3.2 简单的三角恒等变换-人教A版高中数学必修四讲义（Word解析版）

教材要点 学科素养 学考 高考 考法指津 高考考向
1.利用三角恒等变换研究三角函数的性质 数学运算 水平2 水平3 三角恒等变换的基本思路是“变换”，变换的基本方向有两个：一是变换函数名称，二是变换角的形式。 【考查内容】利用辅助角公式研究三角函数的性质和图像是近几年高考考查的热点。 【考查题型】选择题、填空题、解答题 【分值情况】5--12分
2.能把一些简单实际问题转化为三角问题，通过三角变换解决 数学建模 水平1 水平2
高中数学，同步讲义 必修四 第三章 三角恒等变换 第二讲 简单的三角恒等变换
一、升幂公式：，
降幂公式：，
要点诠释：
利用二倍角公式的等价变形：，进行“升、降幂”变换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换．
二、辅助角公式
1．形如的三角函数式的变形：
=
令，则
=
=
（其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定．）
2．辅助角公式在解题中的应用
通过应用公式=（或=），将形如（不同时为零）收缩为一个三角函数（或）．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等．
题型一　应用半角公式求值
例1　已知sin θ＝，＜θ＜3π，求cos和tan .
解析：∵sin θ＝，且＜θ＜3π，
∴cos θ＝－＝－.
由cos θ＝2cos2－1，得cos2＝＝.
∵＜＜，
∴cos ＝－ ＝－.
tan ＝＝2.
变式训练1　已知sin θ＝－，3π<θ<π，
则tan 的值为(　　)
A．3 B．－3 C. D．－
解析：∵3π<θ<，sin θ＝－，
∴cos θ＝－，tan ＝＝－3.
答案　B
题型二　三角函数式的化简
例2　化简.
解析：　
＝
＝＝＝1.
变式训练2　
解析：原式＝
＝
＝.
题型三　三角函数式的证明
例3　求证：＝.
证明：　要证原式，
可以证明＝.
∵左边＝
＝
＝＝tan 2θ，
右边＝＝tan 2θ，
∴左边＝右边，
∴原式得证．
变式训练3　
求证：－2cos(α＋β)＝.
证明：
∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sinα
＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sinα
＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα－2cos(α＋β)sinα
＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα
＝sin[(α＋β)－α]＝sinβ，
两边同除以sinα得
－2cos(α＋β)＝.
题型四　利用辅助角公式研究函数性质
例4　已知函数f(x)＝sin＋2sin2 (x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．
解析：　(1)∵f(x)＝sin＋2sin2
＝sin[2]＋1－cos
＝2＋1
＝2sin＋1
＝2sin＋1，
∴f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)当f(x)取得最大值时，sin＝1，
有2x－＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋ (k∈Z)，
∴所求x的集合为.
变式训练4　已知向量a＝(2sinx，cosx)，
b＝(cosx,2cosx)，定义函数f(x)＝a·b－1.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)的单凋递减区间．
解析：f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1
＝sin2x＋cos2x
＝2sin.
(1)T＝＝π.
(2)令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，
则＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
即函数f(x)的单调递减区间为
(k∈Z)．
一、选择题
1．若函数f(x)＝－sin2 x＋(x∈R)，则f(x)是(　　)
A．最小正周期为的奇函数
B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为2π的偶函数
D．最小正周期为π的偶函数
解析：　f(x)＝－＋＝cos 2x.故选D．
答案 　D
2．若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x,0≤x<，则f(x)的最大值是(　　)
A．1 B．2
C．＋1 D．＋2
解析：　f(x)＝(1＋tan x)cos x
＝cos x
＝sin x＋cos x
＝2sin.
∵0≤x<，
∴≤x＋<π，
∴当x＋＝时，
f(x)取到最大值2.
答案 　B
3．若sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝(　　)
A．1 B．－1
C．0 D．±1
解析：因为sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)·sinβ＝sin(α＋β－β)＝sinα＝0，
所以sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝2sinαcos2β＝0.
答案 C
4．函数可以化简为（ ）
A． B．
C． D．
解析：.因为为锐角，所以.
答案 B
5．若，则（ ）
A． B． C．-1 D．3
解析：由，所以，
所以.
答案 A
6．若，则（ ）
A． B． C．6 D．
解析：因为，所以
.
答案 D
7. tan 70°＋tan 50°－tan 70°tan 50°的值为(　　)
A.　 B.　 C．－　 D．－
解析： 因为tan 120°＝＝－，即tan 70°＋tan 50°－tan 70°tan 50°＝－.
答案 D
8．已知sin（–α）=，则cos（2α+）=( )
A．– B．
C． D．–
解析： ∵sin（–α）=，
∴cos（2α+）=–cos（π––2α）
=–cos（–2α）
=–1+2sin2（–α）
=–1+2×（）2
=–．
答案 A
9．已知，那么=( )
A． B．
C． D．
解析： ∵已知，
∴=2sin（2α+）=2cos（–2α）=2[1–2]=2（1–2×）=，
答案 A
10．函数f（x）=sin（x+）+cos（x–）的最大值是( )
A． B．
C．1 D．
解析： f（x）=sin（x+）+cos（x–）=（sinxcoscosxsin）+cosxcos+sinxsin===．
∴函数f（x）=sin（x+）+cos（x–）的最大值是．
答案 A
二、填空题
11．若θ是第二象限角，且25sin2 θ＋sin θ－24＝0，则cos ＝________.
解析：　由25sin2 θ＋sin θ－24＝0，
又θ是第二象限角，
得sin θ＝或sin θ＝－1(舍去)．
故cos θ＝－＝－，
由cos2 ＝得cos2 ＝.
又是第一、三象限角，
所以cos ＝±.
答案 　±
12． ______．
解析：原式.
答案 4
13. 已知．
⑴若是偶函数，则__________；
⑵若的最大值是，则______．
解析：
⑴ 因为是偶函数，则，即，
即
，
即，即对任意成立，
则，，所以，则或或．
答案 或或
⑵
所以当时，取最大值，
从而，
则．
答案
14．若cosα=2cos（α+），则tan（α+）=___________．
解析： ∵cosα=2cos（α+），∴cos（α+）=2cos（α++），
∴cos（α+）cos+sin（α+）sin=2cos（α+）cos–2sin（α+）sin，
化为：cos（α+）cos=3sin（α+）sin，
∴tan（α+）=，∵=1，解得–1．
∴tan（α+）==3（+1）
答案 3（+1）
三、解答题
15．设函数f(x)＝2cos2ωx＋sin＋a(其中ω>0，a∈R)，且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.
(1)求ω的值；
(2)设f(x)在区间上的最小值为，求a的值.
解析：　f(x)＝1＋cos 2ωx＋sin 2ωx－cos 2ωx＋a＝sin＋a＋1.
(1)由2ωx＋＝2kπ＋(k∈Z)，
得ωx＝kπ＋(k∈Z)．
又ω>0，
∴当k＝0时，f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为x＝＝，故ω＝1.
(2)由(1)知f(x)＝sin＋a＋1，
由≤x≤，得≤2x≤π，≤2x＋≤，
∴当2x＋＝，即x＝时，
f(x)取得最小值为＋a＋1.
由＋a＋1＝，得a＝－.
16．已知，．
（1）求的值；（2）求的值．
解析：，，，
（1）；
（2），。
17. 已知函数．
⑴ 求函数的最小正周期及图象的对称轴方程；
⑵ 设函数，求的值域．
解析： ⑴
∴周期，
由，得
∴函数图象的对称轴方程为．
⑵ ．
当时，取得最小值；当时，取得最大值2．
所以的值域为．
一、选择题
1．若sin(π－α)＝－且α∈，则sin等于(　　)
A．－　　　　　　 B．－
C． D．
解析：　由题意知sin α＝－，α∈，
∴cos α＝－.
∵∈，
∴sin＝cos
＝－
＝－.故选B．
答案 　B
2．已知450°<α<540°，则的值是(　　)
A．－sin B．cos
C．sin D．－cos
解析：　因为450°<α<540°，
所以225°<<270°，
所以cos α<0，sin <0，
所以原式＝
＝
＝＝
＝＝＝－sin .故选A．
答案 　A
3．若θ∈，sin2θ＝，则sinθ＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：因为θ∈，所以2θ∈，
所以cos2θ≤0，
所以cos2θ＝－
＝－＝－.
又cos2θ＝1－2sin2θ，
所以sin2θ＝＝＝，
所以sinθ＝.
答案 D
4． （ ）
A． B．1 C． D．
解析：.
答案 A
5．设的最大值为3，则常数（ ）
A．1 B．1或-5 C．-2或4 D．
解析：因为
，又函数的最大值为3，
所以，解得1或-5，
答案 B
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
解析：由，得，化简得；
。
答案 B
7．已知sinx+cosx=2a–3，则a的取值范围是( )
A．≤a≤ B．a≤
C．a> D．–≤a≤–
解析： ∵sinx+cosx=2a–3，∴sinx+cosx=a–，即sin（x+）=a–．再由–1≤sin（x+）≤1，可得–1≤a–≤1，解得≤a≤，故选A．
答案 A
8．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ），其中，f（x）是奇函数，直线与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则( )
A．f（x）在上单调递减 B．f（x）在上单调递减
C．f（x）在上单调递增 D．f（x）在上单调递增
解析： 函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）=，
由于函数是奇函数，其中，则φ=–，
直线与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，
则，解得ω=4，故函数的关系式为f（x）=．
令（k∈Z），解得（k∈Z），
当k=0时，函数的单调递减区间为：[]
答案 B
9．已知α为锐角，且tan（α+）=2，则sin2α=( )
A． B．
C． D．
解析： α为锐角，且tan（α+）=2，∴tan2（α+）==–，
又tan2（α+）=tan（2α+）=，∴=–，解得tan2α=7，
∴sin2α=7cos2α，①
又sin22α+cos22α=1，②
由①②解得sin2α=±，又0<2α<π，∴tan2α=．
答案 C
10. 已知，则（ ）
A． B． C． D．
解析： 由题意可得：，
则：，，
从而有：，
即.
答案 B
二、填空题
11. －＝________.
解析：　原式＝
＝
＝＝4.
答案 　4
12．已知，则______．
解析：因为，所以，
答案
13. ＝________.
解析： ＝＝＝＝.
答案
14．已知tanθ=–2，则=___________．
解析： 已知tanθ=–2，
由．
答案 –3
三、解答题
15．已知函数f(x)＝2cos2 ，g(x)＝2.
(1)求证：f＝g(x)；
(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)(x∈[0，π])的单调区间，并求使h(x)取到最小值时x的值．
解析：　(1)证明：f(x)＝2cos2 ＝1＋cos x，
g(x)＝2
＝1＋2sin cos
＝1＋sin x.
∵f＝1＋cos＝1＋sin x，
∴f＝g(x)，命题得证．
(2)函数h(x)＝f(x)－g(x)＝cos x－sin x
＝
＝cos.
∵x∈[0，π]，
∴≤x＋≤，
当≤x＋≤π，即0≤x≤时，h(x)递减，
当π≤x＋≤，即≤x≤π时， h(x)递增．
∴函数h(x)的单调递减区间为，
单调递增区间为，
根据函数h(x)的单调性，
可知当x＝时，
函数h(x)取到最小值．
16．已知函数的最小正周期为.
（1）求的值及的值域；（2）若，. 求的值.
解析：（1）由于函数的最小正周期为，则，
，，，，
所以；
（2），可得，，
所以
17．已知函数
（1）求的最小正周期及对称中心；（2）若，且，求的值.
解析：(1) .
所以的最小正周期.
由得，
所以的对称中心为.
(2) 由得，因为，所以，
所以，
所以.