1.5 正弦型函数的图像-人教A版高中数学必修四讲义（Word解析版）

教材要点 学科素养 学考 高考 考法指津 高考考向
1.用五点法画出函数的图像 直观想象 水平1 水平1 1.继续加深理解“五点法”的应用，特别是一些特殊点：端点和对应五点。 2.掌握正余型弦函数以及正切型函数性质的处理方法。 【考查内容】正弦型函数的伸缩变换和平移变换； 利用三角函数的图像变换求解析式。 【考查题型】选择题、填空题 【分值情况】5--12分
2.正弦型函数与正弦函数的图像直接的关系 直观想象 水平2 水平 2
3.正弦型函数的振幅、周期 数学抽象 水平1 水平1
4.正弦型函数的频率、相位、和初相 数学抽象 水平1 水平1
高中数学，同步讲义 必修四 第一章 三角函数 第五讲 函数的图像
1．利用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，要先令“ωx＋φ”这一个整体依次取0，，π，π，2π，再求出x的值，这样才能得到确定图象的五个关键点，而不是先确定x的值，后求“ωx＋φ”的值．
2．由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A，ω，φ的值．
(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|.
(2)因为T＝，所以往往通过求得周期T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T.
(3)从寻找“五点法”中的第一个零点(也叫初始点)作为突破口，以y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离y轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．
3．在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想，如函数在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最大值，在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最小值．
4．函数的性质
⑴ 周期性：函数（其中为常数，且）的周期仅与自变量的系数有关．最小正周期为．
⑵ 值域：
⑶ 奇偶性：当时，函数为奇函数；
当时，函数为偶函数．
⑷ 单调区间：求形如或（其中，）的函数的单调区间可以通过图象的直观性求解，或根据解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“”视为一个“整体”．②时，所列不等式的方向与、的单调区间对应的不等式的方向相同（反）．
⑸ 对称轴方程：，其中．
⑹ 对称中心：，其中．
5、对函数的图象的影响
⑴ 对的图象的影响．
函数的图象，可以看做是把图像上的各点向左或向右平移个单位而得到的．（可简记为左右）
即平移个单位得
⑵对的图象的影响．
函数的图象，可以看做是把的图象上的各点的横坐标都缩短或伸长到原来的倍（纵坐标不变）而得到的．
即的横坐标到原来的倍得．
⑶对的图象的影响
函数（且）的图象，可以看做是的图象上各点的纵坐标都伸长 或缩短到原来的倍（横坐标不变）而得到的．
即的纵坐标到原来的倍得．
题型一　平移变换
例1　将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为(　　)
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝sin
解析：　依题意将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到
y＝sin 2＝sin.
答案　A
变式训练1　为得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
解析：，故将正弦函数的图象向左平移个单位长度即可．
答案 C
题型二　伸缩变换
例2　将函数y＝sin图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数__________的图象．
答案　y＝sin
变式训练2　把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)得到的解析式是________．
答案　y＝sin 2x
题型三　用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)的图象
例3　已知函数f(x)＝3sin＋3(x∈R)，用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象．
解析：　(1)列表：
x －
＋ 0 π 2π
f(x) 3 6 3 0 3
(2)描点画图：
变式训练3　已知f(x)＝1＋sin，
画出f(x)在x∈上的图象．
解析：　
(1)∵x∈，∴2x－∈.
列表如下：
x － －π － π
2x－ －π －π － 0 π
f(x) 2 1 1－ 1 1＋ 2
(2)描点，连线，如图所示．
题型四　由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例4　如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，求A，ω，φ的值，并确定其函数解析式．
解析：　
由图象知振幅A＝3，
又T＝－＝π，∴ω＝＝2.
由点可知，－×2＋φ＝2kπ，k∈Z，
∴φ＝＋2kπ，k∈Z.
又|φ|<，得φ＝，∴y＝3sin.
变式训练4　
函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象(部分)如图，则f(x)的解析式是(　　)
A．f(x)＝2sin(x∈R)
B．f(x)＝2sin(x∈R)
C．f(x)＝2sin(x∈R)
D．f(x)＝2sin(x∈R)
答案　A
题型五　图象变换的综合应用
例5　下图是函数在区间上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将的图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度，再把所得点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再把所得点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把所得点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变
解析：由图象知，，，解得；
故，，从．
故．
此函数的解析式为．
答案 A
变式训练5　将函数y＝2sin的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值为(　　)
A. B. C. D.
解析：　因为函数y＝2sin的图象向左平移m个单位长度，所得图象对应的函数为y＝2sin，所以＋m＝kπ＋，k∈Z，即m＝kπ＋，k∈Z.又m>0，所以m的最小值为，
答案　B
题型六　函数y＝Asin，|φ|<性质的应用
例6　设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，
函数y＝f(x)的图象的一条对称轴是直线x＝.
(1) 求φ的值；
(2) 求函数y＝f(x)的单调区间及最值．
解析：　(1)由2x＋φ＝kπ＋，k∈Z，
得x＝＋－，k∈Z，
令＋－＝，k∈Z，得φ＝kπ＋，k∈Z.
∵－π＜φ＜0，∴φ＝－.
(2)由(1)知，f(x)＝sin.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
故函数的单调递增区间是(k∈Z)．
同理可得函数的单调递减区间是(k∈Z)．
当2x－＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)时，函数取得最大值1；
当2x－＝2kπ－(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)时，函数取得最小值－1.
变式训练6　
函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)
的部分图象如图所示．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)当x∈时，求f(x)的取值范围．
解析：(1)由函数图象得A＝1，＝－＝，
所以T＝2π，则ω＝1.
将点代入得sin＝1，而－<φ<，
所以φ＝，因此函数的解析式为
f(x)＝sin.
(2)由于－π≤x≤－，－≤x＋≤，
所以－1≤sin≤，
所以f(x)的取值范围是.
一、选择题
1．将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(　　)
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
解析：　函数y＝2sin的周期为T＝＝π，向右平移个周期，即向右平移个单位长度后，得到图象对应的函数为y＝2sin＝2sin，故选D.
答案　D
2．把函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数是(　　)
A．非奇非偶函数
B．既是奇函数又是偶函数
C．奇函数
D．偶函数
解析：　y＝sin的图象向右平移个单位得到y＝sin＝sin＝－cos 2x的图象，
y＝－cos 2x是偶函数．
答案　D
3．要得到函数y＝sin的图象，只要将函数y＝sin2x的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解析：因为y＝sin＝sin2，所以将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位长度，
就可得到函数y＝sin2＝sin的图象．
答案 C
4．若函数f(x)＝sin－1(ω>0)的周期为，则函数f(x)图象的对称轴方程为(　　)
A．x＝kπ＋(k∈Z)
B．x＝kπ－(k∈Z)
C．x＝＋(k∈Z)
D．x＝－(k∈Z)
解析：　由函数y＝sin－1的周期为，知＝，又ω>0，所以ω＝3，
则对称轴方程为3x＋＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z.
答案　C
5．下列表示函数y＝sin在区间上的简图正确的是(　　)
解析：　将y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所有点向右平移个单位长度即可得到y＝sin的图象，依据此变换过程可得到A中图象是正确的．也可以分别令2x－＝0，，π，，2π得到五个关键点，描点连线即得函数y＝sin的图象．
答案　A
6．把函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后再向左平移个单位长度，得到一个最小正周期为2π的奇函数g(x)，则ω和φ的值分别为(　　)
A．1， B．2， C.， D.，
解析：　依题意得f(x)第一次变换得到的函数解析式为m(x)＝2cos，
则函数g(x)＝2cos.
因为函数的最小正周期为2π，所以ω＝2，
则g(x)＝2cos.
又因为函数为奇函数，所以φ＋＝kπ＋，k∈Z，
又0<φ<π，则φ＝.
答案　B
7．要得到函数y＝sin的图象，只要将函数y＝sin2x的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解析：因为y＝sin＝sin2，所以将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位长度，
就可得到函数y＝sin2＝sin的图象．
答案 C
8．要得到y＝tan 2x的图象，只需把y＝tan的图象(　　)
A．向左平移个单位得到
B．向左平移个单位得到
C．向右平移个单位得到
D．向右平移个单位得到
解析：　设向左平移φ个单位得到y＝tan 2x的图象，
y＝tan＝tan，∴2φ－＝0，∴φ＝，
∴向左平移个单位得到．
答案　B
9．已知将函数的图象向右平移个单位长度后所得的图象关于轴对称，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
解析：将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，由题意，得，则，取，得.
答案 D
10．若函数（其中，图象的一个对称中心为，，其相邻一条对称轴方程为，该对称轴处所对应的函数值为，为了得到的图象，则只要将的图象( )
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
解析：根据已知函数其中，的图象过点，，
可得，，解得：．再根据五点法作图可得，可得：，
可得函数解析式为：故把的图象向左平移个单位长度，
可得的图象，故选B．
答案 B
二、填空题
11．将函数y＝sin(－2x)的图象向左平移个单位长度，所得函数图象的解析式为________．
解析：　y＝sin(－2x)y＝sin，
即y＝sin＝－sin＝－cos 2x.
12．在函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的一个周期上，当x＝时，有最大值2，当x＝时，有最小值－2，
则ω＝________.
解析：依题意知＝－＝，所以T＝π，又T＝＝π，得ω＝2.
答案 2
13．函数y＝sinx的图象的横坐标和纵坐标同时扩大3倍，再将图象向右平移3个单位长度，所得图象的函数解析式为________．
解析：将函数y＝sinx的图象的横坐标和纵坐标同时扩大3倍，所得函数解析式为y＝3sinx再把所得图象向右平移3个单位长度，所得函数解析式为y＝3sin(x－3)＝3sin.
答案 y＝3sin
14．已知函数是奇函数，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．若的最小正周期为，且，则______．
解析： 函数是奇函数，所以，代入可得，
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．
则，的最小正周期为，则 ，解得，所以，
因为，代入可得，解得，所以，则。
答案
三、解答题
15．使函数y＝f(x)的图象上的每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的倍，然后再将其图象沿x轴向左平移个单位长度得到的曲线与y＝sin 2x的图象相同，求f(x)的表达式．
解析：　
方法一　(正向变换)
y＝f(x)y＝f(2x)
y＝f，即y＝f，
∴f＝sin 2x.
令2x＋＝t，则2x＝t－，
∴f(t)＝sin，即f(x)＝sin.
方法二　(逆向变换)
根据题意，y＝sin 2x
y＝sin 2＝sin
y＝sin.
16．函数y＝Asin(ωx＋φ)在x∈(0,7π)内只取到一个最大值和一个最小值，且当x＝π时，ymax＝3；当x＝6π时，ymin＝－3.
(1)求此函数的解析式；
(2)求此函数的单调递增区间．
解析：　(1)由题意得A＝3，T＝5π，所以T＝10π，所以ω＝＝，
则y＝3sin.
因为点(π，3)在此函数图象上，
则3sin＝3.
又因为0≤φ≤，有φ＝－＝，
所以y＝3sin.
(2)当－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
即－4π＋10kπ≤x≤π＋10kπ，k∈Z时，
函数y＝3sin单调递增．
所以此函数的单调递增区间为[－4π＋10kπ，π＋10kπ](k∈Z)．
17．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)用“五点法”作出函数f(x)在一个周期内的图像．
解析：(1)ω＝＝＝2.
(2)由(1)可知f(x)＝sin.列表：
2x－ 0 π 2π
x
sin 0 1 0 －1 0
作图(如图所示)．
18．已知定义在区间上的函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ≤π)的图象关于直线x＝－对称，当x∈时，f(x)的图象如图1 5 5所示．
图1 5 5
(1)求f(x)在上的解析式；
(2)求方程f(x)＝的解.
解析：　(1)由题图知：A＝1，
T＝4＝2π，则ω＝＝1，
在x∈时，将代入f(x)得，
f＝sin＝1，因为0<φ≤π，所以φ＝，
所以在x∈时，f(x)＝sin.
同理在x∈时，
f(x)＝sin.
综上，f(x)＝
(2)由f(x)＝在区间内可得x1＝，x2＝－.
因为y＝f(x)关于x＝－对称，
有x3＝－，x4＝－.
则f(x)＝的解为－，－，，－.
一、选择题
1．要得到y＝sin的图象，只要将函数y＝sin 的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
答案　C
2．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上所有的点向左平移个单位长度．若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于(　　)
A．4 B．6 C．8 D．12
解析：　对于B选项，f(x)＝sin(6x＋φ)的图象向左平移个单位长度，
得y＝sin＝sin(6x＋φ＋π)＝－sin(6x＋φ)的图象．
答案　B
3．同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图象关于直线x＝对称；(3)在上单调递增”的一个函数是(　　)
A．y＝sin
B．y＝cos
C．y＝sin
D．y＝cos
解析：由(1)知T＝π＝，ω＝2，排除A.由(2)(3)知x＝时，f(x)取最大值，验证知只有C符合要求．
答案 C
4．下列函数中，图象的一部分是如图1 5 3的是(　　)
图1 5 3
A．y＝sin
B．y＝sin
C．y＝cos
D．y＝cos
解析：　由图象知，T＝－＝，∴T＝π＝，
∴ω＝2，把y＝cos 2x的图象向右平移个单位即得所给图象，
∴所求函数为y＝cos 2＝cos.
答案　D
5．若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为(　　)
A．x＝－(k∈Z) B．x＝＋(k∈Z)
C．x＝－(k∈Z) D．x＝＋(k∈Z)
解析：　由题意将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数的解析式为y＝2sin，
由2x＋＝kπ＋，k∈Z，得函数的对称轴为x＝＋(k∈Z)，故选B.
答案　B
6.函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为(　　)
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
解析：　由图象知，周期T＝2＝2，
∴＝2，∴ω＝π.
由π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝，
∴f(x)＝cos.
由2kπ<πx＋<2kπ＋π，k∈Z，得
2k－∴f(x)的单调递减区间为，k∈Z.
故选D.
答案　D
7．将函数y＝sinx的图象向左平移个单位，得到函数y＝f(x)的图象，则下列说法正确的是(　　)
A．y＝f(x)是奇函数
B．y＝f(x)的周期为π
C．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
D．y＝f(x)的图象关于点对称
解析：函数y＝sinx的图象向左平移个单位长度后，得到函数f(x)＝sin＝cosx的图象，f(x)＝cosx为偶函数，周期为2π；又因为f＝cos＝0，所以f(x)＝cosx的图象不关于直线x＝对称；
又由f＝cos＝0，知f(x)＝cosx的图象关于点对称．
答案 D
8．已知函数 图象上相邻两条对称轴的距离为，把 图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数 的图象，则（ ）
A． B． C． D．
解析：依题意，，所以，所以，解得，所以．把图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线，再把曲线向右平移个单位长度，得到曲线，即，故。
答案 D
9．已知函数，，的图象如图所示，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
解析：由图可知，，所以，当时，函数取得最大值，所以，则，解得，∵，∴.
答案 D
10. 函数的一个单调增区间是（ ）
A． B． C． D．
解析：
如图所示，由的图象可知，是它的一个单调增区间．
答案 C
11．函数y＝sin(ωx＋φ)在区间上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为(　　)
A. B.
C. D.
解析：　因为函数的最大值为1，最小值为－1，且在区间上单调递减，又函数值从1减小到－1，所以－＝为半周期，则周期为π，ω＝＝＝2，此时原式为y＝sin(2x＋φ)，又由函数过点，代入可得φ＝，因此函数为y＝sin，令x＝0，可得y＝.
答案　A
二、填空题
12．将函数f(x)＝cos 2x的图象纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则g＝________.
解析：　将函数f(x)＝cos 2x的图象纵坐标伸长到原来的2倍，所得图象对应的解析式为y＝2cos 2x，
则g(x)＝2cos 2＝2cos，
故g＝2cos＝－2.
答案　－2
13．如图所示的曲线是y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的一部分，则这个函数的解析式是________．
解析：由函数图象可知A＝2，T＝＝π，即＝π，故ω＝2.
又是五点法作图的第五个点，即 2×＋φ＝2π，则φ＝.
故所求函数的解析式为y＝2sin.
答案 y＝2sin
14．在函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的一个周期上，当x＝时，有最大值2，当x＝时，有最小值－2，
则ω＝________.
解析：依题意知＝－＝，所以T＝π，又T＝＝π，得ω＝2.
答案 2
15. 将函数图象上每一个点的横坐标扩大为原来的倍，所得图象所对应的函数解析式为 ；若将的图象沿轴向左平移个单位（），所得函数的图象关于轴对称，则的最小值为 ．
解析：
函数的对称轴为：，解得．
所以向左平移后对称轴为轴．
答案 ，．
三、解答题
16．将函数y＝sin的图象先沿x轴向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，求与最终的图象对应的函数的解析式．
解析：将原函数的图象沿x轴向右平移个单位长度后，与其对应的函数的解析式为
y＝sin＝sin，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，
则与其对应的函数的解析式为y＝sin.
17．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．
解析：　由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，
即函数f(x)的图象关于y轴对称，
∴f(x)在x＝0时取得最值，
即sin φ＝1或sin φ＝－1.
依题设0≤φ≤π，解得φ＝.
由f(x)的图象关于点M对称，可知
sin＝0，
∴ω＋＝kπ(k∈Z)，
解得ω＝－，k∈Z，
又f(x)在上是单调函数，
所以T≥π，即≥π，
又ω>0，∴0<ω≤2.
∴当k＝1时，ω＝；
当k＝2时，ω＝2.
∴φ＝，ω＝2或.
18．已知函数的图象关于直线对称，且图象上相邻最高点的距离为.
(1) 求的值；
(2)函数图象向右平移个单位,得到的图象,求的单调递减区间.
解析： 因为f(x)的图象上相邻最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而.
又f(x)的图象关于直线x＝对称，，，
，则.
(2)将f(x)的图象向右平移个单位后，得到的图象，
，当，
即时，g(x)单调递减.因此g(x)的单调递减区间为.
19．已知函数f(x)＝2sin ωx，其中常数ω>0.
(1)若y＝f(x)在上单调递增，求ω的取值范围；
(2)令ω＝2，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，区间[a，b](a，b∈R且a[a，b]中，求b－a的最小值．
解析：　(1)因为ω>0，根据题意有
解得0<ω≤.
所以ω的取值范围为.
(2)由题意知f(x)＝2sin 2x，
g(x)＝2sin＋1＝2sin＋1，
由g(x)＝0得，sin＝－，
解得x＝kπ－或x＝kπ－π，k∈Z，
即g(x)的零点相离间隔依次为和，
故若y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，则b－a的最小值为14×＋15×＝.