2.1 平面向量的实际背景和基本概念-人教A版高中数学必修四讲义（Word解析版）

从近几年的高考试题来看，高考对于向量知识的考查，多以选择题、填空题的形式出现，题目难度不大，共线向量的考查频率较高，向量的线性运算也常与函数等知识综合命题，题目比较新颖。
教材要点 学科素养 学考 高考 考法指津 高考考向
1.向量的概念 数学抽象 水平1 水平2 1.向量是一个既有大小又有方向的量，方向和大小是向量的两个要素。 2.注意向量共线与线段共线不同 【考查内容】本节内容是平面向量的基础知识，在高考中很少单独考查，但常与后面的知识综合命题。 【考查题型】选择题、填空题 【分值情况】5分
2.零向量、单位向量、向量的模的概念 数学抽象 水平1 水平2
3.相等向量、相反向量的概念 数学抽象 水平1 水平2
4.共线向量的概念 数学抽象 水平1 水平2
高中数学，同步讲义 必修四 第二章 平面向量 第一讲 平面向量的实际背景和基本概念
知识点一　向量的概念及表示
思考1　在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？
答案　 面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向．
思考2　向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？
答案　可以用一条有向线段表示．
思考3　向量可以用有向线段表示，那么能否说向量就是有向线段？
答案　向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段．向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段．
梳理　(1)向量：具有大小和方向的量称为向量．只有大小和方向，而无特定的位置的向量叫做自由向量．
(2)有向线段：从点A位移到点B，用线段AB的长度表示位移的距离，在点B处画上箭头表示位移的方向，这时我们说线段AB具有从A到B的方向．具有方向的线段，叫做有向线段．点A叫做有向线段的始点，点B叫做有向线段的终点．有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示位移的距离，位移的距离叫做向量的长度．
(3)以A为始点，以B为终边的有向线段记作，的长度记作||，如果有向量线段表示一个向量，通常我们就说向量.
知识点二　相等向量
思考1　已知A，B为平面上不同两点，那么向量和向量相等吗？
答案　因为向量和向量方向不同，所以二者不相等．
思考2　两向量相等需要具备哪些条件？
答案　需要具备两个条件：长度相等、方向相同．
梳理　(1)同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量．
(2)如果＝a，那么的长度表示向量a的大小，也叫做a的长(或模)，记作|a|.两个向量a和b同向且等长，即a和b相等，记作a＝b.
知识点三　向量共线或平行
思考1　共线向量的方向有何特征？
答案　共线向量的方向相同或相反．
思考2　向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？
答案　不相同．我们说到向量，指的都是自由向量，因此向量可以任意移动．由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量．因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合．
梳理　(1)通过有向线段的直线，叫做向量的基线(如图)．如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行．向量a平行于b，记作a∥b.
(2)长度等于零的向量，叫做零向量，记作0.零向量的方向不确定，在处理平行问题时，通常规定零向量与任意向量平行．
知识点四　位置向量
任给一定点O和向量a(如图)，过点O作有向线段＝a，则点A相对于点O的位置被向量a所唯一确定，这时向量，又常叫做点A相对于点O的位置向量．
题型一　向量的概念
例1　已知下列命题.
①有向线段就是向量，向量就是有向线段；
②如果向量与向量共线，则A，B，C，D四点共线；
③如果a∥b，b∥c，那么a∥c；
④两个向量不能比较大小，但是它们的模能比较大小.
其中正确的命题为
A.①③④　　　　　　 B.③④
C.④ D.②③
解析：　对于①，向量是矢量，用有向线段表示，但有向线段本身不是向量，所以①错误；对于②，当向量与向量共线时，A，B，C，D四点不一定共线，所以②错误；对于③，当a∥b，b∥c时，若b＝0，则a∥c不一定成立，所以③错误；对于④，向量是矢量，两个向量不能比较大小，它们的模能比较大小，所以④正确.综上，正确命题的序号是④.故选C.
答案　C
变式训练1　下列说法错误的有________.(填上你认为所有符合的序号)
①两个单位向量不可能平行；
②两个非零向量平行，则它们所在直线平行；
③当两个向量a，b共线且方向相同时，若|a|＞|b|，则a＞b.
解析：　①错误，单位向量也可能平行；
②错误，两个非零向量平行，它们所在直线还可能重合；
③错误，两个向量是不能比较大小的，只有模可以比较大小.
答案　①②③
题型二　共线向量与相等向量
例2　如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点．
(1) 写出与共线的向量；
(2) 写出与的模大小相等的向量；
(3) 写出与相等的向量．
解析：　(1)因为E，F分别是AC，AB的中点，
所以EF∥BC，且EF＝BC.又因为D是BC的中点，
所以与共线的向量有，，，，，，.
(2)与模相等的向量有，，，，.
(3)与相等的向量有，.
变式训练2　
如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心．
(1) 与的模相等的向量有多少个？
(2) 是否存在与长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？
(3) 与共线的向量有哪些？
解析：　(1)与的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB)，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个．
(2)存在．由正六边形的性质可知，BC∥AO∥EF，所以与长度相等、方向相反的向量有，，，，共4个．
(3)由(2)知，BC∥OA∥EF，线段OD，AD与OA在同一条直线上，所以与共线的向量有，，，，，，，，，共9个．
题型三　向量的表示及应用
例3　一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点．
(1) 作出向量，，；
(2) 求||.
解析：　(1)向量，，如图所示．
(2)由题意易知，与方向相反，故与共线．
又∵||＝||，
∴在四边形ABCD中，AB∥CD，且AB＝CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴＝，∴||＝||＝200 km.
变式训练3　在如图的方格纸中，画出下列向量.
(1) ||＝3，点A在点O的正西方向；
(2) ||＝3，点B在点O北偏西45°方向；
(3) 求出||的值.
解析：　取每个方格的单位长为1，
依题意，结合向量的表示可知，
(1)(2)的向量如图所示.
(3)由图知，△AOB是等腰直角三角形，
所以||＝＝3.
一、选择题
1．下列结论正确的个数是(　　)
①温度含零上和零下温度，所以温度是向量；
②向量的模是一个正实数；
③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；
④若|a|>|b|，则a>b.
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：　①温度没有方向，所以不是向量，故①错；②向量的模也可以为0，故②错；④向量不可以比较大小，故④错；③若a，b中有一个为零向量，则a与b必共线，故a与b不共线，则应均为非零向量，故③对．
答案　B
2．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程．其中是向量的有(　　)
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
解析：　②③④⑤是向量．
答案　C
3.如图，在四边形ABCD中，若＝，则图中相等的向量是(　　)
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
解析：　∵＝，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AC，BD互相平分，∴＝.
答案　D
4．以下命题：①|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关；②两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；④单位向量都是共线向量．
其中，正确说法的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：　②④错误．
答案　C
5．若a为任一非零向量，b的模为1，给出下列各式：
①|a|>|b|；②a∥b；③|a|>0；④|b|＝±1.
其中正确的是(　　)
A．①④ B．③
C．①②③ D．②③
解析：①中，|a|的大小不能确定，故①错误；②中，两个非零向量的方向不确定，故②错误；
④中，向量的模是一个非负实数，故④错误；③正确．选B.
答案 B
6．如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断错误的是(　　)
A. ＝ B. ∥
C . ||＝|| D. ＝
解析：由题图可知，||＝||，但、不共线，故≠，故选D.
答案 D
7．下列说法中正确的是(　　)
A．有向线段与表示同一个向量
B．两个有公共终点的向量是平行向量
C．零向量与单位向量是平行向量
D．对任一向量a，是一个单位向量
解析：　向量与是相反向量；有公共终点的向量的方向不能确定；当a＝0时，无意义．
故只有C选项正确．
答案　C
8．若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为(　　)
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．等腰梯形
解析：　由＝知四边形为平行四边形；
由||＝||知四边形ABCD为菱形．故选C．
答案　C
9.下列命题中，正确的是
A.|a|＝1 a＝±1 B.|a|＝|b|且a∥b a＝b
C.a＝b a∥b D.a∥0 |a|＝0
解析：　两向量共线且模相等，但两向量不一定相等，0与任一向量平行.
答案　C
10.下列结论中，不正确的是
A.向量，共线与向量∥意义是相同的
B.若＝，则∥
C.若向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b
D.若向量＝，则向量＝
解析：　平行向量又叫共线向量.相等向量一定是平行向量，但两个向量长度相等，方向却不一定相同，故C错误.故选C.
答案　C
二、填空题
11．在四边形ABCD中，若＝且||＝||，则四边形的形状为________．
解析：　∵＝，∴AB∥DC，且AB＝DC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵||＝||，∴四边形ABCD是菱形．
答案　菱形
12．如图，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则||＝________.
解析：因为正方形的对角线长为2，所以||＝.
答案
13.设a0，b0分别是a，b的单位向量，则下列结论中正确的是________(填序号).
①a0＝b0；②a0＝－b0；③|a0|＋|b0|＝2；④a0∥b0.
答案　③
14．如图所示，已知四边形ABCD是矩形，O为对角线AC与BD的交点，设点集M＝{O，A，B，C，D}，向量的集合T＝{|P，Q∈M，且P，Q不重合}，则集合T有________个元素．
解析：以矩形ABCD的四个顶点及它的对角线交点O五点中的任一点为起点，其余四点中的一个点为终点的向量共有20个．但这20个向量中有8对向量是相等的，其余12个向量各不相等，即为()、()，()，()，()，()，()，()，，，，，由元素的互异性知T中有12个元素．
答案 12
三、解答题
15.如图所示，在以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中，
(1) 写出与，相等的向量；
(2) 写出与的模相等的向量．
解析：　(1)＝＝，＝.
(2)与的模相等的向量有，，.
16．在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量a.
(1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a.
(2)画一个以C为起点的向量c，使|c|＝2，并说出c的终点的轨迹是什么．
解析：(1)根据相等向量的定义，
所作向量b应与a同向，且长度相等，如图所示．
(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c，所有这样的向量c的终点的轨迹是以点C为圆心，2为半径的圆，如图所示．
17．如图2 1 6所示，已知四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，又＝且＝，
求证：＝.
图2 1 6
证明：　因为＝，
所以||＝||且AB∥DC，
所以四边形ABCD是平行四边形，
所以||＝||且DA∥CB．
又因为与的方向相同，
所以＝.
同理可证，四边形CNAM是平行四边形，
所以＝.
因为||＝||，||＝||，
所以||＝||.
又与的方向相同，
所以＝.
18. 一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地.
(1)在如图所示的坐标系中画出，，，；
(2)求B地相对于A地的位移.
解析：　(1)向量，，，如图所示.
(2)由题意知＝.所以AD綊BC，
则四边形ABCD为平行四边形.
所以＝，则B地相对于A地的位移为“北偏东60°，6千米”.
一、选择题
1．下列说法错误的是(　　)
A．若a＝0，则|a|＝0 B．零向量是没有方向的
C．零向量与任一向量平行 D．零向量的方向是任意的
解析：　零向量的长度为0，方向是任意的，它与任一向量都平行，所以B是错误的．
答案　B
2．下列说法中正确的个数是(　　)
①任一向量与它的相反向量都不相等；②一个向量方向不确定当且仅当模为0；③共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；④单位向量的模都相等．
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　C
3.下列说法中，正确的是
A.两个有公共起点且共线的向量，其终点必相同
B.模为0的向量叫做零向量
C.向量就是有向线段
D.任何向量的模都是正实数
解析：　选项A，因为向量的方向和长度未知，所以向量的终点未必相同；选项C，向量与有向线段是两个不同的概念；选项D，零向量的模是0，故D错误.故选B.
答案　B
4.下列说法中：
①若a是单位向量，b也是单位向量，则a与b的方向相同或相反.
②若向量是单位向量，则向量也是单位向量.
③两个相等的向量，若起点相同，则终点必相同.
其中正确的个数为
A.0 B.1 C.2 D.3
解析：　由单位向量的定义知，凡长度为1的向量均称为单位向量，对方向没有任何要求，故①不正确；因为||＝||，所以当是单位向量时，也是单位向量，故②正确；据相等向量的概念知，③是正确的.
答案　C
5.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法错误的是(　　)
A．与相等的向量只有一个(不含)
B．与的模相等的向量有9个(不含)
C.的模恰为的模的倍
D.与不共线
解析：　由于＝，因此与相等的向量只有，因此选项A正确；而与的模相等的向量有，，，，，，，，，因此选项B正确；而在Rt△AOD中，∵∠ADO＝30°，
∴||＝||，故||＝||，因此选项C正确；由于＝，因此与是共线的
答案　D
6．下列说法正确的是(　　)
A. ∥表示所在的直线平行于所在的直线
B．长度相等的向量叫做相等向量
C．零向量的长度等于0
D．共线向量是在一条直线上的向量
解析：　∥表示所在的直线平行于所在的直线，或所在的直线与所在的直线重合；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同；共线向量也称为平行向量，它们可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，所以A，B，D均错误
答案　C
7．下列说法正确的是(　　)
A．若a与b平行，b与c平行，则a与c一定平行
B．终点相同的两个向量不共线
C．若|a|>|b|，则a>b
D．单位向量的长度为1
解析：A中，因为零向量与任意向量平行，若b＝0，则a与c不一定平行．B中，两向量终点相同，
若夹角是0°或180°，则共线．C中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小．
答案 D
8．在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则以下说法错误的是(　　)
A．与相等的向量只有一个(不含)
B．与的模相等的向量有9个(不含)
C.的模恰为模的倍
D.与不共线
解析：两向量相等要求长度(模)相等，方向相同．两向量共线只要求方向相同或相反．D中，所在直线平行，向量方向相同，故共线．
答案 D
9．给出下列四个命题：
①若|a|＝0，则a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|；④若a＝0，则－a＝.
其中的正确命题有(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：　对于①，前一个零是实数，后一个应是向量0.对于②，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定．对于③，两个向量平行，它们的方向相同或相反，模未必相等．只有④正确．
答案　A
10.如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式成立的是
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
解析：　根据相等向量的定义，A中，与的方向不同，故A错误；B中，与的方向不同，故B错误；C中，与的方向相反，故C错误；D中，与的方向相同，且长度都等于线段EF长度的一半，故D正确.
答案　D
二、填空题
11．给出以下5个条件：
①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量．其中能使a∥b成立的是________．(填序号)
解析：　相等向量一定是共线向量，故①能使a∥b；方向相同或相反的向量一定是共线向量，故③能使a∥b；零向量与任一向量平行，故④能使a∥b.
答案　①③④
12．给出下列三个条件：①|a|＝|b|；②a与b方向相反；③|a|＝0或|b|＝0，
其中能使a∥b成立的条件是________．
解析：由于|a|＝|b|并没有确定a与b的方向，即①不能够使a∥b成立；因为a与b方向相反时，a∥b，
即②能够使a∥b成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a|＝0或|b|＝0时，a∥b能够成立．
故使a∥b成立的条件是②③.
答案 ②③
13．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________.
解析：　因为A，B，C三点不共线，所以与不共线．又因为m∥且m∥，所以m＝0.
答案　0
14．给出以下五个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量．其中能使a∥b成立的是________．
解析：共线向量指的是方向相同或相反的向量，它只涉及方向，不涉及大小．很明显仅有①③④.
答案 ①③④
三、解答题
15. O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图2 1 5所示的向量中：
图2 1 5
(1) 分别找出与，相等的向量；
(2) 找出与共线的向量；
(3)找出与模相等的向量；
(4)向量与是否相等？
解析：　(1) ＝，＝.
(2) 与共线的向量有：，，.
(3) 与模相等的向量有：，，，，，，.
(4) 向量与不相等，因为它们的方向不相同．
16．如图，已知＝＝.求证：
(1) △ABC≌△A′B′C′；
(2) ＝，＝.
证明：　(1)∵＝，∴||＝||，且∥.
又∵点A不在上，∴AA′∥BB′，
∴四边形AA′B′B是平行四边形，
∴||＝||.
同理||＝||，||＝||.
∴△ABC≌△A′B′C′.
(2)∵四边形AA′B′B是平行四边形，
∴∥，且||＝||，
∴＝.同理可证＝.
17．如图所示，在四边形ABCD中，＝，N、M分别是AD、BC上的点，且＝.求证：＝.
证明：∵＝，∴||＝||且AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴||＝||且DA∥CB.
又∵与的方向相同，∴＝，∴||＝||.
同理可得，四边形CNAM是平行四边形，∴＝.
∴||＝||，∴||＝||，
又与的方向相同，∴＝.