2.5 平面向量应用举例-人教A版高中数学必修四讲义（Word解析版）

教材要点 学科素养 学考 高考 考法指津 高考考向
1.平面向量在平面几何中的简单应用 数学运算 水平1 水平2 用向量解决实际问题的两种方法（基底法和坐标法）和向量法解决几何问题的“三步曲”；难点是如何将实际问题转化为向量问题。 【考查内容】 1、向量在解析几何中的应用，主要涉及平行、垂直、夹角的运算。 【考查题型】选择题、填空题 【分值情况】5分
2.平面向量在物理中的简单应用 数学运算 水平1 水平1
高中数学，同步讲义 必修四 第二章 平面向量 第五讲 平面向量应用举例
知识点一　向量在平面几何中的应用
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为θ.
思考1　证明线线平行、点共线及相似问题，可用向量的哪些知识？
答案　可用向量共线的相关知识：
a∥b a＝λb x1y2－x2y1＝0(b≠0)．
思考2　证明垂直问题，可用向量的哪些知识？
答案　可用向量垂直的相关知识：
a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
思考3　用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的？
答案　
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系、距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
梳理　
(1)证明线线平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：
a∥b(b≠0) a＝λb x1y2－x2y1＝0.
(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：
非零向量a，b，a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式：
cos θ＝＝ .
(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：
|a|＝.
知识点二　直线的方向向量和法向量
思考　若向量a＝(a1，a2)平行于直线l，则a1，a2与直线l的斜率k有何关系？
答案　设A(x1，y1)∈l，P(x，y)∈l，直线l的倾斜角为α，斜率为k.
∵向量a平行于l，
∴由直线斜率和正切函数的定义，
可得k＝＝＝tan α.
梳理　如果知道直线的斜率k＝，则向量(a1，a2)一定与该直线平行．这时向量(a1，a2)称为这条直线的方向向量．
如果表示向量的基线与一条直线垂直，则称这个向量垂直该直线．这个向量称为这条直线的法向量．
即直线y＝kx＋b的方向向量为(1，k)，法向量为(k，－1)；直线Ax＋By＋C＝0的方向向量为(B，－A)，法向量为(A，B)．
知识点三　向量的线性运算在物理中的应用
思考1　向量与力有什么相同点和不同点？
答案　向量与力都包括大小、方向两个要素，但与向量不同是力还包括作用点这一要素．
思考2　向量的运算与速度、加速度与位移有什么联系？
答案　速度、加速度与位移的合成与分解，实质上是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成．
梳理　(1)用向量解决力的问题，通常把向量的起点平移到同一个作用点上．
(2)向量在解决涉及速度、位移等物理量的合成与分解时，实质就是向量的线性运算．
知识点四　向量的数量积在物理中的应用
思考　向量的数量积与功有什么联系？
答案　物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积．
梳理　物理上力的做功就是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，即W＝|F||s|cos〈F，s〉，功是一个实数，它可正可负，也可以为零．力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，它的实质是向量F与s的数量积．
知识点五　向量方法解决物理问题的步骤
用向量理论讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤
(1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题．
(2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型．
(3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等．
(4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题．
题型一　用平面向量解决平面几何问题
例1　已知在正方形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.
求证：(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB.
证明：　以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，
建立如图所示的平面直角坐标系，
设AB＝2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)．
(1)∵＝(－1,2)，＝(－2，－1)，
∴·＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0，
∴⊥，即BE⊥CF.
(2)设点P的坐标为(x，y)，则＝(x，y－1)，
＝(2,1)，∵∥，∴x＝2(y－1)，
即x＝2y－2.
同理，由∥，得y＝－2x＋4.
由得
∴点P的坐标为.
∴||＝ ＝2＝||，
即AP＝AB.
变式训练1　如图所示，在正三角形ABC中，D，E分别是AB，BC上的一个三等分点，且分别靠近点A，点B，且AE，CD交于点P.求证：BP⊥DC.
证明：　设＝λ，并设△ABC的边长为a，
则有
＝＋＝λ＋
＝λ＋
＝(2λ＋1) －λ，
＝－ .
∵∥，
∴(2λ＋1)－λ＝k－k.
于是有
解得λ＝.
∴＝，
∴＝＋＝＋， ＝－，
从而·＝·
＝a2－a2－a2cos 60°＝0，∴⊥，
∴BP⊥DC.
题型二　向量在解析几何中的应用
例2　已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点．
(1)求直线DE，EF，FD的方程；
(2)求AB边上的高线CH所在的直线方程．
解析：　(1)由已知得点D(－1,1)，E(－3，－1)，F(2，－2)，设M(x，y)是直线DE上任意一点，则∥.
又∵＝(x＋1，y－1)，＝(－2，－2)，
∴(－2)×(x＋1)－(－2)×(y－1)＝0，
即x－y＋2＝0为直线DE的方程．
同理可求，直线EF，FD的方程分别为
x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.
(2)设点N(x，y)是CH所在直线上任意一点，
则⊥，∴·＝0.
又＝(x＋6，y－2)，＝(4,4)，
∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0，
即x＋y＋4＝0为所求直线CH的方程．
变式训练2　已知点A(－1,2)，
直线l∶4x－3y＋9＝0.求：
(1)过点A且与直线l平行的直线方程；
(2)过点A且与直线l垂直的直线方程．
解析：　直线l的斜率k＝，向量u＝与直线l平行．
(1)设P是过点A且与直线l平行的直线上的一动点，点P的坐标是(x，y)，则＝(x＋1，y－2)，
当且仅当u∥，即当1×(y－2)－×(x＋1)＝0时，所求直线与直线l平行．
整理得4x－3y＋10＝0，即为所求的过点A且与直线l平行的直线方程．
(2)设Q是过点A且与直线l垂直的直线上的一动点，点Q的坐标是(x，y)，
则＝(x＋1，y－2)，
当且仅当u⊥，即当1×(x＋1)＋×(y－2)＝0时，所求直线与直线l垂直．
整理得3x＋4y－5＝0，即为所求的过点A且与直线l垂直的直线方程．
题型三　向量的线性运算在物理中的应用
例3　(1)在重300 N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°(如图)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小．
解析：　如图，两根绳子的拉力之和＋＝，且||＝||＝300 N，∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.
在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，
∠AOC＝30°，则∠OAC＝90°，
从而||＝||·cos 30°＝150(N)，
||＝||·sin 30°＝150(N)，
所以||＝||＝150(N)．
答案　与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.
(2)一艘船从南岸出发，向北岸横渡．根据测量，这一天水流速度为3 km/h，方向正东，风的方向为北偏西30°，受风力影响，静水中船的漂行速度为3 km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以2 km/h的速度横渡，求船本身的速度大小及方向．
解析：　如图，设水的速度为v1，风的速度为v2，v1＋v2＝a.
易求得a的方向是北偏东30°，a的大小是3 km/h.设船的实际航行速度为v，方向由南向北，大小为2 km/h.船本身的速度为v3，则a＋v3＝v，即v3＝v－a，由数形结合知，v3的方向是北偏西60°，大小是 km/h.
变式训练3　在水流速度为4千米/时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/时的速度航行，求船实际航行的速度的大小．
解析：　如图，用v0表示水流速度，v1表示与水流垂直的方向的速度．
则v0＋v1表示船实际航行的速度，
∵|v0|＝4千米/时，
|v1|＝8 千米/时，
∴|v0＋v1|＝＝4(千米/时)．
故船实际航行的速度为4 千米/时．
题型四　向量的数量积在物理中的应用
例4　已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)．
(1)求力F1，F2分别对质点所做的功；
(2)求力F1，F2的合力F对质点所做的功．
解析：　(1)＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，
W1＝F1·＝(3,4)·(－13，－15)
＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99，
W2＝F2·＝(6，－5)·(－13，－15)
＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3.
∴力F1，F2对质点所做的功分别为－99和－3.
(2)W＝F·＝(F1＋F2)·
＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)
＝(9，－1)·(－13，－15)
＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102.
∴合力F对质点所做的功为－102.
变式训练4　一个物体受到同一平面内的三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中|F1|＝2 N，方向为北偏东30°，|F2|＝4 N，方向为北偏东60°，|F3|＝6 N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功．
解析：　以O为原点，正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示．
则F1＝(1，)，F2＝(2，2)，
F3＝(－3,3)，
所以F＝F1＋F2＋F3＝(2－2,2＋4)．
又因为位移s＝(4，4)，
所以合力F所做的功为W＝F·s＝(2－2)×4＋(2＋4)×4＝4×6＝24(J)．
即合力F所做的功为24 J.
一、选择题
1．已知在△ABC中，若＝a，＝b，且a·b<0，则△ABC的形状为(　　)
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定
答案　A
2．在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则BC边的中线AD的长是(　　)
A．2 B. C．3 D.
解析：　∵BC的中点为D，＝，
∴||＝.
答案　B
3．在四边形ABCD中，若＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为(　　)
A. B．2 C．5 D．10
解析：　∵·＝0，∴AC⊥BD.
∴四边形ABCD的面积
S＝||||＝××2＝5.
答案　C
4.如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，
则·的值是(　　)
A. B．2
C．0 D．1
解析：　∵·＝(＋)＝·＝.
∴||＝1，∴||＝－1，
∴·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·
＝.
答案　A
5．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，需再加上一个力F4，则F4等于(　　)
A．(－1，－2) B．(1，－2)
C．(－1,2) D．(1,2)
解析：　∵物体平衡，∴F1＋F2＋F3＋F4＝0，
∴F4＝－F1－F2－F3＝－(－2，－1)－(－3,2)－(4，－3)＝(1,2)．故选D.
答案　D
6．已知作用在点A的三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，且A(1,1)，则合力f＝F1＋F2＋F3的终点坐标为(　　)
A．(9,1) B．(1,9) C．(9,0) D．(0,9)
解析：　f＝F1＋F2＋F3＝(3,4)＋(2，－5)＋(3,1)＝(8,0)，设合力f的终点为P(x，y)，
则＝＋f＝(1,1)＋(8,0)＝(9,1)．
答案　A
7．共点力F1＝(lg 2，lg 2)，F2＝(lg 5，lg 2)作用在物体M上，产生位移s＝(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W为(　　)
A．lg 2 B．lg 5 C．1 D．2
解析：　F1＋F2＝(1,2lg 2)．
∴W＝(F1＋F2)·s＝(1,2lg 2)·(2lg 5,1)
＝2lg 5＋2lg 2＝2.
答案　D
8．河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为(　　)
A．10 m/s B．2 m/s
C．4 m/s D．12 m/s
解析：由题意知|v水|＝2 m/s，|v船|＝10 m/s，作出示意图如右图．
∴小船在静水中的速度大小|v|＝＝＝2 (m/s)．
答案 B
二、填空题
9．若＝(2,2)，＝(－2,3)分别表示F1，F2，则|F1＋F2|为________．
解析：　∵F1＋F2＝(0,5)，∴|F1＋F2|＝＝5.
答案　5
10．已知在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E，F分别为BC，CD的中点，则(＋)·＝________.
解析：　如图，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(2,0)，D(0,1)，
∴C(2,1)．
∵E，F分别为BC，CD的中点，∴E，F(1,1)，
∴＋＝，＝(－2,1)，
∴(＋)·＝3×(－2)＋×1＝－.
答案　－
11.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N，
则每根绳子的拉力大小为______ N.
解析：　设重力为G，每根绳的拉力分别为F1，F2，
则由题意得F1，F2与－G都成60°角，
且|F1|＝|F2|.∴|F1|＝|F2|＝|G|＝10 N，
∴每根绳子的拉力都为10 N.
答案　10
12．一物体在力F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)的共同作用下从点A(1,1)移动到点B(0,5)．在这个过程中三个力的合力所做的功等于________．
解析：　∵F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，
∴合力F＝F1＋F2＋F3＝(8，－8)．
又∵＝(0－1,5－1)＝(－1,4)，
∴F·＝8×(－1)＋(－8)×4＝－40，
即三个力的合力做的功等于－40.
答案　－40
三、解答题
13．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，求·的最小值．
解析：　在等腰梯形ABCD中，由AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，
可得DC＝1，＝＋λ，＝＋，∴·＝(＋λ)·
＝·＋·＋λ·＋λ·
＝2×1×cos 60°＋2×＋λ×1×1×cos 60°＋λ·×cos 120°＝＋＋.
由对勾函数的性质知，
·≥2＋＝，
当且仅当＝，即λ＝时，取得最小值.
14．在△ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求∠A的平分线所在的直线方程．
解析：　＝(3,4)，＝(－8,6)，
∠A的平分线的一个方向向量为
a＝＋＝＋
＝.
设P(x，y)是角平分线上的任意一点，
∵∠A的平分线过点A，∴∥a，
∴所求直线方程为－(x－4)－(y－1)＝0.
整理得7x＋y－29＝0.
15．帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20 km/h，此时水的流向是正东，流速为20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向．
解析:　建立如图所示的平面直角坐标系，风的方向为北偏东30°，速度为|v1|＝20 km/h，水流的方向为正东，速度为|v2|＝20 km/h，
设帆船行驶的速度为v，
则v＝v1＋v2.
由题意，可得向量v1＝(20cos 60°，20sin 60°)＝(10,10)，向量v2＝(20,0)，
则帆船的行驶速度为
v＝v1＋v2＝(10,10)＋(20,0)＝(30,10)，
所以|v|＝＝20(km/h)．
因为tan α＝＝(α为v和v2的夹角，且为锐角)，
所以α＝30°，
所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为20 km/h.
一、选择题
1．过点A(2,3)，且垂直于向量a＝(2,1)的直线方程为(　　)
A．2x＋y－7＝0 B．2x＋y＋7＝0
C．x－2y＋4＝0 D．x－2y－4＝0
解析：　设P(x，y)为直线上一点，则⊥a，即(x－2)×2＋(y－3)×1＝0，即2x＋y－7＝0.
答案　A
2．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的(　　)
A．三个内角的角平分线的交点
B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点
解析：　∵·＝·，∴(－)·＝0，
∴·＝0，∴AC⊥OB.
同理OA⊥BC，OC⊥AB，∴O为三条高的交点．
答案　D
3．已知点A(－2，－3)，B(19,4)，C(－1，－6)，则△ABC是(　　)
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：　＝(19,4)－(－2，－3)＝(21,7)，
＝(－1，－6)－(－2，－3)＝(1，－3)，
·＝21－21＝0，∴⊥.
又||≠||，
∴△ABC为直角三角形．
答案　C
4．在 ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点，若·＝1，则AB的长为(　　)
A．1 B. C. D.
解析：　设AB的长为a(a＞0)，
因为＝＋，＝＋＝－，
所以·＝(＋)·
＝·－2＋2＝－a2＋a＋1.
由已知，得－a2＋a＋1＝1，
又因为a＞0，所以a＝，即AB的长为.
答案　B
5．用力F推动一物体水平运动s m，设F与水平面的夹角为θ，则力F对物体所做的功为(　　)
A．|F|·s B．Fcos θ·s
C．Fsin θ·s D．|F|cos θ·s
答案　D
6．质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量ν＝(4，－3)(即点P的运动方向与ν相同，且每秒移动的距离为|ν|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为(　　)
A．(－2,4) B．(－30,25)
C．(10，－5) D．(5，－10)
解析：　设(－10,10)为点A,5秒后P点的坐标为A1(x，y)，则＝(x＋10，y－10)，
由题意可知，＝5ν，
即(x＋10，y－10)＝(20，－15)，
所以解得
答案　C
7．河水的流速为5 m/s，若一艘小船沿垂直于河岸方向以12 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为(　　)
A．13 m/s B．12 m/s C．17 m/s D．15 m/s
解析：　设小船在静水中的速度为v1，河水的流速为v2，
v1与v2的合速度为v，∵为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，即小船在静水中的速度v1斜向上游方向，河水速度v2平行于河岸，合速度v指向对岸，
∴静水速度|v1|＝＝＝13(m/s)．
答案　A
8．在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝，·＝5，则AC的长为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：因为＝－＝－，
所以2＝2＝2－·＋2，
即2＝1，所以||＝2，即AC＝2.
答案 B
9．在△ABC中，有下列四个命题：
①－＝；
②＋＋＝0；
③若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形；
④若·>0，则△ABC为锐角三角形．
其中正确的命题有(　　)
A．①② B．①④
C．②③ D．②③④
解析：因为－＝＝－≠，所以①错误.＋＋＝＋＝－＝0，所以②正确．
由(＋)·(－)＝2－2＝0，得||＝||，所以△ABC为等腰三角形，③正确.
·>0 cosA>0，所以A为锐角，但不能确定B，C的大小，所以不能判定△ABC是否为锐角三角形，所以④错误．故选C.
答案 C
二、填空题
10．已知直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点，若|AB|＝，则·＝________.
解析：　如图，作OD⊥AB于点D，
则在Rt△AOD中，
OA＝1，AD＝，所以∠AOD＝60°，∠AOB＝120°，
所以·＝||||·cos 120°＝1×1×＝－.
答案　－
11．点P在平面上做匀速直线运动，速度v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P0的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为________．
解析：由题意知，＝5v＝(20，－15)，
设点P的坐标为(x，y)，则
解得点P的坐标为(10，－5)．
答案 (10，－5)
12.如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．
解析：　由＝3，得＝＝，＝＋＝＋，
＝－＝＋－＝－.
因为·＝2，所以·＝2，即2－·－2＝2.
又因为2＝25，2＝64，所以·＝22.
答案　22
13．如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．
解析：　∵O是BC的中点，
∴＝(＋)．
又∵＝m，＝n，
∴＝＋.
又∵M，O，N三点共线，
∴＋＝1，则m＋n＝2.
答案　2
三、解答题
14．如图，已知平行四边形ABCD的顶点A(0,0)，B(4,1)，C(6,8)．
(1) 求顶点D的坐标；
(2) 若＝2，F为AD的中点，求AE与BF的交点I的坐标．
解析：　(1)设点D(m，n)，
因为＝，
所以(m，n)＝(6,8)－(4,1)＝(2,7)，
所以顶点D的坐标为(2,7)．
(2)设点I(x，y)，
则点F坐标为，
由于＝2，故(xE－2，yE－7)＝2(6－xE，8－yE)，
所以E，
由于＝，＝(x－4，y－1)，∥，
所以(x－4)＝－3(y－1)，①
又∥，所以x＝y，②
解①②得x＝，y＝.则点I的坐标为.
15．质量m＝2.0 kg的木块，在平行于斜面向上的拉力F＝10 N的作用下，沿倾斜角θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s|＝2.0 m的距离．(g＝9.8 N/kg)
(1)分别求物体所受各力对物体所做的功；
(2)在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？
解析：　(1)木块受三个力的作用，重力G，拉力F和支持力FN，如图所示，拉力F与位移s方向相同，所以拉力对木块所做的功为WF＝F·s＝|F||s|cos 0°＝20(J)；
支持力FN与位移方向垂直，不做功，
所以WN＝FN·s＝0；
重力G对物体所做的功为
WG＝G·s＝|G||s|cos(90°＋θ)＝－19.6(J)．
(2)物体所受各力对物体做功的代数和为
W＝WF＋WN＋WG＝0.4(J)．
16．如图所示，在某次抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．
解析：设，分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km，
从B地按南偏东55°的方向飞行800 km，
则飞机飞行的路程指的是||＋||；
两次飞行的位移的和指的是＋＝，
依题意有||＋||＝800＋800＝1 600(km)，
又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，
所以||＝
＝＝800 (km)，
其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°，从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 km，方向为北偏东80°.