函数的零点教案设计
一、【教案背景】1、课题：函数的零点2、教材版本：人教B版数学必修（一）第二章2.4.1函数的零点 3、课时：1课时
二、【教材分析】内容分析： 本节课的主要内容有函数零点的概念、函数零点存在性判定定理。函数f(x)的零点,是中学数学的一个重要概念,从函数值与自变量对应的角度看,就是使函数值为0的实数x;从方程的角度看,即为相应方程f（x）=0的实数根，从函数的图形表示看,函数的零点就是函数f(x)与x轴交点的横坐标.函数是中学数学的核心概念，核心的根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机的联系在一起。本节是函数应用的第一课，因此教学时应当站在函数应用的高度，从函数与其他知识的联系的角度来引入较为适宜。学情分析： 本节课从学生熟悉的二次函数与二次方程入手，借助对图象的观察获得二次函数的零点与一元二次方程根的关系，并将这种关系推广到了一般情形．初学者大多不清楚为什么要研究函数的零点，因为在此之前他们都能用公式法直接求方程的根．所以，教学时可首先考虑解决这一问题．通过举例让学生知道，有许多方程都不能用公式法求解，为了研究更多方程的根，就有必要学习函数的零点．如果带着这样的疑问学习，必然会激发其求知欲，从而提高学习的效率．零点知识是陈述性知识，关键不在于学生提出这个概念。而是理解提出零点概念的作用，沟通函数与方程的关系。教学目标：1、知识与技能（1）理解函数（结合二次函数）零点的概念。（2）领会函数零点与相应方程的根的关系，掌握零点存在的判定条件。2、过程与方法（1）通过观察例题的图象，发现函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法。（2）让学生归纳整理本节所学知识。3、情感、态度与价值观在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值，培养学生的观在函数与方程的联系中体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．体验数学内在美,激发学习热情,培养学生创新意识和科学精神。教学重点： 是函数零点的概念及求法教学难点： 是利用函数的零点作图教学方法：以教师为主导，以学生为主体，以能力发展为目标，从学生的认识规律出发进行启发式教学，利用课件，视频等引导学生对问题的思考，运用学生自主学习、小组合作探究的教学方式。教学程序：本课的设计内容分为以下几个部分：知识链接，温故知新（一）、课前延伸 情景导引，体验概念自主学习，了解概念收集问题，把握学情创设情境，导入新课合作探究，形成概念点拨指导，理解概念（二）、课内探究 典例剖析，应用概念变式拓展，深化概念自主整理，归纳总结当堂检测，诊断反馈 作业反馈，巩固训练（三）、课后提升自主选择，深化提高
三、【教学过程】（一）、课前延伸1、知识链接，温故知新求方程x2－2x－3＝0的实数根，并画出函数y＝x2－2x－3的图象。通过学生熟悉一元二次方程入手，观察函数图像与x轴的交点与相应方程根的关系，让学生建立数型结合的思想。（用投影仪展示函数图象）2、情景导引，体验概念探究一元二次方程的根与相应二次函数图象与x轴交点的关系？（师用投影仪展示表格，学生完成，然后针对搜索的答案比较，纠错） Δ>0Δ=0Δ<0 二次函数的图像图像与x轴交点个数方程根的个数说明：通过完成以上两个题目,让学生从具体到一般函数图像与x轴交点与相应方程根的关系。这一环节是为学生课内探究学习作好铺垫，使用方法是课前发下去，学生自己解答，上课后教师根据学生的反馈情况给予讲解。3、自主学习，了解概念自学课本第70页，通过二次函数的图像与x轴的交点与相应方程根的关系了解函数的零点的概念。（师用投影仪展示图像，学生回答概念）4、收集问题，把握学情通过预习，引导学生通过自学，找出那些问题已经掌握，那些问题还有疑惑，有待教师解答。教师通过收集学生的预习学案，批阅之后发现学生存在的问题，以便准确的把握学情，作为课堂教学的重要依据。(二)、课内探究1、创设情境，导入新课实际问题情境：在体育测试时，高一的一名男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如图所示，如果这个男同学的出手处A点的坐标(0，2)，铅球路线的最高处B点的坐标为(6，5) (1)求这个二次函数的解析式； (2)该男同学把铅球推出去多远？说明：学生经过思考，得到结论：要求二次函数与x轴的交点坐标，只要令y=0,解出相应方程的根即可。合作探究，形成概念问题1：课本第70页，通过画二次函数的图像,了解当y=0,y>0,y<0相应x的取值（学生回答），初步了解函数零点的概念。问题2：通过预习案中二次函数图像表格中，让学生说出对应二次函数零点,进一步了解零点概念。小组合作探究,由学生回答做法，教师作一下点拨,结合二次函数的图像,推广到一般函数零点的定义：一般的，如果函数y=f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)=0,则 α叫做这个函数的零点。在坐标系中表示图像与x轴的公共点(α,0)点。3、点拨指导，理解概念 通过对以上函数的零点的求解，可以得到结论：函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0实数根，亦即函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标．函数零点的个数即相应方程实数根的个数，也就是函数图像与x轴的交点个数。它们之间存在以下关系： SHAPE \* MERGEFORMAT 有了上述的等价关系，我们就可用函数的观点看待方程，方程的根即函数的零点，可以把解方程的问题互化为思考函数图象与x轴的交点问题。这正是函数与方程思想的基础。问题3：说明：通过对以上问题的思考与探究，让学生了解函数零点的概念及性质，但要注意图像在经过零点时，有时穿过x轴，有时不穿过。教师要及时给于总结。点明二重零点的定义。教材仅作了解，不深处研究，但它们都是相应方程的根。4、典例剖析，应用概念问题4：求下列函数的零点,并画出下列函数的简图。①②③④（师用展示台展示学生的作图，指出优缺点）说明：求函数零点，体现函数与方程互相转化的思想。求②的零点时，学生在解方程时发现有两个相等的根，那对于函数的零点是一个是两个那？学生出现疑惑。这是教师要声音洪亮，中速提出：“方程的根与函数零点个数是相同的。大家看前面二次函数的图像表格中间一列。”对于三次方程的求法，要注意能否因式分解。可以利用计算器或计算机准确地作出其图象，理解函数零点的概念。也可以通过画简图，了解图像的变化形式。要注意体现零点性质的应用。为以后学习高次不等式穿根法奠定基础。5、变式拓展，深化概念问题5：一元二次方程有没有实根 学生小组合作探讨，3分钟后举手抢答。说明:通过小组合作探究，体现集体的智慧。对回答积极的小组及时表扬鼓励。对本节课重要知识点---函数零点概念与相应方程根的关系进行更深层的理解。体现“数型结合”,“函数与方程”思想.问题6：思考:若一个函数图像在区间[a，b]上是连续的，在什么情况下，图像在区间(a，b)内肯定与x轴有交点呢？让学生自己任意画几个函数图象验证自己的猜想.小组讨论后，派代表发言得到的结论，教师整理后得到函数零点的存在性定理：（投影仪展示一下内容）如果函数在区间上的图像是不间断的一条曲线，并且有在它的两端点处的函数值异号，即，那么函数在区间内有零点，即存在使得这个c也就是方程的根。教师给出这个定理，课后学生还需多画图，讨论定理逆命题的真假，加深对定理的理解及应用。6、自主整理，归纳总结说明:这个环节,学生主动总结本节课学到的知识,将本节课所讲的知识点系统整理，为后面的函数零点的应用奠定基础.
7、当堂检测，诊断反馈（1）.已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表，则函数在哪几个区间内有零点？x -2 -1 0 1 2f(x) -1 1 -1 1 -1(2).判断下列命题的真假：①只要函数与x轴相交，则相应方程一定有实数根。（ ）②只要方程有实数根，则相对应的函数一定与x轴相交。且根的个数与交点个数相同。（ ）*③若函数f（x）在区间[a，b]上是连续的，且满足f(a)f(b)<0,则函数f(x)在[a,b]上恰有一个零点。（ ）*④若连续函数f(x)在[a,b]上有一个零点,则一定有f(a)f(b)<0。（ ）(带*表示选做)(3).在二次函数中，ac<0,则其零点的个数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D.不存在(4).若f（x）=（x-1）2 +1，则y=f（x）-1的零点个数（ ）A. 0 B.1 C.0或1 D. 不确定(5). 求函数 的零点，并作出它的简图。说明:本环节用时8分钟,考完后小组互换,立即批改.发现问题立即纠正,再通过课后作业加以巩固.教师鼓励表扬:根据各小组的课堂表现颁奖-----满分卷奖、主动提问奖、问题探讨全面奖。
（三）、课后提升1、作业反馈，训练巩固2、自主选择，深化提高（自主选择）
四、【教学反思】本教案已用于实际教学，反思整节课，我有以下感受：（一）思得方程的根与函数的零点是高中课程标准新增的内容，借助多媒体手段来辅助教学，比较成功，借助多媒体、网络搜索应用，通过学生熟悉的一元二次函数入手，体现函数零点与相应方程根的关系，并进行了推广；通过学生的自主探讨、充分发表意见，解决了函数零点的存在性问题，激发学生的学习兴趣，提高了课堂效率；同时又培养了学生的自学能力、协作互助能力，以及分析问题、解决问题的能力。（二）思失证明函数在某个区间内只有一个零点，是一个从图象的直观到抽象的代数证明的理性思维过程。该节课只从图象直观来认识，没有用函数单调性定义证明，若选用一个具体的函数进行证明的话，人事会更深刻。（三）思改用教科书中的例子“方程x2－2x－3＝0是否有实根”？引入新课，学生的反应都很平淡，课后学生认为，大家对如何解一元二次方程早就熟练了，老师没必要再问那么简单的问题了。以后再教授该内容是时精良选用用已学方法不能求解的方程，激发学生的学习积极性，并让其认识到学习函数的零点的必要性。
x0是方程f(x)=0的实根2.4.1 函数的零点 测试题
一、选择题u
１．函数ｆ（ｘ）＝ｘ－的零点是（ ）
Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．无数个
２．函数ｆ（ｘ）＝的零点是（ ）
Ａ． １，２，３ Ｂ．－１，１，２ Ｃ．０，１，２ Ｄ．－１，１，－２
３．若函数ｆ（Ｘ）在［０，４］上的图像是连续的，且方程ｆ（ｘ）＝０在（０，４）内仅有一个实数根，则发ｆ（０）ｆ（４）的值（ ）
Ａ．大于０ Ｂ．小于０ Ｃ．等于０ Ｄ．无法判断
４．若函数ｆ（ｘ）＝ｍ＋８ｍｘ＋２１，当ｆ（ｘ）＜０时－７＜ｘ＜－１，则实数ｍ的值为（ ）
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４
５．ｆ（ｘ）＝，方程ｆ（４ｘ）＝ｘ的根是（ ）
Ａ．－２ Ｂ．２ Ｃ．－０．５ Ｄ．０．５
6．设函数)f(x)= 在[-1,1]上为增函数,且,则方程f(x)在[-1,1]内
A .可能有3个实数根 B .可能有2个实数根
C. 有唯一的实数根 D .没有实数根
7．设f(x) = ，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是 （ ）
A．[0，1] B．[1，2] C．[－2，－1] D．[－1，0]
8．给出下列三个函数的图象；07徐州三练） 3．方程2x+x-4=O的解所在区间为
A．(-1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3)
9.已知函数y=f(x)在定义域内是单调函数,则方程f(x)=c(c为常数)的解的情况( )
A.有且只有一个解 B.至少有一个解
C.至多有一个解 D.可能无解,可能有一个或多个解
二、填空题：
10．关于ｘ的方程２ｋ－２ｘ－３ｋ＝０的两根一个大于１，一个小于１，则实数的取值范围 ．
11．若函数ｆ（ｘ）＝－ａｘ－ｂ的两个零点时２和３，则函数ｇ（ｘ）＝ｂ－ａｘ－１的零点 ．
三、解答题
12．已知函数ｆ（ｘ）＝２（ｍ－１）－４ｍｘ＋２ｍ－１
（１）ｍ为何值时，函数图像与ｘ轴有一个公共点．
（２）如果函数的一个零点为２，求ｍ的值．
13．已知二次函数f（x）=a+bx（ａ，ｂ是常数且ａ０）满足条件：ｆ（２）＝０．方程有等根
（１）求f（x）的解析式；
（２）问：是否存在实数ｍ，ｎ使得ｆ（ｘ）定义域和值域分别为［ｍ，ｎ］和［２ｍ，２ｎ］，如存在，求出ｍ，ｎ的值；如不存在，说明理由．
参考答案：
一、选择题
1． Ｃ
２．Ｂ
３．Ｄ
４．Ｃ
５．Ｄ
6． C
7． A
8． C
9． C
二、填空题：
10．ｋ＞０或ｋ＜－４
12．
三、解答题
13．解：（１）由条件知；Δ＝－８（ｍ－１）（２ｍ－１）又Δ＞０ 即ｍ＞ 所以函数与ｘ轴有两个交点
（２）函数一个零点在原点即ｘ＝０为其方程的一个根，有２（ｍ－１）－４ｍ＋２ｍ－１＝０ｍ＝０．５
14．（１）由ｆ（２）＝０得：４ａ＋２ｂ＝０，方程ｆ（ｘ）＝ｘ即a+（b－１）x＝０．
有等根Δ＝＝０，
解方程组，得，ｆ（ｘ）＝－＋ｘ
（２）ｆ（ｘ）＝－＋ｘ＝－
２ｎ ， ｎ函数ｆ（ｘ）在［ｍ，ｎ］上是增函数
，解得ｍ＝２，ｎ＝０
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复习回顾：
(1)一元二次方程是否有实根的判定方法.
(2)二次函数的顶点坐标，对称轴方程。
一：利用一元二次方程根的判别式
△＞0,二次方程有两个不同的实数根
△=0，二次方程有两个相同的实数根
△＜0，二次方程没有实数根
二：二次函数
顶点坐标为( , )
对称轴为
观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的二次函数的图象：
一元二次方程 方程的根 二次函数 图象与x轴的交点
x2-2x-3=0
y=x2-2x-3
x2-2x+1=0 y=x2-2x+1
x2-2x+3=0
y=x2-2x+3
x= 3或x=-1
（-1，0）
（3，0）
x=1
（1，0）
无实数根
无交点
△=b2-4ac ax2+bx+c=0的根 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点
△>0
△=0
△<0
一般一元二次方程与相应二次函数的关系
（x1,0），（x2，0）
x1=x2
（x1，0）
无实根
无交点
x1,x2
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
函数零点的定义：
注意：
零点指的是一个实数；
零点是一个点吗
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
△=b2-4ac ax2+bx+c=0的根 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点
△>0
△=0
△<0
二次函数零点的个数
两个零点
两个相等的实根
二重零点
无实根
无零点
两个不相等的实根
0
1
2
3
4
5
-1
-2
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
x
y
探究
（1）当函数的图像通过零点且穿过x轴时，函数值变号。
（2）两个零点把x轴分为三个区间。
可以推广到任意函数，只要它的图像是连续的，上述性质同样成立。
例1：判断函数零点的个数
答案（1）两个 （2）一个
（1）可直接解方程（2）可解方程也可数形结合
互动探究
例2：求函数的零点
答案（1）1和-1 （2）-3和
变式训练：
思考与讨论 ：如何求函数的零点？
规律方法：由于函数的零点是对应方程的根，所以求函数的零点就是解与函数相对应的方程，一元二次方程可用求根公式，简单的高次方程可用因式分解去求。
例3、求函数y=x3-2x2-x+2的零点，并画出它的图像。
解：因为
x3-2x2-x+2=x2(x-2)-(x-2)
=(x-2)(x2-1)
=(x-2)(x-1)(x+1)
所以已知函数的零点为-1，1，2.
3个零点把x轴分成4个区间：
（-∞，-1）（-1，1）（1，2）（2，+ ∞ ）
x
y
0
2
-2
2
当堂检测
课本练习A
本堂小结：
一：函数零点的概念
二：函数零点与方程根的关系
三：求函数的零点及判断零点的个数2.4 函数的零点 学案
【预习要点及要求】
１．理解函数零点的概念。
２．会判定二次函数零点的个数。
３．会求函数的零点。
４．掌握函数零点的性质。
5．能结合二次函数图象判断一元二次方程式根存在性及根的个数。
6．理解函数零点与方程式根的关系。
7．会用零点性质解决实际问题。
【知识再现】
１．如何判一元二次方程式实根个数？
２．二次函数顶点坐标，对称轴分别是什么？
【概念探究】
阅读课本70——71页完成下列问题
１．已知函数， ＝０， ＜０， ＞０。
叫做函数的零点。
２．请你写出零点的定义。
３．如何求函数的零点？
４．函数的零点与图像什么关系？
【例题解析】
１．阅读课本71页完成例题。
例：求函数的零点，并画出它的图象。
２．由上例函数值大于０，小于０，等于０时自变量取值范围分别是什么？
３．请思考求函数零点对作函数简图有什么作用？
４．完成72练习Ｂ1、２
【总结点拨】
对概念理解及对例题的解释
１．不是所有函数都有零点
２．二次函数零点个数的判定转化为二次方程实根的个数的判定。
３．函数零点有变量零点和不变量零点。
４．求三次函数零点，关键是正确的因式分解，作图像可先由零点分析出函数值的正负变化情况，再适当取点作出图像。
【例题讲解】
例１．函数仅有一个零点，求实数的取值范围。
例２．函数零点所在大致区间是（ ）
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
例3.关于的二次方程，若方程式有两根，其中一根在区间内，另一根在(1,2)内，求的范围。
参考答案：
例1.解：①若为一次函数，易知函数仅有一个零点。
②若为二次函数，仅有一个实根，△＝1+4
综上：或时，函数仅有一个零点。
例2.C
例3.解：由题意知
【当堂练习】
１．下列函数中在［１，２］上有零点的是（ ）
A. B.
C. D.
２．若方程在(0,1)内恰有一个实根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
３．函数，若，则在上零点的个数为（ ）
A.至多有一个 B.有一个或两个 C.有且只有一个 D.一个也没有
４．已知函数是Ｒ上的奇函数，其零点，……，则＝ 。
５．一次函数在［０，１］无零点，则取值范围为 。
６．函数有两个零点，且都大于２，求的取值范围。
参考答案：
1.D
2.B
3.C
4.0
5.
6.解
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