二次函数y=ax2+bx+c的图象
一、教学目标
（一）知识教学点：1．使学生掌握抛物线y=a（x-h）2+k的对称轴与顶点坐标．2．使学生会用配方法将二次函数y=ax2+bx+c 变形为y=a（x-h）2+k形式。
（二）能力训练点：1．继续培养学生的作图能力；2．培养学生的观察、分析、归纳、总结的能力；3．向学生进行数形结合的数学思想方法的教育．
（三）德育渗透点：向学生渗透事物间互相联系，以及运动、变化的辩证唯物主义思想．
二、教学重点、难点和疑点
1．教学重点：会画形如y=a（x-h）2+k的二次函数的图象，并能指出图象的开口方向、对称轴及顶点坐标．
2．教学难点：确定形如y=a（x-h）2+k的二次函数的顶点坐标和对称轴．
三、教学过程：
复习：
1．提问：前几节课，我们都学习了形如什么样的二次函数的图象？
答：形如y=ax2，y=ax2+k和y=a（x-h）2．
2．填表：
函数 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性
y= －x2
y=3x2－2
y=2(x+1)2
y= －(x－1)2
新课：讨论形如y=a（x-h）2+k的二次函数的图像．
整体感知: 利用计算机课件演示二次函数 y=0.5x2,y=0.5x2+1,y=0.5(x+1)2的图象，并指出它们的开口方向，对称轴及顶点坐标．
通过对这几个图象的观察能更全面、更直观地看到图形之间的平移变化，
问题：在坐标系中如何画出函数y=0.5(x+2)2-3的图像？（猜想这个图像的大致形状和位置）
（1）指出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性、最值。
看下列图表：
（2）我们已知抛物线的开口方向是由二次函数y=a（x-h）2+k中的a的值决定的，你能通过上表中的特征，试着总结出抛物线的对称轴和顶点坐标是由什么决定的吗？
这个问题由于是本节课的重点问题，而且不是很容易说清楚，可由学生进行广泛的讨论，先得出对称轴的表示方法，再得出顶点坐标．若学生在讨论时没有头绪，教师可适当引导，让学生把这四个函数都改写
式子中加以观察，分析，得出结论：（板书）
归纳：
1．抛物线y=a（x-h）2+k的图象
抛物线y=a（x-h）2+k与抛物线y=ax2的形状相同，开口方向相同，
对称轴是直线x=h；顶点坐标为（h，k）
2.抛物线y=a（x-h）2+k的图象平移
函数y=a（x-h）2+k的图象是将函数y=ax2的图象先向上或向下平移|k|个单位，再向左或右平移|h|个单位得到的。
（或函数y=a（x-h）2+k的图象是将函数y=ax2的图象先向左或右平移|h|个单位，再向上或向下平移|k|个单位得到的。）
（移动规律可以简单记作：左加右减，上加下减）
3．抛物线y=a（x-h）2+k的图象性质
当a>0时，抛物线的开口向上，
x＜h时，y随x的增大而减小。
x＞h时，y随x的增大而增大。
x=h时，函数有最小值是k。
当a<0时，抛物线的开口向下，
x＜h时，y随x的增大而增大。
x＞h时，y随x的增大而减小。
x=h时，函数有最大值是k。
y=ax2,y=ax2+k ,y=a（x-h）2 ,y=a（x-h）2+k四者之间的关系，如图13-7所示：
注意：基本形式中的符号，特别是h．
例题与练习：
例1: 已知抛物线y=4(x-3)2-16
（1）写出它的开口方向，对称轴，顶点坐标。
（2）写出函数的增减性和函数的最值。
例2：已知函数y=x2+2x-2,求出图像的顶点坐标、对称轴。
归纳：利用配方法可以将二次函数y=ax2+bx+c变形为y=a(x-h)2+k，再求出顶点坐标，对称轴。
例3：用配方法求抛物线y=x2-6x+21的对称轴，顶点坐标。
（注意：配方时不能除以）
练习：用配方法将下列函数变形为y=a(x-h)2+k形式，指出它们的对称轴，顶点坐标。
(1) y=x2+2x+ (2) y=-2x2+8x
(3) y=－x2+4x+5 (4) y=x2-2x+
总结：
二次函数y=ax2+bx+c通过配方变形成y=a（x-h）2+k的形式。
1．a能决定什么？怎样决定的？
答：a的符号决定抛物线的开口方向；a的绝对值大小决定抛物线的开口大小．
2．它的对称轴是什么？顶点坐标是什么？
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.二次函数培优材料（综合题）
1．已知，如图，直线经过和两点，它与抛物线在第一象限内相交于点P，又知的面积为，求的值；
2．已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴交于不同的两点A和B（4，0），与y轴交于点C（0，8），其对称轴为x=1.
求此抛物线的解析式；
过A、B、C三点作⊙O′与y轴的负半轴交于点D,求经过原点O且与直线AD垂直（垂足为E）的直线OE的解析式；
设⊙O′与抛物线的另一个交点为P，直线OE与直线BC的交点为Q，直线x=m与抛物线的交点为R，直线x=m与直线OE的交点为S。是否存在整数m，使得以点P、Q、R、S为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。
（背面还有试题）
3． 如图①，在平面直角坐标系中，AB、CD都垂直于x轴，垂足分别为B、D且AD与B相交于E点.已知：A(-2,-6),C(1,-3)
求证：E点在y轴上；（4分）
如果有一抛物线经过A，E，C三点，求此抛物线方程.（4分）
如果AB位置不变，再将DC水平向右移动k(k>0)个单位，此时AD与BC相交于E′点，如图②，求△AE′C的面积S关于k的函数解析式.（4分）
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
（第3题图②）
C（1+k，-3）
A
（2，-6）
B
D
O
x
E′
y
C（1，-3）
A
（2，-6）
B
D
O
x
E
y
（第3题图①）§27.2.2 《二次函数的图像和性质》学案
定向·诱导
学习目标：
1.会用描点法画出二次函数,的图像，比较这两个函数的图像和性质，说出两个图像之间的联系．
2.能熟练说出给定二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、升降性等性质.
3.在“观察、猜想、探索、验证”的过程中，体会二次函数数形结合和由特殊到一般的思想方法.
自学·探究
1．利用学习机的数学画板工具画出函数的图象，利用区间滑竿功能改变a的取值，观察当a取不同的数值时，图像的开口方向、对称轴和顶点坐标有什么样的变化？
总结性质：函数的图象是一条抛物线，这条抛物线：
①.关于 对称， ②.顶点坐标是（ ， ）
③.当时，开口方向 ，图像在对称轴的两侧呈左 右 （填升或降），顶点是它的最 值（填大或小）
当时，开口方向 ，图像在对称轴的两侧呈左 右 ，顶点是它的最 值
④.开口的幅度由|a|决定，|a|越大，开口的幅度 ，抛物线越靠近
2．利用学习机的数学画板工具画出函数的图象，固定一个a的值（如a=），利用区间滑竿功能改变b的取值，观察当b取不同的数值时，该图像与图像的开口方向、对称轴和顶点坐标有什么样的变化关系？
总结性质：函数的图象：
①.可看作是由的图像 所得到的，b>0则图像 ，b<0则图像 即可得到的图象.
②.关于 对称， ③.顶点坐标是（ ， ）
④.当时，开口方向 ，图像在对称轴的两侧呈左 右 （填升或降），顶点是它的最 值（填大或小）
当时，开口方向 ，图像在对称轴的两侧呈左 右 ，顶点是它的最 值
⑤.开口的幅度由|a|决定，|a|越大，开口的幅度 ，抛物线越靠近
讨论·解疑
你对学习机的操作过程或者函数的图像性质还有什么不明白的地方吗，请提出来，让小组内的同学一起帮你解决吧！
反馈·总结
1.抛物线，当x=－2时，y= ，当y=－10时，x= ．
2.抛物线的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线向 平移 个单位得到的．
3. 已知函数是二次函数，它的图象开口 ，当x 时，y随x的增大而增大．
4.函数的图象可以看做是由的图像向 平移 个单位得到的．
5．在同一直角坐标系中函数与（ab≠0）的图象的大致位置是( )，你可以用学习机上数学画板来验证它吗？(共13张PPT)
二次函数y=ax2的图象和性质
x
y
一. 平面直角坐标系:
1. 有关概念:
x(横轴)
y(纵轴)
o
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
P
a
b
(a,b)
2. 平面内点的坐标:
3. 坐标平面内的点与有序
实数对是:
一一对应.
坐标平面内的任意一点M,都有唯一一对有序实数(x,y)与它对应;
任意一对有序实数(x,y),在坐标平面内都有唯一的点M与它对应.
4. 点的位置及其坐标特征:
①.各象限内的点:
②.各坐标轴上的点:
③.各象限角平分线上的点:
④.对称于坐标轴的两点:
⑤.对称于原点的两点:
x
y
o
(+,+)
(-,+)
(-,-)
(+,-)
P(a,0)
Q(0,b)
P(a,a)
Q(b,-b)
M(a,b)
N(a,-b)
A(x,y)
B(-x,y)
C(m,n)
D(-m,-n)
x
y=x2
y= - x2
...
...
...
...
...
...
0
-2
-1.5
-1
-0.5
1
1.5
0.5
2
函数图象画法
列表
描点
连线
0
0.25
1
2.25
4
0.25
1
2.25
4
描点法
用光滑曲线连结时要
自左向右顺次连结
用光滑曲线连结时要
自左向右顺次连结
用光滑曲线连结时要
自左向右顺次连结
用光滑曲线连结时要
自左向右顺次连结
用光滑曲线连结时要
自左向右顺次连结
用光滑曲线连结时要
自左向右顺次连结
用光滑曲线连结时要
自左向右顺次连结
用光滑曲线连结时要
自左向右顺次连结
用光滑曲线连结时要
自左向右顺次连结
0
-0.25
-1
-2.25
-4
-0.25
-1
-2.25
-4
注意：列表时自变量
取值要均匀和对称。
画出下列函数的图象。
x
y=2x2
...
...
...
...
0
-2
-1.5
-1
-0.5
1
1.5
0.5
2
x
y=x2
...
...
...
...
0
-4
-3
-2
-1
2
3
1
4
0
0.5
2
4.5
8
0.5
2
4.5
8
列表参考
0
0.5
2
4.5
8
0.5
2
4.5
8
x
y=2x2
...
...
...
...
0
-3
-1.5
-1
1.5
1
-2
2
3
0
1.5
-6
1.5
-6
二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时
所经过的路线，我们把它叫做抛物线。
这条抛物线关于y轴
对称，y轴就是它的
对称轴。
这条抛物线关于y轴
对称，y轴就是它的
对称轴。
这条抛物线关于y轴
对称，y轴就是它的
对称轴。
对称轴与抛物线的交点
叫做抛物线的顶点。
对称轴与抛物线的交点
叫做抛物线的顶点。
对称轴与抛物线的交点
叫做抛物线的顶点。
1、观察右图，
并完成填空。
抛物线
y=x2
y=-x2
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
极值
（0，0）
（0，0）
y轴
y轴
在x轴的上方（除顶点外）
在x轴的下方（除顶点外）
向上
向下
当x=0时，最小值为0。
当x=0时，最大值为0。
二次函数y=ax2的性质
１、顶点坐标与对称轴
２、位置与开口方向
３、增减性与极值
2、练习2
3、想一想
在同一坐标系内，抛物线y=x2与抛物线
y= -x2的位置有什么关系？ 如果在同一坐标系内
画函数y=ax2与y= -ax2的图象，怎样画才简便？
4、练习4
动画演示
在同一坐标系内，抛物线y=x2与抛物线
y= -x2的位置有什么关系？ 如果在同一坐标系内
画函数y=ax2与y= -ax2的图象，怎样画才简便？
答：抛物线抛物线y=x2与抛物线 y= -x2 既关于x轴对称，又关于原点对称。只要画出y=ax2与y= -ax2中的一条抛物线，另一条可利用关于x轴对称或关于原点 对称来画。
当a>0时，在对称轴的
左侧，y随着x的增大而
减小。
当a>0时，在对称轴的
右侧，y随着x的增大而
增大。
当a<0时，在对称轴的
左侧，y随着x的增大而
增大。
当a<0时，在对称轴的
右侧，y随着x的增大而
减小。
当x=-2时，y=4
当x=-1时，y=1
当x=1时，y=1
当x=2时，y=4
当x=-2时，y=-4
当x=-1时，y=-1
当x=1时，y=-1
当x=2时，y=-4
1、抛物线y=ax2的顶点是原点，对称轴是y轴。
2、当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点外），它的开口向上，并且
向上无限伸展；
当a<0时，抛物线y=ax2在x轴的下方（除顶点外），它的开口向下，并且
向下无限伸展。
3、当a>0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；
在对称轴右侧，y随着x的增大而增大。当x=0时函数y的值最小。
当a<0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；
在对称轴的右侧，y随着x增大而减小，当x=0时，函数y的值最大。
二次函数y=ax2的性质
2、根据左边已画好的函数图象填空：
（1）抛物线y=2x2的顶点坐标是 ,
对称轴是 ，在 侧，
y随着x的增大而增大；在 侧，
y随着x的增大而减小，当x= 时，
函数y的值最小，最小值是 ,抛物
线y=2x2在x轴的 方（除顶点外）。
（2）抛物线 在x轴的 方（除顶点外），在对称轴的
左侧，y随着x的 ；在对称轴的右侧，y随着x的
，当x=0时，函数y的值最大，最大值是 ，
当x 0时，y<0.
（0，0）
y轴
对称轴的右
对称轴的左
0
0
上
下
增大而增大
增大而减小
0
1、已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）。
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。
（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。
解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得
-8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为
y= -2x2.
（2）因为 ，所以点B（-1 ，-4）
不在此抛物线上。
（3）由-6=-2x2 ,得x2=3,
所以纵坐标为-6的点有两个，它们分别是
y=-2x2
