2.3 平面向量的基本定理及其坐标表示-人教A版高中数学必修四讲义（Word解析版）

教材要点 学科素养 学考 高考 考法指津 高考考向
1.平面向量基本定理 数学抽象 水平1 水平2 1.向量有三种表示方法：几何表示法、字母表示法、坐标表示法 2.向量的坐标运算是一种代数运算，其加减法及数乘运算的实质是同名坐标之间的运算。 【考查内容】1.平面向量基本定理。 2.平面向量的坐标运算和平面向量共线的坐标表示。 【考查题型】选择题、填空题 【分值情况】5分
2.基底、向量夹角的概念 数学抽象 水平1 水平1
3.向量的坐标表示 数学运算 水平1 水平2
4.平面向量共线的坐标表示 数学运算 水平1 水平2
高中数学，同步讲义 必修四 第二章 平面向量 第三讲 平面向量的基本定理及其坐标表示
知识点一　平面向量基本定理
思考1　如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？
答案　 能．依据是数乘向量和平行四边形法则．
思考2　如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？
答案　 不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示．
思考3　若存在λ1，λ2∈R，μ1，μ2∈R，且a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，那么λ1，μ1，λ2，μ2有何关系？
答案　由已知得λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，即(λ1－μ1)e1＝(μ2－λ2)e2.
∵e1与e2不共线，∴λ1－μ1＝0，μ2－λ2＝0，
∴λ1＝μ1，λ2＝μ2.
梳理　(1)平面向量基本定理
如果e1，e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使a＝a1e1＋a2e2.
(2)基底
把不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}．a1e1＋a2e2叫做向量a关于基底{e1，e2}的分解式．
知识点二　直线的向量参数方程式
思考1　什么是直线的向量参数方程？
答案　若P在直线AB上(或P，A，B共线)，则一定存在实数t，使得＝(1－t)＋t.
思考2　直线的向量参数方程式有什么用途？
答案　利用直线的向量参数方程可证明三点共线．
梳理　(1)直线的向量参数方程式
已知A，B是直线l上任意两点，O是l外一点(如图所示)，
对直线l上任意一点P，存在唯一的实数t满足向量等式＝(1－t)＋t，反之，对每一个实数t，在直线l上都有唯一的一个点P与之对应．向量等式＝(1－t)＋t叫做直线l的向量参数方程式，其中实数t叫做参变数，简称参数．
(2)线段中点的向量表达式
在向量等式＝(1－t)＋t中，若t＝，则点P是AB的中点，且＝(＋)，这是线段AB的中点的向量表达式．
知识点三　平面向量的正交分解
思考　如果向量a与b的基线互相垂直，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？
答案　互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基底．
梳理　如果基底的两个基向量e1，e2互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．
知识点四　平面向量的坐标表示
思考1　如图，向量i，j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i，j为基底，如何表示向量a
答案　a＝2i＋2j.
思考2　在平面直角坐标系内，给定点A的坐标为A(1,1)，则A点位置确定了吗？给定向量a的坐标为a＝(1,1)，则向量a的位置确定了吗？
答案　对于A点，若给定坐标为A(1,1)，则A点位置确定．对于向量a，给定a的坐标为a＝(1,1)，此时给出了a的方向和大小，但因为向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此a的位置还与其起点有关，所以不确定．
梳理　(1)基底：在直角坐标系xOy内，分别取与x轴和y轴方向相同的两个单位向量e1，e2.这时，我们就在坐标平面内建立了一个正交基底{e1，e2}．这个基底也叫做直角坐标系xOy的基底．
(2)坐标分量：在坐标平面xOy内，任作一向量a(用有向线段表示)，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(a1，a2)，使得a＝a1e1＋a2e2，(a1，a2)就是向量a在基底{e1，e2}下的坐标，即a＝(a1，a2)，其中a1叫做向量a在x轴上的坐标分量，a2叫做a在y轴上的坐标分量．
(3)若＝xe1＋ye2＝(x，y)，则的坐标(x，y) 点A的坐标(x，y)．
知识点五　平面向量的坐标运算
思考　设i，j是分别与x轴，y轴同向的两个单位向量，若设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i，j表示？
答案　a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，
a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j，
λa＝λx1i＋λy1j.
梳理　(1)若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2)，a－b＝(a1－b1，a2－b2)，λa＝λ(a1，a2)＝(λa1，λa2)．即两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差；数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积．
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)．即一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．
(3)在直角坐标系xOy中，已知点A(x1，y1)，点B(x2，y2)．则线段AB中点的坐标为.
知识点六　向量共线条件
已知下列几组向量：
(1)a＝(0,3)，b＝(0,6)；
(2)a＝(2,3)，b＝(4,6)；
(3)a＝(－1,4)，b＝(3，－12)；
(4)a＝，b＝.
思考1　上面几组向量中，a，b有什么关系？
答案　(1)(2)中b＝2a，(3)中b＝－3a，(4)中b＝－a.
思考2　以上几组向量中，a，b共线吗？
答案　共线．
思考3　当a∥b时，a，b的坐标成比例吗？
答案　坐标不为0时成比例．
思考4　如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？
答案　能．将b写成λa的形式，当λ>0时，b与a同向，当λ<0时，b与a反向．
梳理　向量共线的坐标表示
设a，b是非零向量，且a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)．
(1)当a∥b时，有a1b2－a2b1＝0.
(2)当a∥b，且b不平行于坐标轴，即b1≠0，b2≠0时，
有＝.即两个向量平行的条件是相应坐标成比例．
题型一　对基底概念的理解
例1　如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(　　)
① λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
② 对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；
③ 若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；
④ 若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.
A．①② B．②③ C．③④ D．②
解析：　由平面向量基本定理可知，①④正确；
对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；
对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个，故选B.
答案　B
变式训练1　判断下列命题的正误，并说明理由：
(1) 若ae1＋be2＝ce1＋de2(a，b，c，d∈R)，
则a＝c，b＝d；
(2) 若e1和e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么该平面内的任一向量可以用
e1＋e2，e1－e2表示出来．
解析：　
(1)错，当e1与e2共线时，结论不一定成立．
(2)正确，假设e1＋e2与e1－e2共线，则存在实数λ，
使e1＋e2＝λ(e1－e2)，即(1－λ)e1＝－(1＋λ)e2.
因为1－λ与1＋λ不同时为0，
所以e1与e2共线，这与e1，e2不共线矛盾．
所以e1＋e2与e1－e2不共线，即它们可以作为基底，该平面内的任一向量可以用e1＋e2，e1－e2表示出来．
题型二　平面向量基本定理的应用
例2　已知在梯形ABCD中，AB∥DC，且AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设＝a，＝b，试用a，b为基底表示，，.
解析：　如图，连接FD，
∵DC∥AB，AB＝2CD，
E，F分别是DC，AB的中点，
∴DC∥FB，且DC＝FB，
∴四边形DCBF为平行四边形．
依题意，＝＝＝b，
＝＝－＝－＝a－b，
＝－＝－－＝－－
＝－－×b＝b－a.
变式训练2　
如图所示，在△AOB中，＝a，＝b，
M，N分别是边OA，OB上的点，
且＝a，＝b，设与相交于点P，
用基底a，b表示.
解析：　＝＋，＝＋.
设＝m，＝n，则
＝＋m＝＋m(－)
＝a＋m＝(1－m)a＋mb，
＝＋n
＝＋n(－)
＝b＋n
＝(1－n)b＋na.
∵a，b不共线，
∴即
∴＝a＋b.
题型三　平面向量的坐标表示
例3　如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，
＝b.四边形OABC为平行四边形．
(1) 求向量a，b的坐标；
(2) 求向量的坐标；
(3) 求点B的坐标．
解析：　(1)作AM⊥x轴于点M，
则OM＝OA·cos 45°
＝4×＝2，
AM＝OA·sin 45°
＝4×＝2.
∴A(2，2)，故a＝(2，2)．
∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，
∴∠COy＝30°.
又∵OC＝AB＝3，
∴C，∴＝＝，
即b＝.
(2)＝－＝.
(3)＝＋＝(2，2)＋
＝.
即点B的坐标为.
变式训练3　已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，点C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量，，，的坐标．
解析：　如图，
正三角形ABC的边长为2，则顶点A(0,0)，B(2,0)，
C(2cos 60°，2sin 60°)，
∴C(1，)，D.
∴＝(2,0)，＝(1，)，
＝(1－2，－0)＝(－1，)，
＝＝.
题型四　平面向量的坐标运算
例4　已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．
设＝a，＝b，＝c.
(1) 求3a＋b－3c；
(2) 求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值；
解析：　由已知，得a＝(5，－5)，
b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)
＝(6，－42)．
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝a＝(5，－5)，
∴
解得
变式训练4　已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：
(1) 2a＋3b；(2) a－3b；(3) a－b.
解析：　(1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1)
＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)．
(2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)
＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)．
(3)a－b＝(－1,2)－(2,1)
＝－
＝.
题型五　平面向量坐标运算的应用
例5　已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)．
若＝＋λ(λ∈R)，试求当λ为何值时：
(1) 点P在第一、三象限的角平分线上；
(2) 点P在第三象限内．
解析：　设点P的坐标为(x，y)，
则＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)，
＋λ＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7,10)－(2,3)]
＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)．
∵＝＋λ，
∴则
(1)若点P在第一、三象限的角平分线上，
则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝.
(2)若点P在第三象限内，则∴λ<－1.
变式训练5　已知A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2,0)，D(x，y)，且＝2，则x＋y＝________.
解析：　∵＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)，
＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)，
又∵2＝，即(2x－4,2y－6)＝(－1,2)，
∴　解得
　∴x＋y＝.
答案　
题型六　向量共线的判定与证明
例6　(1)下列各组向量中，共线的是(　　)
A．a＝(－2,3)，b＝(4,6)
B．a＝(2,3)，b＝(3,2)
C．a＝(1，－2)，b＝(7,14)
D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4)
解析：　A选项，(－2)×6－3×4＝－24≠0，
∴a与b不平行；
B选项，2×2－3×3＝4－9＝－5≠0，
∴a与b不平行；
C选项，1×14－(－2)×7＝28≠0，∴a与b不平行；
D选项，(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0，
∴a∥b，
答案　D
(2) 设k∈R，下列向量中，
与向量a＝(1，－1)一定不平行的向量是(　　)
A．b＝(k，k) B．c＝(－k，－k)
C．d＝(k2＋1，k2＋1) D．e＝(k2－1，k2－1)
解析：　由向量共线的判定条件知，
当k＝0时，向量b，c与a平行；
当k＝±1时，向量e与a平行．
对任意k∈R，1·(k2＋1)＋1·(k2＋1)≠0，
∴a与d不平行，故选C.
答案　C
变式训练6　
已知A，B，C三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，＝，＝，
求证：∥.
证明：　设E(x1，y1)，F(x2，y2)．
∵＝(2,2)，＝(－2,3)，＝(4，－1)，
∴＝＝，＝＝.
∴(x1，y1)－(－1,0)＝，
(x2，y2)－(3，－1)＝，
∴(x1，y1)＝，(x2，y2)＝.
∴＝(x2，y2)－(x1，y1)＝.
∵4×－(－1)×＝0，
∴∥.
题型七　利用向量共线求参数
例7　已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)．
若ma＋4b与a－2b共线，则m的值为(　　)
A. B．2 C．－ D．－2
解析：　根据题意，得ma＋4b＝(2m－4,3m＋8)，
a－2b＝(4，－1)．因为ma＋4b与a－2b共线，
所以(2m－4)×(－1)＝4(3m＋8)，
解得m＝－2.
答案　D
变式训练7　设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，
若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，
则λ＝________.
解析：　λa＋b＝λ(1,2)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)，
∵λa＋b与c共线，
∴(λ＋2)×(－7)－(2λ＋3)×(－4)＝λ－2＝0，
∴λ＝2.
答案　2
题型八　三点共线问题
例8　已知向量＝(k,6)，＝(4,5)，
＝(1－k,10)，且A，B，C三点共线，
则k的值为________．
解析：　＝－＝(4－k，－1)，
＝－＝(－3－k,5)．
∵A，B，C三点共线，
∴∥，
即(4－k)×5＋(－3－k)＝0，
解得k＝.
答案　
变式训练8　已知A(1，－3)，B，C(9,1)，求证：A，B，C三点共线．
证明：　＝＝，
＝(9－1,1＋3)＝(8,4)．
∵7×4－×8＝0，∴∥.
又，有公共点A，∴A，B，C三点共线.
一、选择题
1．下列关于基底的说法正确的是(　　)
① 平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；
② 基底中的向量可以是零向量；
③ 平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．
A．① B．② C．①③ D．②③
解析：　零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故②错，①③正确．
答案　C
2．若1＝a，2＝b，＝λ2(λ≠－1)，则等于(　　)
A．a＋λb B．λa＋(1－λ)b
C．λa＋b D.a＋b
解析：　∵＝λ2，
∴－1＝λ(2－)，∴(1＋λ)＝1＋λ2，
∴＝1＋2＝a＋b.
答案　D
3．已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，则向量的坐标是(　　)
A. B.
C．(－8,1) D．(8,1)
解析：　∵＝－＝(－8,1)，
∴＝.
答案　A
4．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，c＝(3,4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为(　　)
A．－2,1 B．1，－2
C．2，－1 D．－1,2
解析：　由　解得
答案　D
5．与a＝(6,8)平行的单位向量为(　　)
A.
B.
C. 或
D.
解析：　设与a平行的单位向量为e＝(x，y)，
则∴或
答案　C
6．下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是(　　)
A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)
B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝
解析：
　A选项，∵e1＝0，∴e1∥e2，故不可以作为基底；
B选项，∵－1×7－2×5＝－17≠0，∴e1与e2不共线，故可以作为基底；
C选项，3×10－5×6＝0，∴e1∥e2，故不可以作为基底；
D选项，2×－(－3)×＝0，
∴e1∥e2，故不可以作为基底．
故选B.
答案　B
7．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若＝e1，＝e2，则＝(　　)
A. (e1＋e2) B. (e1－e2)
C. (2e2－e1) D. (e2－e1)
解析：因为O是矩形ABCD对角线的交点，＝e1，＝e2，所以＝(＋)＝(e1＋e2)
答案 A
8．设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，
若＝4i＋2j，＝3i＋4j，则2＋的坐标是(　　)
A．(1，－2)　　　B．(7,6)
C．(5,0) D．(11,8)
解析：因为＝(4,2)，＝(3,4)，
所以2＋＝(8,4)＋(3,4)＝(11,8)．
答案 D
9．已知A(2，－1)，B(3,1)，则与平行且方向相反的向量a是(　　)
A．(2,1)　　B．(－6，－3)
C．(－1,2) D．(－4，－8)
解析：＝(1,2)，向量(2,1)、(－6，－3)、(－1,2)与(1,2)不平行；(－4，－8)与(1,2)平行且方向相反．
答案 D
10．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么(　　)
A．k＝1且c与d同向
B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向
D．k＝－1且c与d反向
解析：因为a＝(1,0)，b＝(0,1)，若k＝1，则c＝a＋b＝(1,1)，d＝a－b＝(1，－1)，显然，c与d不平行，排除A、B.若k＝－1，则c＝－a＋b＝(－1,1)，d＝a－b＝－(－1,1)，即c∥d且c与d反向．
答案 D
二、填空题
11．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e2＝6e1＋3e2，则x＝________，y＝________.
解析：　∵向量e1，e2不共线，
∴解得
答案　－15　－12
12．如果将＝绕原点O逆时针方向旋转120°得到，则的坐标是________．
解析：　因为＝所在直线的倾斜角为30°，绕原点O逆时针方向旋转120°得到所在直线的倾斜角为150°，所以A，B两点关于y轴对称，由此可知B点坐标为，故的坐标是.
答案　
13．已知M(－2,7)，N(10，－2)，点P是线段MN上的点，且P＝－2，则点P的坐标为________．
解析：　∵＝－2，
∴P，M，N三点共线，且＝.
又＝(10，－2)－(－2,7)＝(12，－9)，
∴＝＋＝＋
＝(－2,7)＋(12，－9)
＝(－2,7)＋(4，－3)
＝(2,4)．
答案　(2,4)
14．设＝(2，－1)，＝(3,0)，＝(m,3)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数m的取值范围是________．
解析：　∵A，B，C三点能构成三角形，
∴，不共线．
又∵＝－＝(1,1)，＝(m－2,4)，
∴1×4－1×(m－2)≠0，
解得m≠6.
∴m的取值范围是{m|m∈R且m≠6}．
答案　{m|m∈R且m≠6}
三、解答题
15．如图所示，在 ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点，若＝a，＝b，试以a，b为基底表示，.
解析：　∵四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC边上的中点，
∴＝＝2，＝＝2，
∴＝＝b，＝＝－＝－a.
∴＝＋＋＝－＋＋
＝－b＋a＋b＝a－b，
＝＋＝＋＝b－a.
16．如图，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，H，M是AD，DC的中点，BF＝BC，
以a，b为基底表示向量与.
解析：　∵平行四边形ABCD中，＝a，＝b，
H，M是AD，DC的中点，BF＝BC，
∴＝＋＝＋
＝＋＝b＋a，
＝－＝＋－
＝a＋b－b＝a－b.
17．已知A(3,5)，B(6,9)，M是直线AB上一点，且||＝3||，求点M的坐标．
解析：　设点M的坐标为(x，y)．
由||＝3||，
得＝3 或＝－3.
由题意，得＝(x－3，y－5)，＝(6－x,9－y)．
当＝3 时，(x－3，y－5)＝3(6－x,9－y)，
∴解得
当＝－3时，(x－3，y－5)＝－3(6－x,9－y)，
∴解得
故点M的坐标是或.
18．如图，已知点D为△ABC中AC边上一点，且＝，设＝a，＝b.
(1)在图中画出向量分别在a，b方向上的分向量．
(2)试用a，b表示向量.
解析：(1)如图，过点D作DE∥BC，交AB于点E，作DF∥AB，交BC于点F，向量在a方向上的分向量是；在b方向上的分向量是.
(2)因为＝，所以＝，
所以＝，
所以＝＋＝＋
＝＋(＋)
＝a＋(－a＋b)＝a＋b.
一、选择题
1.如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则等于(　　)
A．a＋b　　　　　 B.a＋b
C.a＋b　　　　 D.a＋b
解析：　＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
答案　B
2．若点D在△ABC的边BC上，且＝4＝r＋s，则3r＋s的值为(　　)
A. B. C. D.
解析：　∵＝4＝r＋s，
∴＝＝(－)
＝r＋s，
∴r＝，s＝－.
∴3r＋s＝－＝.
答案　C
3．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝2，则顶点D的坐标为(　　)
A. B.
C．(3,2) D．(1,3)
解析：　设D点坐标为(x，y)，
则＝(4,3)，＝(x，y－2)，
由＝2，得
∴，∴D.
答案　A
4．在 ABCD中，已知＝(3,7)，＝(－2,3)，对角线AC，BD相交于点O，则的坐标是(　　)
A. B.
C. D.
解析：　＝－＝－(＋)
＝－×(－2,3)－×(3,7)＝，故选B.
答案　B
5．已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是(　　)
A．(4,8) B．(8,4)
C．(－4，－8) D．(－4,8)
答案　D
6．已知e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，a＝2e1＋e2，b＝λe1－e2，当a∥b时，实数λ等于(　　)
A．－1 B．0 C．－ D．－2
解析：　∵e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，a＝2e1＋e2，b＝λe1－e2，
∴a＝2(1,0)＋(0,1)＝(2,1)，b＝λ(1,0)－(0,1)＝(λ，－1)．
又∵a∥b，∴2×(－1)－1×λ＝0，解得λ＝－2.
答案　D
7．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＋＝0，若实数λ满足＋＝λ，则λ的值为(　　)
A．3 B.
C．2 D．8
解析：＋＝(＋)＋(＋)＝2＋(＋)＝2－＝3.所以λ＝3.
答案 A
8．已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，则b＝(　　)
A．(1，－2) B．(1,2)
C．(5,6) D．(2,0)
解析：b＝(3,2)－2a＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．
答案 A
9．已知a＝(sinα，1)，b＝(cosα，2)，若b∥a，则tanα＝(　　)
A. B．2
C．－ D．－2
解析：因为b∥a，所以2sinα＝cosα，所以＝，所以tanα＝.
答案 A
10．已知两个非零向量，不共线，若，，
且A、B、D三点共线，则等于（ ）
A． B． C．2 D．
解析：，∵A，B，D三点共线，∴设，即，
∴，解得.
答案 C
二、填空题
11.如图所示，在正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则当以a，b为基底时，可表示为________，当以a，c为基底时，可表示为________．
解析：　由平行四边形法则可知，＝＋＝a＋b.以a，c为基底时，将平移，使点B与点A重合，再由三角形法则和平行四边形法则即可得到．
答案　a＋b　2a＋c
12．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．
解析：　∵a＝(2,1)，b＝(1，－2)，
∴ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，
即解得
故m－n＝2－5＝－3.
答案　－3
13．已知三点A(1,2)，B(2,4)，C(3，m)共线，则m的值为________．
解析：　＝(2,4)－(1,2)＝(1,2)，
＝(3，m)－(1,2)＝(2，m－2)．
∵A，B，C三点共线，即向量，共线，
∴存在实数λ使得＝λ，
即(1,2)＝λ(2，m－2)＝(2λ，λm－2λ)．
∴
即当m＝6时，A，B，C三点共线．
答案　6
14．已知向量a，b是一组基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为________．
解析：因为a，b是一组基底，所以a与b不共线，
因为(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，
所以解得所以x－y＝3.
答案 3
三、解答题
15．如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，
且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．
解析：　如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，
则＝＋.
在Rt△OCD中，∵||＝2，
∠COD＝30°，∠OCD＝90°，
∴||＝4，||＝2，故＝4，
＝2，即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.
16．如图，在△ABC中，AD为三角形BC边上的中线且AE＝2EC，BE交AD于点G，求及的值．
解析：　设＝λ，＝μ.
∵＝，即－＝－，
∴＝(＋)．
又∵＝λ＝λ(－)，
∴＝＝＋.
又∵＝μ，
即－＝μ(－)，
∴(1＋μ)＝＋μ，
＝＋.
又＝，∴＝＋.
∵，不共线，
∴解得
∴＝4，＝.
17．已知a＝(2＋sin x,1)，b＝(2，－2)，c＝(sin x－3,1)，d＝(1，k)(x∈R，k∈R)．
(1) 若x∈，且a∥(b＋c)，求x的值；
(2) 若(a＋d)∥(b＋c)，求实数k的取值范围．
解析：　(1)b＋c＝(sin x－1，－1)，
因为a∥(b＋c)，
所以－(2＋sin x)＝sin x－1，
sin x＝－，
因为x∈，所以x＝－.
(2)a＋d＝(3＋sin x,1＋k)，
b＋c＝(sin x－1，－1)，
若(a＋d)∥(b＋c)，
则有－(3＋sin x)＝(1＋k)(sin x－1)．
当sin x＝1时，等式不成立，
所以k＝，k＝－2－.
因为－1≤sin x<1，
所以－2≤sin x－1<0，
故≥2，所以k≥0，
所以k的取值范围是[0，＋∞)．
18．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)以a，b为基底表示向量c＝3e1－e2；
(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
解析：(1)证明：假设a＝λb(λ∈R)，
则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共线，得
∴λ不存在．
故a与b不共线，可以作为一组基底．
(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，
则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
∴解得∴c＝2a＋b.
(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得
4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)
＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2，
∴解得