2.2 平面向量的线性运算-人教A版高中数学必修四讲义（Word解析版）
文档属性
| 名称 | 2.2 平面向量的线性运算-人教A版高中数学必修四讲义（Word解析版） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 675.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-23 18:41:54 | ||
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文档简介
教材要点 学科素养 学考 高考 考法指津 高考考向
1.向量加法的相关概念 直观想象 水平1 水平2 1.向量是加减法可以类比实数的加减法运算 2.向量有方向，因此在进行向量运算时，要考虑方向问题 【考查内容】1.向量加法、减法运算法则及其几何意义是高考的热点。 2.向量共线的判定、向量的数乘运算及其几何意义。 【考查题型】选择题、填空题 【分值情况】5分
2.向量减法的相关概念 直观想象 水平1 水平2
3.向量的数乘运算 数学运算 水平1 水平2
4.向量数乘运算的几何意义 直观想象 水平1 水平2
高中数学，同步讲义 必修四 第二章 平面向量 第二讲 平面向量的线性运算
知识点一 向量加法的三角形法则与平行四边形法则
分析下列实例：
(1)飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京(如图)，这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的．
(2)有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力分别是F1＝3 000 N，F2＝2 000 N，牵引绳之间的夹角为θ＝60°(如图)，如果只用一条拖轮来牵引，也能产生跟原来相同的效果．
思考1 从物理学的角度来讲，上面实例中位移、牵引力说明了什么？体现了向量的什么运算？
答案 后面的一次位移叫做前面两次位移的合位移，四边形OACB的对角线 表示的力是与表示的力的合力．体现了向量的加法运算．
思考2 上述实例中位移的和运算、力的和运算分别用了什么法则？
答案 三角形法则和平行四边形法则．
梳理 (1)向量加法的定义
求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
(2)三角形法则
如图所示，已知向量a，b，在平面上任取一点A，作＝a，＝b，再作向量，
则向量叫做a与b的和(或和向量)，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．
对于零向量与任一向量a的和，有a＋0＝0＋a＝a.
(3)平行四边形法则
如图所示，已知两个不共线向量a，b，作＝a，＝b，
则A，B，D三点不共线，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则对角线上的向量＝a＋b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．
知识点二 向量求和的多边形法则
思考 如果一个动点先由点A位移到点B，再由点B位移到点C，最后由点C位移到点D，那么动点的合位移向量是多少？由此可得到向量加法的什么法则？
答案 合位移向量是，由此可得向量求和的多边形法则．
梳理 已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量，这个法则叫做向量求和的多边形法则．
知识点三 向量加法的运算律
思考1 实数加法有哪些运算律？
答案 交换律和结合律．
思考2 根据图中的平行四边形ABCD，验证向量加法是否满足交换律．(注：＝a，＝b)
答案 ∵＝＋，∴＝a＋b.
∵＝＋，∴＝b＋a.
∴a＋b＝b＋a.
思考3 根据图中的四边形ABCD，验证向量加法是否满足结合律．(注：＝a，＝b，＝c)
答案 ∵＝＋
＝(＋)＋，
∴＝(a＋b)＋c.
又∵＝＋＝＋(＋)，
∴＝a＋(b＋c)，
∴(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
梳理 向量加法的运算律
交换律 a＋b＝b＋a
结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
知识点四 向量的减法
思考1 向量减法的几何意义是什么？
答案 a－b的几何意义：当向量a，b的始点相同时，从向量b的终点指向向量a的终点的向量．
思考2 向量减法的三角形法则是什么？
答案 (1)两个向量a，b的始点移到同一点；
(2)连接两个向量(a与b)的终点；
(3)差向量a－b的方向是指向被减向量的终点．
这种求差向量a－b的方法叫做向量减法的三角形法则．概括为“移为共始点，连接两终点，方向指被减”．
梳理 (1)已知向量a，b(如图)，作＝a，作＝b，则b＋＝a，向量叫做向量a与b的差，并记作a－b，即＝a－b＝－.
(2)如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量．
(3)一个向量等于它的终点相对于点O的位置向量减去它的始点相对于点O的位置向量，或简记“终点向量减始点向量”．
知识点五 相反向量
思考 实数a的相反数为－a，向量a与－a的关系应叫做什么？
答案 相反向量．
梳理 (1)与向量a方向相反且等长的向量叫做a的相反向量，记作－a(如图)．显然a＋(－a)＝0.
(2)从一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．
知识点六 |a|－|b|，|a±b|，|a|＋|b|三者的关系
思考 在三角形中有两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，结合这一性质及向量加、减法的几何意义，|a|－|b|，|a±b|，|a|＋|b|三者关系是怎样的？
答案 它们之间的关系为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
梳理 当向量a，b不共线时，作＝a，＝b，
则a＋b＝，如图(1)，根据三角形的三边关系，
则有||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|.
当a与b共线且同向或a，b中至少有一个为零向量时，作法同上，如图(2)，此时|a＋b|＝|a|＋|b|.当a与b共线且反向或a，b中至少有一个为零向量时，不妨设|a|>|b|，作法同上，如图(3)，此时|a＋b|＝||a|－|b||.
故对于任意向量a，b，总有||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.①
因为|a－b|＝|a＋(－b)|，
所以||a|－|－b||≤|a－b|≤|a|＋|－b|，
即||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.②
将①②两式结合起来即为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
知识点七 数乘向量的定义
思考1 实数与向量相乘的结果是实数还是向量？
答案 向量．
思考2 向量3a，－3a与a从长度和方向上分析具有怎样的关系？
答案 3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相同．
－3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相反．
梳理 (1)定义：实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且λa的长|λa|＝|λ||a|.
λa(a≠0)的方向
当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ0＝0.
(2)λa中的实数λ，叫做向量a的系数．数乘向量的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小．
知识点八 向量数乘的运算律
思考 类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？
答案 结合律，分配律．
梳理 向量数乘运算律
(1)λ(μa)＝(λμ)a.
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
知识点九 向量的线性运算
向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算．
题型一
向量加法的三角形法则和平行四边形法则
规律方法
例1 如图(1)(2)，已知向量a，b，c，
求作向量a＋b和a＋b＋c.
(1) (2)
解析： (1)作法：在平面内任意取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b.
(2)在平面内任意取一点O，作＝a，＝b，
＝c，则＝a＋b＋c.
变式训练1 如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点．
(1) ＋＝________；
(2) ＋＋＝________；
(3) ＋＋＝________；
(4) ＋＋＝________.
答案 (1) (2) (3) (4)0
题型二 向量加法运算律的应用
例2 化简：
(1) ＋；(2)＋＋；
(3) ＋＋＋＋.
解析： (1)＋＝＋＝.
(2)＋＋＝＋＋
＝(＋)＋＝＋＝0.
(3)＋＋＋＋
＝＋＋＋＋
＝＋＋＋
＝＋＋
＝＋＝0.
变式训练2 已知正方形ABCD的边长等于1，则|＋＋＋|＝________.
解析： |＋＋＋|＝|＋＋＋|＝|＋|＝2||＝2.
答案 2
题型三 向量减法的几何作图
例3 如图，已知向量a，b，c不共线，
求作向量a＋b－c.
解析： 方法一 如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，
再作＝c，则＝a＋b－c.
方法二 如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，
则＝a＋b－c.
变式训练3 如图所示，已知向量a，b，c，d，求作向量a－b，c－d.
解析： 如图所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d.
则a－b＝，c－d＝.
题型四 向量减法法则的应用
例4 化简下列式子：
(1) －－－；
(2) (－)－(－)．
解析： (1)原式＝＋－
＝＋＝－
＝0.
(2)原式＝－－＋
＝(－)＋(－)
＝＋
＝0.
变式训练4 化简：(1) (－)－(－)；
(2) (＋＋)－(－－)．
解析： (1) (－)－(－)
＝－
＝.
(2) (＋＋)－(－－)
＝＋－＋(＋)
＝＋－＋
＝－＋＝＋＋
＝＋
＝0.
题型五 数乘向量概念的理解
例5 已知a，b是两个非零向量，判断下列各命题的对错，并说明理由：
(1) 2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍；
(2) －2a的方向与5a的方向相反，且－2a的模是5a的模的；
(3) －2a与2a是一对相反向量；
(4) a－b与－(b－a)是一对相反向量；
(5) 若a，b不共线，则λa与b不共线．
解析：
(1)正确．∵2>0，∴2a与a同向，且|2a|＝2|a|.
(2)正确．∵5>0，∴5a与a同向，且|5a|＝5|a|.
∵－2<0，∴－2a与a反向，且|－2a|＝2|a|.
(3)正确．
(4)错误．－(b－a)＝－b＋a＝a－b.
(5)错误．若λ＝0，则0a＝0,0与任意向量共线．
变式训练5 已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的是( )
①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；
③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na，
则m＝n.
A．①④ B．①②
C．①③ D．③④
解析： ①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m＝0，则不能推出a＝b，错误；④中，若a＝0，则m，n没有关系，错误．
答案 B
题型6 向量的线性运算
例6 (1)化简：[2(2a＋4b)－4(5a－2b)]．
解析： [2(2a＋4b)－4(5a－2b)]
＝(4a＋8b－20a＋8b)
＝(－16a＋16b)
＝－4a＋4b.
(2) 已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，
求向量x，y.
解析： 因为
由①×3＋②×2，得x＝3a＋2b，
代入①得3×(3a＋2b)－2y＝a，即y＝4a＋3b.
所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b.
变式训练6 (1)计算：(a＋b)－3(a－b)－8a.
解析： (a＋b)－3(a－b)－8a
＝(a－3a)＋(b＋3b)－8a
＝－2a＋4b－8a
＝－10a＋4b.
(2) 若2－(c＋b－3y)＋b＝0，
其中a，b，c为已知向量，则未知向量y＝________.
解析： 因为2－(c＋b－3y)＋b＝0，
3y－a＋b－c＝0，所以y＝a－b＋c.
答案 a－b＋c
题型七 向量加法的实际应用
例7 在水流速度为4 km/h的河中，要使船以12 km/h的实际航速与河岸成直角行驶，求船的航行速度的大小和方向．
解析： 如图，设表示水流的速度，则表示船的实际航行速度，连接BC，作AD∥BC，且AD＝BC，则为所求船的航行速度，且＋＝.
∵||＝4 km/h，||＝12 km/h，
∴tan∠ACB＝＝.
∴∠ACB＝30°＝∠CAD，||＝||＝8 km/h，
∠BAD＝120°.
∴船的航行速度的大小为8 km/h，方向与水流速度成120°角．
变式训练7 如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小．(绳子的重量忽略不计)
解析： 如图所示，设，分别表示A，B所受的力，10 N的重力用表示，则＋＝.
易得∠ECG＝180°－150°＝30°，
∠FCG＝180°－120°＝60°，
∴||＝||cos 30°
＝10×＝5(N)，
||＝||cos 60°
＝10×＝5(N)．
∴A处所受的力为5 N，B处所受的力为5 N.
题型八 向量减法几何意义的应用
例8 已知||＝6，||＝9，求|－|的取值范围．
解析： ∵|||－|||≤|－|≤||＋||，且||＝9，||＝6，∴3≤|－|≤15.
当与同向时，|－|＝3；
当与反向时，|－|＝15.
∴|－|的取值范围为[3,15]．
变式训练8 在四边形ABCD中，设＝a，＝b，且＝a＋b，若|a＋b|＝|a－b|，则四边形ABCD的形状是( )
A．梯形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
解析： ∵＝a＋b，
∴四边形ABCD为平行四边形．
又∵＝a－b，|a＋b|＝|a－b|，
∴||＝||.
∴四边形ABCD为矩形．
答案 B
题型九 用已知向量表示其他向量
例9 在△ABC中，若点D满足＝2，
则等于( )
A. ＋ B. －
C. － D. ＋
解析： 示意图如图所示，
由题意可得＝＋
＝＋
＝＋(－)
＝＋.
变式训练9
如图所示，已知＝，
用，表示.
解析：
＝＋＝＋
＝＋(－)
＝－＋.
一、选择题
1.如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋等于( )
A． 0 B.
C. D.
解析： ＋＋＝＋＋＝＋＝.
答案 D
2．下列说法正确的个数为( )
①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a或b的方向相同；
②在△ABC中，必有＋＋＝0；
③若＋＋＝0，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点；
④若a，b均为非零向量，则|a＋b|＝|a|＋|b|.
A．0 B．1 C．2 D．3
解析： ①错，若a＋b＝0，则a＋b的方向是任意的；
②正确；③错，当A，B，C三点共线时，也满足＋＋＝0；④错，|a＋b|≤|a|＋|b|.
答案 B
3．化简－＋＋的结果等于( )
A. B. C. D.
答案 B
4．若||＝5，||＝8，则||的取值范围是( )
A．[3,8] B．(3,8) C．[3,13] D．(3,13)
解析： ∵||＝|－|且
|||－|||≤|－|≤|A|＋||，
∴3≤|－|≤13，
∴3≤||≤13.
答案 C
5．下列说法中正确的是( )
A．λa与a的方向不是相同就是相反
B．若a，b共线，则b＝λa
C．若|b|＝2|a|，则b＝±2a
D．若b＝±2a，则|b|＝2|a|
解析: 显然当b＝±2a时，必有|b|＝2|a|.
答案 D
6．已知a，b是两个不共线的向量，＝λ1a＋b，＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，若A，B，C三点共线，则( )
A．λ1＝λ2＝－1 B．λ1＝λ2＝1
C．λ1λ2＋1＝0 D．λ1λ2－1＝0
解析：若A，B，C三点共线，则，共线，所以存在实数λ，使得＝λ，即a＋λ2b＝λ(λ1a＋b)，
即(1－λλ1)a＋(λ2－λ)b＝0，由于a，b不共线，所以1＝λλ1且λ2＝λ，消去λ得λ1λ2＝1.
答案 D
7．设两非零向量e1、e2不共线，且ke1+e2与e1+ke2共线，则k的值为（ ）
A．1 B．-1 C．±1 D．0
答案 C
8．如图，已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2＋＋＝0，那么( )
A. ＝
B. ＝2
C. ＝3
D．2＝
解析： ∵2＋＋＝2＋2＝0，
∴＝.
答案 A
9．设a＝(＋C)＋(＋)，b是任一非零向量，则下列结论中正确的有( )
①a∥b ②a＋b＝a
③a＋b＝b ④|a＋b|<|a|＋|b|
⑤|a＋b|＝|a|＋|b| ⑥|a＋b|>|a|＋|b|
A．①②⑥ B．①③⑥
C．①③⑤ D．③④⑤⑥
解析：a＝＋＋＋＝0
又b为非零向量，故①③⑤正确．
答案 C
10．平面内有三点A，B，C，设m＝＋，n＝－，若|m|＝|n|，则有( )
A．A，B，C三点必在同一直线上
B．△ABC必为等腰三角形且∠ABC为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠ABC＝90°
D．△ABC必为等腰直角三角形
解析：如图，作＝，则ABCD为平行四边形，从而m＝＋＝，n＝－＝－＝.
因为|m|＝|n|，
所以||＝||.
所以四边形ABCD是矩形，
所以△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°.
答案 C
二、填空题
11．小船以10 km/h的静水速度沿垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船的实际航行速度的大小为________km/h.
解析： 如图，
设船在静水中的速度为
|v1|＝10 km/h，
河水的流速为|v2|＝10 km/h，小船的实际航行速度为v0，
则由|v1|2＋|v2|2＝|v0|2，
得(10)2＋102＝|v0|2，
所以|v0|＝20 km/h，即小船实际航行速度的大小为20 km/h.
答案 20
12.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点O，则－－＋＋＝________.
答案
13．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝1，则|＋|＝________.
解析：在菱形ABCD中，连接BD，
∵∠DAB＝60°，∴△BAD为等边三角形，
又∵||＝1，∴||＝1，
|＋|＝||＝1.
答案 1
14．设a，b是两个不共线的向量．若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________.
解析：因为向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，
所以ka＋2b＝λ(8a＋kb) k＝8λ，2＝λk k＝－4(因为方向相反，所以λ<0 k<0)．
答案 －4
三、解答题
15.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于O点，P为平面内任意一点．
求证：＋＋＋＝4.
证明： ∵＋＋＋
＝＋＋＋＋＋＋＋
＝4＋(＋＋＋)
＝4＋(＋)＋(＋)
＝4＋0＋0＝4，
∴＋＋＋＝4.
16．已知＝a，＝b，且|a|＝|b|＝2，∠AOB＝，求|a＋b|，|a－b|.
解析： 如图，则a＋b＝，a－b＝.因为|a|＝|b|＝2，∠AOB＝，
所以△AOB为等边三角形，
故|a＋b|＝||＝2||＝2，
|a－b|＝||＝2.
17．化简下列各式．
(1) 3(6a＋b)－9；
(2) －2；
(3) (－)－(－)；
(4) (＋＋)－(－－)．
解析： (1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.
(2)原式＝－a－b
＝a＋b－a－b＝0.
(3)(－)－(－)
＝(＋)－(＋)＝－＝0.
(4)(＋＋)－(－－)
＝(＋)－(－)＝－＝0.
18．若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b所在直线的夹角．
解析：设＝a，＝b，
则a－b＝，
∵|a|＝|b|＝|a－b|，
∴||＝||＝||，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠BOA＝60°.
∵＝a＋b，且在菱形OACB中，
对角线OC平分∠BOA.
∴a与a＋b所在直线的夹角为30°.
一、选择题
1．化简－＋所得的结果是( )
A. B. C． 0 D.
解析： －＋＝＋＝0.
答案 C
2．在三角形ABC中，＝a，＝b，则＝( )
A．a－b B．b－a
C．a＋b D．－a－b
解析：＝＋＝＋(－)＝b－a.
答案 B
3．下列计算正确的个数是( )
(1) 0a＝0；
(2) a＋0＝a；
(3) (2a＋b)－(a－b)＝a.
A． 0 B． 1
C． 2 D． 3
解析：(1)错，0a＝0，(2)对，(3)错，根据向量的运算可得(2a＋b)－(a－b)＝a＋2b.
答案 B
4．下列等式中，正确的个数是（ ）
①a+b=b+a ②a-b=b ③0-a=-a ④-（-a）=a ⑤a+（-a）=0
A．5 B．4 C．3 D．2
答案 C
5.如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中错误的是( )
A. ＋＋＝0
B. ＋＋＝0
C. ＋＋＝
D. ＋＋＝
解析： ＋＋＝＋＝0，
＋＋＝＋＋＝0，
＋＋＝＋＝＋＝，
＋＋＝＋0＝＝≠.
答案 D
6．已知四边形ABCD为菱形，则下列等式中成立的是( )
A. ＋＝ B. ＋＝
C. ＋＝ D. ＋＝
解析： 对于A，＋＝≠；对于B，＋≠；对于C，＋＝＋＝，
又＝，
所以＋＝；对于D，＋≠.
答案 C
7.如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则等于( )
A． a－b＋c B． b－(a＋c)
C． a＋b＋c D． b－a＋c
答案 A
8．在△ABC中，如果AD，BE分别为BC，AC上的中线，且＝a，＝b，那么等于( )
A. a＋b B. a－b
C. a－b D．－a＋b
解析： 由题意，得＝＋＝b＋
＝b＋(＋)＝b＋a＋，
即＝b＋a＋，解得＝a＋b.
答案 A
9．点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则＋＋等于( )
A. B.
C. D.
解析：因为点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则＋＋＝＋＝.故选A.
答案 A
10． P是所在平面内一点，若，其中，则P点一定在（ ）
A．内部 B．边所在直线上
C．边所在直线上 D．边所在直线上
解析：根据题意，
点P在边所在直线上.
答案 B
11．如图，在平行四边形中，点是边的中点，点是的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
解析：因为是的中点，所以，因为点是边的中点，所以，
所以,
答案 B
二、填空题
12．如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量．
(1)＋＝________；(2)＋＝________；
(3)＋＝________.
答案 (1) (2) (3)0
13．已知＝a，＝b，若||＝12，||＝5，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝________.
解析： ∵||＝12，||＝5，∠AOB＝90°，
∴||2＋||2＝||2，
∴||＝13.
∵＝a，＝b，∴a－b＝－＝，
∴|a－b|＝||＝13.
答案 13
14．如图，已知△ABC是直角三角形且∠A＝90°，则在下列结论中正确的是________．
①|＋|＝||；
②|＋|＝||；
③||2＋||2＝||2.
解析：①正确．以AB，AC为邻边作 ABDC，又∠A＝90°，
所以 ABDC为矩形，所以AD＝BC，
所以|＋|＝||＝||.
②正确．|＋|＝||＝||.
③正确．由勾股定理知||2＋||2＝||2.
答案 ①②③
15．如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD＝2DC，若＝m＋n(m，n∈R)，
则m－n＝________.
解析：直接利用向量共线定理，得＝3，
则＝＋＝＋3＝＋3(－)＝＋3－3，
＝－＋，
则m＝－，n＝，那么m－n＝－－＝－2.
答案 －2
三、解答题
16.如图所示，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝QC.
求证：＋＝＋.
证明: ∵＝＋，
＝＋，
∴＋＝＋＋＋.
又∵BP＝QC且与方向相反，∴＋＝0，
∴＋＝＋，即＋＝＋.
17.如图，在△ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，＝3a，＝2b，求，.
解析： ∵＝3a，＝2b，
∴＝－＝2b－3a.
又∵D，E为边AB的两个三等分点，
∴＝＝b－a，
∴＝＋＝3a＋b－a＝2a＋b，
＝＋＝3a＋＝3a＋(2b－3a)＝a＋b.
18．在△ABC的内部有一点O满足＋＋3＝0，求的值．
解析： 设AC的中点为D，
则＋＝2，
∴2＋3＝0，
即＝－，
∴＝＝×＝.
19．已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)(λ∈R，λ≠1，λ≠0)．
(1)求证：A，B，M三点共线．
(2)若点B在线段AM上，求实数λ的取值范围．
解析：(1)因为＝λ＋(1－λ)，所以＝λ＋－λ，
－＝λ－λ，即＝λ，又λ∈R，λ≠1，λ≠0且，有公共点A，
所以A，B，M三点共线．
(2)由(1)知＝λ，若点B在线段AM上，
则，同向且||>||(如图所示)，所以λ>1.
1.向量加法的相关概念 直观想象 水平1 水平2 1.向量是加减法可以类比实数的加减法运算 2.向量有方向，因此在进行向量运算时，要考虑方向问题 【考查内容】1.向量加法、减法运算法则及其几何意义是高考的热点。 2.向量共线的判定、向量的数乘运算及其几何意义。 【考查题型】选择题、填空题 【分值情况】5分
2.向量减法的相关概念 直观想象 水平1 水平2
3.向量的数乘运算 数学运算 水平1 水平2
4.向量数乘运算的几何意义 直观想象 水平1 水平2
高中数学，同步讲义 必修四 第二章 平面向量 第二讲 平面向量的线性运算
知识点一 向量加法的三角形法则与平行四边形法则
分析下列实例：
(1)飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京(如图)，这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的．
(2)有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力分别是F1＝3 000 N，F2＝2 000 N，牵引绳之间的夹角为θ＝60°(如图)，如果只用一条拖轮来牵引，也能产生跟原来相同的效果．
思考1 从物理学的角度来讲，上面实例中位移、牵引力说明了什么？体现了向量的什么运算？
答案 后面的一次位移叫做前面两次位移的合位移，四边形OACB的对角线 表示的力是与表示的力的合力．体现了向量的加法运算．
思考2 上述实例中位移的和运算、力的和运算分别用了什么法则？
答案 三角形法则和平行四边形法则．
梳理 (1)向量加法的定义
求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
(2)三角形法则
如图所示，已知向量a，b，在平面上任取一点A，作＝a，＝b，再作向量，
则向量叫做a与b的和(或和向量)，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．
对于零向量与任一向量a的和，有a＋0＝0＋a＝a.
(3)平行四边形法则
如图所示，已知两个不共线向量a，b，作＝a，＝b，
则A，B，D三点不共线，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则对角线上的向量＝a＋b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．
知识点二 向量求和的多边形法则
思考 如果一个动点先由点A位移到点B，再由点B位移到点C，最后由点C位移到点D，那么动点的合位移向量是多少？由此可得到向量加法的什么法则？
答案 合位移向量是，由此可得向量求和的多边形法则．
梳理 已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量，这个法则叫做向量求和的多边形法则．
知识点三 向量加法的运算律
思考1 实数加法有哪些运算律？
答案 交换律和结合律．
思考2 根据图中的平行四边形ABCD，验证向量加法是否满足交换律．(注：＝a，＝b)
答案 ∵＝＋，∴＝a＋b.
∵＝＋，∴＝b＋a.
∴a＋b＝b＋a.
思考3 根据图中的四边形ABCD，验证向量加法是否满足结合律．(注：＝a，＝b，＝c)
答案 ∵＝＋
＝(＋)＋，
∴＝(a＋b)＋c.
又∵＝＋＝＋(＋)，
∴＝a＋(b＋c)，
∴(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
梳理 向量加法的运算律
交换律 a＋b＝b＋a
结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
知识点四 向量的减法
思考1 向量减法的几何意义是什么？
答案 a－b的几何意义：当向量a，b的始点相同时，从向量b的终点指向向量a的终点的向量．
思考2 向量减法的三角形法则是什么？
答案 (1)两个向量a，b的始点移到同一点；
(2)连接两个向量(a与b)的终点；
(3)差向量a－b的方向是指向被减向量的终点．
这种求差向量a－b的方法叫做向量减法的三角形法则．概括为“移为共始点，连接两终点，方向指被减”．
梳理 (1)已知向量a，b(如图)，作＝a，作＝b，则b＋＝a，向量叫做向量a与b的差，并记作a－b，即＝a－b＝－.
(2)如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量．
(3)一个向量等于它的终点相对于点O的位置向量减去它的始点相对于点O的位置向量，或简记“终点向量减始点向量”．
知识点五 相反向量
思考 实数a的相反数为－a，向量a与－a的关系应叫做什么？
答案 相反向量．
梳理 (1)与向量a方向相反且等长的向量叫做a的相反向量，记作－a(如图)．显然a＋(－a)＝0.
(2)从一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量．
知识点六 |a|－|b|，|a±b|，|a|＋|b|三者的关系
思考 在三角形中有两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，结合这一性质及向量加、减法的几何意义，|a|－|b|，|a±b|，|a|＋|b|三者关系是怎样的？
答案 它们之间的关系为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
梳理 当向量a，b不共线时，作＝a，＝b，
则a＋b＝，如图(1)，根据三角形的三边关系，
则有||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|.
当a与b共线且同向或a，b中至少有一个为零向量时，作法同上，如图(2)，此时|a＋b|＝|a|＋|b|.当a与b共线且反向或a，b中至少有一个为零向量时，不妨设|a|>|b|，作法同上，如图(3)，此时|a＋b|＝||a|－|b||.
故对于任意向量a，b，总有||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.①
因为|a－b|＝|a＋(－b)|，
所以||a|－|－b||≤|a－b|≤|a|＋|－b|，
即||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.②
将①②两式结合起来即为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
知识点七 数乘向量的定义
思考1 实数与向量相乘的结果是实数还是向量？
答案 向量．
思考2 向量3a，－3a与a从长度和方向上分析具有怎样的关系？
答案 3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相同．
－3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相反．
梳理 (1)定义：实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且λa的长|λa|＝|λ||a|.
λa(a≠0)的方向
当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ0＝0.
(2)λa中的实数λ，叫做向量a的系数．数乘向量的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小．
知识点八 向量数乘的运算律
思考 类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？
答案 结合律，分配律．
梳理 向量数乘运算律
(1)λ(μa)＝(λμ)a.
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
知识点九 向量的线性运算
向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算．
题型一
向量加法的三角形法则和平行四边形法则
规律方法
例1 如图(1)(2)，已知向量a，b，c，
求作向量a＋b和a＋b＋c.
(1) (2)
解析： (1)作法：在平面内任意取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b.
(2)在平面内任意取一点O，作＝a，＝b，
＝c，则＝a＋b＋c.
变式训练1 如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点．
(1) ＋＝________；
(2) ＋＋＝________；
(3) ＋＋＝________；
(4) ＋＋＝________.
答案 (1) (2) (3) (4)0
题型二 向量加法运算律的应用
例2 化简：
(1) ＋；(2)＋＋；
(3) ＋＋＋＋.
解析： (1)＋＝＋＝.
(2)＋＋＝＋＋
＝(＋)＋＝＋＝0.
(3)＋＋＋＋
＝＋＋＋＋
＝＋＋＋
＝＋＋
＝＋＝0.
变式训练2 已知正方形ABCD的边长等于1，则|＋＋＋|＝________.
解析： |＋＋＋|＝|＋＋＋|＝|＋|＝2||＝2.
答案 2
题型三 向量减法的几何作图
例3 如图，已知向量a，b，c不共线，
求作向量a＋b－c.
解析： 方法一 如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，
再作＝c，则＝a＋b－c.
方法二 如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，
则＝a＋b－c.
变式训练3 如图所示，已知向量a，b，c，d，求作向量a－b，c－d.
解析： 如图所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c，＝d.
则a－b＝，c－d＝.
题型四 向量减法法则的应用
例4 化简下列式子：
(1) －－－；
(2) (－)－(－)．
解析： (1)原式＝＋－
＝＋＝－
＝0.
(2)原式＝－－＋
＝(－)＋(－)
＝＋
＝0.
变式训练4 化简：(1) (－)－(－)；
(2) (＋＋)－(－－)．
解析： (1) (－)－(－)
＝－
＝.
(2) (＋＋)－(－－)
＝＋－＋(＋)
＝＋－＋
＝－＋＝＋＋
＝＋
＝0.
题型五 数乘向量概念的理解
例5 已知a，b是两个非零向量，判断下列各命题的对错，并说明理由：
(1) 2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍；
(2) －2a的方向与5a的方向相反，且－2a的模是5a的模的；
(3) －2a与2a是一对相反向量；
(4) a－b与－(b－a)是一对相反向量；
(5) 若a，b不共线，则λa与b不共线．
解析：
(1)正确．∵2>0，∴2a与a同向，且|2a|＝2|a|.
(2)正确．∵5>0，∴5a与a同向，且|5a|＝5|a|.
∵－2<0，∴－2a与a反向，且|－2a|＝2|a|.
(3)正确．
(4)错误．－(b－a)＝－b＋a＝a－b.
(5)错误．若λ＝0，则0a＝0,0与任意向量共线．
变式训练5 已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的是( )
①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；
③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na，
则m＝n.
A．①④ B．①②
C．①③ D．③④
解析： ①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m＝0，则不能推出a＝b，错误；④中，若a＝0，则m，n没有关系，错误．
答案 B
题型6 向量的线性运算
例6 (1)化简：[2(2a＋4b)－4(5a－2b)]．
解析： [2(2a＋4b)－4(5a－2b)]
＝(4a＋8b－20a＋8b)
＝(－16a＋16b)
＝－4a＋4b.
(2) 已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，
求向量x，y.
解析： 因为
由①×3＋②×2，得x＝3a＋2b，
代入①得3×(3a＋2b)－2y＝a，即y＝4a＋3b.
所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b.
变式训练6 (1)计算：(a＋b)－3(a－b)－8a.
解析： (a＋b)－3(a－b)－8a
＝(a－3a)＋(b＋3b)－8a
＝－2a＋4b－8a
＝－10a＋4b.
(2) 若2－(c＋b－3y)＋b＝0，
其中a，b，c为已知向量，则未知向量y＝________.
解析： 因为2－(c＋b－3y)＋b＝0，
3y－a＋b－c＝0，所以y＝a－b＋c.
答案 a－b＋c
题型七 向量加法的实际应用
例7 在水流速度为4 km/h的河中，要使船以12 km/h的实际航速与河岸成直角行驶，求船的航行速度的大小和方向．
解析： 如图，设表示水流的速度，则表示船的实际航行速度，连接BC，作AD∥BC，且AD＝BC，则为所求船的航行速度，且＋＝.
∵||＝4 km/h，||＝12 km/h，
∴tan∠ACB＝＝.
∴∠ACB＝30°＝∠CAD，||＝||＝8 km/h，
∠BAD＝120°.
∴船的航行速度的大小为8 km/h，方向与水流速度成120°角．
变式训练7 如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小．(绳子的重量忽略不计)
解析： 如图所示，设，分别表示A，B所受的力，10 N的重力用表示，则＋＝.
易得∠ECG＝180°－150°＝30°，
∠FCG＝180°－120°＝60°，
∴||＝||cos 30°
＝10×＝5(N)，
||＝||cos 60°
＝10×＝5(N)．
∴A处所受的力为5 N，B处所受的力为5 N.
题型八 向量减法几何意义的应用
例8 已知||＝6，||＝9，求|－|的取值范围．
解析： ∵|||－|||≤|－|≤||＋||，且||＝9，||＝6，∴3≤|－|≤15.
当与同向时，|－|＝3；
当与反向时，|－|＝15.
∴|－|的取值范围为[3,15]．
变式训练8 在四边形ABCD中，设＝a，＝b，且＝a＋b，若|a＋b|＝|a－b|，则四边形ABCD的形状是( )
A．梯形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
解析： ∵＝a＋b，
∴四边形ABCD为平行四边形．
又∵＝a－b，|a＋b|＝|a－b|，
∴||＝||.
∴四边形ABCD为矩形．
答案 B
题型九 用已知向量表示其他向量
例9 在△ABC中，若点D满足＝2，
则等于( )
A. ＋ B. －
C. － D. ＋
解析： 示意图如图所示，
由题意可得＝＋
＝＋
＝＋(－)
＝＋.
变式训练9
如图所示，已知＝，
用，表示.
解析：
＝＋＝＋
＝＋(－)
＝－＋.
一、选择题
1.如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋等于( )
A． 0 B.
C. D.
解析： ＋＋＝＋＋＝＋＝.
答案 D
2．下列说法正确的个数为( )
①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a或b的方向相同；
②在△ABC中，必有＋＋＝0；
③若＋＋＝0，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点；
④若a，b均为非零向量，则|a＋b|＝|a|＋|b|.
A．0 B．1 C．2 D．3
解析： ①错，若a＋b＝0，则a＋b的方向是任意的；
②正确；③错，当A，B，C三点共线时，也满足＋＋＝0；④错，|a＋b|≤|a|＋|b|.
答案 B
3．化简－＋＋的结果等于( )
A. B. C. D.
答案 B
4．若||＝5，||＝8，则||的取值范围是( )
A．[3,8] B．(3,8) C．[3,13] D．(3,13)
解析： ∵||＝|－|且
|||－|||≤|－|≤|A|＋||，
∴3≤|－|≤13，
∴3≤||≤13.
答案 C
5．下列说法中正确的是( )
A．λa与a的方向不是相同就是相反
B．若a，b共线，则b＝λa
C．若|b|＝2|a|，则b＝±2a
D．若b＝±2a，则|b|＝2|a|
解析: 显然当b＝±2a时，必有|b|＝2|a|.
答案 D
6．已知a，b是两个不共线的向量，＝λ1a＋b，＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，若A，B，C三点共线，则( )
A．λ1＝λ2＝－1 B．λ1＝λ2＝1
C．λ1λ2＋1＝0 D．λ1λ2－1＝0
解析：若A，B，C三点共线，则，共线，所以存在实数λ，使得＝λ，即a＋λ2b＝λ(λ1a＋b)，
即(1－λλ1)a＋(λ2－λ)b＝0，由于a，b不共线，所以1＝λλ1且λ2＝λ，消去λ得λ1λ2＝1.
答案 D
7．设两非零向量e1、e2不共线，且ke1+e2与e1+ke2共线，则k的值为（ ）
A．1 B．-1 C．±1 D．0
答案 C
8．如图，已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2＋＋＝0，那么( )
A. ＝
B. ＝2
C. ＝3
D．2＝
解析： ∵2＋＋＝2＋2＝0，
∴＝.
答案 A
9．设a＝(＋C)＋(＋)，b是任一非零向量，则下列结论中正确的有( )
①a∥b ②a＋b＝a
③a＋b＝b ④|a＋b|<|a|＋|b|
⑤|a＋b|＝|a|＋|b| ⑥|a＋b|>|a|＋|b|
A．①②⑥ B．①③⑥
C．①③⑤ D．③④⑤⑥
解析：a＝＋＋＋＝0
又b为非零向量，故①③⑤正确．
答案 C
10．平面内有三点A，B，C，设m＝＋，n＝－，若|m|＝|n|，则有( )
A．A，B，C三点必在同一直线上
B．△ABC必为等腰三角形且∠ABC为顶角
C．△ABC必为直角三角形且∠ABC＝90°
D．△ABC必为等腰直角三角形
解析：如图，作＝，则ABCD为平行四边形，从而m＝＋＝，n＝－＝－＝.
因为|m|＝|n|，
所以||＝||.
所以四边形ABCD是矩形，
所以△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°.
答案 C
二、填空题
11．小船以10 km/h的静水速度沿垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船的实际航行速度的大小为________km/h.
解析： 如图，
设船在静水中的速度为
|v1|＝10 km/h，
河水的流速为|v2|＝10 km/h，小船的实际航行速度为v0，
则由|v1|2＋|v2|2＝|v0|2，
得(10)2＋102＝|v0|2，
所以|v0|＝20 km/h，即小船实际航行速度的大小为20 km/h.
答案 20
12.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点O，则－－＋＋＝________.
答案
13．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝1，则|＋|＝________.
解析：在菱形ABCD中，连接BD，
∵∠DAB＝60°，∴△BAD为等边三角形，
又∵||＝1，∴||＝1，
|＋|＝||＝1.
答案 1
14．设a，b是两个不共线的向量．若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________.
解析：因为向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，
所以ka＋2b＝λ(8a＋kb) k＝8λ，2＝λk k＝－4(因为方向相反，所以λ<0 k<0)．
答案 －4
三、解答题
15.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于O点，P为平面内任意一点．
求证：＋＋＋＝4.
证明： ∵＋＋＋
＝＋＋＋＋＋＋＋
＝4＋(＋＋＋)
＝4＋(＋)＋(＋)
＝4＋0＋0＝4，
∴＋＋＋＝4.
16．已知＝a，＝b，且|a|＝|b|＝2，∠AOB＝，求|a＋b|，|a－b|.
解析： 如图，则a＋b＝，a－b＝.因为|a|＝|b|＝2，∠AOB＝，
所以△AOB为等边三角形，
故|a＋b|＝||＝2||＝2，
|a－b|＝||＝2.
17．化简下列各式．
(1) 3(6a＋b)－9；
(2) －2；
(3) (－)－(－)；
(4) (＋＋)－(－－)．
解析： (1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.
(2)原式＝－a－b
＝a＋b－a－b＝0.
(3)(－)－(－)
＝(＋)－(＋)＝－＝0.
(4)(＋＋)－(－－)
＝(＋)－(－)＝－＝0.
18．若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b所在直线的夹角．
解析：设＝a，＝b，
则a－b＝，
∵|a|＝|b|＝|a－b|，
∴||＝||＝||，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠BOA＝60°.
∵＝a＋b，且在菱形OACB中，
对角线OC平分∠BOA.
∴a与a＋b所在直线的夹角为30°.
一、选择题
1．化简－＋所得的结果是( )
A. B. C． 0 D.
解析： －＋＝＋＝0.
答案 C
2．在三角形ABC中，＝a，＝b，则＝( )
A．a－b B．b－a
C．a＋b D．－a－b
解析：＝＋＝＋(－)＝b－a.
答案 B
3．下列计算正确的个数是( )
(1) 0a＝0；
(2) a＋0＝a；
(3) (2a＋b)－(a－b)＝a.
A． 0 B． 1
C． 2 D． 3
解析：(1)错，0a＝0，(2)对，(3)错，根据向量的运算可得(2a＋b)－(a－b)＝a＋2b.
答案 B
4．下列等式中，正确的个数是（ ）
①a+b=b+a ②a-b=b ③0-a=-a ④-（-a）=a ⑤a+（-a）=0
A．5 B．4 C．3 D．2
答案 C
5.如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中错误的是( )
A. ＋＋＝0
B. ＋＋＝0
C. ＋＋＝
D. ＋＋＝
解析： ＋＋＝＋＝0，
＋＋＝＋＋＝0，
＋＋＝＋＝＋＝，
＋＋＝＋0＝＝≠.
答案 D
6．已知四边形ABCD为菱形，则下列等式中成立的是( )
A. ＋＝ B. ＋＝
C. ＋＝ D. ＋＝
解析： 对于A，＋＝≠；对于B，＋≠；对于C，＋＝＋＝，
又＝，
所以＋＝；对于D，＋≠.
答案 C
7.如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则等于( )
A． a－b＋c B． b－(a＋c)
C． a＋b＋c D． b－a＋c
答案 A
8．在△ABC中，如果AD，BE分别为BC，AC上的中线，且＝a，＝b，那么等于( )
A. a＋b B. a－b
C. a－b D．－a＋b
解析： 由题意，得＝＋＝b＋
＝b＋(＋)＝b＋a＋，
即＝b＋a＋，解得＝a＋b.
答案 A
9．点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则＋＋等于( )
A. B.
C. D.
解析：因为点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则＋＋＝＋＝.故选A.
答案 A
10． P是所在平面内一点，若，其中，则P点一定在（ ）
A．内部 B．边所在直线上
C．边所在直线上 D．边所在直线上
解析：根据题意，
点P在边所在直线上.
答案 B
11．如图，在平行四边形中，点是边的中点，点是的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
解析：因为是的中点，所以，因为点是边的中点，所以，
所以,
答案 B
二、填空题
12．如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量．
(1)＋＝________；(2)＋＝________；
(3)＋＝________.
答案 (1) (2) (3)0
13．已知＝a，＝b，若||＝12，||＝5，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝________.
解析： ∵||＝12，||＝5，∠AOB＝90°，
∴||2＋||2＝||2，
∴||＝13.
∵＝a，＝b，∴a－b＝－＝，
∴|a－b|＝||＝13.
答案 13
14．如图，已知△ABC是直角三角形且∠A＝90°，则在下列结论中正确的是________．
①|＋|＝||；
②|＋|＝||；
③||2＋||2＝||2.
解析：①正确．以AB，AC为邻边作 ABDC，又∠A＝90°，
所以 ABDC为矩形，所以AD＝BC，
所以|＋|＝||＝||.
②正确．|＋|＝||＝||.
③正确．由勾股定理知||2＋||2＝||2.
答案 ①②③
15．如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD＝2DC，若＝m＋n(m，n∈R)，
则m－n＝________.
解析：直接利用向量共线定理，得＝3，
则＝＋＝＋3＝＋3(－)＝＋3－3，
＝－＋，
则m＝－，n＝，那么m－n＝－－＝－2.
答案 －2
三、解答题
16.如图所示，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝QC.
求证：＋＝＋.
证明: ∵＝＋，
＝＋，
∴＋＝＋＋＋.
又∵BP＝QC且与方向相反，∴＋＝0，
∴＋＝＋，即＋＝＋.
17.如图，在△ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，＝3a，＝2b，求，.
解析： ∵＝3a，＝2b，
∴＝－＝2b－3a.
又∵D，E为边AB的两个三等分点，
∴＝＝b－a，
∴＝＋＝3a＋b－a＝2a＋b，
＝＋＝3a＋＝3a＋(2b－3a)＝a＋b.
18．在△ABC的内部有一点O满足＋＋3＝0，求的值．
解析： 设AC的中点为D，
则＋＝2，
∴2＋3＝0，
即＝－，
∴＝＝×＝.
19．已知O，A，M，B为平面上四点，且＝λ＋(1－λ)(λ∈R，λ≠1，λ≠0)．
(1)求证：A，B，M三点共线．
(2)若点B在线段AM上，求实数λ的取值范围．
解析：(1)因为＝λ＋(1－λ)，所以＝λ＋－λ，
－＝λ－λ，即＝λ，又λ∈R，λ≠1，λ≠0且，有公共点A，
所以A，B，M三点共线．
(2)由(1)知＝λ，若点B在线段AM上，
则，同向且||>||(如图所示)，所以λ>1.