3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-人教A版高中数学必修四讲义（Word解析版）
文档属性
| 名称 | 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-人教A版高中数学必修四讲义（Word解析版） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 335.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-23 18:44:07 | ||
图片预览
文档简介
本章有很多重要公式，应用这些公式以及前面所学的三家函数的公式可以对函数式化简变形，进而解决一些三角函数问题。在高考命题中，有关三角函数的恒等变换为每年的必考题目，难度不大。
教材要点 学科素养 学考 高考 考法指津 高考考向
1.两角差的余弦公式 逻辑推理 水平2 水平2 1.本节内容公式较多，需要在理解的基础上进行记忆；试题灵活多样、技巧性强。 2.公式要记忆准确，并会灵活运用其变形公式。 【考查内容】和角公式与差角公式的正用、逆用和变形应用求三角函数的值。 【考查题型】选择题、填空题、解答题 【分值情况】5--12分
2.两角差的正弦、两角和的正余弦公式 数学运算 水平1 水平2
3.两角和与差的正切公式 数学运算 水平1 水平2
4.二倍角的正弦、余弦、正切公式 数学运算 水平1 水平2
高中数学，同步讲义 必修四 第三章 三角恒等变换 第一讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1．两角和与差的余弦公式
推导：
证法一：
如图，在直角坐标系内作单位圆，并作出角，与，
使角的始边为，交于点，终边交于点；角的始
边为，终边交于点，角的始边为，终边交于点
．则，，，
．
由及两点间的距离公式，得
展开并整理，得
∴．
于是．
证法二：
以坐标原点为中心作单位圆，以为始边作角与，它们终边分别与单位圆相交于点，
，则，，．
因此存在，使或成立．
因为．
．
所以．
于是．
2．两角和与差的正弦公式
推导：
．
3．两角和与差的正切公式
．
．
推导：
把后面一个分式的分子、分母分别除以得
把公式中的换为，得．
4．二倍角的正弦、余弦、正切
．
．
．
5． 公式的逆向变换及常用变形
．．
；
．
备注：由公式的变形，还可以得到，由这组公式我们可以由的三角函数值，结合角的范围得到，这组公式又被称为半角公式．这些公式现在课本不再单独提出，直接作为二倍角公式的变形使用，它的应用还是挺广泛的．
题型一 利用两角差的余弦公式化简求值
例1 计算：
(1)cos(－15°)；
(2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°.
解析：
(1)原式＝cos(30°－45°)
＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°
＝×＋×＝..
(2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0.
变式训练1
cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°的值为( )
A． B．
C． D．
解析：原式＝cos(78°－18°)＝cos 60°＝.
答案 A
题型二 给值求值
例2、
(1)已知sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝，
则cos(α－β)等于( )
A．－ B．－
C. D.
解析：
因为sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝，
所以(cos α－cos β)2＝，(sinα－sin β)2＝－.
两式相加，得2－2cos(α－β)＝2－.
所以cos(α－β)＝.
答案 D
(2)已知α，β均为锐角，sin α＝，cos(α－β)＝，求cos β的值．
解析： 因为α∈，sin α＝<，所以0<α<.
又因为α－β∈，cos(α－β)＝<，
所以－<α－β<－.
所以cos α＝＝ ＝，
sin(α－β)＝－
＝－＝－，
所以cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝.
变式训练2 已知sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝，求cos(α－β)的值．
解析： ∵(sin α＋sin β)2＝2，
(cos α＋cos β)2＝2，
以上两式展开两边分别相加，得2＋2cos(α－β)＝1，
∴cos(α－β)＝－.
题型三 给角求值
例3 (1) 已知角α的终边经过点(－3,4)，
则sin的值为( )
A. B．－ C. D．－
答案 C
解析： 因为角α的终边经过点(－3,4)，
则sin α＝，cos α＝－，
所以sin＝sin αcos ＋cos αsin
＝×－×＝.
(2) 计算：sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°.
解析：
原式＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°)cos(90°－16°)
＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°
＝sin(14°＋16°)
＝sin 30°
＝.
变式训练3
求值：＝ .
解析： 原式＝
＝
＝＝＝
＝
＝2－.
答案 2－
题型四 配凑角的应用
命题角度一 给值求角
例4-1 已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，求β的值．
解析：
∵α，β∈且cos α＝，cos(α＋β)＝－，
∴α＋β∈(0，π)，∴sin α＝＝，
sin(α＋β)＝＝.
又∵β＝(α＋β)－α，
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝×＋×＝.
又∵β∈，∴β＝.
变式训练4-1
已知sin(π－α)＝，cos(α－β)＝，0<β<α<，求角β的大小．
解析： 因为sin(π－α)＝，所以sin α＝.
因为0<α<，所以cos α＝＝.
因为cos(α－β)＝，
且0<β<α<，所以0<α－β<，
所以sin(α－β)＝＝.
所以cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝.
因为0<β<，所以β＝.
命题角度二 给值求值
例4-2 已知α、β∈(，π)，sin(α＋β)＝－，sin(β－)＝，求cos(α＋)的值.
解析： ∵α、β∈(，π)，sin(α＋β)＝－，
sin(β－)＝，
∴α＋β∈(，2π)，β－∈(，)，
∴cos(α＋β)＝＝，
cos(β－)＝－＝－，
∴cos(α＋)＝cos[(α＋β)－(β－)]
＝cos(α＋β)·cos(β－)＋sin(α＋β)sin(β－)
＝×(－)＋(－)×
＝－.
变式训练4-2 已知sin(30°＋α)＝，60°<α<150°，则cosα＝ ( )
A． B．
C． D．
解析： ∵60°<α<150°，∴90°<30°＋α<180°，
∴cos(30°＋α)＝－，
又cosα＝cos[(30°＋α)－30°]
＝cos(30°＋α)cos30°＋sin(30°＋α)sin30°
＝－×＋×＝.
答案 A
题型五 辅助角公式
例5 (1)求值：cos ＋sin ＝ .
解析：原式＝2
＝2sin ＝.
答案
(2)当函数y＝sin x－cos x(0≤x≤2π)取得最大值时，x＝ .
解析： y＝2sin，
∵0≤x≤2π，∴－≤x－≤，
∴当x－＝，即x＝时，ymax＝2.
答案
变式训练5 sin －cos ＝ .
解析： 原式＝2
＝2
＝2
＝2sin＝2sin＝－.
答案 －
题型六 给角求值
例6 (1)计算：cos2－sin2；
解析： 原式＝cos ＝.
(2)计算：；
解析： ＝2·
＝2·
＝－2.
(3)计算：cos 20°cos 40°cos 80°.
解析：原式＝·2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°
＝·sin 40°·cos 40°cos 80°
＝sin 80°cos 80°
＝·sin 160°
＝
＝.
变式训练6
(1) 已知sin α＝，则cos(π－2α)等于( )
A．－ B．－
C. D.
答案 B
(2) －cos2＝________；
解析： 原式＝＝－cos ＝－.
答案 －
题型七 给值求值
例7 (1)若sin α－cos α＝，则sin 2α＝________.
解析： (sin α－cos α)2＝sin2α＋cos2α－2sin αcos α
＝1－sin 2α＝，
即sin 2α＝1－＝.
答案
(2)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α等于( )
A. B. C．1 D.
解析： cos2α＋2sin 2α＝
＝.
把tan α＝代入，得
cos2α＋2sin 2α＝＝＝.
答案 A
变式训练7 (1) 若sin(π－α)＝，且≤α≤π，
则sin 2α的值为( )
A．－ B．－
C. D.
解析： 因为sin(π－α)＝，所以sin α＝，
又因为≤α≤π，
所以cos α＝－＝－，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－.
答案 A
(2)已知α为锐角，若cos＝，
则cos＝________.
解析：因为α为锐角，cos＝>0，
所以α＋为锐角，sin＝，
则sin＝2sincos
＝2××＝.
又cos＝sin，
所以cos＝.
答案
题型八 利用二倍角公式化简证明
例8 (1)化简：.
解析： 方法一 原式＝
＝＝
＝tan θ.
方法二 原式＝
＝
＝＝tan θ.
(2)求证：·＝tan 2α.
证明： 左边＝·＝tan 2α＝右边．
变式训练8 α为第三象限角，
则－＝________.
解析： ∵α为第三象限角，∴cos α<0，sin α<0，
∴－
＝－
＝－＝0.
答案 0
一、选择题
1．化简cos 15°cos 45°＋cos 75°sin 45°的值为( )
A. B. C．－ D．－
解析：cos 15°cos 45°＋cos 75°sin 45°
＝cos 15°cos 45°＋sin 15°sin 45°
＝cos(15°－45°)＝cos(－30°)＝.
答案 B
2．若sin αsin β＝1，则cos(α－β)的值为( )
A．0 B．1
C．±1 D．－1
解析： 因为sin αsin β＝1，－1≤sin α≤1，－1≤sin β≤1，所以或者
解得于是cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1.
答案 B
3．已知cos＝，x∈(0，π)，则sin x的值为( )
A. B.
C. D.
解析：由题意得x＋∈，
所以sin＝，
所以sin x＝sin＝sincos －cossin ＝×－×＝.
答案 B
4．已知sin＝，<α<，则cosα的值是( )
A． B．
C． D．
解析： ∵<α<，∴<＋α<π.
∴cos＝－＝－.
∴cosα＝cos
＝coscos＋sinsin
＝－×＋×＝.
答案 A
5．若sin α＝，α∈，则cos＝( )
A．－ B．
C．－ D．
解析： 因为sin α＝，α∈，所以cos α＝，
故cos＝cos αcos －sin αsin ＝×－×＝－.
答案 A
6．设α∈(0，)，若sinα＝，则cos(α＋)等于( )
A． B．
C．－ D．－
解析： cos(α＋)＝(cosα·－sinα·)＝－＝.
答案 B
7．若α、β均为锐角，sinα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ等于( )
A． B．
C．或 D．－
解析： ∵α与β均为锐角，且sinα＝>sin(α＋β)＝，∴α＋β为钝角，
又由sin(α＋β)＝得，cos(α＋β)＝－，
由sinα＝得，cosα＝，
∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝
答案 B
8．已知sin α＝，则cos(π－2α)＝( )
A．－ B．－
C． D．
解析： 因为sin α＝，
所以cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin2 α)＝－1＋2×2＝－.
答案 B
9. －sin215°的值是( )
A． B．
C． D．
解析： 原式＝－＝＝.
答案 D
10．已知sin2α＝，则cos2(α＋)＝( )
A． B．
C． D．
解析： 本题考查半角公式及诱导公式．
由倍角公式可得，cos2(α＋)＝＝＝＝，
答案 A
二、填空题
11．已知cos＝，则cos α＋sin α的值为________．
解析： 因为cos＝coscos α＋sin sin α＝cos α＋sin α＝，
所以cos α＋sin α＝.
答案
12．cos(61°＋2α)cos(31°＋2α)＋sin(61°＋2α)sin(31°＋2α)＝ .
解析：原式＝cos[(61°＋2α)－(31°＋2α)]
＝cos30°＝.
答案
13．若cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－，且450°<β<540°，则sin(60°－β)＝ .
解析： 由已知得cos[(α＋β)－α]＝cosβ＝－，
∵450°<β<540°，∴sinβ＝，
∴sin(60°－β)＝×－×＝－.
答案 －.
14．若tanθ＝，则cos2θ＝ .
解析： cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝＝.
答案 .
三、解答题
15．已知tan α＝4 ，cos(α＋β)＝－，α，β均为锐角，求cos β的值.
解析： ∵α∈，tan α＝4 ，
∴sin α＝4 cos α，①
sin2α＋cos2α＝1，②
由①②得sin α＝，cos α＝.
∵α＋β∈(0，π)，
cos(α＋β)＝－，
∴sin(α＋β)＝.
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝×＋×＝.
∴cos β＝.
16．已知sin＝，且<α<，求cosα的值.
解析： ∵sin＝，且<α<，
∴<α＋<π.
∴cos＝－＝－.
∴cosα＝cos
＝coscos＋sinsin
＝－×＋×＝.
17．已知cosθ＝－，θ∈，求cos的值.
解析： cosθ＝－，θ∈，
∴sinθ＝－，
∴cos＝cosθ·cos－sinθ·sin
＝－×－×＝－.
18. 已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈.求cos2α，cos2β及角β的值.
解析： 由α－β∈，且cos(α－β)＝－，得sin(α－β)＝.
由α＋β∈，且cos(α＋β)＝.
得sin(α＋β)＝－.
∴cos2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)
＝－×－×＝－.
cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝－×＋×＝－1.
又∵α＋β∈，
α－β∈ β－α∈(－π，－)
2β∈.
∴2β＝π，则β＝.
一、选择题
1．已知sin α＝，α是第二象限角，则cos(α－60°)为( )
A． B．
C． D．
解析： 因为sin α＝，α是第二象限角，所以cos α＝－，
故cos(α－60°)＝cos αcos 60°＋sin αsin 60°＝×＋×＝.
答案 B
2．若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，则cos＝( )
A． B．－
C． D．－
解析： cos＝cos＝coscos＋sinsin，
而＋α∈，－∈，
因此sin＝，sin＝，
则cos＝×＋×＝.
答案 C
3．若sin(＋θ)<0，且cos(－θ)>0，则θ是 )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析： 因为cosθ<0，sinθ>0，∴θ是第二象限角．
答案 B
4．已知sinα＋sinβ＝，cosα＋cosβ＝，则cos(α－β)的值为( )
A． B．
C． D．－
解析： 由已知，得(sinα＋sinβ)2＋(cosα＋cosβ)2＝2＋2＝1，
所以2＋2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝1，
即2＋2cos(α－β)＝1.
所以cos(α－β)＝－.
答案 D
5．若sin α＝，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值为( )
A． B．－
C．7 D．
解析： 由sin α＝，且α是第二象限角，可得cos α＝－，则tan α＝－，
所以tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝7.
答案 C
6. cos－sin的值是( )
A．0 B．
C．－ D．2
解析： cos－sin＝2(cos－sin)＝2(sincos－cossin)＝2sin(－)＝2sin＝.
答案
7．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，则cosαcosβ的值为( )
A．0 B．
C．0或 D．0或±
解析： 由条件得，cosαcosβ－sinαsinβ＝，
cosαcosβ＋sinαsinβ＝－，
左右两边分别相加可得cosα·cosβ＝0.
答案 A
8．若＝，则tan 2α＝( )
A．－ B．
C．－ D．
解析： 因为＝，
整理得tan α＝－3，
所以tan 2α＝＝＝.
答案 B
9. ＋2的化简结果是( )
A．2cos4－4sin4 B．2sin4
C．2sin4－4cos4 D．－2sin4
解析： 原式＝＋2
＝·＋2
＝2|sin4|＋2|sin4－cos4|＝2cos4－4sin4.
答案 A
10．若＝－，则cosα＋sinα的值为( )
A．－ B．－
C． D．
解析： ＝
＝
＝－(cosα＋sinα)＝－.
∴sinα＋cosα＝.
答案 C
二、填空题
11．在△ABC中，sin A＝，cos B＝－，则cos(A－B)＝________.
解析： 因为cos B＝－，且0所以所以sin B＝＝＝，且0所以cos A＝＝＝，
所以cos(A－B)＝cos Acos B＋sin Asin B，
＝×＋×＝－.
答案 －
12．已知cos＝cosα，则tanα＝ .
解析：cos＝cosαcos＋sinαsin
＝cosα＋sinα＝cosα，
∴sinα＝cosα，∴＝，即tanα＝.
答案
13．计算＝________.
解析： 原式＝
＝tan(45°－15°)＝.
答案
14．若，则______．
解析：，
，，
答案
三、解答题
15．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，求证：cos(α－β)＝－.
证明： 由sin α＋sin β＋sin γ＝0，
cos α＋cos β＋cos γ＝0得
(sin α＋ sin β)2＝(－sin γ)2，①
(cos α＋cos β)2＝(－cos γ)2.②
①＋②得，2＋2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1，
即2＋2cos(α－β)＝1，所以cos(α－β)＝－.
16．已知：cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，且<α<，0<β<，求cos(α＋β).
解析： 因为<α<，0<β<，所以<2α－β<π.
因为cos(2α－β)＝－，所以<2α－β<π.
所以sin(2α－β)＝.
因为<α<，0<β<，所以－<α－2β<，
因为sin(α－2β)＝，所以0<α－2β<，
所以cos(α－2β)＝.
所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]
＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)·sin(α－2β)
＝－×＋×＝0.
17．已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A>0,0<φ<π，x∈R)的最大值是1，其图象经过点M(，).
(1)求f(x)的解析式；
(2)已知α、β∈(0，)，且f(α)＝，f(β)＝，
求f(α－β)的值．
解析： (1)由题意，知A＝1，则f(x)＝sin(x＋φ)．将点M(，)代入，得sin(＋φ)＝.而0<φ<π，
∴＋φ＝π，∴φ＝，故f(x)＝sin(x＋)＝cosx.
(2)由题意，有cosα＝，cosβ＝.
∵α、β∈(0，)，
∴sinα＝＝，sinβ＝＝，
∴f(α－β)＝cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝.
18．已知函数f(x)＝cos2－sin cos －.
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；
(2)若f(α)＝，求sin 2α的值．
解析： (1)因为f(x)＝cos2－sin cos －＝(1＋cos x)－sin x－＝cos，
所以函数f(x)的最小正周期为2π，值域为.
(2)由(1)知，f(α)＝cos＝，
所以cos＝，
所以sin 2α＝－cos＝－cos
＝1－2cos2＝1－＝.
教材要点 学科素养 学考 高考 考法指津 高考考向
1.两角差的余弦公式 逻辑推理 水平2 水平2 1.本节内容公式较多，需要在理解的基础上进行记忆；试题灵活多样、技巧性强。 2.公式要记忆准确，并会灵活运用其变形公式。 【考查内容】和角公式与差角公式的正用、逆用和变形应用求三角函数的值。 【考查题型】选择题、填空题、解答题 【分值情况】5--12分
2.两角差的正弦、两角和的正余弦公式 数学运算 水平1 水平2
3.两角和与差的正切公式 数学运算 水平1 水平2
4.二倍角的正弦、余弦、正切公式 数学运算 水平1 水平2
高中数学，同步讲义 必修四 第三章 三角恒等变换 第一讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1．两角和与差的余弦公式
推导：
证法一：
如图，在直角坐标系内作单位圆，并作出角，与，
使角的始边为，交于点，终边交于点；角的始
边为，终边交于点，角的始边为，终边交于点
．则，，，
．
由及两点间的距离公式，得
展开并整理，得
∴．
于是．
证法二：
以坐标原点为中心作单位圆，以为始边作角与，它们终边分别与单位圆相交于点，
，则，，．
因此存在，使或成立．
因为．
．
所以．
于是．
2．两角和与差的正弦公式
推导：
．
3．两角和与差的正切公式
．
．
推导：
把后面一个分式的分子、分母分别除以得
把公式中的换为，得．
4．二倍角的正弦、余弦、正切
．
．
．
5． 公式的逆向变换及常用变形
．．
；
．
备注：由公式的变形，还可以得到，由这组公式我们可以由的三角函数值，结合角的范围得到，这组公式又被称为半角公式．这些公式现在课本不再单独提出，直接作为二倍角公式的变形使用，它的应用还是挺广泛的．
题型一 利用两角差的余弦公式化简求值
例1 计算：
(1)cos(－15°)；
(2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°.
解析：
(1)原式＝cos(30°－45°)
＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°
＝×＋×＝..
(2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0.
变式训练1
cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°的值为( )
A． B．
C． D．
解析：原式＝cos(78°－18°)＝cos 60°＝.
答案 A
题型二 给值求值
例2、
(1)已知sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝，
则cos(α－β)等于( )
A．－ B．－
C. D.
解析：
因为sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝，
所以(cos α－cos β)2＝，(sinα－sin β)2＝－.
两式相加，得2－2cos(α－β)＝2－.
所以cos(α－β)＝.
答案 D
(2)已知α，β均为锐角，sin α＝，cos(α－β)＝，求cos β的值．
解析： 因为α∈，sin α＝<，所以0<α<.
又因为α－β∈，cos(α－β)＝<，
所以－<α－β<－.
所以cos α＝＝ ＝，
sin(α－β)＝－
＝－＝－，
所以cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝.
变式训练2 已知sin α＋sin β＝，cos α＋cos β＝，求cos(α－β)的值．
解析： ∵(sin α＋sin β)2＝2，
(cos α＋cos β)2＝2，
以上两式展开两边分别相加，得2＋2cos(α－β)＝1，
∴cos(α－β)＝－.
题型三 给角求值
例3 (1) 已知角α的终边经过点(－3,4)，
则sin的值为( )
A. B．－ C. D．－
答案 C
解析： 因为角α的终边经过点(－3,4)，
则sin α＝，cos α＝－，
所以sin＝sin αcos ＋cos αsin
＝×－×＝.
(2) 计算：sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°.
解析：
原式＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°)cos(90°－16°)
＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°
＝sin(14°＋16°)
＝sin 30°
＝.
变式训练3
求值：＝ .
解析： 原式＝
＝
＝＝＝
＝
＝2－.
答案 2－
题型四 配凑角的应用
命题角度一 给值求角
例4-1 已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，求β的值．
解析：
∵α，β∈且cos α＝，cos(α＋β)＝－，
∴α＋β∈(0，π)，∴sin α＝＝，
sin(α＋β)＝＝.
又∵β＝(α＋β)－α，
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝×＋×＝.
又∵β∈，∴β＝.
变式训练4-1
已知sin(π－α)＝，cos(α－β)＝，0<β<α<，求角β的大小．
解析： 因为sin(π－α)＝，所以sin α＝.
因为0<α<，所以cos α＝＝.
因为cos(α－β)＝，
且0<β<α<，所以0<α－β<，
所以sin(α－β)＝＝.
所以cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝.
因为0<β<，所以β＝.
命题角度二 给值求值
例4-2 已知α、β∈(，π)，sin(α＋β)＝－，sin(β－)＝，求cos(α＋)的值.
解析： ∵α、β∈(，π)，sin(α＋β)＝－，
sin(β－)＝，
∴α＋β∈(，2π)，β－∈(，)，
∴cos(α＋β)＝＝，
cos(β－)＝－＝－，
∴cos(α＋)＝cos[(α＋β)－(β－)]
＝cos(α＋β)·cos(β－)＋sin(α＋β)sin(β－)
＝×(－)＋(－)×
＝－.
变式训练4-2 已知sin(30°＋α)＝，60°<α<150°，则cosα＝ ( )
A． B．
C． D．
解析： ∵60°<α<150°，∴90°<30°＋α<180°，
∴cos(30°＋α)＝－，
又cosα＝cos[(30°＋α)－30°]
＝cos(30°＋α)cos30°＋sin(30°＋α)sin30°
＝－×＋×＝.
答案 A
题型五 辅助角公式
例5 (1)求值：cos ＋sin ＝ .
解析：原式＝2
＝2sin ＝.
答案
(2)当函数y＝sin x－cos x(0≤x≤2π)取得最大值时，x＝ .
解析： y＝2sin，
∵0≤x≤2π，∴－≤x－≤，
∴当x－＝，即x＝时，ymax＝2.
答案
变式训练5 sin －cos ＝ .
解析： 原式＝2
＝2
＝2
＝2sin＝2sin＝－.
答案 －
题型六 给角求值
例6 (1)计算：cos2－sin2；
解析： 原式＝cos ＝.
(2)计算：；
解析： ＝2·
＝2·
＝－2.
(3)计算：cos 20°cos 40°cos 80°.
解析：原式＝·2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°
＝·sin 40°·cos 40°cos 80°
＝sin 80°cos 80°
＝·sin 160°
＝
＝.
变式训练6
(1) 已知sin α＝，则cos(π－2α)等于( )
A．－ B．－
C. D.
答案 B
(2) －cos2＝________；
解析： 原式＝＝－cos ＝－.
答案 －
题型七 给值求值
例7 (1)若sin α－cos α＝，则sin 2α＝________.
解析： (sin α－cos α)2＝sin2α＋cos2α－2sin αcos α
＝1－sin 2α＝，
即sin 2α＝1－＝.
答案
(2)若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α等于( )
A. B. C．1 D.
解析： cos2α＋2sin 2α＝
＝.
把tan α＝代入，得
cos2α＋2sin 2α＝＝＝.
答案 A
变式训练7 (1) 若sin(π－α)＝，且≤α≤π，
则sin 2α的值为( )
A．－ B．－
C. D.
解析： 因为sin(π－α)＝，所以sin α＝，
又因为≤α≤π，
所以cos α＝－＝－，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－.
答案 A
(2)已知α为锐角，若cos＝，
则cos＝________.
解析：因为α为锐角，cos＝>0，
所以α＋为锐角，sin＝，
则sin＝2sincos
＝2××＝.
又cos＝sin，
所以cos＝.
答案
题型八 利用二倍角公式化简证明
例8 (1)化简：.
解析： 方法一 原式＝
＝＝
＝tan θ.
方法二 原式＝
＝
＝＝tan θ.
(2)求证：·＝tan 2α.
证明： 左边＝·＝tan 2α＝右边．
变式训练8 α为第三象限角，
则－＝________.
解析： ∵α为第三象限角，∴cos α<0，sin α<0，
∴－
＝－
＝－＝0.
答案 0
一、选择题
1．化简cos 15°cos 45°＋cos 75°sin 45°的值为( )
A. B. C．－ D．－
解析：cos 15°cos 45°＋cos 75°sin 45°
＝cos 15°cos 45°＋sin 15°sin 45°
＝cos(15°－45°)＝cos(－30°)＝.
答案 B
2．若sin αsin β＝1，则cos(α－β)的值为( )
A．0 B．1
C．±1 D．－1
解析： 因为sin αsin β＝1，－1≤sin α≤1，－1≤sin β≤1，所以或者
解得于是cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1.
答案 B
3．已知cos＝，x∈(0，π)，则sin x的值为( )
A. B.
C. D.
解析：由题意得x＋∈，
所以sin＝，
所以sin x＝sin＝sincos －cossin ＝×－×＝.
答案 B
4．已知sin＝，<α<，则cosα的值是( )
A． B．
C． D．
解析： ∵<α<，∴<＋α<π.
∴cos＝－＝－.
∴cosα＝cos
＝coscos＋sinsin
＝－×＋×＝.
答案 A
5．若sin α＝，α∈，则cos＝( )
A．－ B．
C．－ D．
解析： 因为sin α＝，α∈，所以cos α＝，
故cos＝cos αcos －sin αsin ＝×－×＝－.
答案 A
6．设α∈(0，)，若sinα＝，则cos(α＋)等于( )
A． B．
C．－ D．－
解析： cos(α＋)＝(cosα·－sinα·)＝－＝.
答案 B
7．若α、β均为锐角，sinα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ等于( )
A． B．
C．或 D．－
解析： ∵α与β均为锐角，且sinα＝>sin(α＋β)＝，∴α＋β为钝角，
又由sin(α＋β)＝得，cos(α＋β)＝－，
由sinα＝得，cosα＝，
∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝
答案 B
8．已知sin α＝，则cos(π－2α)＝( )
A．－ B．－
C． D．
解析： 因为sin α＝，
所以cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin2 α)＝－1＋2×2＝－.
答案 B
9. －sin215°的值是( )
A． B．
C． D．
解析： 原式＝－＝＝.
答案 D
10．已知sin2α＝，则cos2(α＋)＝( )
A． B．
C． D．
解析： 本题考查半角公式及诱导公式．
由倍角公式可得，cos2(α＋)＝＝＝＝，
答案 A
二、填空题
11．已知cos＝，则cos α＋sin α的值为________．
解析： 因为cos＝coscos α＋sin sin α＝cos α＋sin α＝，
所以cos α＋sin α＝.
答案
12．cos(61°＋2α)cos(31°＋2α)＋sin(61°＋2α)sin(31°＋2α)＝ .
解析：原式＝cos[(61°＋2α)－(31°＋2α)]
＝cos30°＝.
答案
13．若cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－，且450°<β<540°，则sin(60°－β)＝ .
解析： 由已知得cos[(α＋β)－α]＝cosβ＝－，
∵450°<β<540°，∴sinβ＝，
∴sin(60°－β)＝×－×＝－.
答案 －.
14．若tanθ＝，则cos2θ＝ .
解析： cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝＝.
答案 .
三、解答题
15．已知tan α＝4 ，cos(α＋β)＝－，α，β均为锐角，求cos β的值.
解析： ∵α∈，tan α＝4 ，
∴sin α＝4 cos α，①
sin2α＋cos2α＝1，②
由①②得sin α＝，cos α＝.
∵α＋β∈(0，π)，
cos(α＋β)＝－，
∴sin(α＋β)＝.
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝×＋×＝.
∴cos β＝.
16．已知sin＝，且<α<，求cosα的值.
解析： ∵sin＝，且<α<，
∴<α＋<π.
∴cos＝－＝－.
∴cosα＝cos
＝coscos＋sinsin
＝－×＋×＝.
17．已知cosθ＝－，θ∈，求cos的值.
解析： cosθ＝－，θ∈，
∴sinθ＝－，
∴cos＝cosθ·cos－sinθ·sin
＝－×－×＝－.
18. 已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈.求cos2α，cos2β及角β的值.
解析： 由α－β∈，且cos(α－β)＝－，得sin(α－β)＝.
由α＋β∈，且cos(α＋β)＝.
得sin(α＋β)＝－.
∴cos2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)
＝－×－×＝－.
cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝－×＋×＝－1.
又∵α＋β∈，
α－β∈ β－α∈(－π，－)
2β∈.
∴2β＝π，则β＝.
一、选择题
1．已知sin α＝，α是第二象限角，则cos(α－60°)为( )
A． B．
C． D．
解析： 因为sin α＝，α是第二象限角，所以cos α＝－，
故cos(α－60°)＝cos αcos 60°＋sin αsin 60°＝×＋×＝.
答案 B
2．若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，则cos＝( )
A． B．－
C． D．－
解析： cos＝cos＝coscos＋sinsin，
而＋α∈，－∈，
因此sin＝，sin＝，
则cos＝×＋×＝.
答案 C
3．若sin(＋θ)<0，且cos(－θ)>0，则θ是 )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析： 因为cosθ<0，sinθ>0，∴θ是第二象限角．
答案 B
4．已知sinα＋sinβ＝，cosα＋cosβ＝，则cos(α－β)的值为( )
A． B．
C． D．－
解析： 由已知，得(sinα＋sinβ)2＋(cosα＋cosβ)2＝2＋2＝1，
所以2＋2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝1，
即2＋2cos(α－β)＝1.
所以cos(α－β)＝－.
答案 D
5．若sin α＝，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值为( )
A． B．－
C．7 D．
解析： 由sin α＝，且α是第二象限角，可得cos α＝－，则tan α＝－，
所以tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝7.
答案 C
6. cos－sin的值是( )
A．0 B．
C．－ D．2
解析： cos－sin＝2(cos－sin)＝2(sincos－cossin)＝2sin(－)＝2sin＝.
答案
7．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，则cosαcosβ的值为( )
A．0 B．
C．0或 D．0或±
解析： 由条件得，cosαcosβ－sinαsinβ＝，
cosαcosβ＋sinαsinβ＝－，
左右两边分别相加可得cosα·cosβ＝0.
答案 A
8．若＝，则tan 2α＝( )
A．－ B．
C．－ D．
解析： 因为＝，
整理得tan α＝－3，
所以tan 2α＝＝＝.
答案 B
9. ＋2的化简结果是( )
A．2cos4－4sin4 B．2sin4
C．2sin4－4cos4 D．－2sin4
解析： 原式＝＋2
＝·＋2
＝2|sin4|＋2|sin4－cos4|＝2cos4－4sin4.
答案 A
10．若＝－，则cosα＋sinα的值为( )
A．－ B．－
C． D．
解析： ＝
＝
＝－(cosα＋sinα)＝－.
∴sinα＋cosα＝.
答案 C
二、填空题
11．在△ABC中，sin A＝，cos B＝－，则cos(A－B)＝________.
解析： 因为cos B＝－，且0
所以cos(A－B)＝cos Acos B＋sin Asin B，
＝×＋×＝－.
答案 －
12．已知cos＝cosα，则tanα＝ .
解析：cos＝cosαcos＋sinαsin
＝cosα＋sinα＝cosα，
∴sinα＝cosα，∴＝，即tanα＝.
答案
13．计算＝________.
解析： 原式＝
＝tan(45°－15°)＝.
答案
14．若，则______．
解析：，
，，
答案
三、解答题
15．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，求证：cos(α－β)＝－.
证明： 由sin α＋sin β＋sin γ＝0，
cos α＋cos β＋cos γ＝0得
(sin α＋ sin β)2＝(－sin γ)2，①
(cos α＋cos β)2＝(－cos γ)2.②
①＋②得，2＋2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1，
即2＋2cos(α－β)＝1，所以cos(α－β)＝－.
16．已知：cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，且<α<，0<β<，求cos(α＋β).
解析： 因为<α<，0<β<，所以<2α－β<π.
因为cos(2α－β)＝－，所以<2α－β<π.
所以sin(2α－β)＝.
因为<α<，0<β<，所以－<α－2β<，
因为sin(α－2β)＝，所以0<α－2β<，
所以cos(α－2β)＝.
所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]
＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)·sin(α－2β)
＝－×＋×＝0.
17．已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A>0,0<φ<π，x∈R)的最大值是1，其图象经过点M(，).
(1)求f(x)的解析式；
(2)已知α、β∈(0，)，且f(α)＝，f(β)＝，
求f(α－β)的值．
解析： (1)由题意，知A＝1，则f(x)＝sin(x＋φ)．将点M(，)代入，得sin(＋φ)＝.而0<φ<π，
∴＋φ＝π，∴φ＝，故f(x)＝sin(x＋)＝cosx.
(2)由题意，有cosα＝，cosβ＝.
∵α、β∈(0，)，
∴sinα＝＝，sinβ＝＝，
∴f(α－β)＝cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝.
18．已知函数f(x)＝cos2－sin cos －.
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；
(2)若f(α)＝，求sin 2α的值．
解析： (1)因为f(x)＝cos2－sin cos －＝(1＋cos x)－sin x－＝cos，
所以函数f(x)的最小正周期为2π，值域为.
(2)由(1)知，f(α)＝cos＝，
所以cos＝，
所以sin 2α＝－cos＝－cos
＝1－2cos2＝1－＝.