2.7 对数预习提纲
一、学习目标
1. 理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化.
2. 了解常用对数与自然对数的意义.
3．理解对数恒等式并能用于有关对数计算。
二、知识要点
1、对数定义：一般地，如果（）的次幂等于N, 就是，那么数 b叫做以a为底 N的对数，记作 ，其中a叫做对数的 ，N叫做 。
说明：在指数式（）中幂N > 0，∴在对数式中，真数N > 0．
∴负数与零没有 .
2、两种特殊的对数：
（1）常用对数：以10为底的对数（）叫做 ， 记作 .
（2）自然对数：以 为底的对数（）叫做 ， 记作 .
（其中无理数 = 2.71828……）
3、指数式与对数式的互换：
4、常用的对数关系式：
（1）对任意 且 , 都有 ∴.
（2）对任意 且 , 都有 ∴．
（3） ∴ （对数恒等式）．
三、巩固练习
课本练习：P76 1、（2）（4）2、（1）（4）3、（1）（2）（3）（4）
补充练习：
1、指数式的对数式是（ ）
（A） （B） （C） （D）
2、给出四个等式：①；②；③若，则；④若，则。其中正确的是（ ）
（A）①③ （B）②④ （C）①② （D）③④
3、 ＝ ； 若，则 .
4、 ； 若，则 .
一、学习目标
1. 掌握对数的运算性质及其推导.
2. 能运用对数性质进行化简、求值和证明.
二、知识要点
1、对数的运算性质：
（1）如果，那么＝ .
（2）如果，那么＝ .
（3）如果，那么＝ .
2、一些重要结论：（其中）
（1）（换底公式）（） （2）（）
（3） （4）（）
（5）（）
说明：（1） （2）注意以上性质和结论的逆应用.
三、巩固练习
课本练习：P78 1、2、3
补充练习：
1、判断正误：（其中）
（1） （ ） （2）（ ）
（3） （ ） （4） ( )
（5） （ ） （6） （ ）
2、若，给出四个等式：①；②；
③；④。则其中正确的是（ ）
（A）①③ （B）②④ （C）①④ （D）②③(共11张PPT)
3.2.2 对数函数
沈阳二中 数学组
阅读教材Ｐ102－Ｐ104
1、掌握对数函数的概念、图象和性质；
2、体会函数的思想、分类讨论的思想、
数形结合的思想；
自学提纲
（一）对数函数的定义：
函数
叫做对数函数；
其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义。
（二）对数函数的图象和性质
x 0.5 1 2 4 6 8 12
y=log2x -1 0 1 2 2.6 3 3.6
y=log0.5x 1 0 -1 -2 -2.6 -3 -3.6
图象
画出
和
y=log2x 和 y=log0.5x图象关于x轴对称。
由换底公式得
Ⅰ
Ⅱ
Ⅳ
Ⅲ
类比指数函数图象和性质的研究研究对数函数的性质：
思考：底数a是如何影响函数 y=logax的
规律:在第一象限内，自左向右，
图象对应的对数函数的底数逐渐变大.
a>1 0
图
象
性
质 定义域：
值域：
在（0，+∞）上是 函数 在（0，+∞）上是 函数
3．对数函数的性质
（0，+∞）
过点（1，0），即当x=1时，y=0
增
减
例、求下列函数的定义域：
（1）
（2）
例、
解（1）
解（2）
比较下列各组数中两个值的大小：
考查对数函数
（0，+∞）上是增函数，
考查对数函数
（0，+∞）上是减函数，
（1）
（2）
(3)
、
(4)
(3): 当a>1时, 函数y=logax在(0, ＋∞)上是增函数,
且5.1<5.9,所以loga5.1当0且5.1<5.9,所以loga5.1>loga5.9
(4)
(4):
(3)
、
练习：
将
由小到大排列
由指数函数的 单调性可知：
∴
∴从小到大的排列是：
∴
又
解：利用对数函数的单调性可知：
例、求函数
的单调区间和值域
函数
的递增区间是
递减区间是
值域为
例、已知函数
在区间
上是增函数，求
的范围
例、函数
（1）若函数的定义域为
，求
的取值范围.
，求
的取值范围.
（2）若函数的值域为3.2.3指数函数与对数函数的关系
教学目标：知道指数函数与对数函数互为反函数
教学重点：知道指数函数与对数函数互为反函数
教学过程：
复习指数函数、对数函数的概念
反函数的概念：一般地，函数中x是自变量，y是x的函数，设它的定义域为A，值域为C，由可得，如果对于y在C中的任何一个值，通过，x在A中都有唯一的值和它对应，那么就表示x是自变量y的函数。这样的函数叫函数的反函数，记作：。习惯上，用x表示自变量，y表示函数，因此的反函数通常改写成：
注：①明确反函数存在的条件：当一个函数是一一映射时函数有反函数，否则如等均无反函数；
② 与互为反函数。
③的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域
奇函数若有反函数，则反函数仍是奇函数，偶函数若存在反函数，则其定义域为{0}；若函数是增（减）函数，则其反函数是增（减）函数。
求反函数的步骤：由解出，注意由原函数定义域确定单值对应；交换，得；根据的值域，写出的定义域。
例1、求下列函数的反函数：
①
②
③
④
解：略
课堂练习：教材第114页 练习A、B
小结：本节课知道指数函数与对数函数互为反函数
课后作业：略高一数学同步测试——对数函数
一、选择题：
1．的值是 （ ）
A． B．1 C． D．2
2．若log2=0，则x、y、z的大小关系是 （ ）
A．z＜x＜y B．x＜y＜z C．y＜z＜x D．z＜y＜x
3．已知x=+1,则log4(x3－x－6)等于 （ ）
A. B. C.0 D.
4．已知lg2=a，lg3=b，则等于 （ ）
A． B． C． D．
5．已知2 lg(x－2y)=lgx＋lgy，则的值为 （ ）
A．1 B．4 C．1或4 D．4 或
6.函数y=的定义域为 （ ）
A．(，＋∞) B．［1，＋∞ C．( ，1 D．(－∞，1)
7．已知函数y=log (ax2＋2x＋1)的值域为R，则实数a的取值范围是 （ ）
A．a ＞ 1 B．0≤a＜ 1 C．0＜a＜1 D．0≤a≤1
8.已知f(ex)=x，则f(5)等于 （ ）
A．e5 B．5e C．ln5 D．log5e
9．若的图像是 （ ）
A B C D
10．若在区间上是增函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．设集合等于 （ ）
A． B．
C． D．
12．函数的反函数为 （ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：
13．计算：log2.56.25＋lg＋ln＋= ．
14．函数y=log4(x－1)2(x＜1＝的反函数为___ _______．
15．已知m＞1，试比较(lgm)0.9与(lgm)0.8的大小 ．
16．函数y =(logx)2－logx2＋5 在 2≤x≤4时的值域为_____ _ ．
三、解答题：
17．已知y=loga(2－ax)在区间{0，1}上是x的减函数，求a的取值范围．
18．已知函数f(x)=lg[(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1]，若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．
19．已知f(x)=x2＋(lga＋2)x＋lgb，f(－1)=－2，当x∈R时f(x)≥2x恒成立，求实数a的值，并求此时f(x)的最小值？
20．设0＜x＜1，a＞0且a≠1，试比较|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小．
21．已知函数f(x)=loga(a－ax)且a＞1，
（1）求函数的定义域和值域；
（2）讨论f(x)在其定义域上的单调性；
（3）证明函数图象关于y=x对称．
22．在对数函数y=log2x的图象上(如图)，有A、B、C三点，它们的横坐标依次为a、a＋1、a＋2，其中a≥1，求△ABC面积的最大值．
参考答案
一、选择题： ADBCB CDCBA AB
二、填空题：13.，14.y=1－2x(x∈R)， 15. (lgm)0.9≤(lgm)0.8，16.
三、解答题：
17.解析：先求函数定义域：由2－ax＞0，得ax＜2
又a是对数的底数，
∴a＞0且a≠1，∴x＜
由递减区间[0，1]应在定义域内可得＞1，∴a＜2
又2－ax在x∈[0，1]是减函数
∴y=loga(2－ax)在区间[0，1]也是减函数，由复合函数单调性可知：a＞1
∴1＜a＜2
18、解：依题意(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1＞0对一切x∈R恒成立．
当a2－1≠0时，其充要条件是：
解得a＜－1或a＞
又a=－1，f(x)=0满足题意，a=1，不合题意．
所以a的取值范围是：(－∞，－1]∪(，＋∞)
19、解析：由f(－1)=－2 ，得：f(－1)=1－(lga＋2)＋lgb=－2，解之lga－lgb=1，
∴=10，a=10b．
又由x∈R，f(x)≥2x恒成立．知：x2＋(lga＋2)x＋lgb≥2x，即x2＋xlga＋lgb≥0，对x∈R恒成立，
由Δ=lg2a－4lgb≤0，整理得(1＋lgb)2－4lgb≤0
即(lgb－1)2≤0，只有lgb=1，不等式成立．
即b=10，∴a=100．
∴f(x)=x2＋4x＋1=(2＋x)2－3
当x=－2时，f(x) min=－3．
20.解法一：作差法
|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|=| |－||=(|lg(1－x)|－|lg(1＋x)|)
∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1＜1＋x
∴上式=－[(lg(1－x)＋lg(1＋x)]=－·lg(1－x2)
由0＜x＜1，得，lg(1－x2)＜0，∴－·lg(1－x2)＞0，
∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|
解法二：作商法
=|log(1－x)(1＋x)|
∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1＋x，∴|log(1－x)(1＋x)|=－log(1－x)(1＋x)=log(1－x)
由0＜x＜1，∴1＋x＞1，0＜1－x2＜1
∴0＜(1－x)(1＋x)＜1，∴＞1－x＞0
∴0＜log(1－x) ＜log(1－x)(1－x)=1
∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|
解法三：平方后比较大小
∵loga2(1－x)－loga2(1＋x)=[loga(1－x)＋loga(1＋x)][loga(1－x)－loga(1＋x)]
=loga(1－x2)·loga=·lg(1－x2)·lg
∵0＜x＜1，∴0＜1－x2＜1，0＜＜1
∴lg(1－x2)＜0，lg＜0
∴loga2(1－x)＞loga2(1＋x)，即|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|
解法四：分类讨论去掉绝对值
当a＞1时，|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|=－loga(1－x)－loga(1＋x)=－loga(1－x2)
∵0＜1－x＜1＜1＋x，∴0＜1－x2＜1
∴loga(1－x2)＜0，∴－loga(1－x2)＞0
当0＜a＜1时，由0＜x＜1，则有loga(1－x)＞0，loga(1＋x)＜0
∴|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|=|loga(1－x)＋loga(1＋x)|=loga(1－x2)＞0
∴当a＞0且a≠1时，总有|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|
21.解析：(1)定义域为(－∞，1)，值域为(－∞，1)
(2)设1＞x2＞x1
∵a＞1，∴，于是a－＜a－
则loga(a－a)＜loga(a－)
即f(x2)＜f(x1)
∴f(x)在定义域(－∞，1)上是减函数
(3)证明：令y=loga(a－ax)(x＜1)，则a－ax=ay，x=loga(a－ay)
∴f－1(x)=loga(a－ax)(x＜1)
故f(x)的反函数是其自身，得函数f(x)=loga(a－ax)(x＜1＝图象关于y=x对称．
22.
解析：根据已知条件，A、B、C三点坐标分别为(a，log2a)，(a＋1，log2(a＋1))，(a＋2，log2(a＋2))，则△ABC的面积
S=
因为,所以
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y