2.4 平面向量的数量积-人教A版高中数学必修四讲义（Word解析版）
文档属性
| 名称 | 2.4 平面向量的数量积-人教A版高中数学必修四讲义（Word解析版） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 268.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-23 18:43:16 | ||
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文档简介
教材要点 学科素养 学考 高考 考法指津 高考考向
1.平面向量的数量积及其几何意义 数学抽象 水平1 水平2 向量的数量积与数的乘法既有区别又有联系，学习时注意对比，明确数的乘法中成立的结论在向量的数量积中是否成立。 【考查内容】 向量的数量积、向量的模、向量的平行、垂直及夹角是高考考查的重点和热点。 【考查题型】选择题、填空题 【分值情况】5分
2.平面向量的数量积的性质及运算律 数学抽象 水平1 水平2
3.数量积的坐标表示 数学运算 水平1 水平2
4.两个向量夹角的坐标运算 数学运算 水平1 水平2
高中数学，同步讲义 必修四 第二章 平面向量 第四讲 平面向量的数量积
知识点一 向量的夹角
思考1 平面中的任意两个向量都可以平移至同一起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？
答案 存在夹角，不一样．
思考2 △ABC为正三角形，设＝a，＝b，则向量a与b的夹角是多少？
答案 如图，延长AB至点D，使AB＝BD，
则＝a，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，则∠CBD＝120°，
故向量a与b的夹角为120°.
梳理 两个向量夹角的定义
(1)已知两个非零向量a，b，作＝a，＝b，则∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉，并规定它的范围是0≤〈a，b〉≤π.
在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有〈a，b〉＝〈b，a〉．
(2)当〈a，b〉＝时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作a⊥b.
知识点二 向量在轴上的正射影
思考 向量在轴上的正射影是向量还是数量？其在轴上的坐标的符号取决于谁？
答案 向量b在轴上的射影是一个向量，其在轴上的坐标为数量，其符号取决于夹角θ的范围：当θ为锐角时，该数量为正值；当θ为钝角时，该数量为负值；当θ为直角时，该数量为0；当θ＝0°时，该数量为|b|；当θ＝180°时，该数量为－|b|.
梳理 向量在轴上的正射影
已知向量a和轴l(如图)．
作＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量.＝a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有
al＝|a|cos θ.
知识点三 向量的数量积(内积)
思考1 如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的功W是多少？
答案 W＝|F||s|cos θ.
思考2 对于两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos〈a，b〉叫做a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，那么a·b的运算结果是向量还是数量？特别地，零向量与任一向量的数量积是多少？
答案 a·b的运算结果是数量．
0·a＝0.
梳理 向量数量积的定义
|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
知识点四 向量数量积的性质
思考1 设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？
答案 a⊥b a·b＝0.
思考2 当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向时，a·b等于什么？特别地，a·a等于什么？
答案 当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|；
a·a＝a2＝|a|2或|a|＝.
思考3 |a·b|与|a||b|的大小关系如何？为什么？对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？
答案 |a·b|≤|a||b|，设a与b的夹角为θ，
则a·b＝|a||b|cos θ.
两边取绝对值得|a·b|＝|a||b||cos θ|≤|a||b|.
当且仅当|cos θ|＝1，
即cos θ＝±1，θ＝0或π时，取“＝”．
所以|a·b|≤|a||b|.
cos θ＝.
梳理 两个向量内积有如下重要性质
(1)如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉(a≠0)．
(2)a⊥b a·b＝0，且a·b＝0 a⊥b(a≠0，b≠0)．
(3)a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)cos〈a，b〉＝(|a||b|≠0)．
(5)|a·b|≤|a||b|.
知识点五 平面向量数量积的运算律
类比实数的运算律，判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确.
运算律 实数乘法 向量数量积 判断正误
交换律 ab＝ba a·b＝b·a 正确
结合律 (ab)c＝a(bc) (a·b)c＝a(b·c) 错误
分配律 (a＋b)c＝ac＋bc (a＋b)·c＝a·c＋b·c 正确
消去律 ab＝bc(b≠0) a＝c a·b＝b·c(b≠0) a＝c 错误
知识点六 平面向量数量积的运算性质
类比多项式乘法的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质.
多项式乘法 向量数量积
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
(a－b)2＝a2－2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2a·b＋b2
(a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a＋b)·(a－b)＝a2－b2
(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a
梳理 与多项式乘法公式类似，平面向量数量积也有相似公式，应用公式时不要漏写数量积中的点乘符号“·”．
知识点七 平面向量数量积的坐标表示
设e1，e2是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量．
思考1 e1·e1，e2·e2，e1·e2分别是多少？
答案 e1·e1＝1×1×cos 0＝1，e2·e2＝1×1×cos 0＝1，e1·e2＝0.
思考2 取e1，e2为坐标平面内的一组基底，设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，试将a，b用e1，e2表示，并计算a·b.
答案 ∵a＝a1e1＋a2e2，b＝b1e1＋b2e2，
∴a·b＝(a1e1＋a2e2)·(b1e1＋b2e2)＝a1b1e＋(a1b2＋a2b1)e1·e2＋a2b2e＝a1b1＋a2b2.
梳理 设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝a1b1＋a2b2.即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和．
知识点八 向量模的坐标表示及两点间距离公式
思考 若a＝(a1，a2)，试将向量的模|a|用坐标表示．
答案 ∵a＝(a1，a2)，
∴|a|2＝a·a＝(a1，a2)·(a1，a2)
＝a＋a，
∴|a|＝.
梳理 (1)向量的长度公式：设a＝(a1，a2)，
则|a|＝.
(2)两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则||＝.
知识点九 两个向量夹角余弦的坐标表达式
思考 设a，b都是非零向量，a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，θ是a与b的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？
答案 cos θ＝＝.
梳理 设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，a与b的夹角为θ，则
(1)cos θ＝.
(2)a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＝0.
题型一 求两向量的数量积
例1 已知|a|＝4，|b|＝5，a与b的夹角为θ，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，
分别求a与b的数量积．
解析：：
(1)当a∥b时，若a与b同向，则θ＝0°，
a·b＝|a||b|cos 0°＝4×5＝20；
若a与b反向，则θ＝180°，
∴a·b＝|a||b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20.
(2)当a⊥b时，θ＝90°，∴a·b＝|a||b|cos 90°＝0.
(3)当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a||b|cos 30°＝4×5×＝10.
变式训练1 已知菱形ABCD的边长为a，
∠ABC＝60° ，则·等于( )
A．－a2 B．－a2
C. a2 D. a2
解析： 如图所示，
由题意，得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°.
∴·＝(＋)·
＝·＋2
＝a·a·cos 60°＋a2
＝a2.
答案 D
题型二 求向量的模
例2 已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角θ为，
求|a＋b|，|a－b|.
解析： a·b＝|a||b|cos θ＝5×5×＝.
|a＋b|＝＝
＝＝5.
|a－b|＝＝
＝＝5.
变式训练2 已知|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝，
则|a－b|等于( )
A. B. C. D.
解析： 因为|a＋b|2＝19，
a2＋2a·b＋b2＝19，
所以2a·b＝19－4－9＝6.
于是|a－b|＝＝＝.
答案 A
题型三 求向量的夹角
例3 设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．
解析： ∵|n|＝|m|＝1且m与n的夹角是60°，
∴m·n＝|m||n|cos 60°＝1×1×＝.
|a|＝|2m＋n|＝＝
＝＝，
|b|＝|2n－3m|＝＝
＝＝，
a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2
＝－6×1＋2×1＝－.
设a与b的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝－.
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝，故a与b的夹角为.
变式训练3 已知|a|＝9，|b|＝6，a·b＝－54，
则a与b的夹角θ为( )
A．45° B．135° C．120° D．150°
解析： ∵cos θ＝＝＝－，
又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝135°.
答案 B
题型四 向量数量积的运算性质
例4 给出下列结论：①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0，其中正确结论的序号是________．
解析： 因为当两个非零向量a，b垂直时，a·b＝0，故①不正确；
当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确；
向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确；
a·[b(a·c)－c(a·b)]
＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0，故④正确．
答案 ④
变式训练4
下面给出的关系式中正确的个数是( )
① 0·a＝0；② a·b＝b·a；③ a2＝|a|2；
④ |a·b|≤a·b；⑤ (a·b)2＝a2·b2.
A．1 B．2 C．3 D．4
解析： ①②③正确，④错误，⑤错误，
(a·b)2＝(|a||b|cos θ)2＝a2·b2cos2θ
答案 C
题型五 平面向量数量积有关的参数问题
命题角度1 已知向量垂直求参数值
例5-1 已知两个单位向量a，b的夹角为60°，
c＝ta＋(1－t)·b，且b⊥c，则t＝________.
解析： 由题意，将b·c＝b·[ta＋(1－t)b]＝0整理，
得ta·b＋(1－t)＝0，又a·b＝，所以t＝2.
答案 2
变式训练5-1 已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，
且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于( )
A. B．－
C．± D．1
解析：
∵(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2
＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0，
∴λ＝.
答案 A
命题角度2 由两向量夹角的取值范围求参数的取值范围
例5-2 已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，
则k的取值范围为________．
解析： ∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，
∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)
＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2
＝2k>0，∴k>0.
但当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去．
综上，k的取值范围为k>0且k≠1.
答案 (0,1)∪(1，＋∞)
变式训练5-2 设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，
|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
解析： 设向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为θ.
根据题意，得cos θ＝<0，
∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0.
化简，得2t2＋15t＋7<0，解得－7当θ＝π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，但此时夹角不是钝角．
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0，
则∴
∴实数t的取值范围是∪.
题型六 平面向量数量积的坐标运算
例6 已知a＝(4,3)，b＝(－1,2)．
(1) 求a与b的夹角的余弦值；
(2) 若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．
解析： (1)∵a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，
|a|＝＝5，|b|＝＝，
∴cos〈a，b〉＝＝＝.
(2)∵a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7,8)，
又(a－λb)⊥(2a＋b)，
∴(a－λb)·(2a＋b)＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，
∴λ＝.
变式训练6
向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，
则(2a＋b)·a等于( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
解析： 因为a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，
所以2a＋b＝2(1，－1)＋(－1,2)＝(1,0)，
则(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1
答案 C
题型七 向量的模、夹角问题
例7 在平面直角坐标系xOy中，O是原点(如图)．已知点A(16,12)，B(－5,15)．
(1)求||，||；
(2)求∠OAB.
解析： (1)由＝(16,12)，
＝(－5－16,15－12)＝(－21,3)，
得||＝＝20，
||＝＝15.
(2)cos∠OAB＝cos〈，〉＝.
其中·＝－·
＝－(16,12)·(－21,3)
＝－[16×(－21)＋12×3]＝300，
故cos∠OAB＝＝.
∴∠OAB＝45°.
变式训练7 已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求λ的取值范围．
解析： ∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，
∴|a|＝，|b|＝，a·b＝λ－1.
又∵a，b的夹角α为钝角，
∴即
∴λ<1且λ≠－1.
∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1)．
题型八 向量垂直的坐标形式
例8 (1)已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，
若向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为( )
A. B．－ C. D．－
解析： 由向量λa＋b与a－2b垂直，得
(λa＋b)·(a－2b)＝0.
因为a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，
所以(－3λ－1,2λ)·(－1,2)＝0，
即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－.
答案 B
(2)在△ABC中，＝(2,3)，＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，求k的值．
解析： ∵＝(2,3)，＝(1，k)，
∴＝－＝(－1，k－3)．
若∠A＝90°，则·＝2×1＋3×k＝0，∴k＝－；
若∠B＝90°，则·＝2×(－1)＋3(k－3)＝0，
∴k＝；
若∠C＝90°，则·＝1×(－1)＋k(k－3)＝0，
∴k＝.
故所求k的值为－或或.
变式训练8 已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ等于( )
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1
解析：
因为m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，
又(m＋n)⊥(m－n)，
所以(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)
＝－2λ－6＝0，
解得λ＝－3.
答案 B
一、选择题
1．已知|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，则向量b在a方向上的正射影的数量为( )
A．4 B．－4 C．2 D．－2
解析： 向量b在a方向上的正射影的数量为
|b|cos〈a，b〉＝4×cos 120°＝－2.
答案 D
2．若|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b方向上的正射影的数量等于( )
A．－3 B．－2 C．2 D．－1
解析： 向量a在向量b方向上的正射影的数量是|a|cos θ＝2×cos 120°＝－1.
答案 D
3．定义：a×b＝|a||b|·sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则a×b等于( )
A．－8 B．8 C．－8或8 D．6
解析： 由|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，得cos θ＝－，
∴sin θ＝，
∴a×b＝|a||b|·sin θ＝2×5×＝8.
答案 B
4．已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|等于( )
A．0 B．2 C．4 D．8
解析： |2a－b|2＝(2a－b)2＝4|a|2－4a·b＋|b|2＝4×1－4×0＋4＝8，∴|2a－b|＝2.
答案 B
5．若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－b，则向量a与c的夹角为( )
A．0 B. C. D.
解析： ∵a·c＝a·
＝a·a－·(a·b)
＝a·a－a·a＝0，
∴a⊥c.故选D.
答案 D
6．已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，则a与b( )
A．垂直 B．不垂直也不平行
C．平行且同向 D．平行且反向
解析： ∵a·b＝－5×6＋6×5＝0，∴a⊥b.
答案 A
7．已知＝(－2,1)，＝(0,2)且∥，⊥，则点C的坐标是( )
A．(2,6) B．(－2，－6)
C．(2，－6) D．(－2,6)
解析： 设C(x，y)，则＝(x＋2，y－1)，
＝(x，y－2)，＝(2,1)，
∵∥，∴2(x＋2)＝0，①
∵⊥，∴2x＋y－2＝0，②
由①②可得∴C(－2,6)．
答案 D
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·＝( )
A．－16 B．－8
C．8 D．16
解析：设∠CAB＝θ，∴||＝，
·＝||·||·cosθ＝·4cosθ＝16.
答案 D
9．若a＝(2,1)，b＝(3,4)，则向量a在向量b方向上的射影的数量为( )
A．2 B．2
C. D．10
解析：设a，b的夹角为θ，则|a|cosθ＝|a|·＝＝＝2.
答案 B
10．若向量，，则与的夹角等于（ ）
A． B． C． D．
解析：由题意得，，
又 。
答案 C
二、填空题
11．若a⊥b，c与a及与b的夹角均为60°，|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则(a＋2b－c)2＝________.
解析： (a＋2b－c)2＝a2＋4b2＋c2＋4a·b－2a·c－4b·c
＝12＋4×22＋32＋4×0－2×1×3×cos 60°－4×2×3×cos 60°
＝11.
答案 11
12．已知平面内三个向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，|c|＝，且a＋b＋c＝0，则向量a，b夹角的大小是________．
解析： ∵a＋b＝－c，∴(a＋b)2＝c2，
即|a|2＋2a·b＋|b|2＝|c|2，
∴1＋2a·b＋1＝3，a·b＝，
则cos〈a，b〉＝＝.
又∵〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝.
答案
13．已知平面向量a，b，若a＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b＝5，则向量b＝____________.
解析： ∵|a|＝5，cos〈a，b〉＝＝1，
∴a，b方向相同，∴b＝a＝.
答案
14．已知a，c是同一平面内的两个向量，其中a＝(1,2)．若|c|＝2，且c与a方向相反，
则c的坐标为________．
解析： 设c＝(x，y)，由c∥a及|c|＝2，
可得
所以或
因为c与a方向相反，所以c＝(－2，－4)．
答案 (－2，－4)
三、解答题
15．已知正三角形ABC的边长为1，求：
(1) ·；(2) ·；(3) ·.
解析：
(1)∵与的夹角为60°，
∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝.
(2)∵与的夹角为120°，
∴·＝||||cos 120°
＝1×1×＝－.
(3)∵与的夹角为60°，
∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝.
16．已知|a|＝2，|b|＝1，(2a－3b)·(2a＋b)＝9.
(1) 求a与b之间的夹角θ；
(2) 求向量a在a＋b上的正射影的数量．
解析： (1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝4a2－4a·b－3b2＝9，即16－4a·b－3＝9，
∴a·b＝1，∴cos θ＝＝.
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
(2)|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝7，即|a＋b|＝.
设a与a＋b的夹角为α，则向量a在a＋b上的正射影的数量为
|a|cos α＝|a|×＝＝＝＝.
17．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是60°，计算：
(1) (2a＋b)·(2a－b)；
(2) |4a－2b|.
解析：(1)(2a＋b)·(2a－b)＝(2a)2－b2
＝4|a|2－|b|2＝4×42－82＝0.
(2)∵|4a－2b|2＝(4a－2b)2
＝16a2－16a·b＋4b2
＝16×42－16×4×8×cos60°＋4×82
＝256.
∴|4a－2b|＝16.
18．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.
(1) 若a⊥b，求x的值；
(2) 若a∥b，求|a－b|.
解析：(1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，
即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.
(2)若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0，
即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.
当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，
|a－b|＝|(1,0)－(3,0)|＝|(－2,0)|＝2.
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，
|a－b|＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)|＝2.
一、选择题
1．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b等于( )
A．1 B．2 C．3 D．5
解析： ∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，①
|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，②
由①－②得4a·b＝4，
∴a·b＝1.
答案 A
2．已知向量a，b和实数λ，下列选项中错误的是( )
A．|a|＝ B．|a·b|＝|a||b|
C．λ(a·b)＝λa·b D．|a·b|≤|a||b|
解析： 因为|a·b|＝|a||b||cos θ|(θ为向量a与b的夹角)，
当且仅当θ＝0或π 时，|a·b|＝|a||b|，故B错．
答案 B
3．已知|a|＝1，|b|＝，且(a＋b)与a垂直，则a与b的夹角是( )
A．60° B．30° C．135° D．45°
解析： ∵(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，
∴a·b＝－a2＝－1，
∴cos〈a，b〉＝＝＝－.
∴〈a，b〉＝135°.
答案 C
4. 已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b的夹角θ＝150°，则a·b等于( )
A．－6 B．6 C．－6 D．6
答案 C
5．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若非零向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，
则|c|的最大值是( )
A．1 B．2 C. D.
解析： 因为|a|＝|b|＝1，a·b＝0，(a－c)·(b－c)＝－c·(a＋b)＋|c|2＝－|c||a＋b|cos θ＋|c|2＝0，
其中θ为c与a＋b的夹角，所以|c|＝|a＋b|·cos θ＝cos θ≤，
所以|c|的最大值是，故选C.
答案 C
6．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于( )
A．1 B. C．2 D．4
解析： ∵(2a－b)·b＝2a·b－|b|2
＝2(－1＋n2)－(1＋n2)
＝n2－3＝0，
∴n2＝3，∴|a|＝＝2.
答案 C
7．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于( )
A. B. C．5 D．25
解析： ∵|a＋b|＝5，
∴|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝5＋2×10＋b2＝(5)2，
∴|b|＝5.
答案 C
8．如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝ ，||＝1，则·＝( )
A．2 B.
C. D.
解析：设||＝x，
则||＝x，
·＝(＋)·＝·
＝||·||cos∠ADB＝x·1·＝.
答案 D
9．设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4.若点M，N满足＝3，＝2，
则·＝( )
A．20 B．15
C．9 D．6
解析：如图所示，由题设知：
＝＋＝＋，
＝－，
所以·＝·－＝||2－||2＋·－·
＝×36－×16＝9.
答案 C
10．已知O为坐标原点，向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上有一点P使得·有最小值，则点P的坐标是( )
A．(－3,0) B．(2,0)
C．(3,0) D．(4,0)
解析：设点P的坐标为(x,0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)，
·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)
＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，
∴当x＝3时，·有最小值1，
∴点P的坐标为(3,0)．
答案 C
二、填空题
11．在△ABC中，||＝13，||＝5，||＝12，则·的值是________．
解析： 易知||2＝||2＋||2，C＝90°.
∴cos B＝.
又cos 〈，〉＝cos(180°－B)，
∴·＝||||cos(180°－B)
＝13×5×＝－25.
答案 －25
12．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，且对一切实数x，|a＋xb|≥|a＋b|恒成立，
则a，b的夹角的大小为________．
解析： 由题意可知，|a＋xb|2≥|a＋b|2，
即a2＋2a·b·x＋b2·x2≥a2＋2a·b＋b2，
设a与b的夹角为θ，
则4＋4cos θ·x＋x2≥4＋4cos θ＋1，
即x2＋4cos θ·x－1－4cos θ≥0.
因为对一切实数x，|a＋xb|≥|a＋b|恒成立，
所以Δ＝(4cos θ)2＋4(1＋4cos θ)≤0，
即(2cos θ＋1)2≤0，
所以2cos θ＋1＝0，cos θ＝－.
又因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
答案
13．已知A(－3,0)，B(0，)，O为坐标原点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，＝λ＋，
则实数λ的值为________．
解析： 由题意知＝(－3,0)，＝(0，)，
则＝(－3λ，)．
·＝(－3,0)·(－3λ，)＝9λ，
∴cos∠AOC＝＝＝，
∴λ2＝1，又C在第二象限，∴λ＝1.
答案 1
14．已知圆O是△ABC的外接圆，M是BC的中点，AB＝4，AC＝2，则·＝________.
解析：∵M是BC的中点，∴＝(＋)，又O是△ABC的外接圆圆心，
∴·＝||||cos∠BAO＝||2＝8，同理可得·＝||2＝2，
∴·＝(＋)·＝·＋·＝4＋1＝5.
答案 5
三、解答题
15．已知非零向量a，b，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．
解析： 由向量垂直，得
即
化简得
∴cos〈a，b〉＝＝＝.
又∵〈a，b〉∈[0，π]，∴a与b的夹角为.
16．已知a，b均是非零向量，设a与b的夹角为θ，是否存在这样的θ，使|a＋b|＝|a－b|成立？
若存在，求出θ.
解析： 假设存在满足条件的θ，
∵|a＋b|＝|a－b|，∴(a＋b)2＝3(a－b)2，
∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝3(|a|2－2a·b＋|b|2)，
∴|a|2－4a·b＋|b|2＝0，
∴|a|2－4|a||b|cos θ＋|b|2＝0，
∴
解得cos θ∈.
又∵θ∈[0，π]，∴θ∈.
17．已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．
(1) 求证：AB⊥AD；
(2) 要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两条对角线所成的锐角的余弦值．
(1)证明： ∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
∴＝(1,1)，＝(－3,3)．
又∵·＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴⊥，即AB⊥AD.
(2)解析： ∵⊥，四边形ABCD为矩形，
∴＝.
设C点坐标为(x，y)，则＝(1,1)，＝(x＋1，y－4)，
∴解得∴C点坐标为(0,5)．
由于＝(－2,4)，＝(－4,2)，
所以·＝8＋8＝16>0.
又||＝2 ，||＝2，
设与的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝>0，
∴矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为.
18．平面内有向量＝(1,7)，＝(5,1)，＝(2,1)，点Q为直线OP上的一个动点．
(1) 当·取最小值时，求的坐标；
(2) 当点Q满足(1)的条件和结论时，求cos∠AQB的值．
解析： (1)设＝(x，y)，
∵Q在直线OP上，∴向量与共线．
又∵＝(2,1)，∴x－2y＝0，∴x＝2y，∴＝(2y，y)．
又∵＝－＝(1－2y,7－y)，
＝－＝(5－2y,1－y)，
∴·＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)·(1－y)
＝5y2－20y＋12＝5(y－2)2－8.
故当y＝2时，·有最小值－8，此时＝(4,2)．
(2)由(1)知：＝(－3,5)，＝(1，－1)，
·＝－8，||＝，||＝，
∴cos∠AQB＝＝＝－.
1.平面向量的数量积及其几何意义 数学抽象 水平1 水平2 向量的数量积与数的乘法既有区别又有联系，学习时注意对比，明确数的乘法中成立的结论在向量的数量积中是否成立。 【考查内容】 向量的数量积、向量的模、向量的平行、垂直及夹角是高考考查的重点和热点。 【考查题型】选择题、填空题 【分值情况】5分
2.平面向量的数量积的性质及运算律 数学抽象 水平1 水平2
3.数量积的坐标表示 数学运算 水平1 水平2
4.两个向量夹角的坐标运算 数学运算 水平1 水平2
高中数学，同步讲义 必修四 第二章 平面向量 第四讲 平面向量的数量积
知识点一 向量的夹角
思考1 平面中的任意两个向量都可以平移至同一起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？
答案 存在夹角，不一样．
思考2 △ABC为正三角形，设＝a，＝b，则向量a与b的夹角是多少？
答案 如图，延长AB至点D，使AB＝BD，
则＝a，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，则∠CBD＝120°，
故向量a与b的夹角为120°.
梳理 两个向量夹角的定义
(1)已知两个非零向量a，b，作＝a，＝b，则∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉，并规定它的范围是0≤〈a，b〉≤π.
在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有〈a，b〉＝〈b，a〉．
(2)当〈a，b〉＝时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作a⊥b.
知识点二 向量在轴上的正射影
思考 向量在轴上的正射影是向量还是数量？其在轴上的坐标的符号取决于谁？
答案 向量b在轴上的射影是一个向量，其在轴上的坐标为数量，其符号取决于夹角θ的范围：当θ为锐角时，该数量为正值；当θ为钝角时，该数量为负值；当θ为直角时，该数量为0；当θ＝0°时，该数量为|b|；当θ＝180°时，该数量为－|b|.
梳理 向量在轴上的正射影
已知向量a和轴l(如图)．
作＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量.＝a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有
al＝|a|cos θ.
知识点三 向量的数量积(内积)
思考1 如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的功W是多少？
答案 W＝|F||s|cos θ.
思考2 对于两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos〈a，b〉叫做a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，那么a·b的运算结果是向量还是数量？特别地，零向量与任一向量的数量积是多少？
答案 a·b的运算结果是数量．
0·a＝0.
梳理 向量数量积的定义
|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
知识点四 向量数量积的性质
思考1 设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？
答案 a⊥b a·b＝0.
思考2 当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向时，a·b等于什么？特别地，a·a等于什么？
答案 当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|；
a·a＝a2＝|a|2或|a|＝.
思考3 |a·b|与|a||b|的大小关系如何？为什么？对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？
答案 |a·b|≤|a||b|，设a与b的夹角为θ，
则a·b＝|a||b|cos θ.
两边取绝对值得|a·b|＝|a||b||cos θ|≤|a||b|.
当且仅当|cos θ|＝1，
即cos θ＝±1，θ＝0或π时，取“＝”．
所以|a·b|≤|a||b|.
cos θ＝.
梳理 两个向量内积有如下重要性质
(1)如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉(a≠0)．
(2)a⊥b a·b＝0，且a·b＝0 a⊥b(a≠0，b≠0)．
(3)a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)cos〈a，b〉＝(|a||b|≠0)．
(5)|a·b|≤|a||b|.
知识点五 平面向量数量积的运算律
类比实数的运算律，判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确.
运算律 实数乘法 向量数量积 判断正误
交换律 ab＝ba a·b＝b·a 正确
结合律 (ab)c＝a(bc) (a·b)c＝a(b·c) 错误
分配律 (a＋b)c＝ac＋bc (a＋b)·c＝a·c＋b·c 正确
消去律 ab＝bc(b≠0) a＝c a·b＝b·c(b≠0) a＝c 错误
知识点六 平面向量数量积的运算性质
类比多项式乘法的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质.
多项式乘法 向量数量积
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
(a－b)2＝a2－2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2a·b＋b2
(a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a＋b)·(a－b)＝a2－b2
(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a
梳理 与多项式乘法公式类似，平面向量数量积也有相似公式，应用公式时不要漏写数量积中的点乘符号“·”．
知识点七 平面向量数量积的坐标表示
设e1，e2是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量．
思考1 e1·e1，e2·e2，e1·e2分别是多少？
答案 e1·e1＝1×1×cos 0＝1，e2·e2＝1×1×cos 0＝1，e1·e2＝0.
思考2 取e1，e2为坐标平面内的一组基底，设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，试将a，b用e1，e2表示，并计算a·b.
答案 ∵a＝a1e1＋a2e2，b＝b1e1＋b2e2，
∴a·b＝(a1e1＋a2e2)·(b1e1＋b2e2)＝a1b1e＋(a1b2＋a2b1)e1·e2＋a2b2e＝a1b1＋a2b2.
梳理 设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝a1b1＋a2b2.即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和．
知识点八 向量模的坐标表示及两点间距离公式
思考 若a＝(a1，a2)，试将向量的模|a|用坐标表示．
答案 ∵a＝(a1，a2)，
∴|a|2＝a·a＝(a1，a2)·(a1，a2)
＝a＋a，
∴|a|＝.
梳理 (1)向量的长度公式：设a＝(a1，a2)，
则|a|＝.
(2)两点间距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则||＝.
知识点九 两个向量夹角余弦的坐标表达式
思考 设a，b都是非零向量，a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，θ是a与b的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？
答案 cos θ＝＝.
梳理 设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，a与b的夹角为θ，则
(1)cos θ＝.
(2)a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＝0.
题型一 求两向量的数量积
例1 已知|a|＝4，|b|＝5，a与b的夹角为θ，当(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°时，
分别求a与b的数量积．
解析：：
(1)当a∥b时，若a与b同向，则θ＝0°，
a·b＝|a||b|cos 0°＝4×5＝20；
若a与b反向，则θ＝180°，
∴a·b＝|a||b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20.
(2)当a⊥b时，θ＝90°，∴a·b＝|a||b|cos 90°＝0.
(3)当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a||b|cos 30°＝4×5×＝10.
变式训练1 已知菱形ABCD的边长为a，
∠ABC＝60° ，则·等于( )
A．－a2 B．－a2
C. a2 D. a2
解析： 如图所示，
由题意，得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°.
∴·＝(＋)·
＝·＋2
＝a·a·cos 60°＋a2
＝a2.
答案 D
题型二 求向量的模
例2 已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角θ为，
求|a＋b|，|a－b|.
解析： a·b＝|a||b|cos θ＝5×5×＝.
|a＋b|＝＝
＝＝5.
|a－b|＝＝
＝＝5.
变式训练2 已知|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝，
则|a－b|等于( )
A. B. C. D.
解析： 因为|a＋b|2＝19，
a2＋2a·b＋b2＝19，
所以2a·b＝19－4－9＝6.
于是|a－b|＝＝＝.
答案 A
题型三 求向量的夹角
例3 设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．
解析： ∵|n|＝|m|＝1且m与n的夹角是60°，
∴m·n＝|m||n|cos 60°＝1×1×＝.
|a|＝|2m＋n|＝＝
＝＝，
|b|＝|2n－3m|＝＝
＝＝，
a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2
＝－6×1＋2×1＝－.
设a与b的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝－.
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝，故a与b的夹角为.
变式训练3 已知|a|＝9，|b|＝6，a·b＝－54，
则a与b的夹角θ为( )
A．45° B．135° C．120° D．150°
解析： ∵cos θ＝＝＝－，
又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝135°.
答案 B
题型四 向量数量积的运算性质
例4 给出下列结论：①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0，其中正确结论的序号是________．
解析： 因为当两个非零向量a，b垂直时，a·b＝0，故①不正确；
当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确；
向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确；
a·[b(a·c)－c(a·b)]
＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0，故④正确．
答案 ④
变式训练4
下面给出的关系式中正确的个数是( )
① 0·a＝0；② a·b＝b·a；③ a2＝|a|2；
④ |a·b|≤a·b；⑤ (a·b)2＝a2·b2.
A．1 B．2 C．3 D．4
解析： ①②③正确，④错误，⑤错误，
(a·b)2＝(|a||b|cos θ)2＝a2·b2cos2θ
答案 C
题型五 平面向量数量积有关的参数问题
命题角度1 已知向量垂直求参数值
例5-1 已知两个单位向量a，b的夹角为60°，
c＝ta＋(1－t)·b，且b⊥c，则t＝________.
解析： 由题意，将b·c＝b·[ta＋(1－t)b]＝0整理，
得ta·b＋(1－t)＝0，又a·b＝，所以t＝2.
答案 2
变式训练5-1 已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，
且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于( )
A. B．－
C．± D．1
解析：
∵(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2
＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0，
∴λ＝.
答案 A
命题角度2 由两向量夹角的取值范围求参数的取值范围
例5-2 已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，
则k的取值范围为________．
解析： ∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，
∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)
＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2
＝2k>0，∴k>0.
但当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去．
综上，k的取值范围为k>0且k≠1.
答案 (0,1)∪(1，＋∞)
变式训练5-2 设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，
|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
解析： 设向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为θ.
根据题意，得cos θ＝<0，
∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0.
化简，得2t2＋15t＋7<0，解得－7
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0，
则∴
∴实数t的取值范围是∪.
题型六 平面向量数量积的坐标运算
例6 已知a＝(4,3)，b＝(－1,2)．
(1) 求a与b的夹角的余弦值；
(2) 若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．
解析： (1)∵a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，
|a|＝＝5，|b|＝＝，
∴cos〈a，b〉＝＝＝.
(2)∵a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7,8)，
又(a－λb)⊥(2a＋b)，
∴(a－λb)·(2a＋b)＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，
∴λ＝.
变式训练6
向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，
则(2a＋b)·a等于( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
解析： 因为a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，
所以2a＋b＝2(1，－1)＋(－1,2)＝(1,0)，
则(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1
答案 C
题型七 向量的模、夹角问题
例7 在平面直角坐标系xOy中，O是原点(如图)．已知点A(16,12)，B(－5,15)．
(1)求||，||；
(2)求∠OAB.
解析： (1)由＝(16,12)，
＝(－5－16,15－12)＝(－21,3)，
得||＝＝20，
||＝＝15.
(2)cos∠OAB＝cos〈，〉＝.
其中·＝－·
＝－(16,12)·(－21,3)
＝－[16×(－21)＋12×3]＝300，
故cos∠OAB＝＝.
∴∠OAB＝45°.
变式训练7 已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求λ的取值范围．
解析： ∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，
∴|a|＝，|b|＝，a·b＝λ－1.
又∵a，b的夹角α为钝角，
∴即
∴λ<1且λ≠－1.
∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1)．
题型八 向量垂直的坐标形式
例8 (1)已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，
若向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为( )
A. B．－ C. D．－
解析： 由向量λa＋b与a－2b垂直，得
(λa＋b)·(a－2b)＝0.
因为a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，
所以(－3λ－1,2λ)·(－1,2)＝0，
即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－.
答案 B
(2)在△ABC中，＝(2,3)，＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，求k的值．
解析： ∵＝(2,3)，＝(1，k)，
∴＝－＝(－1，k－3)．
若∠A＝90°，则·＝2×1＋3×k＝0，∴k＝－；
若∠B＝90°，则·＝2×(－1)＋3(k－3)＝0，
∴k＝；
若∠C＝90°，则·＝1×(－1)＋k(k－3)＝0，
∴k＝.
故所求k的值为－或或.
变式训练8 已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ等于( )
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1
解析：
因为m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，
又(m＋n)⊥(m－n)，
所以(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)
＝－2λ－6＝0，
解得λ＝－3.
答案 B
一、选择题
1．已知|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，则向量b在a方向上的正射影的数量为( )
A．4 B．－4 C．2 D．－2
解析： 向量b在a方向上的正射影的数量为
|b|cos〈a，b〉＝4×cos 120°＝－2.
答案 D
2．若|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b方向上的正射影的数量等于( )
A．－3 B．－2 C．2 D．－1
解析： 向量a在向量b方向上的正射影的数量是|a|cos θ＝2×cos 120°＝－1.
答案 D
3．定义：a×b＝|a||b|·sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则a×b等于( )
A．－8 B．8 C．－8或8 D．6
解析： 由|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，得cos θ＝－，
∴sin θ＝，
∴a×b＝|a||b|·sin θ＝2×5×＝8.
答案 B
4．已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|等于( )
A．0 B．2 C．4 D．8
解析： |2a－b|2＝(2a－b)2＝4|a|2－4a·b＋|b|2＝4×1－4×0＋4＝8，∴|2a－b|＝2.
答案 B
5．若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－b，则向量a与c的夹角为( )
A．0 B. C. D.
解析： ∵a·c＝a·
＝a·a－·(a·b)
＝a·a－a·a＝0，
∴a⊥c.故选D.
答案 D
6．已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，则a与b( )
A．垂直 B．不垂直也不平行
C．平行且同向 D．平行且反向
解析： ∵a·b＝－5×6＋6×5＝0，∴a⊥b.
答案 A
7．已知＝(－2,1)，＝(0,2)且∥，⊥，则点C的坐标是( )
A．(2,6) B．(－2，－6)
C．(2，－6) D．(－2,6)
解析： 设C(x，y)，则＝(x＋2，y－1)，
＝(x，y－2)，＝(2,1)，
∵∥，∴2(x＋2)＝0，①
∵⊥，∴2x＋y－2＝0，②
由①②可得∴C(－2,6)．
答案 D
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·＝( )
A．－16 B．－8
C．8 D．16
解析：设∠CAB＝θ，∴||＝，
·＝||·||·cosθ＝·4cosθ＝16.
答案 D
9．若a＝(2,1)，b＝(3,4)，则向量a在向量b方向上的射影的数量为( )
A．2 B．2
C. D．10
解析：设a，b的夹角为θ，则|a|cosθ＝|a|·＝＝＝2.
答案 B
10．若向量，，则与的夹角等于（ ）
A． B． C． D．
解析：由题意得，，
又 。
答案 C
二、填空题
11．若a⊥b，c与a及与b的夹角均为60°，|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则(a＋2b－c)2＝________.
解析： (a＋2b－c)2＝a2＋4b2＋c2＋4a·b－2a·c－4b·c
＝12＋4×22＋32＋4×0－2×1×3×cos 60°－4×2×3×cos 60°
＝11.
答案 11
12．已知平面内三个向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，|c|＝，且a＋b＋c＝0，则向量a，b夹角的大小是________．
解析： ∵a＋b＝－c，∴(a＋b)2＝c2，
即|a|2＋2a·b＋|b|2＝|c|2，
∴1＋2a·b＋1＝3，a·b＝，
则cos〈a，b〉＝＝.
又∵〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝.
答案
13．已知平面向量a，b，若a＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b＝5，则向量b＝____________.
解析： ∵|a|＝5，cos〈a，b〉＝＝1，
∴a，b方向相同，∴b＝a＝.
答案
14．已知a，c是同一平面内的两个向量，其中a＝(1,2)．若|c|＝2，且c与a方向相反，
则c的坐标为________．
解析： 设c＝(x，y)，由c∥a及|c|＝2，
可得
所以或
因为c与a方向相反，所以c＝(－2，－4)．
答案 (－2，－4)
三、解答题
15．已知正三角形ABC的边长为1，求：
(1) ·；(2) ·；(3) ·.
解析：
(1)∵与的夹角为60°，
∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝.
(2)∵与的夹角为120°，
∴·＝||||cos 120°
＝1×1×＝－.
(3)∵与的夹角为60°，
∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝.
16．已知|a|＝2，|b|＝1，(2a－3b)·(2a＋b)＝9.
(1) 求a与b之间的夹角θ；
(2) 求向量a在a＋b上的正射影的数量．
解析： (1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝4a2－4a·b－3b2＝9，即16－4a·b－3＝9，
∴a·b＝1，∴cos θ＝＝.
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
(2)|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝7，即|a＋b|＝.
设a与a＋b的夹角为α，则向量a在a＋b上的正射影的数量为
|a|cos α＝|a|×＝＝＝＝.
17．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是60°，计算：
(1) (2a＋b)·(2a－b)；
(2) |4a－2b|.
解析：(1)(2a＋b)·(2a－b)＝(2a)2－b2
＝4|a|2－|b|2＝4×42－82＝0.
(2)∵|4a－2b|2＝(4a－2b)2
＝16a2－16a·b＋4b2
＝16×42－16×4×8×cos60°＋4×82
＝256.
∴|4a－2b|＝16.
18．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.
(1) 若a⊥b，求x的值；
(2) 若a∥b，求|a－b|.
解析：(1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，
即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.
(2)若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0，
即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.
当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，
|a－b|＝|(1,0)－(3,0)|＝|(－2,0)|＝2.
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，
|a－b|＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)|＝2.
一、选择题
1．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b等于( )
A．1 B．2 C．3 D．5
解析： ∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，①
|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，②
由①－②得4a·b＝4，
∴a·b＝1.
答案 A
2．已知向量a，b和实数λ，下列选项中错误的是( )
A．|a|＝ B．|a·b|＝|a||b|
C．λ(a·b)＝λa·b D．|a·b|≤|a||b|
解析： 因为|a·b|＝|a||b||cos θ|(θ为向量a与b的夹角)，
当且仅当θ＝0或π 时，|a·b|＝|a||b|，故B错．
答案 B
3．已知|a|＝1，|b|＝，且(a＋b)与a垂直，则a与b的夹角是( )
A．60° B．30° C．135° D．45°
解析： ∵(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，
∴a·b＝－a2＝－1，
∴cos〈a，b〉＝＝＝－.
∴〈a，b〉＝135°.
答案 C
4. 已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b的夹角θ＝150°，则a·b等于( )
A．－6 B．6 C．－6 D．6
答案 C
5．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若非零向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，
则|c|的最大值是( )
A．1 B．2 C. D.
解析： 因为|a|＝|b|＝1，a·b＝0，(a－c)·(b－c)＝－c·(a＋b)＋|c|2＝－|c||a＋b|cos θ＋|c|2＝0，
其中θ为c与a＋b的夹角，所以|c|＝|a＋b|·cos θ＝cos θ≤，
所以|c|的最大值是，故选C.
答案 C
6．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于( )
A．1 B. C．2 D．4
解析： ∵(2a－b)·b＝2a·b－|b|2
＝2(－1＋n2)－(1＋n2)
＝n2－3＝0，
∴n2＝3，∴|a|＝＝2.
答案 C
7．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于( )
A. B. C．5 D．25
解析： ∵|a＋b|＝5，
∴|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝5＋2×10＋b2＝(5)2，
∴|b|＝5.
答案 C
8．如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝ ，||＝1，则·＝( )
A．2 B.
C. D.
解析：设||＝x，
则||＝x，
·＝(＋)·＝·
＝||·||cos∠ADB＝x·1·＝.
答案 D
9．设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4.若点M，N满足＝3，＝2，
则·＝( )
A．20 B．15
C．9 D．6
解析：如图所示，由题设知：
＝＋＝＋，
＝－，
所以·＝·－＝||2－||2＋·－·
＝×36－×16＝9.
答案 C
10．已知O为坐标原点，向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上有一点P使得·有最小值，则点P的坐标是( )
A．(－3,0) B．(2,0)
C．(3,0) D．(4,0)
解析：设点P的坐标为(x,0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)，
·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)
＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，
∴当x＝3时，·有最小值1，
∴点P的坐标为(3,0)．
答案 C
二、填空题
11．在△ABC中，||＝13，||＝5，||＝12，则·的值是________．
解析： 易知||2＝||2＋||2，C＝90°.
∴cos B＝.
又cos 〈，〉＝cos(180°－B)，
∴·＝||||cos(180°－B)
＝13×5×＝－25.
答案 －25
12．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，且对一切实数x，|a＋xb|≥|a＋b|恒成立，
则a，b的夹角的大小为________．
解析： 由题意可知，|a＋xb|2≥|a＋b|2，
即a2＋2a·b·x＋b2·x2≥a2＋2a·b＋b2，
设a与b的夹角为θ，
则4＋4cos θ·x＋x2≥4＋4cos θ＋1，
即x2＋4cos θ·x－1－4cos θ≥0.
因为对一切实数x，|a＋xb|≥|a＋b|恒成立，
所以Δ＝(4cos θ)2＋4(1＋4cos θ)≤0，
即(2cos θ＋1)2≤0，
所以2cos θ＋1＝0，cos θ＝－.
又因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
答案
13．已知A(－3,0)，B(0，)，O为坐标原点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，＝λ＋，
则实数λ的值为________．
解析： 由题意知＝(－3,0)，＝(0，)，
则＝(－3λ，)．
·＝(－3,0)·(－3λ，)＝9λ，
∴cos∠AOC＝＝＝，
∴λ2＝1，又C在第二象限，∴λ＝1.
答案 1
14．已知圆O是△ABC的外接圆，M是BC的中点，AB＝4，AC＝2，则·＝________.
解析：∵M是BC的中点，∴＝(＋)，又O是△ABC的外接圆圆心，
∴·＝||||cos∠BAO＝||2＝8，同理可得·＝||2＝2，
∴·＝(＋)·＝·＋·＝4＋1＝5.
答案 5
三、解答题
15．已知非零向量a，b，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．
解析： 由向量垂直，得
即
化简得
∴cos〈a，b〉＝＝＝.
又∵〈a，b〉∈[0，π]，∴a与b的夹角为.
16．已知a，b均是非零向量，设a与b的夹角为θ，是否存在这样的θ，使|a＋b|＝|a－b|成立？
若存在，求出θ.
解析： 假设存在满足条件的θ，
∵|a＋b|＝|a－b|，∴(a＋b)2＝3(a－b)2，
∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝3(|a|2－2a·b＋|b|2)，
∴|a|2－4a·b＋|b|2＝0，
∴|a|2－4|a||b|cos θ＋|b|2＝0，
∴
解得cos θ∈.
又∵θ∈[0，π]，∴θ∈.
17．已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．
(1) 求证：AB⊥AD；
(2) 要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两条对角线所成的锐角的余弦值．
(1)证明： ∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
∴＝(1,1)，＝(－3,3)．
又∵·＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴⊥，即AB⊥AD.
(2)解析： ∵⊥，四边形ABCD为矩形，
∴＝.
设C点坐标为(x，y)，则＝(1,1)，＝(x＋1，y－4)，
∴解得∴C点坐标为(0,5)．
由于＝(－2,4)，＝(－4,2)，
所以·＝8＋8＝16>0.
又||＝2 ，||＝2，
设与的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝>0，
∴矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为.
18．平面内有向量＝(1,7)，＝(5,1)，＝(2,1)，点Q为直线OP上的一个动点．
(1) 当·取最小值时，求的坐标；
(2) 当点Q满足(1)的条件和结论时，求cos∠AQB的值．
解析： (1)设＝(x，y)，
∵Q在直线OP上，∴向量与共线．
又∵＝(2,1)，∴x－2y＝0，∴x＝2y，∴＝(2y，y)．
又∵＝－＝(1－2y,7－y)，
＝－＝(5－2y,1－y)，
∴·＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)·(1－y)
＝5y2－20y＋12＝5(y－2)2－8.
故当y＝2时，·有最小值－8，此时＝(4,2)．
(2)由(1)知：＝(－3,5)，＝(1，－1)，
·＝－8，||＝，||＝，
∴cos∠AQB＝＝＝－.