1.4 三角函数的图像与性质-人教A版高中数学必修四讲义（Word解析版）

教材要点 学科素养 学考 高考 考法指津 高考考向
1.正余弦函数的图像 直观想象 水平1 水平2 1.深刻理解五点作图法中五点的取法，特别是非正常周期的五点。 2.掌握正余弦函数以及正切函数性质的处理方法。 【考查内容】正余弦函数以及正切函数的图像与性质。 【考查题型】选择题、填空题 【分值情况】5分
2.正余弦函数的性质 数学抽象 水平2 水平 2
3.正切函数的图像 直观想象 水平1 水平2
4.正切函数的性质 数学抽象 水平1 水平2
高中数学，同步讲义 必修四 第一章 三角函数 第四讲 三角函数的图像与性质
1．对“五点法”画正弦函数图象的理解
(1)与前面学习函数图象的画法类似，在用描点法探究函数图象特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函数图象的“关键点”，就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图．
(2)正弦型函数图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与x轴的交点．
2．作函数y＝asin x＋b的图象的步骤
3．用“五点法”画的正弦型函数在一个周期[0,2π]内的图象，如果要画出在其他区间上的图象，可依据图象的变化趋势和周期性画出．
4. 正余弦函数的图像与性质
解析式 y＝sin x y＝cos x
图象
值域 [－1,1] [－1,1]
单调性 在，k∈Z上递增，在，k∈Z上递减 在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上递增， 在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上递减
最值 当x＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1；当x＝－＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 当x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；当x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1
5.正切函数的图像与性质
正切函数
图象
性质 定义域
值域
最小正周期
对称性 对称中心
奇偶性 奇函数
单调性 单调增区间
6．求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的方法把ωx＋φ看成一个整体，由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为增区间，由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．
7．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．
8．求三角函数值域或最值的常用方法
将y表示成以sin x(或cos x)为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围.
9．求函数的最小正周期的常用方法
(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T.
(2)图象法，即作出y＝f(x)的图象，观察图象可求出T，如y＝|sin x|.
(3)结论法，一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，A≠0，ω>0，x∈R)的周期T＝.
10．判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键．如果定义域关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系，从而判断奇偶性.
题型一　“五点法”作图的应用
例1　利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图．
解析：　取值列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
1－sin x 1 0 1 2 1
描点连线，如图所示．
变式训练1　(1)用“五点法”作出函数y＝1－cos x(0≤x≤2π)的简图．
解析：　列表如下：
x 0 π 2π
cos x 1 0 －1 0 1
1－cos x 0 1 2 1 0
描点并用光滑的曲线连接起来，如图．
(2)利用正弦或余弦函数图象作出
y＝的图象．
解析：　由于y＝＝|cos x|，因此只需作出y＝|cos x|的图象即可，而y＝|cos x|可由y＝cos x将x轴下方的图象折到x轴上方，图象如下：
题型二　利用正、余弦函数图象解不等式
命题角度1　利用正、余弦函数图象解不等式
例2-1　利用正弦曲线，求满足解析：　首先作出y＝sin x在[0,2π]上的图象，如图所示，作直线y＝，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为和.
作直线y＝，该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为和.
观察图象可知，在[0,2π]上，当所以变式训练2-1　使不等式－2sin x≥0成立的x的取值集合是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：　不等式可化为sin x≤.
方法一　作图，正弦曲线及直线y＝如图所示．
由图知，不等式的解集为.
方法二　如图所示，不等式的解集为.
答案　C
命题角度2　利用正、余弦函数图象求定义域
例2-2　求函数f(x)＝lg sin x＋的定义域．
解析：　由题意，得x满足不等式组
即
作出y＝sin x的图象，如图所示．
结合图象可得x∈[－4，－π)∪(0，π)．
变式训练2-2　求函数y＝的定义域．
解析：　为使函数有意义，需满足
即0由正弦函数的图象或单位圆(如图所示)，
可得函数的定义域为.
题型三　三角函数的周期性
例3.　求下列函数的最小正周期．
(1) y＝sin(x∈R)；
(2) y＝|sin x|(x∈R)．
解析：　(1)方法一　令z＝2x＋，因为x∈R，所以z∈R.
函数f(x)＝sin z的最小正周期是2π，
即变量z只要且至少要增加到z＋2π，
函数f(x)＝sin z(z∈R)的值才能重复取得．
而z＋2π＝2x＋＋2π＝2(x＋π)＋，所以自变量x只要且至少要增加到x＋π，函数值才能重复取得，
所以函数f(x)＝sin(x∈R)的最小正周期是π.
方法二　f(x)＝sin的最小正周期为＝π.
(2)因为y＝|sin x|＝(k∈Z)．
其图象如图所示，
所以该函数的最小正周期为π.
变式训练3　下列函数是以π为周期的函数是(　　)
A．y＝sin x B．y＝sin x＋2
C．y＝cos 2x＋2 D．y＝cos 3x－1
解析：　y＝sin x及y＝sin x＋2的周期为2π，y＝cos 2x＋2的周期为π，y＝cos 3x－1的周期为.
答案　C
题型四　三角函数的奇偶性
例4、　判断下列函数的奇偶性．
(1) f(x)＝cos＋x2sin x；
(2) f(x)＝＋.
解析：　(1)f(x)＝sin 2x＋x2sin x，
∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x)
＝－sin 2x－x2sin x＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(2)由得cos x＝.
∴f(x)＝0，x＝2kπ±，k∈Z.
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
变式训练4　若函数y＝cos(ωx＋φ)是奇函数，
则(　　)
A．ω＝0 B．φ＝kπ(k∈Z)
C．ω＝kπ(k∈Z) D．φ＝kπ＋(k∈Z)
解析：　由函数y＝cos(ωx＋φ)是奇函数，
可知y＝cos(ωx＋φ)＝sin ωx或y＝cos(ωx＋φ)＝－sin ωx，
由诱导公式，得φ＝kπ＋(k∈Z)．
答案　D
题型五　三角函数的奇偶性与周期性的综合应用
例5-1　定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x，求f的值．
解析：　∵f(x)的最小正周期是π，
∴f＝f＝f.
又∵f(x)是R上的偶函数，
∴f＝f＝sin ＝.
∴f＝.
例5-2　已知函数f(x)＝cosx，
求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 020)的值．
解析：　∵f(1)＝cos＝，f(2)＝cos＝－，
f(3)＝cos π＝－1，f(4)＝cos＝－，
f(5)＝cos＝，
f(6)＝cos 2π＝1，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0.
同理，可得每连续六项的和均为0.
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 020)
＝f(2 017)＋f(2 018)＋f(2 019)＋f(2 020)
＝cos＋cos＋cos＋cos
＝cos＋cos＋cos π＋cos
＝＋＋(－1)＋
＝－.
变式训练5　设函数f(x)＝sin x，
则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)＝________.
解析：　∵f(x)＝sin x的周期T＝＝6，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)＋f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)
＝336[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＋f(2 017)＋f(2 018)
＝336
＋f(336×6＋1)＋f(336×6＋2)
＝336×0＋f(1)＋f(2)
＝sin ＋sin π＝.
答案　
题型六　求正弦、余弦函数的单调区间
例6　求函数y＝2sin的单调递增区间．
解析：　y＝2sin＝－2sin，
令z＝x－，则y＝－2sin z.
因为z是x的一次函数，所以要求y＝－2sin z的单调递增区间，即求sin z的单调递减区间，
即2kπ＋≤z≤2kπ＋(k∈Z)．
∴2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，
即2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴函数y＝2sin的单调递增区间为(k∈Z)．
变式训练6　求函数f(x)＝2cos的单调递增区间．
解析：　令－π＋2kπ≤2x－≤2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z.
题型七　正弦、余弦函数单调性的应用
命题角度1　利用正、余弦函数的单调性比较大小
例7-1、　利用三角函数的单调性，比较下列各组
数的大小．
(1)sin 196°与cos 156°；
(2)cos与cos.
解析：　(1)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°，
cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°.
∵0°<16°<66°<90°，且y＝sin x在[0°，90°]上是增函数，
∴sin 16°从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°.
(2)cos＝cos π＝cos＝cos π，
cos＝cos π＝cos＝cos .
∵0<<π<π，且y＝cos x在[0，π]上是减函数，
∴cos π变式训练7-1　cos 1，cos 2，cos 3的大小关系是________．(用“>”连接)
解析：　由于0<1<2<3<π，而y＝cos x在[0，π)上单调递减，所以cos 1>cos 2>cos 3.
答案　cos 1>cos 2>cos 3
命题角度2　已知三角函数的单调性求参数范围
例7-2　已知ω是正数，函数f(x)＝2sin ωx在区间上是增函数，求ω的取值范围．
解析：　由－＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Z)，ω>0，得－＋≤x≤＋，k∈Z，
∴f(x)的单调递增区间是
，k∈Z.
根据题意，得
(k∈Z)，
从而有解得0<ω≤.
故ω的取值范围是.
变式训练7-2　已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D．(0,2]
解析：　取ω＝，f(x)＝sin，
其减区间为，k∈Z，
显然 ，k∈Z，
排除B，C.
取ω＝2，f(x)＝sin，
其减区间为，k∈Z，
显然 ，k∈Z，排除D.
答案　A
题型八　正弦、余弦函数的值域或最值
例8　求函数f(x)＝2sin2x＋2sin x－，x∈的值域．
解析：　令t＝sin x，因为x∈，
所以t∈，则f(x)可化为
y＝2t2＋2t－＝22－1，t∈，
所以当t＝时，ymin＝1，
当t＝1时，ymax＝，
故f(x)的值域是.
变式训练8　已知函数f(x)＝2asin x＋b的定义域为，函数的最大值为1，最小值为－5，求a和b的值．
解析：　∵－≤x≤，∴－≤sin x≤1.
若a＝0，不满足题意．
若a＞0，则解得
若a＜0，则解得
故a＝12－6，b＝－23＋12
或a＝－12＋6，b＝19－12.
题型九　正切函数的定义域、值域问题
例9、
　(1)函数y＝3tan的定义域为________．
解析：　由－≠＋kπ，k∈Z，得
x≠－－4kπ，k∈Z，
即函数的定义域为.
答案　
(2)求函数y＝tan2＋tan＋1的定义域和值域．
解析：　由3x＋≠kπ＋，k∈Z，
得 x≠＋，k∈Z，
所以函数的定义域为.
设t＝tan，
则t∈R，y＝t2＋t＋1＝2＋≥，
所以原函数的值域是.
变式训练9　
求函数y＝＋lg(1－tan x)的定义域．
解析： 由题意得即－1≤tan x<1.
在内，满足上述不等式的x的取值范围是.
又y＝tan x的周期为π，
所以函数的定义域是(k∈Z)．
题型十　正切函数的单调性问题
命题角度1　求正切函数的单调区间
例10-1　求函数y＝tan的单调区间及最小正周期．
解析：　y＝tan＝－tan，
由kπ－得2kπ－所以函数y＝tan的单调递减区间是，k∈Z，周期T＝＝2π.
变式训练10-1　
求函数y＝3tan的单调区间．
解析：　y＝3tan＝－3tan，
由－＋kπ<2x－<＋kπ，k∈Z，得
－＋所以y＝3tan的单调递减区间为(k∈Z)．
命题角度2　利用正切函数的单调性比较大小
例10-2　比较大小：
(1)tan 32°________tan 215°；
(2)tan________tan.
解析：　(1)tan 215°＝tan(180°＋35°)＝tan 35°，
∵y＝tan x在(0°，90°)上单调递增，32°<35°，
∴tan 32°(2)tan＝tan＝tan，
tan＝tan＝tan，
∵y＝tan x在上单调递增，且－<－，
∴tan答案　(1)<　(2)<
变式训练10-2　比较大小：tan___tan.
解析：　∵tan＝－tan＝tan ，
tan＝－tan＝tan .
又0＜＜＜，y＝tan x在内单调递增，
∴tan ＜tan ，∴tan＞tan.
答案　>
题型十一　正切函数综合问题
例11　设函数f(x)＝tan.
(1)求函数f(x)的最小正周期，对称中心；
(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图．
解析：　(1)∵ω＝，∴最小正周期T＝＝＝2π.
令－＝(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的对称中心是(k∈Z)．
(2)令－＝0，则x＝；令－＝，则x＝；
令－＝－，则x＝；令－＝，则x＝；
令－＝－，则x＝－.
∴函数y＝tan的图象与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左，右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x＝－，x＝，从而得到函数y＝f(x)在一个周期内的简图(如图)．
变式训练11　画出f(x)＝tan |x|的图象，并根据其图象判断其单调区间、周期性、奇偶性．
解析：　f(x)＝tan |x|化为f(x)＝，作出f(x)＝tan |x|的图象，如图所示，
由图象知，f(x)不是周期函数，是偶函数，单调增区间为，(k∈N)；单调减区间为，(k＝0，－1，－2，
一、选择题
1．下列图象中，y＝－sin x在[0,2π]上的图象是(　　)
解析：　由y＝sin x在[0,2π]上的图象作关于x轴的对称图形，应为D项．
答案　D
2．函数y＝xcos x(－π≤x≤π)的图象可能是(　　)
解析：　当x∈时，x<0，cos x<0，则xcos x>0；
当x∈时，x<0，cos x>0，则xcos x<0；
当x∈时，x>0，cos x>0，则xcos x>0；
当x∈时，x>0，cos x<0，则xcos x<0，故选D.
答案　D
3．方程|x|＝cosx在区间(－∞，＋∞)内(　　)
A．没有根 B．有且仅有一个实根
C．有且仅有两个实根 D．有无穷多个实根
解析：在同一坐标系内画出函数y＝|x|和y＝cosx的图像(图略)，由图像可知，函数y＝|x|的图像与y＝cosx的图像有且只有两个公共点．
答案 C
4．函数y＝4sin(2x＋π)的图像关于(　　)
A．x轴对称　B．原点对称
C．y轴对称 D．直线x＝对称
解析：y＝4sin(2x＋π)＝－4sin2x，奇函数图像关于原点对称．
答案 B
5．在(0,2π)内，使sin x>cos x成立的x的取值范围是(　　)
A.∪ B.
C. D.∪
解析：　
在同一坐标系中画出y＝sin x，x∈(0,2π)与y＝cos ，∈(0,2π)的图象如图所示，
由图象可观察出当x∈时，sin x>cos x.
答案　C
6．函数f(x)＝tan的单调递增区间为(　　)
A.，k∈Z
B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
答案　C
7．下列各点中，不是函数y＝tan的图象的对称中心的是(　　)
A. B.
C. D.
解析：　令－2x＝，k∈Z，得x＝－.
令k＝0，得x＝；
令k＝1，得x＝－；
令k＝2，得x＝－.故选C.
答案　C
8．函数y＝2sin(ω>0)的周期为π，则其单调递增区间为(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：周期T＝π，∴＝π，∴ω＝2，∴y＝2sin.由－＋2kπ≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－π≤x≤kπ＋，k∈Z.
答案 C
9．y＝sin x－|sin x|的值域是(　　)
A．[－1,0] B．[0,1]
C．[－1,1] D．[－2,0]
解析：　y＝因此函数的值域为[－2,0]．故选D.
答案　D
二、填空题
10．函数y＝cos的最小正周期是________．
解析：∵y＝cos，∴T＝＝2π×＝4.
答案 4
11．不等式cos x<0，x∈[0,2π]的解集为________．
解析：　由函数y＝cos x的图象可知，不等式cos x<0的解集为.
答案　
12．直线y＝与函数y＝sinx，x∈[0,2π]的交点坐标是________．
解析：令sinx＝，则x＝2kπ＋或x＝2kπ＋π，又∵x∈[0,2π]，故x＝或π.
答案 ，
13．函数y＝tan x的值域是________．
解析：　函数y＝tan x在上单调递增，在上也单调递增，
所以函数的值域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
答案　(－∞，－1]∪[1，＋∞)
14．有下列命题：
①y＝sin |x|的图象与y＝sin x的图象关于y轴对称；
②y＝cos(－x)的图象与y＝cos|x|的图象相同；
③y＝|sin x|的图象与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称；
④y＝cos x的图象与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称．
其中正确命题的序号是________．
解析：　对于②，y＝cos(－x)＝cos x，y＝cos|x|＝cos x，故其图象相同；对于④，y＝cos(－x)＝cos x，故这两个函数图象关于y轴对称，作图(图略)可知①③均不正确．
答案　②④
三、解答题
15．根据y＝cos x的图象解不等式：－≤cos x≤，x∈[0，2π]．
解析：　函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象如图所示：
根据图象可得不等式的解集为.
16．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝cos2x；
(2)f(x)＝sin；
(3)f(x)＝x·cosx.
解析：(1)因为x∈R，
f(－x)＝cos(－2x)＝cos2x＝f(x)，
所以f(x)＝cos2x是偶函数．
(2)因为x∈R，f(x)＝sin＝－cos，所以f(－x)＝－cos＝－cos＝f(x)，
所以函数f(x)＝sin是偶函数．
(3)因为x∈R，f(－x)＝－x·cos(－x)＝－x·cosx＝－f(x)，
所以f(x)＝xcosx是奇函数．
17．已知f(x)是R上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)．
(1)求证：f(x)是以4为周期的函数；
(2)当0≤x≤1时，f(x)＝x，求f(7.5)的值．
解析：(1)证明：f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的函数．
(2)解：由(1)可知f(x＋4)＝f(x)，
所以f(7.5)＝f(3.5＋4)＝f(3.5)＝f(－0.5＋4)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.
一、选择题
1．下列各组函数中图象相同的是(　　)
①y＝cos x与y＝cos(π＋x)
②y＝sin与y＝sin
③y＝sin x与y＝sin(－x)
④y＝sin(2π＋x)与y＝sin x
A．①③ B．①② C．③④ D．④
解析：　由诱导公式知，只有④中，y＝sin(2π＋x)＝sin x.
答案　D
2．下列关于函数y＝tan的说法正确的是(　　)
A．在区间上单调递增
B．最小正周期是π
C．图象关于点成中心对称
D．图象关于直线x＝成轴对称
解析：令kπ－答案 B
3．方程sin x＝的根的个数是(　　)
A．7 B．8 C．9 D．10
解析：　在同一坐标系内画出y＝和y＝sin x的图象如图所示．
根据图象可知方程有7个根．
答案　A
4．函数y＝tan x＋是(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
解析：　函数的定义域是，且tan(－x)＋＝－tan x－＝－，所以函数y＝tan x＋是奇函数．
答案　A
5．已知函数y＝2sin x的图象与直线y＝2围成一个封闭的平面图形，那么此封闭图形的面积为(　　)
A．4 B．8 C．4π D．2π
解析：　数形结合，如图所示．
y＝2sin x，x∈的图象与直线y＝2围成的封闭平面图形的面积相当于由x＝，x＝，y＝0，y＝2围成的矩形面积，即S＝×2＝4π.
答案　C
6．设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0)，则f(x)的奇偶性(　　)
A．与ω有关，且与φ有关 B．与ω有关，但与φ无关
C．与ω无关，且与φ无关 D．与ω无关，但与φ有关
解析：　因为当φ＝kπ，k∈Z时，函数f(x)＝cos(ωx＋φ)＝±cos ωx，为偶函数；
当φ＝＋kπ，k∈Z时，函数f(x)＝cos(ωx＋φ)＝±sin ωx，为奇函数．
所以f(x)的奇偶性与ω无关，但与φ有关．
答案　D
7．如果函数f(x)＝cos(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为，则ω的值为(　　)
A．3 B．6 C．12 D．24
解析　函数f(x)＝cos(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为，
所以T＝2×＝，又＝，解得ω＝6.
答案　B
8．函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的最大值与最小值之和等于(　　)
A. B. C．2π D．4π
解析：　作出y＝sin x的一个简图，如图所示，
∵函数的值域为，
且sin ＝sin ＝，sin ＝－1，
∴定义域[a，b]中，b－a的最小值为－＝，
定义域[a，b]中，b－a的最大值为2π＋－＝，
故可得，最大值与最小值之和为2π.
答案　C
9．关于函数f(x)＝4sin
(x∈R)，有下列命题：
①函数y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos；
②函数y＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；
③函数y＝f(x)的图象关于点对称；
④函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称．
其中正确的是(　　)
A．②③ B．①③
C．①④ D．②④
解析：　f(x)＝4sin＝4cos
＝4cos＝4cos，
故①正确；
函数f(x)的最小正周期为π，故②错误；
由f＝4sin＝0，
知函数y＝f(x)的图象关于点对称，
不关于直线x＝－对称，
故③正确，④错误．
答案　B
二、填空题
10．函数f(x)＝tan(ω>0)的最小正周期为2π，则f＝________.
解析：　由已知＝2π，所以ω＝，
所以f(x)＝tan，
所以f＝tan＝tan ＝1.
答案　1
11．已知函数f(x)＝ax＋bsin x＋1，若f(2 018)＝7，则f(－2 018)＝________.
解析　由f(2 018)＝2 018a＋bsin 2 018＋1＝7，
得2 018a＋bsin 2 018＝6，
∴f(－2 018)＝－2 018a－bsin 2 018＋1
＝－(2 018a＋bsin 2 018)＋1＝－6＋1＝－5.
答案　－5
12．若函数f(x)＝sin ωx(0<ω<2)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω等于________．
解析：　根据题意知f(x)在x＝处取得最大值1，
∴sin＝1，
∴＝2kπ＋，k∈Z，
即ω＝6k＋，k∈Z.
又0<ω<2，∴ω＝.
答案　
13．已知函数f(x)＝acos x＋b的最大值为1，最小值为－3，则函数g(x)＝absin x＋3的最大值为________．
解析：　当a>0时，由题意得解得g(x)＝－2sin x＋3，最大值为5；
当a<0时，由题意得解得g(x)＝2sin x＋3，最大值为5；
当a＝0时，不合题意，
∴g(x)的最大值为5.
答案　5
三、解答题
14．判断函数f(x)＝lg的奇偶性．
解析：　由>0，得tan x>1或tan x<－1.
∴函数定义域为∪(k∈Z)，关于原点对称．
f(－x)＋f(x)＝lg ＋lg
＝lg＝lg 1＝0.
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
15．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且当x∈时，f(x)＝1－sin x，求当x∈时，f(x)的解析式．
解析：　当x∈时，3π－x∈，
∵当x∈时，f(x)＝1－sin x，
∴f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sin x.
又∵f(x)是以π为周期的偶函数，
∴f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，
∴f(x)的解析式为f(x)＝1－sin x，x∈.
16．设函数f(x)＝asin＋b.
(1)若a>0，求f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈时，f(x)的值域为[1,3]，求a，b的值.
解析：　(1)由于a>0，
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间是，k∈Z.
(2)当x∈时，≤2x＋≤，
则≤sin≤1，
由f(x)的值域为[1,3]知：

或
综上得：或