构成.”而当他得出这一结论时，人们所能找到的超越数尚仅有一两个而已.这是何等令人震惊的结果！然而，事情并未终结.魔盒一经打开就无法再合上，盒中所释放出的也不再限于可数集这一个无穷数的怪物.从上述结论中康托尔意识到无穷集之间存在着差别，有着不同的数量级，可分为不同的层次.他所要做的下一步工作是证明在所有的无穷集之间还存在着无穷多个层次.他取得了成功，并且根据无穷性有无穷种的学说，对各种不同的无穷大建立了一个完整的序列，他称为“超限数”.他用希伯莱字母表中第一个字母“阿列夫”来表示超限数的精灵，最终他建立了关于无限的所谓阿列夫谱系
它可以无限延长下去.就这样他创造了一种新的超限数理论，描绘出一幅无限王国的完整图景.可以想见这种至今让我们还感到有些异想天开的结论在当时会如何震动数学家们的心灵了.毫不夸张地讲，康托尔的关于无穷的这些理论，引起了反对派的不绝于耳的喧嚣.他们大叫大喊地反对他的理论.有人嘲笑集合论是一种“疾病”，有人嘲讽超限数是“雾中之雾”，称“康托尔走进了超限数的地狱”.作为对传统观念的一次大革新，由于他开创了一片全新的领域，提出又回答了前人不曾想到的问题，他的理论受到激烈地批驳是正常的.当回头看这段历史时，或许我们可以把对他的反对看作是对他真正具有独创性成果的一种褒扬吧.
公理化集合论的建立
集合论提出伊始，曾遭到许多数学家的激烈反对，康托尔本人一度成为这一激烈论争的牺牲品.在猛烈的攻击下与过度的用脑思考中，他得了精神分裂症，几次陷于精神崩溃.然而集合论前后经历二十余年，最终获得了世界公认.到二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同.数学家们为一切数学成果都可建立在集合论基础上的前景而陶醉了.他们乐观地认为从算术公理系统出发，借助集合论的概念，便可以建造起整个数学的大厦.在1900年第二次国际数学大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了.今天，我们可以说绝对的严格已经达到了.”然而这种自得的情绪并没能持续多久.不久，集合论是有漏洞的消息迅速传遍了数学界.这就是1902年罗素得出的罗素悖论.罗素构造了一个所有不属于自身（即不包含自身作为元素）的集合R.现在问R是否属于R？如果R属于R，则R满足R的定义，因此R不应属于自身，即R不属于R；另一方面，如果R不属于R，则R不满足R的定义，因此R应属于自身，即R属于R.这样，不论何种情况都存在着矛盾.这一仅涉及集合与属于两个最基本概念的悖论如此简单明了以致根本留不下为集合论漏洞辩解的余地.绝对严密的数学陷入了自相矛盾之中.这就是数学史上的第三次数学危机.危机产生后，众多数学家投入到解决危机的工作中去.1908年，策梅罗提出公理化集合论，后经改进形成无矛盾的集合论公理系统，简称ZF公理系统.原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上，从而避免了悖论的出现.这就是集合论发展的第二个阶段：公理化集合论.与此相对应，在1908年以前由康托尔创立的集合论被称为朴素集合论.公理化集合论是对朴素集合论的严格处理.它保留了朴素集合论的有价值的成果并消除了其可能存在的悖论，因而较圆满地解决了第三次数学危机.公理化集合论的建立，标志着著名数学家希耳伯特所表述的一种激情的胜利，他大声疾呼：没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中赶出去.从康托尔提出集合论至今，时间已经过去了一百多年，在这一段时间里，数学又发生了极其巨大的变化，包括对上述经典集合论作出进一步发展的模糊集合论的出现等等.而这一切都是与康托尔的开拓性工作分不开的.因而当现在回头去看康托尔的贡献时，我们仍然可以引用当时著名数学家对他的集合论的评价作为我们的总结.
它是对无限最深刻的洞察，它是数学天才的最优秀作品，是人类纯智力活动的最高成就之一.
超限算术是数学思想的最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一.
这个成就可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作.
康托尔的无穷集合论是过去两千五百年中对数学的最令人不安的独创性贡献之一.
注：整系数一元n次方程的根，叫代数数.如一切有理数是代数数.大量无理数也是代数数.如根号2.因为它是方程x2-2=0的根.实数中不是代数数的数称为超越数.相比之下，超越数很难得到.第一个超越数是刘维尔于1844年给出的.关于π是超越数的证明在康托尔的研究后十年才问世.