(共27张PPT)
指数函数
某种细胞分裂时,由一个分裂成两个,两个分裂成四个……
1个细胞分裂x次后得到的细胞个数y与x的函数关系式
y=2x
一般地，函数y=ax (a>0,且a≠1) 叫做指数函数，其中 x是自变量．定义域是R ．
这个函数里，自变量x作为指数，而底数2一个大
于0且不等于1的常量。
定义：
反馈 练习：
1.下列函数是指数函数的是 （ ）
A. Y=(-3)x B. Y=3x+1 C. Y=-3x+1 D. Y=3-x
2.函数 y = ( a2 - 3a + 3) ax 是指数函数，求 a的值.
解：由指数函数 的定义有
a2 - 3a + 3=1
a＞0
a ≠ 1
∴ a = 2
a =1或a = 2
a＞0
a≠1
解得
D
指数函数y=ax (a>0,a≠1) 的图象和性质
当a>1时
例如，我们来画y=2x的图象。
列表
0.13
0.25
0.35
0.5
0.71
1
1.4
2
2.8
4
8
０
x
y
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
5
6
7
8
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x
y
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2
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x
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x
y
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x
y
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x
y
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x
y
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3
4
5
6
7
8
8
4
2.8
2
1.4
1
0.71
0.5
0.35
0.25
0.13
当0
, 即画y=2-x的图象.
例如,我们来画y= ( )x的图象
1
2
０
x
y
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
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6
7
8
8
4
2.8
2
1.4
1
0.71
0.5
0.35
0.25
0.13
０
x
y
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
5
6
7
8
一般地，指数函数 y = ax 在底数 a＞1及0＜ a＜ 1这两种情况下的图象和性质如下表所示
图象
性质
0 ＜a＜ 1
（1） 定义域：R
( 2 ) 值域：（0，+∞）
（3） 过点 （0，1），即 x = 0 时, y = 1
( 4 ) 在R上是增函数
（ 4 ） 在R上是减函数
x
y
o
(0,1)
y =1
y = ax
(a＞1)
x
y
o
(0,1)
y = 1
y = ax
(0＜a ＜ 1)
X>0 则ax>1
x<0 则ax<1
X>0 则ax<1
x<0 则ax>1
a＞1
例 1 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年
剩留的这种物质是原来的84% 。画出这种物质的剩留量
随时间变化的图象，并从图象上求出经过 多少年，剩留
量是原来的一半（结果保留一个有效数字）。0
解：设这种物质最初的质量是1，经过x年，剩留量是y.
经过1年，剩留量 y =1× 84% =0.841 ;
经过2年，剩留量 y = 0.84× 0.84 = 0.842 ;
。 。。。。。。
一般地，经过x年，剩留量
y = 0.84 x
根据这个函数关系可以列表如下：
画出指数函数 y = 0.84x 的图象
从图象上看出 y = 0.5 只需 x ≈ 4.
答：约经过4年，剩留量是原来的一半。
2
1
3
4
5
6
7
o
0.2
0.4
0.6
0.8
1
例题分析
利用指数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小。
解：
（1）考察函数y =1.7x,它在实数集上是增函数
因为a（2）考察函数y =0.8x,它在实数集上是减函数
因为-0.1>-0.2 ,所以
(3)考察函数 ，它在实数集上是减函数
课堂练习：教材99页
1.一般地，函数y=ax (a>0,且a≠1) 叫做指数函数，
其中 x是自变量．定义域是R ．
2.指数函数 y = ax 在底数 a＞1及0＜ a＜ 1这两种情况下的图象和性质表3.1.2指数函数（一）
教学任务：（1）使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；
（2）理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点；
（3）在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等．
教学重点：指数函数的的概念和性质．
教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质．
教学过程：
引入课题
（备选引例）
（合作讨论）人口问题是全球性问题，由于全球人口迅猛增加，已引起全世界关注．世界人口2000年大约是60亿，而且以每年1.3%的增长率增长，按照这种增长速度，到2050年世界人口将达到100多亿，大有“人口爆炸”的趋势．为此，全球范围内敲起了人口警钟，并把每年的7月11日定为“世界人口日”，呼吁各国要控制人口增长．为了控制人口过快增长，许多国家都实行了计划生育．
我国人口问题更为突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策．
按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少倍？
到2050年我国的人口将达到多少？
你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响？
上一节中GDP问题中时间x与GDP值y的对应关系y=1.073x（x∈N*，x≤20）能否构成函数？
一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84%，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？
上面的几个函数有什么共同特征？
新课教学
（一）指数函数的概念
一般地，函数叫做指数函数（exponential function），其中x是自变量，函数的定义域为R．
注意： 指数函数的定义是一个形式定义，要引导学生辨析；
注意指数函数的底数的取值范围，引导学生分析底数为什么不能是负数、零和1．
巩固练习：利用指数函数的定义解决（教材P68例2、3）
（二）指数函数的图象和性质
问题：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？
研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．
研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．
探索研究：
1．在同一坐标系中画出下列函数的图象：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
2．从画出的图象中你能发现函数的图象和函数的图象有什么关系？可否利用的图象画出的图象？
3．从画出的图象（、和）中，你能发现函数的图象与其底数之间有什么样的规律？
4．你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗？
图象特征 函数性质
向x、y轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R
图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数
函数图象都在x轴上方 函数的值域为R+
函数图象都过定点（0，1）
自左向右看，图象逐渐上升 自左向右看，图象逐渐下降 增函数 减函数
在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图象纵坐标都小于1
在第二象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1
图象上升趋势是越来越陡 图象上升趋势是越来越缓 函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快； 函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；
利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[a，b]上，值域是或；
（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；
（3）对于指数函数，总有；
（4）当时，若，则；
（三）典型例题
例1．（教材P66例6）．
解：（略）
问题：你能根据本例说出确定一个指数函数需要几个条件吗？
例2．（教材P66例7）
解：（略）
问题：你能根据本例说明怎样利用指数函数的性质判断两个幂的大小？
说明：规范利用指数函数的性质判断两个幂的大小方法、步骤与格式．
巩固练习：（教材P69习题A组第7题）
归纳小结，强化思想
本节主要学习了指数函数的图象，及利用图象研究函数性质的方法．
作业布置
必做题：教材P69习题2．1（A组） 第5、6、8、12题．
选做题：教材P70习题2．1（B组） 第1题．高一数学同步测试—指数函数
一、选择题：
1．化简［3］的结果为 （ ）
A．5 B． C．－ D．－5
2．化简的结果为 （ ）
A．a16 B．a8 C．a4 D．a2
3．设函数 （ ）
A．(－1，1) B．(－1，＋)
C． D．
4．设，则 （ ）
A．y3＞y1＞y2 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y2＞y3 D．y1＞y3＞y2
5．当x∈［－2，2时，y=3－x－1的值域是 （ ）
A．［－，8］ B．［－，8］ C．(，9) D．［，9］
6．在下列图象中，二次函数y=ax2＋bx＋c与函数y=()x的图象可能是 （ ）
7．已知函数f(x)的定义域是(0，1)，那么f(2x)的定义域是 （ ）
A．(0，1) B．(，1) C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
8．若，则等于 （ ）
A．2－1 B．2－2 C．2＋1 D． ＋1
9．设f(x)满足f(x)＝f(4－x)，且当x＞2 时f(x)是增函数，则a＝f(1.10.9)，b= f(0.91.1)，c＝的大小关系是 （ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a
10．若集合，则M∩P= （ ）
A． B． C． D．
11．若集合S＝{y|y＝3x，x∈R}，T＝{y|y＝x2－1，x∈R}，则S∩T是 （ ）
A．S B．T C． D．有限集
12．下列说法中，正确的是 （ ）
①任取x∈R都有3x＞2x
②当a＞1时，任取x∈R都有ax＞a－x
③y=()－x是增函数
④y=2|x|的最小值为1
⑤在同一坐标系中，y=2x与y=2－x的图象对称于y轴
A．①②④ B．④⑤ C．②③④ D．①⑤
二、填空题：
13．计算： ＝ ．
14．函数在上的最大值与最小值的和为3，则 ．
15．函数y=的值域是_ _______．
16．不等式的解集是 ．
三、解答题：
17．已知函数f(x)=ax＋b的图象过点(1，3)，且它的反函数f－1(x)的图象过(2，0)点，试确定f(x)的解析式．
18．已知求的值．
19．求函数y=3的定义域、值域和单调区间．
20．若函数y=a2x＋b＋1(a＞0且a≠1，b为实数)的图象恒过定点(1，2)，求b的值．
21．设0≤x≤2，求函数y=的最大值和最小值．
22．设是实数，，试证明：对于任意在上为增函数．
参考答案
一、选择题： BCDDA ACADC AB
二、填空题：13.，14.2，15. (0，1) ，16.．
三、解答题：
17.解析： 由已知f(1)=3，即a＋b=3 ①
又反函数f－1(x)的图象过(2，0)点即f(x)的图象过(0，2)点．
即f(0)=2 ∴1＋b=2
∴b=1代入①可得a=2
因此f(x)=2x＋1
18.解析：由可得x＋x－1=7
∵
∴=27
∴ =18，
故原式=2
19.解析：(1)定义域显然为(－∞，＋∞)．
(2)是u的增函数，
当x=1时，ymax=f(1)=81，而y=＞0．
∴．
(3) 当x≤1 时，u=f(x)为增函数， 是u的增函数，
由x↑→u↑→y↑
∴即原函数单调增区间为(－∞，1］；
当x＞1时，u=f(x)为减函数，是u的增函数，
由x↑→u↓→y↓
∴即原函数单调减区间为［1，＋∞.
20.解析：∵x=－时，y=a0＋1=2
∴y=a2x＋b＋1的图象恒过定点(－，2)
∴－=1，即b=－2
21.解析：设2x=t，∵０≤x≤2，∴1≤t≤4
原式化为：y=(t－a)2＋1
当a≤1时，ymin=；
当1＜a≤时，ymin=1，ymax=；
当a≥4时，ymin=．
22.证明：设，则
，
由于指数函数在上是增函数，且，所以即，
又由，得，，∴即，
所以，对于任意在上为增函数．指数函数（学案）
问题情境
问题1：某种细胞分裂时，由1 个分裂成2个，2个分裂成4个，......,依此类推，一个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数y与分裂次数x有怎样的函数关系？ ____________________________
问题2：《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”请你写出截取x次后，木棰剩余量y关于x的函数关系式？__________________
指数函数的定义
一般地，函数 叫指数函数(exponential function),
其中是自变量，函数定义域是。
（思考：为什么规定底数a ＞０且a ≠１呢？）
探究指数函数的性质
学习函数的一般模式（方法）：
解析式（定义）
图像
性质
应用
要研究指数函数的性质，我们就先考虑怎样得到指数函数的图像。请问:要画出函数的图像一般用什么方法？_______________________。
任 务1：在同一直角坐标系画出
第一步：列表求值
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… …
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… …
第二步：描点、连线作图
任 务2：各小组按照下列步骤利用Excel或几何画板探究指数函数的相关性质
（1）在Excel图表里查表求值，并判断
①在Excel图表里改变底数的值为1.7并在左边列表里找出当x=2.5时，y = _____ 当x= 3时， y = _____ 并比较的大小关系。 ②在Excel图表里改变底数的值为0.8并在左边列表里找出当x=-0.1时， y = _____ 当x=-0.2时， y = _____ 并比较的大小关系。
思考：上面两个大小关系，能否不通过查表直接得出？
（2） 在几何画板1里改变底数的若干个不同取值（如下表），观察底数与指数函数的图像特征有什么样的联系？
改变 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ……
2 3 4 0.5 0.33 0.25
观察：①图象在直角坐标系的哪些象限？
______________________________________________________
②图象与坐标轴的相交情况？
______________________________________________________
③图象的上升下降趋势与底数有什么关系？
______________________________________________________
（3）在几何画板2拖动图上面的任意值点或点击动画演示按钮，观察指数函数的图像特征与底数有什么样的联系，并在下面逐条写出你们小组发现的指数函数的其它性质。
_____________________________________________________
_____________________________________________________
_____________________________________________________
任务3：各小组汇报你们组的探究成果。
请各小组派一名代表小结你们小组所得到的结论．请其他小组注意：
认真听取他的发言，并关注他们小组所得到的结果；
请你们对他们的发言作出补充意见，包括数学语言表达的准确性、结论的正确性和完整性。
注意使总结的数学结论条理化，可以采用表格的形式来呈现。
指数函数的图像与性质
底数
图像
定义域
值域
单调性
最值
奇偶性
与坐标轴的交点
其他性质
指数函数的性质的简单应用
例题：比较下列各题中两个值的大小：
方法小结：_________________________________________________
___________________________________________________________
任务4：你能否在下面的直角坐标系迅速画出 、
这四个函数的草图。
小结
利用函数图像研究函数性质是一种直观而形象的方法，记忆指数函数性质时可以联想指数函数的图像。
作业
定义域
值域
单调性
奇偶性
其他
数形结合
思考
这两个函数的图像有何关系？
你能否猜想出一个相关结论？
变化过程中的不变特征就是性质