第7讲 基本不等式
一、知识导图
二、知识导入
问题1：若a，b∈R，则代数式a2＋b2与2ab有何大小关系？
提示：∵(a2＋b2)－2ab＝(a－b)2≥0，
∴a2＋b2≥2ab.
问题2：上述结论中，等号何时成立？
提示：当且仅当a＝b时成立．
问题3：若以，分别代替问题1中的a，b，可得出什么结论？
提示：a＋b≥2.
问题4：问题3的结论中，等何时成立？
提示：当且仅当a＝b时成立．
三、知识讲解
基本概念
1．重要不等式
当a，b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
2．基本不等式
(1)有关概念：当a，b均为正数时，把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数．
(2)不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即≤，当且仅当a＝b时，等号成立．
(3)变形：ab≤2，a＋b≥2(其中a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时等号成立)．
四、例题解析
例1：已知m，n＞0，且m＋n＝16，求mn的最大值．
【答案】32.
【解析】∵m，n＞0且m＋n＝16，所以由基本不等式可得mn≤2＝2＝64，
当且仅当m＝n＝8时，mn取到最大值64.
∴mn的最大值为32.
例2：某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A．60件 B．80件 C．100件 D．120件
【答案】B
【解析】若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是元，仓储费用是元，总的费用是＋≥2＝20，当且仅当＝，即x＝80时取等号，故选B.
例3：已知，，，则的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．5
:【答案】C
【解析】∵，∴，
∴，∵，，
∴，当且仅当，且，
即，时取得等号，∴的最小值是，故选C．
例4：当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，∴．
∴．故选D．
例5：已知a，b，c均为正数，a，b，c不全相等．求证：
＋＋>a＋b＋c.
【解析】证明：∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴＋≥2 ＝2c，
＋≥2 ＝2a，＋≥2 ＝2b.
又a，b，c不全相等，故上述等号至少有一个不成立．
∴＋＋＞a＋b＋c.
五、课堂练习
A级
1.．设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )
A．80 B．77 C．81 D．82
【答案】C
【解析】∵x>0，y>0，∴≥，
即xy≤2＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.
2.已知，则函数的最小值为___________．
【答案】-2.
【解析】∵，∴．
3. 已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )
A. B．4 C. D．5
【答案】C
【解析】 ∵a＋b＝2，∴＝1.∴＋＝＝＋≥＋2 ＝.，故y＝＋的最小值为.
B级
4.若，，且，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】取，，可验证A、B、C均不正确，故选D．
5.已知,且,则的最小值为（ ）
A． B．6 C． D．12
【答案】B
【解析】,当且仅当a=2,b=1时,等号成立．故选B．
6.已知均为正实数，若与的等差中项为2，则的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题当且仅当时“”成立，此时；
又，作出可行域如下图，当直线分别在点O及点A时，有最小值0及最大值4，故的取值范围为.
C级
7.已知正数x，y满足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________．
【答案】2
【解析】依题意得x＋2≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即≤2(当且仅当x＝2y时取等号)，即的最大值为2.又λ≥恒成立，因此有λ≥2，即λ的最小值为2.
8.已知，则的最小值为________．
【答案】18.
【解析】∵，∴，．
∴，∴ (当且仅当时取“”)
．(当且仅当时取“”)
9. 已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1.
求证：≥8.
【解析】证明 ∵a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1，
∴－1＝＝≥，
同理－1≥，－1≥.
由于上述三个不等式两边均为正，分别相乘得
≥··＝8.
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
六、课后作业
A级
1.下列不等式一定成立的是( )
A．lg(x2＋)＞lg x(x＞0) B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D.＞1(x∈R)
【答案】C
【解析】取x＝，则lg(x2＋)＝lg x，故排除A；取x＝，则sin x＝－1，故排除B；取x＝0，则＝1，故排除D.
2．设a，b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是( )
A．6 B．4 C．2 D．8
【答案】B
【解析】∵a，b是实数，∴2a＞0,2b＞0，
于是2a＋2b≥2＝2＝2 ＝4，当且仅当a＝b＝时取得最小值4.
3.已知f(x)＝x＋－2(x＜0)，则f(x)有( )
A．最大值为0 B．最小值为0
C．最大值为－4 D．最小值为－4
【答案】C
【解析】∵x＜0，∴f(x)＝－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号．
B级
4.已知x>0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则＋的最小值是( )
A．2 B．2 C．4 D．2
【答案】C
【解析】因为lg 2x＋lg 8y＝lg 2，
所以lg(2x·8y)＝lg 2，
所以2x＋3y＝2，
所以x＋3y＝1.
因为x>0，y>0，
所以＋＝(x＋3y)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝3y＝时取等号．所以＋的最小值为4.故选C.
5.如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
(1)现有可围36 m长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
【答案】详见解析.
【解析】(1)设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由条件得4x＋6y＝36，
即2x＋3y＝18，设每间虎笼面积为S，则S＝xy.由于2x＋3y≥2 ＝2 ，
∴2 ≤18，得xy≤，即S≤，当且仅当2x＝3y时，等号成立，
由解得故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使面积最大．
(2)法一：由条件知S＝xy＝24，设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.
∵2x＋3y≥2 ＝2 ＝24，
∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立．
由解得故每间虎笼长6 m时，宽4 m时，可使钢筋网总长最小．
法二：由xy＝24，得x＝.
∴l＝4x＋6y＝＋6y＝6≥6×2 ＝48，当且仅当＝y，即y＝4时，等号成立．此时x＝6.
故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小．
6. 若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值为________．
【答案】5
【解析】由x＋3y＝5xy可得＋＝1，
所以3x＋4y＝(3x＋4y)
＝＋＋＋≥＋＝5(当且仅当＝，即x＝1，y＝时，等号成立)，
所以3x＋4y的最小值是5.
C级
7. 已知0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为( )
A. B．
C. D．
【答案】B
【解析】由x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤×＝，当且仅当3x＝3－3x，即x＝时等号成立．
8.设x>－1，则函数y＝的最小值是________．
【答案】9
【解析】∵x>－1，∴x＋1>0，
设x＋1＝t>0，则x＝t－1，
于是有y＝＝＝t＋＋5≥2＋5＝9，
当且仅当t＝，即t＝2时取等号，此时x＝1.
∴当x＝1时，函数y＝取得最小值9.
9. 已知，，．求证：．
【答案】详见解析
【解析】∵，，，
∴，，，
∴．∴，
即．当且仅当时，取到“”．第7讲 基本不等式
一、知识导图
二、知识导入
问题1：若a，b∈R，则代数式a2＋b2与2ab有何大小关系？
提示：∵(a2＋b2)－2ab＝(a－b)2≥0，
∴a2＋b2≥2ab.
问题2：上述结论中，等号何时成立？
提示：当且仅当a＝b时成立．
问题3：若以，分别代替问题1中的a，b，可得出什么结论？
提示：a＋b≥2.
问题4：问题3的结论中，等何时成立？
提示：当且仅当a＝b时成立．
三、知识讲解
基本概念
1．重要不等式
当a，b是任意实数时，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
2．基本不等式
(1)有关概念：当a，b均为正数时，把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数．
(2)不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即≤，当且仅当a＝b时，等号成立．
(3)变形：ab≤2，a＋b≥2(其中a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时等号成立)．
四、例题解析
例1：已知m，n＞0，且m＋n＝16，求mn的最大值．
【答案】32.
【解析】∵m，n＞0且m＋n＝16，所以由基本不等式可得mn≤2＝2＝64，
当且仅当m＝n＝8时，mn取到最大值64.
∴mn的最大值为32.
例2：某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A．60件 B．80件 C．100件 D．120件
【答案】B
【解析】若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是元，仓储费用是元，总的费用是＋≥2＝20，当且仅当＝，即x＝80时取等号，故选B.
例3：已知，，，则的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．5
:【答案】C
【解析】∵，∴，
∴，∵，，
∴，当且仅当，且，
即，时取得等号，∴的最小值是，故选C．
例4：当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，∴．
∴．故选D．
例5：已知a，b，c均为正数，a，b，c不全相等．求证：
＋＋>a＋b＋c.
【解析】证明：∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴＋≥2 ＝2c，
＋≥2 ＝2a，＋≥2 ＝2b.
又a，b，c不全相等，故上述等号至少有一个不成立．
∴＋＋＞a＋b＋c.
五、课堂练习
A级
1.．设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )
A．80 B．77 C．81 D．82
2.已知，则函数的最小值为___________．
3. 已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )
A. B．4 C. D．5
B级
4.若，，且，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5.已知,且,则的最小值为（ ）
A． B．6 C． D．12
6.已知均为正实数，若与的等差中项为2，则的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
C级
7.已知正数x，y满足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________．
8.已知，则的最小值为________．
9. 已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1.
求证：≥8.
六、课后作业
A级
1.下列不等式一定成立的是( )
A．lg(x2＋)＞lg x(x＞0) B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D.＞1(x∈R)
2．设a，b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是( )
A．6 B．4 C．2 D．8
3.已知f(x)＝x＋－2(x＜0)，则f(x)有( )
A．最大值为0 B．最小值为0
C．最大值为－4 D．最小值为－4
B级
4.已知x>0，y>0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则＋的最小值是( )
A．2 B．2 C．4 D．2
5.如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
(1)现有可围36 m长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
6. 若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值为________．
C级
7. 已知0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为( )
A. B．
C. D．
8.设x>－1，则函数y＝的最小值是________．
9. 已知，，．求证：．
