§2.4.2《求函数零点近似解的一种计算方法——二分法》学案
【学习目标】
①知识目标：掌握二分法求函数零点的一般方法，能借助计算器求函数近似零点。
②能力目标：了解“逼近”这一数学思想，感受体验二分法中的算法思想。
③情感目标：通过合作学习，培养同学们的团结协作的思想品质。
【自主学习】
1、画出函数的图象，并找出它们的零点。
观察上述图象，你发现它们在零点两侧函数值的符号有何不同？
2、请给出变号零点与不变号零点的严格定义：
如果函数图象 ，则称这样的零点为变号零点。
如果函数图象 ，则称这样的零点为不变号零点。
跟踪练习1：函数f（x）的图象如图所示，则该函数变号零点的个数是 个。
【合作探究一】零点存在性的探索：
1、请找出下列函数的零点所在的区间：
① ___________ A B C D
② ___________ A B C D
2、观察下面的函数图象，
该函数在区间(a，b)、 (b，c)、 (a，d)内是否有零点？
观察这三个区间端点函数值f（a）、f（b）、f（c）、、f（d）的符号，你发现 f（a）·f（b）、 f（b）·f（c）、 f（a）·f（d）具有什么共同点？
【归纳总结1】
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，那么在什么条件下，函数y=f(x)在区间（a,b）内一定存在零点？
跟踪练习2：已知函数的图象是不间断的，x、的对应关系见下表，则函数存在零点的区间有（ ）
x 1 2 3 4 5 6
6 5 -3 10 -5 -23
A B C D
思考1：满足上述条件的函数y=f（x）在区间（a，b）上的零点的个数是否唯一？
思考2：若把条件“f（a）·f（b）＜0”改为“f（a）·f（b）＞0”， 函数y=f（x）在区间
（a，b）上是否不存在零点？
思考3：根据条件“f（a）·f（b）＜0”确定地是函数的变号零点还是不变号零点？
【合作探究二】求函数零点近似解的方法的探索：
1、函数在下列哪个区间内有零点 （ ）
A B C D
2、不用求根公式，如何求函数f（x）=x2－2x－1在区间（2,3）上的零点近似值（精确到0.1）？
解：由于f（2）=－1＜0，f（3）=3＞0，可以确定区间[2,3]作为计算的初始区间。
端点或中点横坐标 计算端点或中点的函数值 定区间
a0=2,b0=3 f（2）=－1<0,f（3）=3>0 [2,3]
因为 ，所以 。
【归纳总结2】
回顾上述求解过程，思考以下问题：
⑴求函数f(x)的零点近似解第一步应做什么？
⑵如何缩小零点所在的区间（a，b）？
若f(c)=0说明什么？ 若f(a)·f(c)<0又说明什么？
⑶若给定精确度，如何选取零点近似值？
阅读课本73页，你能总结用二分法求函数零点近似值的步骤吗？试试看！
1、________________________________________________。
2、________________________________________________。
3、________________________________________________。
4、________________________________________________。
【典例示范】
例1 已知函数f（x）=2ax＋1（a≠0）在（0，1）上存在零点，求实数a的取值范围。
例2 用二分法求函数f（x）=8x3－16x＋7在区间（－1，1）上的零点。
【巩固强化】
1、函数f(x)=x3－x－1的一个正零点的存在区间可能是（ ）
A、[0,1] B、[1,2] C、[2,3] D、[3,4]
2、用“二分法”求方程在区间内的实根，完成以下步骤：
第一步：设，计算
第二步：取区间中点为，；
第三步计算 ；
那么下一个有根的区间是 。
【自主归纳】请写出你在这节课的所学、所思、所得。
①请回顾本节课你所学知识内容有哪些？
②所涉及到的主要数学思想又有哪些？
【自我诊断】
1、如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是（ ）
A ① ② B ① ③ C ① ④ D ③ ④
2、设函数y=f（x）在区间[a,b]上的图象是不间断的，且f（a）·f（b）＜0，取x0= ，若
f（a）·f（x0）＜0，则利用二分法求函数零点时，零点所在区间为 。
3、已知函数f（x）=x2＋x＋a（a＜0）在区间（0，1）上有零点，求实数a的取值范围。
【自我诊断】
1、如图所示的函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是（ ）
A ① ② B ① ③ C ① ④ D ③ ④
2、设,用二分法求方程f（x）在区间[2，3]内的实根，取区间中点x0=2.5，那么下一个有根区间是 。
3、已知函数f（x）=mx＋2m－7（m≠0）在区间（－2，5）上有零点，求实数m的取值范围。
高考资源网2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法—二分法 测试题
一、选择题
１．函数ｆ（ｘ）＝－＋４ｘ－４在区间［１，３］上（ ）
Ａ．没有零点 Ｂ．有一个零点 Ｃ．有两个零点 Ｄ． 有无数个零点
２方程在区间［－２，４］上的根必定属于区间（ ）
Ａ．［－２，１］ Ｂ．［２．５，４］ Ｃ．［１，］ Ｄ．［，２．５］
3．下列关于二分法的叙述,正确的是( )
A.用二分法可以求所有函数零点的近似值
B.用二分法求方程近似解时,可以精确到小数点后任一数字
C.二分法无规律可寻,无法在计算机上进行
D.二分法只用于求方程的近似解
4．函数f(x)= 在[0,2]上( )
A.有3个零点 B.有2个零点 C.有1个零点 D.没有个零点
5．函数f(x)=3ax-2a+1在[-1,1]上存在一个零点,则a的取值范围是( )
A.a B.a C. D. .a 或a
6．方程在区间[-2,4]上的根必定属于区间( )
A.[-2,1] B C.[1, D.[
二、填空题
7．函数ｆ（ｘ）＝－５的零点近似值（精确到０．１）是 ．
8．方程－６＝０的近似解（精确到０．０１）是 ．
三、解答题
9．求方程的无理根（精确到０．０１）
参考答案：
一、选择题
１．Ｂ
２．Ｄ
3．Ｂ
4．Ｃ
5．D
6． D
二、填空题
7．２。２
8．２．４５
三、解答题
9．原方程可化为，显然方程的一个有理根为－１，而方程的无理根就是方程的根，令，则只须求函数ｆ（ｘ）的零点即可，又因为ｆ（ｘ）是偶函数，所以只须求出ｆ（ｘ）的一个正零点即可，用二分法求得正零点的近似值为２．８３．因此，原方程的无理根的近似值为２．８３和－２．８３。
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函数的零点的定义：
使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点
复习：
问题1．能否求解以下几个方程
(1) x2-2x-1=0
(2) 2x=4-x
(3) x3+3x-1=0
指出：用配方法可求得方程x2-2x-1=0的解，但此法不能运用于解另外两个方程.
探索新授：
O
x1
x2
x0
x
y
a
b
由图可知：方程x2-2x-1=0
的一个根x1在区间(2,3)内，
另一个根x2在区间(-1,0)内．
x
y
1
2
0
3
y=x2-2x-1
-1
画出y=x2-2x-1的图象(如图)
结论：借助函数 f(x)= x2-2x-1的图象，我们发现 f(2)=-1<0, f(3)=2>0，这表明此函数图象在区间(2, 3)上穿过x轴一次，可得出方程在区间(2,3)上有惟一解.
问题2．不解方程，如何求方程x2-2x-1=0的一个正的近似解（精确到0.1）
思考：如何进一步有效缩小根所在的区间？
由于2.375与2.4375的近似值都为
2.4,停止操作,所求近似解为2.4。
数离形时少直观，形离数时难入微！
2
-
3
+
x
y
1
2
0
3
y=x2-2x-1
-1
2
-
3
+
2.5
+
2.25
-
-
2.375
-
2
-
3
+
2.25
-
2.5
+
2.375
-
2.4375
+
2
-
2.5
+
3
+
2
3
2.5
2
-
3
+
2.5
+
2.25
-
2
2.5
2.25
由于2.375与2.4375的近似值都为2.4,停止操作,所求近似解为2.4。
1．简述上述求方程近似解的过程
x1∈(2,3)
∵ f(2)<0, f(3)>0
x1∈(2,2.5)
∴f(2)<0, f(2.5)>0
x1∈(2.25,2.5)
∴ f(2.25)<0, f(2.5)>0
x1∈(2.375,2.5)
∴ f(2.375)<0, f(2.5)>0
x1∈(2.375,2.4375)
∴ f(2.375)<0, f(2.4375)>0
∵f(2.5)=0.25>0
∵ f(2.25)= -0.4375<0
∵ f(2.375)= -0.2351<0
∵ f(2.4375)= 0.105>0
通过自己的语言表达，有助于对概念、方法的理解!
∵ 2.375与2.4375的近似值都是2.4, ∴x1≈2.4
解：设f (x)=x2-2x-1，x1为其正的零点
对于在区间[a,b]上连续不断，且f(a) ·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两端点逐步逼近零点，进而得到零点(或对应方程的根)近似解的方法叫做二分法．
问题4：二分法实质是什么？
用二分法求方程的近似解，实质上就是通过“取中点”的方法，运用“逼近”思想逐步缩小零点所在的区间。
问题3．如何描述二分法？
例题：利用计算器，求方程2x=4-x的近似解 （精确到0.1）
怎样找到它的解所在的区间呢？
在同一坐标系内画函数 y=2x
与y=4-x的图象（如图）
能否不画图确定根所在的区间？
方程有一个解x0∈(0, 4)
如果画得很准确，可得x0∈(1, 2)
数学运用(应用数学)
解：设函数 f (x)=2x+x-4
则f (x)在R上是增函数∵f (0)= -3<0, f (2)=2>0
∴ f (x)在(0,2)内有惟一零点，
∴方程2x+x-4 =0在(0, 2)内有惟一解x0.
由f (1)= -1<0, f (2)=2>0 得：x0∈(1,2)
由f (1.5)= 0.33>0, f (1)=-1<0 得：x0∈(1,1.5)
由f (1.25)= -0.37<0, f (1.5)>0 得：x0∈(1.25,1.5)
由f (1.375)= -0.031<0, f (1.5)>0 得：x0∈(1.375,1.5)
由 f (1.4375)= 0.146>0, f (1.375)<0 得：
x0∈(1.375,1.4375)
∵ 1.375与1.4375的近似值都是1.4, ∴x0≈1.4
问题5：能否给出二分法求解方程f(x)=0(或
g(x)=h(x))近似解的基本步骤？
1．利用y＝f(x)的图象，或函数赋值法(即验证f (a) f(b)＜0 )，判断近似解所在的区间(a, b).
；
2．“二分”解所在的区间，即取区间(a, b)的中点
3．计算f (x1)：
(1)若f (x1)＝0，则x0＝x1；
(2)若f (a) f(x1)＜0，则令b＝x1 (此时x0∈(a, x1));
(3)若f (a) f(x1)＜0，则令a＝x1 (此时x0∈(x1,b)).
；
4．判断两个区间端点按照给定的精确度所取得近似值是否相同.相同时这个近似值就是所求的近似零点
练习1：
求方程x3+3x-1=0的一个近似解(精确到 0.01)
画y=x3+3x-1的图象比较困难，
变形为x3=1-3x，画两个函数的图象如何？
x
y
1
0
y=1-3x
y=x3
1
有惟一解x0∈(0,1)
练习2:
下列函数的图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求其零点的是 （ ）
C
x
y
0
x
y
0
x
y
0
x
y
0
问题5:根据练习2，请思考利用二分法求函数
零点的条件是什么？
1. 函数y=f (x)在[a,b]上连续不断．
2. y=f (x)满足 f (a) ·f (b)<0，则在(a,b)内必有零点.
思考题
从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查几个接点？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
回顾反思(理解数学)
课堂小结
1.理解二分法是一种求方程近似解的常用方法．
2.能借助计算机(器)用二分法求方程的近似解，体会程序化的思想即算法思想．
3.进一步认识数学来源于生活，又应用于生活．
4.感悟重要的数学思想：等价转化、函数与方程、数形结合、分类讨论以及无限逼近的思想.
作业：
P74 A组1，2，
习题2-4 A组 7
练习 B组1，2函数
2.4.2求函数零点近似解的一种方法——二分法
本节教材分析
一 三维目标
1 知识与能力目标
通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件。
了解二分法是求方程近似解的一种方法，会用二分法求某些具体方程的近似解。
2过程与方法目标
借助计算器用二分法求方程的近似解，让学生充分体验近似的思想、逼近的思想和程序化地处理问题的思想及其重要作用。
3 情感态度与价值观目标
通过探究、展示、交流，养成良好的学习品质，增强合作意识。
（2）通过具体问题体会逼近过程，感受精确与近似的相对统一。体会“近似是普遍的、精确则是特殊的”辩证唯物主义观点。
二 教学重点
二分法原理及其探究过程，用二分法求方程的近似解。
三 教学难点
对二分法原理的探究，对精确度、近似值的理解。
四 教学建议
本节课的本质是让学生体会函数与方程的思想、近似的思想、逼近的思想和初步感受程序化地处理问题的算法思想。所以本节课主要任务是探究二分法基本原理，给出用二分法求方程近似解的基本步骤，使学生学会借助计算器用二分法求给定精确度的方程的近似解。引导学生用联系的观点理解有关内容，通过求方程的近似解感受函数、方程、不等式以及算法等内容的有机结合，使学生体会知识之间的联系。
新课导入设计
导入一：设置情景，提出问题：
问题1： 你会求哪些类型方程的解？
小组讨论有哪些方程不会求解？
并让学生把所提问题归纳并板书到黑板上
问题2：能不能求方程的近似解？
以求方程x3+3x-1=0的近似解（精确度0.1）为例进行探究。引入新课，按照二分法的步骤引导学生探究答案。
导入二：李咏主持的幸运52中猜商品价格环节，让学生思考：
（1）主持人给出高了还是低了的提示有什么作用？
如何猜才能最快猜出商品的价格？
在学生思考回答的过程中逐步引入二分法。
五、教学过程
（一） 设置情景，提出问题
问题1： 你会求哪些类型方程的解？
小组讨论有哪些方程不会求解？
并让学生把所提问题归纳并板书到黑板上
问题2：能不能求方程的近似解？
（二） 互动探究，获得新知
以求方程x3+3x-1=0的近似解（精确度0.1）为例进行探究
探究1：怎样确定解所在的区间？
（1）图像法
（2）试值法 复习： 〈1〉方程的根与函数零点的关系
〈2〉根的存在性定理
探究2：怎样缩小解所在的区间？
李咏主持的幸运52中猜商品价格环节，让学生思考：
（1）主持人给出高了还是低了的提示有什么作用？
（2）如何猜才能最快猜出商品的价格？
问题3：为什么要取中点，好处是什么？
探究3：区间缩小到什么程度满足要求？
问题4： 精确度0.1指的是什么？与精确到0.1一样吗？
二分法的定义：
对于在区间，上连续不断且满足·的函数，
通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点
逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
用二分法求零点近似值的步骤 ：
给定精确度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：
1、确定区间，，验证·，给定精确度；
2、求区间，的中点；
3、计算：
（1）若=， 则就是函数的零点；
（2）若 <， 则令=（此时零点）；
（3）若 <， 则令=（此时零点）；
4、判断是否达到精确度：
即若，则得到零点零点值（或）；否则重复步骤2～4．
（三） 例题剖析，巩固新知
例：借助计算器用二分法求方程lnx+2x-6=0的近似解（精确度0.01）
两人一组，一人用计算器求值，一人记录结果；学生讲解缩小区间的方法和过程，教师点评.同时演示用计算机程序进行计算.
（四） 知识迁移，应用生活
（1）猜商品价格
（2）从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为 个
（五） 检验成果，深化理解
1. 方程4x+2x-11=0的解在下列哪个区间内？你能给出一个满足精确度为0.1的近似解吗？
A (0,1) B (1,2) C (2,3） D (3,4)
说明： 二分法也能求方程的精确解
2. 下列函数的图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是（ ）
思维升华：在零点的附近连续且f(a) f(b)<0
（六） 课堂小结，回顾反思
本节课你学到了哪些知识？
有哪些收获？
六、教学反思
以问题为教学出发点
注重与现实生活中案例相结合
注重学生参与知识的形成过程
恰当地利用现代信息技术
七、课外作业
1． 书面作业 (1) 第92页习题3.1A组3、4、5
(2) 求2x+3x=7的近似解（精确度0.1）
2． 知识链接 第91页阅读与思考“中外历史上的方程求解”．
3． 思考 如图所示在区间，上有多个零点,还能否用二分法求方程
的近似解？
八、板书设计
课题：1、提出问题：2、问题探索 3、例题分析：4、抽象概括：5、练习： 投影：
x
x
y
0
x
y
0
x
y
0
y
0
A B C D
y
x
0
