2.3 函数的应用（1）测试题
一、选择题
1．一等腰三角形的周长是２０，底边ｙ是关于腰长ｘ的函数，它的解析式为（ ）
Ａ．ｙ＝２０－２ｘ（ｘ１０） Ｂ．ｙ＝２０－２ｘ（ｘ＜１０）
Ｃ．ｙ＝２０－２ｘ（５） Ｄ．ｙ＝２０－２ｘ（５＜ｘ＜１０）
２．已知Ａ，Ｂ两地相距１５０千米，某人开汽车以６０千米／小时的速度从A地到达B地,在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地,把汽车离开A地的距离表示为时间t的函数,表达式是( )
A．ｘ＝６０ｔ Ｂ．ｘ＝６０ｔ＋５０ｔ
ｃ．ｘ＝
Ｄ．ｘ＝
3．一根弹簧，挂重１００Ｎ的重物时，弹簧伸长２０ｃｍ，当挂重１５０Ｎ的重物时，弹簧伸长（ ）
Ａ．３ｃｍ ｂ．１５ｃｍ ｃ．２５ｃｍ Ｄ．３０ｃｍ
4．用长度为２４米的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为（ ）
Ａ．３ｃｍ Ｂ．４ｃｍ Ｃ．６ｃｍ Ｄ．１２ｃｍ
5．某产品的总成本ｙ（万元）与产量ｘ（台）之间的函数关系是ｙ＝３０００＋２０Ｘ－０．１（０＜ｘ＜２４０，ｘＮ），若每台产品的售价为２５万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是（ ）
Ａ．１００台 Ｂ．１２０台 Ｃ．１５０台 Ｄ．１８０台
6．某商场出售一种产品，每天可卖１０００件，每件可获利４元，根据经验，若每件少买１角，则每天可多买１００件，为获得最好的经济效益，每件应减价（ ）
Ａ．１．５元 Ｂ．２元 Ｃ．３元 Ｄ．２．５元
二、填空题
7．一个水池每小时注入水量是全池的１／１０，水池还没注水部分的总量ｙ随时间ｔ变化的关系式是 ．
8．用一根长１２米的铁丝弯成一个矩形的框架，则框架的最大面积是 ．
9．某农场种植西红柿，由历年市场行情得知，从２月１日起的３００天内，西红柿市场售价与上市时间的关系可用如图表示．写出市场售价与时间的函数关系式 ．
10．从盛满２０Ｌ纯酒精的容器里到倒出１Ｌ酒精，然后用水填满，再倒出１Ｌ混合溶液，再用水填满，这样继续下去，如果倒出第ｋ（ｋ）次时，共倒出纯酒精ｘＬ，倒第Ｋ＋１次时共倒出酒精ｆ（ｘ）Ｌ，则ｆ（ｘ）的表达式为（假设酒精与水混合后相对体积不变） ．
11．某商人将彩电先按原价提高４０％，然后在广告上写上＂大酬宾，八折优惠＂结果是每台彩电比原价多赚了２７０元，那么每台彩电原价是 元
三、解答题
12。商店出售茶壶和茶杯，茶壶定价每个20元，茶杯每个5元，该商店推出两种优惠办法：（1）买一个茶壶赠一个茶杯；（２）按总价的９２％付款．
某顾客需购买茶壶４个，茶杯若干个（不少于４个），若购买茶杯数ｘ个，付款ｙ（元），分别建立两种优惠办法中ｙ与ｘ之间的函数关系式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法哪一种更优惠。
13．某厂生产某种零件，每个零件的成本为４０元，出厂单价６０元，该厂为鼓励销售商订购。决定当一次订购超过１００个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低０．０２元，但实际出厂价不低于５１元．
（１）当一次订购量为多少时，零件的实际出厂单价降为５１元？
（２）当一次订购量为ｘ个，零件的实际出厂单价为ｐ元，写出函数ｐ＝ｆ（ｘ）的表达式．
（３）当销售商一次订购５００个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购１０００个，利润又是多少？
参考答案 ：
一、选择题
１．Ｄ
２．Ｃ
3．Ｄ
4．Ａ
5．Ｃ．
6．Ａ
二、填空题
7．ｙ＝１－ （０）
8．９平方米
9．ｙ＝
10．ｆ（ｘ）＝ｘ
11．２２５０
三、解答题
12．解：由优惠办法（１）可得函数关系为
＝２０４＋５（ｘ－４）＝５ｘ＋６０（ｘ４，且ｘＮ）；
由优惠办法（２）可得＝（５ｘ＋２０４）９２％＝４．６ｘ＋７３．６（ｘ４，且ｘＮ）
－＝０．４ｘ－１３．６（ｘ４，且ｘＮ），令－＝０，得ｘ＝３４．所以，当购买３４只茶杯时，两法付款相同．
当４ｘ＜３４时， ＜优惠办法（１）省钱，
当ｘ３４时， ＜，优惠办法（２）省钱．
13．解：（１）设每个零件的实际出厂价恰好降为５１元时，一次定购量为个，则＝１００＋＝５５０个
因此，当一次定购量为５５０个，每个零件的实际出厂价恰好降为５１元．
（２）当０＜ｘ１００时，ｐ＝６０，
当１００＜ｘ＜５５０时，ｐ＝６０－０．０２（ｘ－１００）＝６２－
当ｘ５５０时，ｐ＝５１．
ｐ＝ｆ（ｘ）＝
（３）设销售商的一次定购量为ｘ个时，工厂获得利润为Ｌ元，
则ｌ＝（ｐ－４０）ｘ＝
当Ｘ＝５５０时，Ｌ＝６０００；当Ｘ＝１０００时，Ｌ＝１１０００．
因此，当销售商的一次定购５００个零件时，该厂获得的利润是６０００元；如果订购１０００个，利润是１１０００元．
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www.2.3 函数的应用（一）学案
【预习达标】
1．形如f（x）= 叫一次函数，当 为增函数；当为减函数。
2．二次函数的解析式三种常见形式为 ；
； 。
3．f（x）=a+bx+c（a0），当a 0,其图象开口向 ，函数有最 值,为 ；
当a 0, 其图象开口向 ，函数有最 值,为 。（当给定一区间的二次函数的最值问题怎样考虑？）
4． f（x）=a+bx+c（a0）当a>0时,增区间为 ；减区间为 ．
【典例解析】
例１．《民共和国个人所得税法》十四条中有表：
个人所得税税率表(工资 / 薪金所得使用)
级数 全月应纳税所得额 税率(%)
1 不超过500元 5
2 超过500元至2000元的部分 10
3 超过2000元至5000元的部分 15
4 超过5000元至20000元的部分 20
5 超过20000元至40000元的部分 25
6 超过40000元至60000元的部分 30
7 超过60000元至80000元的部分 35
8 超过80000元至100000元的部分 40
9 超过100000元的部分 45
目前,上表中＂全月应纳税所得额＂是从工资 薪金收入中减去８００元后的余额．如，某人月工资薪金收入１３２０元，减去８００元，应纳税所得额为５２０元，由税率表知其中５００元税率为５％，另２０元的税率为１０％，所以此人应纳个人所得税５００＝２７元．
请写出月工资薪金的个人所得税ｙ关于工资薪金收入ｘ（０＜ｘ１００００）的函数表达式；
某人在某月交纳的个人所得税是１２０元，他那个月的工资薪金收入是多少？
例２：渔场中鱼群的最大养殖量是ｍ吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量。已知鱼群的年增长量ｙ吨和实际养殖量ｘ吨与空闲率乘积成正比，比例系数为ｋ（ｋ＞０）．
写出ｙ关于ｘ的函数关系式，指出这个函数的定义域；
求鱼群年增长量的最大值；
当鱼群的年增长量达到最大值时，求ｋ的取值范围．
例３：某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为１万元／辆，出厂价为１．２万元／辆，年销量为1000。为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为ｘ（０＜ｘ＜１＝，则出厂价相应的提高比例为０．７５ｘ，同时预计年销售量增加的比例为0.６，利润＝（出厂价－投入成本）年销售量。
写出本年度预计的年利润ｙ与投入成本增加的比例ｘ的关系式；
为使本年度的年利润比上年有说增加，问投入成本增加的比例ｘ应在什么范围？
【当堂练习】
１．某种电热水器的水箱盛满水时２００升，加热到一定温度即可浴用，浴用前，已知每分钟放水３４升，在放水的同时按毫升／秒２的匀加速自动注水（即分钟自动注水升）当水箱内的水达到最小值时，放水过程自动停止．现假定每人洗浴用量为６５升，则该热水器一次至多可供多少人洗浴（ ）
Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．５ Ｄ．６
２．拟定从甲地到乙地通话ｍ分钟的电话费由ｆ（ｍ）＝１．０６（０．５［ｍ］＋１） （元）决定，其中ｍ＞０，［ｍ］是大于或等于ｍ的最小整数，则从甲地到乙地通话时间为５．５分钟的电话费为（ ）
Ａ．3.71元 Ｂ．3.97元 Ｃ．4.24元 Ｄ．4.77元
３．在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得ｎ次测量分别得到，某ｎ个数据，我们规定所测物理量的＂最佳近似值＂ａ是这样一个量：ａ与其它近似值相比较，与各数据的差的平方和最小，依次规定，从推出的ａ＝ ．
４．甲乙两地相距ｓ千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过ｃ千米／小时，已知汽车每小时的运输成本（单位：元）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度ｖ的平方成正比，其系数为ｂ，固定部分为ａ元，为了使全程运输成本最低，汽车应以多大速度行驶？
5、（12分）某种商品现在定价每年p元，每月卖出n件，因而现在每月售货总金额np元，设定价上涨x成（1成＝10%），卖出数量减少y成，售货总金额变成现在的z倍．
（1）用x和y表示z；（2）若y＝x，求使售货总金额有所增加的x值的范围．
参考答案：
【预习达标】 １．ｋｘ＋ｂ（ｋ０）；ｋ＞０；ｋ＜０．
２．ｆ（ｘ）＝ａ＋ｂｘ＋ｃ；ｆ（ｘ）＝ａ＋ｋ；ｆ（ｘ）＝ａ（ｘ－ （ａ０）３．＞，上，小；＜，下，大． ４．［－＋；（－，－）
【典例解析】
例1、解析：（1）应纳税所得额为全月工资薪金总收入x-800元.
所以得：ｙ＝
（2）当ｙ＝１２０时，ｙ应归为：当ｘ（１８００，２８００）时，ｙ＝２５＋（ｘ－１３００）１０％
２５＋（ｘ－１３００）１０％＝１２０
ｘ＝９５０＋１３００＝２２５０（元）
评析：求分段函数的解析式关键在自变量按什么意义分段的．本题若设应纳税所得额为ｘ，求应纳税额ｆ（ｘ）随应纳税所得额ｘ的函数关系是什么？
例2、解：（１）因鱼群最大养殖量为ｍ吨，实际养殖量为ｍ吨，则空闲量为（ｍ－ｘ） 吨，空闲率为，依题意，鱼群增长量为ｙ＝ｋｘ（１－）定义域为（０＜ｘ＜ｍ）
（２）当ｘ＝ｍ／２时，即鱼群年增长量的最大值为．
（３）由于实际养殖量和年增长量之和小于最大养殖量，有０＜ｘ＋ｙ＜ｍ成立，即０＜，得－２＜ｋ＜２，但ｋ＞０，０＜ｋ＜２．
评析：由于是二次函数，处理最值问题时可依二次函数求最值得方法来求，而实际养殖量和年增长量之和小于最大养殖量应是常识，在阅读题意时要得到这个隐含条件．
例3、（１）由题意得：ｙ＝［１．２］整理得ｙ＝－６０．
（2）要保证本年度的利润比上年度与所增加，当且仅当
即解不等式，得０＜ｘ＜
答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例应满足０＜ｘ＜．
评析：建立模型后在用一元二次函数知识处理问题．
【当堂练习】
１．Ｂ ２．Ｃ ３．
４．解：成本：ｙ＝ｓ（＋ｂｖ），ｖ（０，ｃ，即为求ｆ（ｖ）＝
ｓ（＋ｂｖ）＝ｓｂ（ｖ＋）在（０，ｃ）上的最小值．
有定义易证得ｆ（ｖ）在（０，）上递减，在［，＋）上递增，需讨论ｃ和的大小．
当ｃ时，＝ｆ（ｃ），此时ｖ＝ｃ；当ｃ时，＝ｆ（），此时ｖ＝．
5. 解：（1）npz＝p（1＋）·n（1－）
∴z＝
（2）当y＝x时，z＝
由z＞1，得＞1
x（x－5）＜0，∴0＜x＜5。
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2.3函数的应用(1)
沈阳二中
一.教学目标
一.教学目标
1.知识目标:初步掌握一次和二次函数模型的应用,会解决较简单的实际应用问题.
2.能力目标:尝试运用一次和二次函数模型解决实际问题,提高学生的数学建模能力.
3.情感目标:了解数学知识来源于生活,又服务于实际,从而培养学生的应用意识,提高学习数学的兴趣.
二.教学重点、难点
一次和二次函数模型的应用是本节的重点,数学建模是本节的难点.
1.自学提纲
(1)阅读书上P65-66例1、例２
(2)归纳解答应用题的步骤
例1.某列火车从北京西站开往石家庄,全程277 km, 火车出发10min 开出13km后,以120km/h匀速行驶.试写出火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的关系,并求离开北京2h时火车行驶的路程.
解:因为火车匀速运动的时间为(277-13)
÷120= (h), 所以0≤t≤
s=13+120t (0≤t≤ ).
离开北京2h时火车行驶的路程s=13+120×
=233(km)
(2)总结解题步骤:
1.读题,找关键点;
2.抽象成数学模型;
3.求出数学模型的解;
4.做答.
“神舟”五号飞船由椭圆形轨道变为以地球球心为
圆心的圆形轨道，绕地球一周的时间为90分钟.
1、 试把飞船沿圆形轨道飞行的离地高度表示为速度大小的函数.（地球半径为6327km）.
2 、为使飞船顺利回收,离地高度应为343km，试求飞船飞行速度的大小。
h
1.解：设飞行速度为v km/s，离地
高度为h km
由题意得:
h
答：飞船的飞行速度为7.76km/s.
2.解:由 得:
h
1.解：设飞行速度为v km/S，离地
高度为h km
由题意得:
寻找函数关系
设立适当变量
解决数学问题
回归验证作答
答：飞船的飞行速度为7.76km/s.
2.解:由 得:
小
结
函数应用题的解题步骤可以用下面的框图表示:
数学模型的解
实际应用问题
数学模型
实际问题的解
抽象概括
还原说明
推理演算
练习:某单位计划用围墙围出一块矩形场地,现有材料可筑墙的总长度为L,如果要使围墙围出的场地面积最大,问矩形的长、宽各等于多少？
解：设矩形的长为Ｘ（０＜Ｘ＜ ），则
宽为 ，从而矩形的面积为
Ｓ＝
＝
＝
当 时Ｓ取得最大值，
这时矩形的宽为
即这个矩形是边长等于 的正方形时，所围出
的面积最大。
作业P68习题A3.4.5
函数的应用(2)
自学提纲
１：阅读教材第６６－６７页例4
２：想一想解决实际问题的步骤
●提出问题 收集数据 整理、分析数据
●建立函数模型 解决问题 代入检验，
然后作出散点图,观察散点图的形状,是
选择函数模型的基础,确定函数模型后,
需要检验,如果误差较大,就要修正得到
的函数模型.
练习:1.某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起300天内,西红柿市场售价与上市时间的关系用(1)的一条折线表示;西红柿种植成本与上市时间的关系用(2)的抛物线段表示.
(1)写出图(1)表示的市场售价与时间的函数关系式P=
写出图(2)表示的种植成本与时间的函数关系式Q=
2200
100
200
300
100
200
300
300
200
150
100
50
50
150
300
(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大
(注:市场售价和种植成本的单位:元/100Kg,
时间单位:天)
成才练习册P81页
解(1)
设
将 代入得
(2)设纯收入为Y元,当 时
答：从二月 一日起第50天 上市 的西红柿纯收益最大。
如图,有一座抛物线型拱桥,桥下面在正常水位AB时宽度20m,水位上升3m就达到警戒线CD,这时水面宽度为10m.
(1)在如图的坐标系中,求抛物线的解析式;
(2)若洪水来到时,水速0.2m/h以的速度上升,从警戒线开始,再
持续多少小时就能到达桥顶
参见＜成才之路＞Ｐ８２例７
作业P69习题B 1.2.4
