第11讲 常用逻辑用语
一、知识导图
知识导入
1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及其关系
(1)四种命题
一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用 p和 q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是
原命题：若p则q(p q)；
逆命题：若q则p(q p)；
否命题：若 p则 q( p q)；
逆否命题：若 q则 p( q p)．
(2)四种命题间的关系
(3)四种命题的真假性
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．
②两个命题为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件与必要条件
若p q，则p叫做q的充分条件；若q p，则p叫做q的必要条件；如果p q，则p叫做q的充要条件．
4．逻辑联结词
命题中的或，且，非叫做逻辑联结词．“p且q”记作p∧q，“p或q”记作p∨q，“非p”记作 p．
5．命题p∧q，p∨q， p的真假判断
p q p∧q p∨q p
真 真 真 真 假
真 假 假 真 假
假 真 假 真 真
假 假 假 假 真
6．全称量词与存在量词
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题，可用符号简记为 x∈M，p(x)，它的否定 x∈M， p(x)．
(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示．含有存在量词的命题，叫做特称命题，可用符号简记为 x∈M，p(x)，它的否定 x∈M， p(x)．
三、知识讲解
知识点1 命题的定义
我们把用语言，符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。
知识点2 四种命题及其相互关系
(1)互逆命题
形式：如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆命题为“若q，则p”。
(2)互否命题
形式：如果原命题为“若p，则q”，那么它的否命题为“若 p，则 q”。
说明：条件p的否定和结论q的否定分别记作“ p”和“ q”，读作“非p”和“非q”
(3)互为逆否命题
形式：如果原命题为“若p，则q”，那么它的否命题为“若 q，则 p”。
知识点3 四种命题关系的真假判断
（1）原命题为真，它的逆命题可以为真，也可以为假。
（2）原命题为真，它的否命题可以为真，也可以为假。
（3）原命题为真，它的逆否命题一定为真。
（4）互为逆否的命题是等价命题，它们同真同假，同一个命题的逆命题和否命题是一对互为逆否的命题，所以它们同真同假。
（5）四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
真 真 真 真
真 假 假 真
假 真 真 假
假 假 假 假
知识点4 充分条件与必要条件
（1）如果p q，那么p是q的充分条件
（2）如果p q，那么q是p的必要条件
知识点5 “且”或“非”的概念
(1)且
①定义：用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”
②含义：逻辑联结词“且”与我们日常用语中的“并且”“及”“和”“同时”“公共”相当。
(2)或
①定义：用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作“p或q”
②含义：在日常生活中“或者”有两种用法，其一是“不可兼”的，其二是“可兼”的，逻辑联结词“或”是“可兼”的“或”。
(3)非
①定义：对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作 p，读作“非p”或“p的否定”
含义：逻辑联结词“非”的含义是有日常生活语言中的“不是”“否定”“问题的反面”“对立”等抽象而来的。
知识点6 复合命题“p或q”“p且q”“非p”的真假判断
命题p∧q的真假：
p q p∧q
真 真 真
真 假 假
假 真 假
假 假 假
可用一句话概括为：一假则假
命题p∨q的真假
p q p∨q
真 真 真
真 假 真
假 真 真
假 假 假
可用一句话概括为：一真则真
命题 p的真假
p p
真 假
假 真
要点诠释：
真值表命题p∧q的真假可用一句话概括为：一假则假
命题p∨q的真假可用一句话概括为：一真则真
命题 p的真假可用一句话概括为：真假相对
知识点7 全称量词与存在量词
1、全称量词与全称命题
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词。用符号“ ”表示。
含有全称量词的命题，叫做全称命题。也可以理解为陈述某集合所有元素都具有某种性质的命题。
全称命题的符号记法：将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，……表示，变量x的取值范围用M表示，那么，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为： x∈M，p(x)，读作“对任意的x属于M，有p(x)成立”。
2、存在量词与特称命题
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词。用符号“ ”表示。
含有存在量词的命题，叫做特称命题。也可以理解为陈述在某集合中有（存在）一些元素具有某种性质的命题。
特称命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为： x0∈M，p(x0)，读作“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”。
知识点8 含有一个量词的命题的否定
（1）全称命题p： x∈M，p(x)，它的否定 p： x0∈M， p(x0)。
（2）特称命题p： x0∈M，p(x0)，它的否定 p： x∈M， p(x)。
（3）全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，即它们互为否定形式。
四、例题解析
例1：已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的( )
A．逆命题 B．否命题
C．逆否命题 D．否定
:【答案】 B
【解析】命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．
例2：设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】 C
【解析】 |a－3b|＝|3a＋b| (a－3b)2＝(3a＋b)2 a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2，
又∵|a|＝|b|＝1，
∴a·b＝0 a⊥b，因此|a－3b|＝|3a＋b|是“a⊥b”的充要条件.
例3：命题“若x2<1，则－1
A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1
B．若－1C．若x>1或x<－1，则x2>1
D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
【答案】 D
【解析】 原命题的逆否命题是把条件和结论都否定后，再交换条件和结论，注意“－1例3：已知命题p：若a<1，则a2<1，下列说法正确的是( )
A．命题p是真命题
B．命题p的逆命题是真命题
C．命题p的否命题是“若a<1，则a2≥1”
D．命题p的逆否命题是“若a2≥1，则a<1”
【答案】 B
【解析】 已知命题p：若a<1，则a2<1，如a＝－2，则(－2)2>1，命题p为假命题，所以A不正确；命题p的逆命题是若a2<1，则a<1，为真命题，所以B正确；命题p的否命题是若a≥1，则a2≥1，所以C不正确；命题p的逆否命题是若a2≥1，则a≥1，所以D不正确．故选B.
例4：在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A．(p)∨(q) B．p∧(q)
C．(p)∧(q) D．p∨q
【答案】 A
【解析】 命题p是“甲降落在指定范围”，则p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”．所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(p)∨(q)．
五、课堂练习
A级
1.已知集合A是奇函数集，B是偶函数集．若命题p： f(x)∈A，|f(x)|∈B，则 p为( )
A． f(x)∈A，|f(x)| B
B． f(x) A，|f(x)| B
C． f(x)∈A，|f(x)| B
D． f(x) A，|f(x)| B
2.命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆否命题是( )
A.“若a，b，c成等比数列，则b2≠ac”
B.“若a，b，c不成等比数列，则b2≠ac”
C.“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”
D.“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”
3.命题p：若x>0，则x>a；命题q：若m≤a－2，则mB级
4.已知平面α，直线m，n满足m α，n α，则“m∥n”是“m∥α”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.命题“p且q”与命题“p或q”都是假命题，则下列判断正确的是( )
A．命题“非p”与“非q”真假不同
B．命题“非p”与“非q”至多有一个是假命题
C．命题“非p”与“q”真假相同
D．命题“非p且非q”是真命题
6.命题“ x∈R，f (x)·g(x)≠0”的否定是( )
A． x∈R，f (x)＝0且g(x)＝0
B． x∈R，f (x)＝0或g(x)＝0
C． x0∈R，f (x0)＝0且g(x0)＝0
D． x0∈R，f (x0)＝0或g(x0)＝0
C级
7.若命题“ x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
8.已知p：－40，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是________．
9.“a＝1”是“函数f(x)＝－是奇函数”的__________条件.
课后作业
A级
1.命题“若A∪B＝A，则A∩B＝B”的否命题是( )
A．若A∪B≠A，则A∩B≠B
B．若A∩B＝B，则A∪B＝A
C．若A∩B≠B，则A∪B≠A
D．若A∪B≠A，则A∩B＝B
2.已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题p，q，p∨q，p∧q中真命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.命题“若x2<1，则－1A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1
B．若－1C．若x>1，或x<－1，则x2>1
D．若x≥1，或x≤－1，则x2≥1
B级
4.命题“p且q”与命题“p或q”都是假命题，则下列判断正确的是( )
A．命题“非p”与“非q”真假不同
B．命题“非p”与“非q”至多有一个是假命题
C．命题“非p”与“q”真假相同
D．命题“非p且非q”是真命题
5.直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________.
6.已知命题“ x∈R，4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围为( )
A.(－∞，0) B.[0，4] C.[4，＋∞) D.(0，4)
.
C级
7.若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的取值范围是________．
8.下列结论：
①若命题p： x0∈R，tan x0＝1；命题q： x∈R，x2－x＋1>0，则命题“p∧
(q)”是假命题；
②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3；
③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题是“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”.
其中正确结论的序号为________.
9.已知命题p：x2＋2x－3>0；命题q：>0，且q的一个必要不充分条件是p，则a的取值范围是( )
A.[－3，0] B.(－∞，－3]∪[0，＋∞)
C.(－3，0) D.(－∞，－3)∪(0，＋∞)第11讲 常用逻辑用语
一、知识导图
知识导入
1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及其关系
(1)四种命题
一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用 p和 q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是
原命题：若p则q(p q)；
逆命题：若q则p(q p)；
否命题：若 p则 q( p q)；
逆否命题：若 q则 p( q p)．
(2)四种命题间的关系
(3)四种命题的真假性
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．
②两个命题为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件与必要条件
若p q，则p叫做q的充分条件；若q p，则p叫做q的必要条件；如果p q，则p叫做q的充要条件．
4．逻辑联结词
命题中的或，且，非叫做逻辑联结词．“p且q”记作p∧q，“p或q”记作p∨q，“非p”记作 p．
5．命题p∧q，p∨q， p的真假判断
p q p∧q p∨q p
真 真 真 真 假
真 假 假 真 假
假 真 假 真 真
假 假 假 假 真
6．全称量词与存在量词
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题，可用符号简记为 x∈M，p(x)，它的否定 x∈M， p(x)．
(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示．含有存在量词的命题，叫做特称命题，可用符号简记为 x∈M，p(x)，它的否定 x∈M， p(x)．
三、知识讲解
知识点1 命题的定义
我们把用语言，符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。
知识点2 四种命题及其相互关系
(1)互逆命题
形式：如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆命题为“若q，则p”。
(2)互否命题
形式：如果原命题为“若p，则q”，那么它的否命题为“若 p，则 q”。
说明：条件p的否定和结论q的否定分别记作“ p”和“ q”，读作“非p”和“非q”
(3)互为逆否命题
形式：如果原命题为“若p，则q”，那么它的否命题为“若 q，则 p”。
知识点3 四种命题关系的真假判断
（1）原命题为真，它的逆命题可以为真，也可以为假。
（2）原命题为真，它的否命题可以为真，也可以为假。
（3）原命题为真，它的逆否命题一定为真。
（4）互为逆否的命题是等价命题，它们同真同假，同一个命题的逆命题和否命题是一对互为逆否的命题，所以它们同真同假。
（5）四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
真 真 真 真
真 假 假 真
假 真 真 假
假 假 假 假
知识点4 充分条件与必要条件
（1）如果p q，那么p是q的充分条件
（2）如果p q，那么q是p的必要条件
知识点5 “且”或“非”的概念
(1)且
①定义：用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”
②含义：逻辑联结词“且”与我们日常用语中的“并且”“及”“和”“同时”“公共”相当。
(2)或
①定义：用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作“p或q”
②含义：在日常生活中“或者”有两种用法，其一是“不可兼”的，其二是“可兼”的，逻辑联结词“或”是“可兼”的“或”。
(3)非
①定义：对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作 p，读作“非p”或“p的否定”
含义：逻辑联结词“非”的含义是有日常生活语言中的“不是”“否定”“问题的反面”“对立”等抽象而来的。
知识点6 复合命题“p或q”“p且q”“非p”的真假判断
命题p∧q的真假：
p q p∧q
真 真 真
真 假 假
假 真 假
假 假 假
可用一句话概括为：一假则假
命题p∨q的真假
p q p∨q
真 真 真
真 假 真
假 真 真
假 假 假
可用一句话概括为：一真则真
命题 p的真假
p p
真 假
假 真
要点诠释：
真值表命题p∧q的真假可用一句话概括为：一假则假
命题p∨q的真假可用一句话概括为：一真则真
命题 p的真假可用一句话概括为：真假相对
知识点7 全称量词与存在量词
1、全称量词与全称命题
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词。用符号“ ”表示。
含有全称量词的命题，叫做全称命题。也可以理解为陈述某集合所有元素都具有某种性质的命题。
全称命题的符号记法：将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，……表示，变量x的取值范围用M表示，那么，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为： x∈M，p(x)，读作“对任意的x属于M，有p(x)成立”。
2、存在量词与特称命题
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词。用符号“ ”表示。
含有存在量词的命题，叫做特称命题。也可以理解为陈述在某集合中有（存在）一些元素具有某种性质的命题。
特称命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为： x0∈M，p(x0)，读作“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”。
知识点8 含有一个量词的命题的否定
（1）全称命题p： x∈M，p(x)，它的否定 p： x0∈M， p(x0)。
（2）特称命题p： x0∈M，p(x0)，它的否定 p： x∈M， p(x)。
（3）全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，即它们互为否定形式。
四、例题解析
例1：已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的( )
A．逆命题 B．否命题
C．逆否命题 D．否定
:【答案】 B
【解析】命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．
例2：设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】 C
【解析】 |a－3b|＝|3a＋b| (a－3b)2＝(3a＋b)2 a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2，
又∵|a|＝|b|＝1，
∴a·b＝0 a⊥b，因此|a－3b|＝|3a＋b|是“a⊥b”的充要条件.
例3：命题“若x2<1，则－1A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1
B．若－1C．若x>1或x<－1，则x2>1
D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
【答案】 D
【解析】 原命题的逆否命题是把条件和结论都否定后，再交换条件和结论，注意“－1例3：已知命题p：若a<1，则a2<1，下列说法正确的是( )
A．命题p是真命题
B．命题p的逆命题是真命题
C．命题p的否命题是“若a<1，则a2≥1”
D．命题p的逆否命题是“若a2≥1，则a<1”
【答案】 B
【解析】 已知命题p：若a<1，则a2<1，如a＝－2，则(－2)2>1，命题p为假命题，所以A不正确；命题p的逆命题是若a2<1，则a<1，为真命题，所以B正确；命题p的否命题是若a≥1，则a2≥1，所以C不正确；命题p的逆否命题是若a2≥1，则a≥1，所以D不正确．故选B.
例4：在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A．(p)∨(q) B．p∧(q)
C．(p)∧(q) D．p∨q
【答案】 A
【解析】 命题p是“甲降落在指定范围”，则p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”．所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(p)∨(q)．
五、课堂练习
A级
1.已知集合A是奇函数集，B是偶函数集．若命题p： f(x)∈A，|f(x)|∈B，则 p为( )
A． f(x)∈A，|f(x)| B
B． f(x) A，|f(x)| B
C． f(x)∈A，|f(x)| B
D． f(x) A，|f(x)| B
【答案】 C
【解析】全称命题的否定为特称命题：改写量词，否定结论．
所以 p： f(x)∈A，|f(x)| B.
2.命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆否命题是( )
A.“若a，b，c成等比数列，则b2≠ac”
B.“若a，b，c不成等比数列，则b2≠ac”
C.“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”
D.“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”
【答案】 D
【解析】 命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆否命题是“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”.
3.命题p：若x>0，则x>a；命题q：若m≤a－2，则m【答案】 [0，1)
【解析】 命题p的逆命题是若x>a，则x>0，故a≥0.因为命题q的逆否命题为真命题，所以命题q为真命题，则a－2<－1，解得a<1.则实数a的取值范围是[0，1).
B级
4.已知平面α，直线m，n满足m α，n α，则“m∥n”是“m∥α”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】 A
【解析】 若m α，n α，m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α.若m∥α，m α，n α，不一定推出m∥n，直线m与n可能异面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件.
5.命题“p且q”与命题“p或q”都是假命题，则下列判断正确的是( )
A．命题“非p”与“非q”真假不同
B．命题“非p”与“非q”至多有一个是假命题
C．命题“非p”与“q”真假相同
D．命题“非p且非q”是真命题
【答案】 D
【解析】p且q是假命题 p和q中至少有一个为假，则非p和非q至少有一个是真命题．p或q是假命题 p和q都是假命题，则非p和非q都是真命题．
6.命题“ x∈R，f (x)·g(x)≠0”的否定是( )
A． x∈R，f (x)＝0且g(x)＝0
B． x∈R，f (x)＝0或g(x)＝0
C． x0∈R，f (x0)＝0且g(x0)＝0
D． x0∈R，f (x0)＝0或g(x0)＝0
【答案】 D
【解析】 根据全称命题与特称命题的互为否定的关系可得：命题“ x∈R，f (x)g(x)≠0”的否定是“ x0∈R，f (x0)＝0或g(x0)＝0”．故选D.
C级
7.若命题“ x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
【答案】 (－∞，－1)∪(3，＋∞)
【解析】∵ x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1<0是真命题，∴对于方程x2＋(a－1)x＋1＝0，Δ＝(a－1)2－4>0，解得a>3或a<－1.
8.已知p：－40，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是________．
【答案】 [－1,6]
【解析】 p：a－4由p是q的充分条件可知，
q是p的充分条件，即q p，
∴解得－1≤a≤6.
9.“a＝1”是“函数f(x)＝－是奇函数”的__________条件.
【答案】 充分不必要
【解析】 当a＝1时，f(－x)＝－f(x)(x∈R)，则f(x)是奇函数，充分性成立.
若f(x)为奇函数，恒有f(－x)＝－f(x)，得(1－a2)(e2x＋1)＝0，则a＝±1，必要性不成立.故“a＝1”是“函数f(x)＝－是奇函数”的充分不必要条件.
五、课堂练习
A级
1.命题“若A∪B＝A，则A∩B＝B”的否命题是( )
A．若A∪B≠A，则A∩B≠B
B．若A∩B＝B，则A∪B＝A
C．若A∩B≠B，则A∪B≠A
D．若A∪B≠A，则A∩B＝B
【答案】 A
【解析】否命题是既否定条件又否定结论．
2.已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题p，q，p∨q，p∧q中真命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】 B
【解析】 p和q显然都是真命题，所以p，q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题.
3.命题“若x2<1，则－1A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1
B．若－1C．若x>1，或x<－1，则x2>1
D．若x≥1，或x≤－1，则x2≥1
【答案】 D
【解析】 “若p，则q”的逆否命题是“若q，则p”，“<”的否定是“≥”．故选D.
B级
4.命题“p且q”与命题“p或q”都是假命题，则下列判断正确的是( )
A．命题“非p”与“非q”真假不同
B．命题“非p”与“非q”至多有一个是假命题
C．命题“非p”与“q”真假相同
D．命题“非p且非q”是真命题
【答案】 D
【解析】p且q是假命题 p和q中至少有一个为假，则非p和非q至少有一个是真命题．p或q是假命题 p和q都是假命题，则非p和非q都是真命题．
5.直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________.
【答案】 －1【解析】直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点等价于<，解之得－1
6.已知命题“ x∈R，4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围为( )
A.(－∞，0) B.[0，4] C.[4，＋∞) D.(0，4)
【答案】 D
【解析】 因为命题“ x∈R，4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，所以其否定命题“ x∈R，4x2＋(a－2)x＋>0”是真命题.
则Δ＝(a－2)2－4×4×＝a2－4a<0，解得0C级
7.若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的取值范围是________．
【答案】 [1,2)
【解析】 由x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}，得x<1或x≥2.∵此命题是假命题，
∴1≤x<2.
8.下列结论：
①若命题p： x0∈R，tan x0＝1；命题q： x∈R，x2－x＋1>0，则命题“p∧
(q)”是假命题；
②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3；
③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题是“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”.
其中正确结论的序号为________.
【答案】 ①③
【解析】 ①中命题p为真命题，命题q为真命题，
所以p∧(q)为假命题，故①正确；
②当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；
③正确，所以正确结论的序号为①③.
9.已知命题p：x2＋2x－3>0；命题q：>0，且q的一个必要不充分条件是p，则a的取值范围是( )
A.[－3，0] B.(－∞，－3]∪[0，＋∞)
C.(－3，0) D.(－∞，－3)∪(0，＋∞)
【答案】 A
【解析】 法一 由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1.
则p对应的集合为A＝{x|－3≤x≤1}.
命题q：x>a＋1或x则q对应的集合为B＝{x|a≤x≤a＋1}.
依题意q是p的充分不必要条件，所以BA，
故解得－3≤a≤0.
法二 ∵q的一个必要不充分条件是p，
∴p是q的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件，
p对应的集合C＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x<－3或x>1}，
q对应的集合D＝＝{x|x>a＋1或x由于p是q的充分不必要条件知，CD，
∴解得－3≤a≤0.