第8讲 直线的方程
一、知识导图
二、知识导入
由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形.
(1)斜率是1，经过点；
(2)在轴和轴上的截距分别是；
(3)经过两点、；
(4) 轴上的截距是7，倾斜角是.
由两个独立条件请学生写出直线方程的特殊形式分别为、、、，教师利用图象显示，发现上述4条直线在同一坐标系中重合.原来它们的方程化简后均可统一写成：.这样前几种直线方程有了统一的形式，这就是我们今天要讲的新课——直线方程.
三、知识讲解
知识点1 斜率与倾斜角
直线一般式方程
由于任何一条直线都可以用一个关于的二元一次方程表示；同时，任何一个关于的二元一次方程都可以表示为一条直线.我们把关于的二元一次方程（不同时为 ）叫做直线的一般式方程，简称一般式.
斜率：
两条直线平行：
两条直线垂直：
知识点2 直线方程
形 式 方程 局限 各常数的几何意义
点斜式 除外 是直线上一个定点，是斜率
斜截式 除外 是斜率，是轴上的截距
两点式 除和外 、是直线上两个定点
截距式 除、及外 是轴上的非零截距，是轴上的非零截距
一般式 无 当时，是斜率，是轴上的截距
知识点3 交点坐标和距离公式
（1）交点的坐标是方程组 的解
（2）两点间的距离公式：
（3）任意一点到直线方程的距离公式：
（4）任意两条直线和的距离公式：
四、例题解析
例1：求适合下列条件的直线方程：
(1)经过点P(4，1)，且在两坐标轴上的截距相等；
(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；
(3)经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.
【解析】 (1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，
若a＝0，即l过点(0，0)和(4，1)，所以l的方程为y＝x，即x－4y＝0.
若a≠0，则设l的方程为＋＝1，
因为l过点(4，1)，所以＋＝1，所以a＝5，所以l的方程为x＋y－5＝0.
综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.
(2)由已知设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.
因为tan α＝3，所以tan 2α＝＝－.又直线经过点A(－1，－3)，
因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.
(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1.又过点(3，4)，由点斜式得y－4＝±(x－3).
所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.
例2：直线x－y＋1＝0的倾斜角为( )
A.30° B.45° C.120° D.150°
【答案】 B
【解析】 由题得，直线y＝x＋1的斜率为1，设其倾斜角为α，则tan α＝1，又0°≤α＜180°，故α＝45°.
例3：已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB恒相交，则k的取值范围是( )
A．k≥ B．k≤－2
C．k≥或k≤－2 D．－2≤k≤
【答案】 D
【解析】 直线l：y＝k(x－2)＋1经过定点P(2,1)，∵kPA＝＝－2，kPB＝＝，
又直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB恒相交，∴－2≤k≤.
例4：直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m＝( )
A.2 B.－3 C.2或－3 D.－2或－3
:【答案】 C
【解析】 直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有＝≠，故m＝2或－3.
例5：已知P(－2，m)，Q(m，4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________.
【答案】1
【解析】由题意知＝1，所以m－4＝－2－m，所以m＝1.
五、课堂练习
A级
1.直线x＋y＋1＝0的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m等于( )
A．2 B．－3
C．2或－3 D．－2或－3
3. 在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是( )
B级
4.如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则 ( )
A．k1C．k35.已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为( )
A.y＝x＋2 B.y＝x－2
C.y＝x＋ D.y＝－x＋2
6.直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( )
A. B.∪(1，＋∞)
C.(－∞，－1)∪ D.(－∞，－1)∪
C级
7.若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知直线l1：x＋2ay－1＝0，l2：(a＋1)x－ay＝0，若l1∥l2，则实数a的值为( )
A．－ B．0
C．－或0 D．2
9.若直线l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为，则m＝( )
A.7 B. C.14 D.17
六、课后作业
A级
1.已知两直线方程分别为l1：x＋y＝1，l2：ax＋2y＝0，若l1⊥l2，则a＝( )
A.2 B.－2 C. D.－
2.直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．不能确定
3.从点(2，3)射出的光线沿与向量a＝(8，4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为( )
A.x＋2y－4＝0 B.2x＋y－1＝0
C.x＋6y－16＝0 D.6x＋y－8＝0
B级
4.已知直线l过点(0,7)，且与直线y＝－4x＋2平行，则直线l的方程为( )
A．y＝－4x－7 B．y＝4x－7
C．y＝4x＋7 D．y＝－4x＋7
5.过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________.
6.若经过两点A(4，2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角是直线4x－3y＋2 019＝0的倾斜角的一半，则y的值为________.
C级
7. 若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为( )
A．－12 B．－2 C．0 D．10
8.若θ是直线l的倾斜角，且sin θ＋cos θ＝，则l的斜率为( )
A.－ B.－或－2 C.或2 D.－2
9.直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程是______________．第8讲 直线的方程
一、知识导图
二、知识导入
由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形.
(1)斜率是1，经过点；
(2)在轴和轴上的截距分别是；
(3)经过两点、；
(4) 轴上的截距是7，倾斜角是.
由两个独立条件请学生写出直线方程的特殊形式分别为、、、，教师利用图象显示，发现上述4条直线在同一坐标系中重合.原来它们的方程化简后均可统一写成：.这样前几种直线方程有了统一的形式，这就是我们今天要讲的新课——直线方程.
三、知识讲解
知识点1 斜率与倾斜角
直线一般式方程
由于任何一条直线都可以用一个关于的二元一次方程表示；同时，任何一个关于的二元一次方程都可以表示为一条直线.我们把关于的二元一次方程（不同时为 ）叫做直线的一般式方程，简称一般式.
斜率：
两条直线平行：
两条直线垂直：
知识点2 直线方程
形 式 方程 局限 各常数的几何意义
点斜式 除外 是直线上一个定点，是斜率
斜截式 除外 是斜率，是轴上的截距
两点式 除和外 、是直线上两个定点
截距式 除、及外 是轴上的非零截距，是轴上的非零截距
一般式 无 当时，是斜率，是轴上的截距
知识点3 交点坐标和距离公式
（1）交点的坐标是方程组 的解
（2）两点间的距离公式：
（3）任意一点到直线方程的距离公式：
（4）任意两条直线和的距离公式：
四、例题解析
例1：求适合下列条件的直线方程：
(1)经过点P(4，1)，且在两坐标轴上的截距相等；
(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；
(3)经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.
【解析】 (1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，
若a＝0，即l过点(0，0)和(4，1)，所以l的方程为y＝x，即x－4y＝0.
若a≠0，则设l的方程为＋＝1，
因为l过点(4，1)，所以＋＝1，所以a＝5，所以l的方程为x＋y－5＝0.
综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.
(2)由已知设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.
因为tan α＝3，所以tan 2α＝＝－.又直线经过点A(－1，－3)，
因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.
(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1.又过点(3，4)，由点斜式得y－4＝±(x－3).
所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.
例2：直线x－y＋1＝0的倾斜角为( )
A.30° B.45° C.120° D.150°
【答案】 B
【解析】 由题得，直线y＝x＋1的斜率为1，设其倾斜角为α，则tan α＝1，又0°≤α＜180°，故α＝45°.
例3：已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB恒相交，则k的取值范围是( )
A．k≥ B．k≤－2
C．k≥或k≤－2 D．－2≤k≤
【答案】 D
【解析】 直线l：y＝k(x－2)＋1经过定点P(2,1)，∵kPA＝＝－2，kPB＝＝，
又直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB恒相交，∴－2≤k≤.
例4：直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m＝( )
A.2 B.－3 C.2或－3 D.－2或－3
:【答案】 C
【解析】 直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有＝≠，故m＝2或－3.
例5：已知P(－2，m)，Q(m，4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________.
【答案】1
【解析】由题意知＝1，所以m－4＝－2－m，所以m＝1.
五、课堂练习
A级
1.直线x＋y＋1＝0的倾斜角是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 由直线的方程得直线的斜率为k＝－，设倾斜角为α，则tan α＝－，又α∈[0，π]，所以α＝.
2.直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m等于( )
A．2 B．－3
C．2或－3 D．－2或－3
【答案】C
【解析】 直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有＝≠，故m＝2或－3.故选C.
3. 在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是( )
【答案】B
【解析】 当a>0，b>0时，－a<0，－b<0，结合选项知B符合，其他均不符合.
B级
4.如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则 ( )
A．k1C．k3【答案】D
【解析】 直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1<0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以05.已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为( )
A.y＝x＋2 B.y＝x－2
C.y＝x＋ D.y＝－x＋2
【答案】A
【解析】 因为直线x－2y－4＝0的斜率为，所以直线l在y轴上的截距为2，所以直线l的方程为y＝x＋2.
6.直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( )
A. B.∪(1，＋∞)
C.(－∞，－1)∪ D.(－∞，－1)∪
【答案】D
【解析】 设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1－，则－3<1－<3，解得k>或k<－1.
C级
7.若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 因为＝≠，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即＝，所以|PQ|的最小值为.
8.已知直线l1：x＋2ay－1＝0，l2：(a＋1)x－ay＝0，若l1∥l2，则实数a的值为( )
A．－ B．0
C．－或0 D．2
【答案】C
【解析】 若a≠0，则由l1∥l2 ＝，故2a＋2＝－1，即a＝－；若a＝0，l1∥l2，故选C.
9.若直线l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为，则m＝( )
A.7 B. C.14 D.17
【答案】B
【解析】 直线l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)，即2x＋6y＋2m＝0，因为它与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为，所以＝，求得m＝.
六、课后作业
A级
1.已知两直线方程分别为l1：x＋y＝1，l2：ax＋2y＝0，若l1⊥l2，则a＝( )
A.2 B.－2 C. D.－
【答案】B
【解析】 因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即＝－1，解得a＝－2.
2.直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．不能确定
【答案】C
【解析】 直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直线x＋2y＋n＝0的斜率k2＝－，则k1≠k2，且k1k2≠－1.故选C.
3.从点(2，3)射出的光线沿与向量a＝(8，4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为( )
A.x＋2y－4＝0 B.2x＋y－1＝0
C.x＋6y－16＝0 D.6x＋y－8＝0
【答案】A
【解析】 由直线与向量a＝(8，4)平行知，过点(2，3)的直线的斜率k＝，所以直线的方程为y－3＝(x－2)，其与y轴的交点坐标为(0，2)，又点(2，3)关于y轴的对称点为(－2，3)，所以反射光线过点(－2，3)与(0，2)，由两点式知A正确.
B级
4.已知直线l过点(0,7)，且与直线y＝－4x＋2平行，则直线l的方程为( )
A．y＝－4x－7 B．y＝4x－7
C．y＝4x＋7 D．y＝－4x＋7
【答案】D
【解析】 过点(0,7)且与直线y＝－4x＋2平行的直线方程为y－7＝－4x，即直线l的方程为y＝－4x＋7，故选D.
5.过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________.
【答案】 4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0
【解析】 若直线过原点，则k＝－，所以y＝－x，即4x＋3y＝0.
若直线不过原点，设直线方程为＋＝1，
即x＋y＝a，则a＝3＋(－4)＝－1， 所以直线的方程为x＋y＋1＝0.
6.若经过两点A(4，2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角是直线4x－3y＋2 019＝0的倾斜角的一半，则y的值为________.
【答案】 －
【解析】 因为直线4x－3y＋2 019＝0的斜率为，所以由倾斜角的定义可知直线4x－3y＋2 019＝0的倾斜角α满足tan α＝，因为α∈[0，π)，所以∈，所以＝，解得tan ＝，由已知及倾斜角与斜率的关系得＝，所以y＝－.
C级
7. 若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为( )
A．－12 B．－2 C．0 D．10
【答案】A
【解析】由2m－20＝0，得m＝10.由垂足(1，p)在直线mx＋4y－2＝0上，得p＝－2，
∴垂足坐标为(1，－2)．又垂足在直线2x－5y＋n＝0上，得n＝－12.
8.若θ是直线l的倾斜角，且sin θ＋cos θ＝，则l的斜率为( )
A.－ B.－或－2 C.或2 D.－2
【答案】 D
【解析】 因为sin θ＋cos θ＝，①所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝，
所以2sin θcos θ＝－，所以(sin θ－cos θ)2＝，
易知sin θ>0，cos θ<0，所以sin θ－cos θ＝，②由①②解得
所以tan θ＝－2，即l的斜率为－2.
9.直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程是______________．
【答案】 3x＋4y＋5＝0
【解析】在所求直线上任取一点P(x，y)，则点P关于x轴的对称点P′(x，－y)在已知直线3x－4y＋5＝0上，所以3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0.
