2.2.1一次函数的图像和性质
学习目标
准确掌握一次函数的概念和性质；
一次函数是线性关系的重要模型，要注重数形结合及其应用.
自主学习
一次函数的性质与图像
1）一次函数的概念：函数 叫做一次函数，它的定义域为，值域为 。
2)一次函数的图像是 ，其中叫做该直线的 。叫做该直线在轴上的 。一次函数又叫做 。
3）一次函数的性质
（1）函数值的改变量 与自变量的改变量的比值等于常数 。
（2）当>0时，一次函数是增函数；当<0时，一次函数是 。
（3）当 时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当 时，它既不是奇函数也不是偶函数。
（4）直线与轴的交点为 ，与轴的交点为 。
探究：直线与直线的位置关系如何？
典例示范
例：画出函数的图像，利用图像完成下述问题：
求方程的根；
求不等式的解集；
当时，求的取值范围；
当时，求y的取值范围；
求图像与坐标轴的两个交点的距离；
求图像与坐标轴围成的三角形的面积。
快乐体验
1、下列说法正确的是（ ）
A、函数为一次函数
B、函数的图像是一条是与x轴相交的直线
C、函数的图像是一条是与x轴相交的直线
D、函数是一次函数
2、函数的解析式为，则其对应直线的斜率与在轴上的截距分别为（ ）
A. , B 1, C 1, D
3、若是一次函数，则（ ）
A、 B、 C、 D、或
4、若函数的图像经过第一、二、三象限，则与的取值范围分别是（ ）
A B C m< D
5、如果那么一次函数的图像的大致形状是（ ）
A B C D
6、函数的图像不可能是（ ）
A B C D
7、过点作直线，使它在x轴，y轴上的截距相等，则这样的直线有（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
8、函数的值域为则k= ，b= 。
9、函数在上是减函数，则k的范围是 。
10、一次函数在上总取正值，则m的取值范围是 。
11、已知直线的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求直线的方程。
12、解答下列各题：
（1）、求函数的值域。
（2）、函数是减函数，求a的取值范围。
（3）、函数在上的值有正有负，求a的取值范围。
（4）、直线的图像不经过第二象限，求实数m的取值范围。(共8张PPT)
2.2.1一次函数的性质与图象 课件
画一画
在同一坐标系中，画出下列四个一次函数的 图 象：
（1）y=2x，
（2） y=2x+3 ，
（3） y=一2x，
（4） y=一2x+3 。
1、正比例函数y=kx(k≠0)的图象是过点（_____），(______)的_________。
2、 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是过点（0，___),（____，0)的__________。
0，0
1，k
一条直线
b
一条直线
2）当 k<0 时 y 随着x的增大而______ 。
两点法画一次函数图象：
一次函数的性质：
1）当 k>0 时 y 随着x的增大而______ 。
增大
减小
一次函数y=kx+b(k ≠ 0)的图象特点：
⑴当k>0时，图象过______象限；
⑵当k<0时，图象过______象限。
一、三
二、四
⑶根据下列一次函数y=kx+b(k ≠ 0)的草图回答出各图中k、b的符号：
k___0，b___0 k___0，b___0 k___0，b___0 k___0，b___0
<
<
>
<
<
>
>
>
K：决定直线倾斜的方向
b: 决定直线与y轴相交的交点的位置。
1、有下列函数：① , ② ,
③ , ④ 。其中过原点的直
线是_____；函数y随x的增大而增大的是___________；函数y随x的增大而减小的是______；图象在第一、二、三象限的是_____。
②
①、②、③
③
④
2、函数y=(m – 1)x+1是一次函数，且y随自变量x增大而减小，那么m的取值为__________
m<1
3、已知一次函数y=2x+4的图象上有两点A（3，a），B（4，b），则a与b的大小关系为_________
a4、一次函数y=(m2+3)x-2,y随x的增大而_________
增大
填一填
练习
已知一次函数y=（3 – k）x–2k2+18
（1） k为何值时，它的图象经过点（0， – 2）；
（2）k为何值时，它的图象经过原点；
（3） k为何值时，它的图象与y轴的交点在x轴上方.
思考题
老师给出一个函数，甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质。
甲：函数图象不经过第三象限；
乙：函数图象经过第一象限；
丙：当x<2时，y随x的增大而减小；
丁：当x<2时，y>0.
已知这四位同学的叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数。2.2.1一次函数的性质与图象 测试题
选择题：
1、已知一次函数，它的图象在y轴上的截距为-4，则 的值为 （ ）
（A）-4 （B）2 （C）1 （D） 2或1
2、一次函数，若y随x的增大而增大，则它的图象经过 （ ）
（A）第一、二、三象限 （B）第一、三、四象限
（C）第一、二、四象限 （D） 第二、三、四象限
3、若点三点共线，则a的值为 （ ）
（A）6 （B）-6 （C） （D） 6或3
4、函数解析式为，则其对应直线的斜率与y轴截距分别为（ ）
（A） （B）1，-7 （C） （D）
5、已知函数，其图象的形状为 （ ）
（A）一条直线 （B）无数条直线 （C）一系列点 （D） 不存在
6、下列函数中，哪个是一次函数 （ ）
（A） （B） （C） （D）
7、已知函数，则其图象的形状为 （ ）
（A）一条直线 （B）一条线段 （C）一系列点 （D） 不存在
二、填空题：
8、一次函数的图象过点（2，0），和（-2，1），则此函数的解析式为_____________________.
9、设函数是偶函数，它在[0，1]上的解析式为那么它在[-1，0]上的解析式为_______________________.
10、是一次函数，且则__________
11、若函数与的图象与x轴交于一点，则___________.
12、 若直线与重合，则m=______________.
三、解答题：
13、已知点A（1，m）在直线y=x上，并且点B(2,m)在直线y=kx+6上，试求出m与k的值.
14、已知一次函数经过点A（2，0），B（3，5），求一次函数的解析式.
15、已知正比例函数与一次函数的图象交于点
（1）、求斜率的值；
（2）、如果一次函数与x轴交于一点A,求A点的坐标.
【能力达标】
参考答案：
选择题
1．D；
2、B；
3、A；
4、A；
5、C；
6、D；
7、B；
二、填空题：
8、；
9、；
10、；
11、；
12、-2；
三、解答题：
13、由题意得： ；
14、设一次函数解析式为，
；
15、将P点坐标代入得
②令
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www.2.2.1 一次函数的性质与图像
本节教材分析
一 三维目标
1知识与能力目标
理解一次函数的概念，理解k和b分别决定了函数的哪些性质。
掌握利用两个适当的点画出一次函数的图象。
结合图象，使学生理解掌握一次函数的性质。
2过程与方法目标
（1）在探究一次函数的性质过程中提高探索新问题的能力，动手能力及现代化操作技术能力。
（2）培养学生分类讨论及数形结合的思想方法。
3情感态度与价值观目标
培养学生勇于探索，敢于质疑，善于动脑的钻研精神。
训练学生的观察力、分析力及总结能力。
二 教学重点
一次函数的图像和性质。
三 教学难点
对一次函数y=kx+b（k b为常数，k≠0）中的数与形的联系的理解。
四 教学建议
本节内容初中有所接触，所以学生并不感到陌生。在讲解的过程中教师只做适当点拨即可，多画图形让学生自己观察、归纳、总结，进而得出结论。不过对于斜率k的讲解要详细些，学生对平均变化率不好理解。
新课导入设计
导入一：函数比较抽象，所以可以从直观化的图像入手，分别画几个一次函数的图像，然后教师点拨，让学生归纳总结出一次函数的性质。
导入二：一次函数在初中已经接触过，可以从复习的角度导入，让学生回顾一次函数的概念，一次函数的图像。总结出一次函数的性质与图像。
四、 教学过程
创设情境，引入课题
前面我们己学习了一次函数的概念，一般地，如果，那么叫的一次函数。特别地：当时，一次函数就变成了正比例函数。
在同一直角坐标系中投影出的函数图象，让学生观察它们的图象都是直线并引入课题。
所有的一次函数的图象都是直线。因此要画一次函数的图象——一条直线，就没有必要把所有的点都描出来，只要描出两个点就可以了，因为两个点确定一条直线。利用这个结论，我们可以更快地作出一次函数的图象，并对它的性质进行研究。
描点画图，归纳画法
【过渡】下面我们一起来画首先共同画出正比例函数与的图象。并由此归纳出正比例函数的图象为过和两点的直线。
观察图象、研究性质
然后提出问题1：让学生自己画图，研究正比例函数有何性质？即正比例函数中，对函数图象有何影响？并填写实验报告（课前印好发给学生，或者学生在网络上填写）。
研究问题1时，我首先通过几何画板与学生共同归纳正比例函数与的图象性质，特别是随的变化趋势。
打开几何画板，进行演示。点在直线上运动，对应着轴上射影(用红点显示)、轴上的射影(用绿点显示)同时运动。从左到右拖动红点，使点的横坐标从小到大变化，红点的运动引起绿点的运动，绿点的运动又使点的纵坐标发生变化。在演示的同时，启发学生注意观察坐标的变化并得到：对于，随的增大而增大；对于，随的增大而减小。
然后把学生分成两人一组，进行继续用几何画板研究其它正比例函数的性质，并把结论发到网络的“展示区”上。填写实验报告如下：
实验报告：对正比例函数的图象的影响。
解析式 图象示意图 图象所在的象限 随的变化趋势
在刚才所画直角坐标系中分别画出，图象如下所示。 1,3象限 随的增大而增大
1,3象限 随的增大而增大
1,3象限 随的增大而增大
2,4象限 随的增大而减小
2,4象限 随的增大而减小
2,4象限 随的增大而减小
在实验报告的基础上，让学生利用几何画板动手实验：拖动点N，让的值连续变化，引导学生观察正比例的图象的变化并归纳出它的性质：
当时，图象在1,3象限，随的增大而增大；
当时，图象在2,4象限，随的增大而减小。
为了达到及时巩固的效果，归纳之后进行练习1。练习1结合课本练习，培养学生的数形结合能力。
第1、2、3题都是由函数解析式判断图象的性质；
第4题是由函数图象性质判断函数的解析式。
并通过填空、选择的形式，让学生进行自我评价。（1）做完练习1后，会显示每道题目的答案正确与否，同时根据学生练习完成的情况，给出鼓励性评价；（2）老师可以对全体学生练习情况进行即时统计，从而进行针对性教学；（3）练习完成的好的学生可以进入英雄榜，让学生更乐于学习。
类比联想、探索性质
首先学习例3：在同一直角坐标系中画出与的图象。在画图的过程中利用表格(如下)：
解析式 与轴的交点 与轴的交点
归纳出一次函数为过和两点的直线。
然后提出问题2：讨论一次函数中，对函数图象有何影响？
在解决问题2时，首先抓住正比例函数是一次函数的特殊情况，让学生了解这一关系并从中直接得出一次函数性质。
然后利用网络让学生动手实验：
先固定的值，拖动滑板，让的值连续变化，观察图象的变化，归纳出一次函数的性质：
当时，随的增大而增大；
当时，随的增大而减小。
再固定的值，拖动滑板，让的值连续变化，观察图象的变化，归纳出的变化引起图象变化规律：一次函数图象与轴的交点为。
练习反馈、巩固性质
为了加强学生对“数”与“形”的双向沟通，我在课本练习基础上设计了一些“由数到形”及“由形到数”的题目，供学生练习。练习2采用题组分层次教学，先后通过A、B、C三组(9题)进行练习，每组题均由浅入深，各有针对性。
A组题为只考虑一个常数的题目；
B组题为只考虑一个常数的题目；
A、B两组题为必做题；
C组综合考虑两个常数与的题目，C组题为选做题。
这样遵循循序渐进的规律进行题组教学，顾及到了各个层次的学生，达到了预期的目的。
小结归纳，揭示规律
先由学生归纳，再由老师总结，培养学生的归纳能力。
（1）正比例函数的图象的画法：过原点与点的直线即所求的图象；
（2）一次函数图象的画法：在轴上取点，在轴上取点，过这两点的直线即所求的图象；
（3）正比例函数与一次函数的性质。
x
y
o
=0.5x
y
=2x
y
=x
y
x
y
o
=-0.5x
y
=-x
y
=-2x
y
