第9讲 圆的方程讲义- 2021-2022学年高二上学期理科数学人教A版必修2(Word含答案解析)

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名称 第9讲 圆的方程讲义- 2021-2022学年高二上学期理科数学人教A版必修2(Word含答案解析)
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资源类型 教案
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2021-10-23 17:59:11

文档简介

第9讲 圆的方程
一、知识导图
二、知识导入
1、复习预习
(1)初中圆的定义
(2)两点间的距离公式
两点间距离公式:
2、观察引入
同学们,我们知道直线可以用一个方程表示,那么,圆可以用一个方程表示吗 圆的方程怎样来求呢 这就是本堂课的主要内容.
设计意图:由初中知识自然过度到今天要学的知识,对初中知识进行深化,激起学生新的认知冲突,从而调动学生积极性.
3、步步深化
问题1:已知两点,如何求它们之间的距离 若已知,,又如何求它们之间的距离
问题2:具有什么性质的点的轨迹称为圆
问题3:图中哪个点是定点?哪个点是动点 动点具有什么性质 圆心和半径都反映了圆的什么特点
设计意图:通过启发式提问,实现学生从图形语言到文字语言到符号语言多方面研究圆,实现“形”到“数”的转换,从而会用方程形式来描述圆.
三、知识讲解
知识点1 圆的方程
(1)标准方程:
其中圆心为,半径为.
特别地,以原点为圆心,半径为的圆的标准方程为.
(2)一般方程:.
其中圆心为,半径为.
方程可变形为 ,故有:
当时,方程表示以 为圆心,为半径的圆;
当时,方程表示一个点;
当时,方程不表示任何图形.
知识点2 点与圆的位置关系
与圆的位置关系
(1)若 ,则点在圆外;
(2)若,则点在圆上;
(3)若,则点在圆内.
四、例题解析
例1:圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标和半径分别是(  )
A.(2,3),3 B.(-2,3),
C.(-2,-3),13 D.(2,-3),
【答案】 D
【解析】 圆的方程可化为(x-2)2+(y+3)2=13,所以圆心坐标是(2,-3),半径r=.
例2:若不同的四点A(5,0),B(-1,0),C(-3,3),D(a,3)共圆,则a的值是________.
【答案】 7
【解析】 四点共圆,设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则解得
所以圆的方程为x2+y2-4x-y-5=0,将D(a,3)代入得a2-4a-21=0.
解得a=7或a=-3(舍).
例3:已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0.
(1)求的最大值和最小值;
(2)求y-x的最大值和最小值;
(3)求x2+y2的最大值和最小值.
【答案】 见解析
【解析】 原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心,为半径的圆.
(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设=k,即y=kx.
当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最大值或最小值,此时=,解得k=±(如图1). 所以的最大值为,最小值为-.
(2)y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距,当直线y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最大值或最小值,此时=,解得b=-2±(如图2).
所以y-x的最大值为-2+,最小值为-2-.
(3)x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3).
又圆心到原点的距离为=2,
所以x2+y2的最大值是(2+)2=7+4,x2+y2的最小值是(2-)2=7-4.
例4:圆C的圆心在x轴上,并且过点A(-1,1)和B(1,3),则圆C的方程为______________.
【答案】 (x-2)2+y2=10
【解析】设圆心坐标为C(a,0),∵点A(-1,1)和B(1,3)在圆C上,∴|CA|=|CB|,
即=,解得a=2,
∴圆心为C(2,0),半径|CA|==,
∴圆C的方程为(x-2)2+y2=10.
例5:若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则实数a的取值范围是(  )
A.(-1,1)    B.(0,1)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞)    D.a=±1
【答案】 A
【解析】 因为点(1,1)在圆的内部,所以(1-a)2+(1+a)2<4,所以-1五、课堂练习
A级
1..圆M:x2+y2+2x+2y-5=0的圆心坐标为(  )
A.(1,) B.(1,-)
C.(-1,) D.(-1,-)
【答案】 D
【解析】 圆M的圆心坐标为x=-=-1. y=-=-.故选D.
2.已知圆C:x2+y2-2x+4y+1=0,那么与圆C有相同的圆心,且经过点(-2,2)的圆的方程是(  )
A.(x-1)2+(y+2)2=5
B.(x-1)2+(y+2)2=25
C.(x+1)2+(y-2)2=5
D.(x+1)2+(y-2)2=25
【答案】 B
【解析】 圆C的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=4,圆心C(1,-2),故排除C,D,代入(-2,2)点,只有B项经过此点.也可以设出要求的圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=r2,再代入点(-2,2),可以求得圆的半径为5.故选B.
3.已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是(  )
A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定
【答案】 B
【解析】 因为M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,所以a2+b2>1,而圆心O到直线ax+by=1的距离d==<1,故直线与圆O相交.
B级
4.若圆(x-1)2+(y-1)2=2关于直线y=kx+3对称,则k的值是(  )
A.2 B.-2 C.1 D.-1
【答案】 B
【解析】 由题意知直线y=kx+3过圆心(1,1),
即1=k+3,解得k=-2.
5.已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是________,半径是________.
【答案】 (-2,-4) 5
【解析】 由已知方程表示圆,则a2=a+2,解得a=2或a=-1.
当a=2时,方程不满足表示圆的条件,故舍去.
当a=-1时,原方程为x2+y2+4x+8y-5=0,化为标准方程为(x+2)2+(y+4)2=25,
表示以(-2,-4)为圆心,半径为5的圆.
6.圆x2+2x+y2+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有(  )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】 C
【解析】 圆的方程化为(x+1)2+(y+2)2=8,圆心(-1,-2)到直线距离d==,半径是2,结合图形可知有3个符合条件的点.
C级
7.圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最大值是________.
【答案】 1+
【解析】 将圆的方程化为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心坐标为(1,1),半径为1,则圆心到直线x-y=2的距离d==,故圆上的点到直线x-y=2的距离的最大值为d+1=+1.
8.设点P是函数y=-图象上的任意一点,点Q坐标为(2a,a-3)(a∈R),则|PQ|的最小值为________.
【答案】 -2
【解析】 函数y=-的图象表示圆(x-1)2+y2=4在x轴及下方的部分,令点Q的坐标为(x,y),则得y=-3,即x-2y-6=0,作出图象如图所示,
由于圆心(1,0)到直线x-2y-6=0的距离d==>2,所以直线x-2y-6=0与圆(x-1)2+y2=4相离,因此|PQ|的最小值是-2.
9.已知A(0,2),点P在直线x+y+2=0上,点Q在圆C:x2+y2-4x-2y=0上,则|PA|+|PQ|的最小值是________.
【答案】 2
【解析】 因为圆C:x2+y2-4x-2y=0,故圆C是以C(2,1)为圆心,半径r=的圆.设点A(0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为A′(m,n),故解得故A′(-4,-2).连接A′C交圆C于Q,由对称性可知
|PA|+|PQ|=|A′P|+|PQ|≥|A′Q|=|A′C|-r=2.
六、课后作业
A级
1.已知圆C:x2+y2+kx+2y=-k2,当圆C的面积取最大值时,圆心C的坐标为________.
【答案】(0,-1)
【解析】 圆C的方程可化为+(y+1)2=-k2+1.所以,当k=0时圆C的面积最大.
2.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是(  )
A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4
C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1
【答案】 A
【解析】 设圆上任一点为Q(x0,y0),PQ的中点为M(x,y),则解得因为点Q在圆x2+y2=4上,所以x+y=4,即(2x-4)2+(2y+2)2=4,
化简得(x-2)2+(y+1)2=1.
3.圆心在x+y=0上,且与x轴交于点A(-3,0)和B(1,0)的圆的方程为(  )
A.(x+1)2+(y-1)2=5 B.(x-1)2+(y+1)2=
C.(x-1)2+(y+1)2=5 D.(x+1)2+(y-1)2=
【答案】 A
【解析】 由题意得,圆心在直线x=-1上,又圆心在直线x+y=0上,
∴圆心M的坐标为(-1,1).又A(-3,0),半径|AM|=,
则圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=5.故选A.
B级
4.已知直线x-2y+a=0与圆O:x2+y2=2相交于A,B两点(O为坐标原点),且△AOB为等腰直角三角形,则实数a的值为(  )
A.或- B.或- C. D.
【答案】 B
【解析】 因为直线x-2y+a=0与圆O:x2+y2=2相交于A,B两点(O为坐标原点),且△AOB为等腰直角三角形,所以O到直线AB的距离为1,由点到直线的距离公式可得=1,所以a=±.
5.已知圆C:(x-2)2+(y+m-4)2=1,当m变化时,圆C上的点与原点O的最短距离是________.
【答案】 1
【解析】 圆C:(x-2)2+(y+m-4)2=1表示圆心为C(2,-m+4),半径r=1的圆,则|OC|=,所以当m=4时,|OC|的最小值为2,故当m变化时,圆C上的点与原点的最短距离是|OC|-r=2-1=1.
6.若A为圆C1:x2+y2=1上的动点,B为圆C2:(x-3)2+(y+4)2=4上的动点,则线段AB长度的最大值是________.
【答案】 8
【解析】 圆C1:x2+y2=1的圆心为C1(0,0),半径r1=1,
圆C2:(x-3)2+(y+4)2=4的圆心为C2(3,-4),半径r2=2,
∴|C1C2|=5.又A为圆C1上的动点,B为圆C2上的动点,
∴线段AB长度的最大值是|C1C2|+r1+r2=5+1+2=8.
C级
7.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1,设点P是圆C上的动点.记d=|PB|2+|PA|2,其中A(0,1),B(0,-1),则d的最大值为________.
【答案】 74
【解析】 设P(x0,y0),d=|PB|2+|PA|2=x+(y0+1)2+x+(y0-1)2=2(x+y)+2.x+y为圆上任一点到原点距离的平方,∴(x+y)max=(5+1)2=36,∴dmax=74.
8.如果圆(x-a)2+(y-a)2=8上总存在到原点的距离为的点,则实数a的取值范围是________________.
【答案】[-3,-1]∪[1,3]
【解析】 圆(x-a)2+(y-a)2=8的圆心(a,a)到原点的距离为|a|,半径r=2,由圆(x-a)2+(y-a)2=8上总存在点到原点的距离为,得2-≤|a|≤2+,∴1≤|a|≤3,解得1≤a≤3或-3≤a≤-1.
∴实数a的取值范围是[-3,-1]∪[1,3].
 
9.已知在直角坐标系xOy中,A(4,0),B,若点P满足OP=1,PA的中点为M,则BM的最大值为     .
【答案】 3
【解析】 由A(4,0),B,OP=1,则P点轨迹为x2+y2=1,设M(x,y),则P(2x-4,2y) (2x-4)2+(2y)2=1 (x-2)2+y2=,M的轨迹为圆心为D(2,0),半径为的圆,故BM的最大值为|BD|+=3.第9讲 圆的方程
一、知识导图
二、知识导入
1、复习预习
(1)初中圆的定义
(2)两点间的距离公式
两点间距离公式:
2、观察引入
同学们,我们知道直线可以用一个方程表示,那么,圆可以用一个方程表示吗 圆的方程怎样来求呢 这就是本堂课的主要内容.
设计意图:由初中知识自然过度到今天要学的知识,对初中知识进行深化,激起学生新的认知冲突,从而调动学生积极性.
3、步步深化
问题1:已知两点,如何求它们之间的距离 若已知,,又如何求它们之间的距离
问题2:具有什么性质的点的轨迹称为圆
问题3:图中哪个点是定点?哪个点是动点 动点具有什么性质 圆心和半径都反映了圆的什么特点
设计意图:通过启发式提问,实现学生从图形语言到文字语言到符号语言多方面研究圆,实现“形”到“数”的转换,从而会用方程形式来描述圆.
三、知识讲解
知识点1 圆的方程
(1)标准方程:
其中圆心为,半径为.
特别地,以原点为圆心,半径为的圆的标准方程为.
(2)一般方程:.
其中圆心为,半径为.
方程可变形为 ,故有:
当时,方程表示以 为圆心,为半径的圆;
当时,方程表示一个点;
当时,方程不表示任何图形.
知识点2 点与圆的位置关系
与圆的位置关系
(1)若 ,则点在圆外;
(2)若,则点在圆上;
(3)若,则点在圆内.
四、例题解析
例1:圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标和半径分别是(  )
A.(2,3),3 B.(-2,3),
C.(-2,-3),13 D.(2,-3),
【答案】 D
【解析】 圆的方程可化为(x-2)2+(y+3)2=13,所以圆心坐标是(2,-3),半径r=.
例2:若不同的四点A(5,0),B(-1,0),C(-3,3),D(a,3)共圆,则a的值是________.
【答案】 7
【解析】 四点共圆,设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则解得
所以圆的方程为x2+y2-4x-y-5=0,将D(a,3)代入得a2-4a-21=0.
解得a=7或a=-3(舍).
例3:已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0.
(1)求的最大值和最小值;
(2)求y-x的最大值和最小值;
(3)求x2+y2的最大值和最小值.
【答案】 见解析
【解析】 原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心,为半径的圆.
(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设=k,即y=kx.
当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最大值或最小值,此时=,解得k=±(如图1). 所以的最大值为,最小值为-.
(2)y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距,当直线y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最大值或最小值,此时=,解得b=-2±(如图2).
所以y-x的最大值为-2+,最小值为-2-.
(3)x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3).
又圆心到原点的距离为=2,
所以x2+y2的最大值是(2+)2=7+4,x2+y2的最小值是(2-)2=7-4.
例4:圆C的圆心在x轴上,并且过点A(-1,1)和B(1,3),则圆C的方程为______________.
【答案】 (x-2)2+y2=10
【解析】设圆心坐标为C(a,0),∵点A(-1,1)和B(1,3)在圆C上,∴|CA|=|CB|,
即=,解得a=2,
∴圆心为C(2,0),半径|CA|==,
∴圆C的方程为(x-2)2+y2=10.
例5:若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则实数a的取值范围是(  )
A.(-1,1)    B.(0,1)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞)    D.a=±1
【答案】 A
【解析】 因为点(1,1)在圆的内部,所以(1-a)2+(1+a)2<4,所以-1五、课堂练习
A级
1..圆M:x2+y2+2x+2y-5=0的圆心坐标为(  )
A.(1,) B.(1,-)
C.(-1,) D.(-1,-)
2.已知圆C:x2+y2-2x+4y+1=0,那么与圆C有相同的圆心,且经过点(-2,2)的圆的方程是(  )
A.(x-1)2+(y+2)2=5
B.(x-1)2+(y+2)2=25
C.(x+1)2+(y-2)2=5
D.(x+1)2+(y-2)2=25
3.已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是(  )
A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定
B级
4.若圆(x-1)2+(y-1)2=2关于直线y=kx+3对称,则k的值是(  )
A.2 B.-2 C.1 D.-1
5.已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是________,半径是________.
6.圆x2+2x+y2+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有(  )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C级
7.圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最大值是________.
8.设点P是函数y=-图象上的任意一点,点Q坐标为(2a,a-3)(a∈R),则|PQ|的最小值为________.
9.已知A(0,2),点P在直线x+y+2=0上,点Q在圆C:x2+y2-4x-2y=0上,则|PA|+|PQ|的最小值是________.
六、课后作业
A级
1.已知圆C:x2+y2+kx+2y=-k2,当圆C的面积取最大值时,圆心C的坐标为________.
2.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是(  )
A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4
C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1
3.圆心在x+y=0上,且与x轴交于点A(-3,0)和B(1,0)的圆的方程为(  )
A.(x+1)2+(y-1)2=5 B.(x-1)2+(y+1)2=
C.(x-1)2+(y+1)2=5 D.(x+1)2+(y-1)2=
B级
4.已知直线x-2y+a=0与圆O:x2+y2=2相交于A,B两点(O为坐标原点),且△AOB为等腰直角三角形,则实数a的值为(  )
A.或- B.或- C. D.
5.已知圆C:(x-2)2+(y+m-4)2=1,当m变化时,圆C上的点与原点O的最短距离是________.
6.若A为圆C1:x2+y2=1上的动点,B为圆C2:(x-3)2+(y+4)2=4上的动点,则线段AB长度的最大值是________.
C级
7.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1,设点P是圆C上的动点.记d=|PB|2+|PA|2,其中A(0,1),B(0,-1),则d的最大值为________.
8.如果圆(x-a)2+(y-a)2=8上总存在到原点的距离为的点,则实数a的取值范围是________________.
9.已知在直角坐标系xOy中,A(4,0),B,若点P满足OP=1,PA的中点为M,则BM的最大值为     .
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