1.6 三角函数模型的简单应用-人教A版高中数学必修四讲义（Word解析版）

教材要点 学科素养 学考 高考 考法指津 高考考向
1.三角函数在实际问题中的简单应用 数学建模 水平1 水平2 应用三角函数模型解决问题，首先要把实际问题抽象为数学问题，通过分析它的变化趋势，确定它的周期，从而建立适当的三角函数模型。 【考查内容】正余弦函数以及正切函数的图像与性质。 【考查题型】选择题、填空题 【分值情况】5--12分
2.利用基本函数的图像研究其他函数 直观想象 水平1 水平 2
高中数学，同步讲义 必修四 第一章 三角函数 第六讲 三角函数模型的简单应用
1．三角函数模型的简单应用
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测等方面发挥着十分重要的作用．
教材中的例3、例4对太阳光照以及潮汐问题的研究为我们展示了怎样运用模型化的思想建立三角函数模型的方法和过程．
2．三角函数模型应用的步骤
三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数值，进而使实际问题得到解决．
步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题．
这里的关键是建立数学模型，一般先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数解析式．
3．三角函数模型的拟合应用
我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．
4. 函数解析式与图象的对应问题
（1）已知函数解析式判断函数图象，可结合函数的有关性质排除干扰项即可得到正确的选项.
（2）函数图象与解析式的对应问题是高考考查的热点，解决此类问题的一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决，如函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性、值域，此外零点也可以作为判断的依据.
题型一　三角函数模型在物理中的应用
例1　弹簧挂着的小球做上下振动，它在时间t(s)内离开平衡位置(静止时的位置)的距离h(cm)由下面的函数关系式表示：.
（1）求小球开始振动的位置；
（2）求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位置；
（3）经过多长时间小球往返振动一次
（4）每秒内小球能往返振动多少次
解析：
（1）令t=0，得，
所以开始振动的位置为(0，).
（2）由题意知，当h=3时，，
即最高点为;
当h= 3时，t=，
即最低点为.
（3）≈3.14，
即每经过约3.14 s小球往返振动一次.
（4），
即每秒内小球往返振动约0.318次.
变式训练1　
单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系式为
s＝．
（1）作出函数的图象．
（2）当单摆开始摆动(t＝0)时，离开平衡位置的距离是多少？
（3）当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？
（4）单摆来回摆动一次需多长时间？
解析：
（1）利用“五点法”可作出其图象．
（2）因为当t＝0时，s＝6sin＝3，所以此时离开平衡位置3 cm．
（3）离开平衡位置6 cm．
（4）因为T＝＝1，所以单摆来回摆动一次所需的时间为1 s．
题型二　三角函数模型在生活中的应用
例2　如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：
(1) 求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式；
(2) 当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？
解析：　
(1)由已知可设y＝40.5－40cos ωt，t≥0，
由周期为12分钟可知，当t＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，
所以6ω＝π，即ω＝，
所以y＝40.5－40cos t(t≥0)．
(2)设转第1圈时，第t0分钟时距离地面60.5米．
由60.5＝40.5－40cos t0，得cos t0＝－，
所以t0＝或t0＝，
解得t0＝4或t0＝8，
所以t＝8(分钟)时，第2次距地面60.5米，
故第4次距离地面60.5米时，
用了12＋8＝20(分钟)．
变式训练2　
已知某海滨浴场的海浪高度是时间t(h)的函数，记作y＝f(t)．下表是某日各时的浪高数据.
t(h) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(m) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b.
（1）根据以上数据，求出函数y＝Acosωt＋b的最小正周期T、振幅A及函数表达式；
（2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8时到晚上20时之间，有多长时间可供冲浪者进行运动？
解析：（1）依题意，得
T＝12，A＝＝0.5，b＝＝1，
∴ω＝＝，故y＝cost＋1.
（2）令y＝cost＋1>1，
则2kπ－∴12k－3∴从9点到15点适合对冲浪爱好者开放，一共有6个小时．
一、选择题
1．弹簧振子的振幅为2 cm，在6 s内振子通过的路程是32 cm，由此可知该振子振动的(　　)
A．频率为1.5 Hz B．周期为1.5 s
C．周期为6 s D．频率为6 Hz
解析：　振幅为2 cm，振子在一个周期内通过的路程为8 cm，易知在6 s内振动了4个周期，
所以T＝1.5 s.
答案　B
2．一种波的波形为函数y＝－sinx的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：　函数y＝－sinx的周期T＝4且x＝3时y＝1取得最大值，因此t≥7.故选C.
答案　C
3．弹簧上挂的小球做上下振动，它在时间t(s)时离开平衡位置的位移s(cm)满足函数关系式s＝2sin.给出下列三种说法：①小球开始时在平衡位置上方 cm处；②小球下降到最低点时在平衡位置下方2 cm处；③经过2π s小球重复振动一次．其中正确的说法是(　　)
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
解析：　当t＝0时，s＝2sin＝，故①正确；smin＝－2，故②正确；函数的最小正周期T＝2π，
故③正确．
答案　D
4．设y＝f(t)是某港口水的深度y(m)关于时间t(h)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0到24时记录的时间t与水深y的关系：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1
经长期观测，函数y＝f(x)的图象可以近似地看成函数y＝Asin(ωt＋φ)＋k的图象．下面的函数中，最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是(　　)
A．y＝12＋3sin t，t∈[0,24]
B．y＝12＋3sin，t∈[0,24]
C．y＝12＋3sin t，t∈[0,24]
D．y＝12＋3sin，t∈[0,24]
解析：　由已知数据，可得y＝f(t)的周期T＝12，
所以ω＝＝.
由已知可得振幅A＝3，k＝12.
又当t＝0时，y＝12，所以令×0＋φ＝0得φ＝0，
故y＝12＋3sin t，t∈[0,24]．
答案　A
5．稳定房价是我国实施宏观调控的重点，国家出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，某市房地产中介对本市一楼盘的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足：y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω>0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：
x 1 2 3
y 10 000 9 500 ？
则此楼盘在第三季度的平均单价大约是(　　)
A．10 000元 B．9 500元
C．9 000元 D．8 500元
解析：因为y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω＞0)，所以当x＝1时，500sin(ω＋φ)＋9 500＝10 000；当x＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9 500＝9 500，所以ω可取，φ可取π，即y＝500sin＋9 500，当x＝3时，y＝9 000.
答案 C
6．已知某人的血压满足函数解析式f(t)＝24sin 160πt＋110.其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为(　　)
A．60　　　　 B．70
C．80 D．90
解析：　由题意可得f＝＝＝80，所以此人每分钟心跳的次数为80，故选C.
答案　C
7．电流强度I（单位：安）随时间t（单位：秒）变化的函数I=Asin（ωt＋φ）的图象如图所示，则当t=秒时，电流强度是（ ）
A．－5安 B．5安
C．5安 D．10安
解析：由题图可知A=10，=－，即T=，所以ω==100π，函数图象过点（0，5）且0<φ<，所以φ=，所以函数为I=10sin，当t=秒时，I=－5安．故选A．
答案 A
8.设函数，，其中，．若，，且的最小正周期大于，则( )
A．， B．，
C．， D．，
解析：由题意得，其中，所以，
又，所以，所以，，由得，故选A．
答案 A
9．设是某港口水的深度（米）关于时间（时）的函数，其中，下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间与水深的关系：
0 3 6 9 12 15 18 21 24
12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1
经长期观察，函数的图象可以近似地看成函数的图象.下面的函数中，最能接近表示表中数据间对应关系的函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：利用特殊值考查所给的函数解析式，当时，15，符合题中的结果；
，不符合题中的结果，排除B选项；
，不符合题中的结果，排除C选项；
，不符合题中的结果，排除D选项．
利用排除法可知，只有A选项符合题意．故选A．
答案 A
二、填空题
10．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)的血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________．
解析：T＝＝(分)，
f＝＝80(次/分)．
答案 80
11．一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝________ cm.
解析：　∵T＝＝1，∴ ＝2π，∴l＝.
答案　
12．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________．
解析：　T＝＝(分)，f＝＝80(次/分)．
答案　80
13．如图所示，弹簧下挂着的小球做上下振动．开始时小球在平衡位置上方2 cm处，然后小球向上运动，小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是4 cm，每经过π s小球往复振动一次，则小球离开平衡位置的位移y与振动时间x的关系式可以是________．
解析：　不妨设y＝Asin(ωx＋φ)．
由题意知A＝4，T＝π，所以ω＝＝2.
当x＝0时，y＝2，且小球开始向上运动，
所以有φ＝2kπ＋，k∈Z，不妨取φ＝，
故所求关系式可以为y＝4sin.
答案　y＝4sin
三、解答题
14．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－2sin，t∈[0,24)．
(1) 求实验室这一天的最大温差；
(2) 若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？
解析：　(1)因为f(t)＝10－2sin，
又0≤t<24，
所以≤t＋<，－1≤sin≤1.
当t＝2时，sin＝1；
当t＝14时，sin＝－1.
于是f(t)在[0,24)上的最大值为12，最小值为8.
故实验室这一天的最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.
(2)依题意，当f(t)>11时实验室需要降温．
由(1)得f(t)＝10－2sin，
故有10－2sin>11，
即sin<－.
又0≤t<24，因此即10故在10时至18时实验室需要降温．
15．据市场调查，某种商品一年内每月的价格满足函数关系式：f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B，x为月份．已知3月份该商品的价格首次达到最高，为9万元，7月份该商品的价格首次达到最低，为5万元．
(1) 求f(x)的解析式；
(2) 求此商品的价格超过8万元的月份．
解析：　(1)由题意可知＝7－3＝4，∴T＝8，
∴ω＝＝.
又∴
即f(x)＝2sin＋7.(*)
又f(x)过点(3,9)，代入(*)式得2sin＋7＝9，
∴sin＝1，∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z.
又|φ|<，∴φ＝－，
∴f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)．
(2)令f(x)＝2sin＋7>8，
∴sin>，
∴＋2kπ可得＋8k又1≤x≤12，x∈N*，∴x＝2,3,4,10,11,12.
即2月份、3月份、4月份、10月份、11月份、12月份此商品的价格超过8万元．
16．心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压、舒张压，血压计上的读数就是收缩压、舒张压，读数120/80 mmHg为标准值，设某人的血压满足方程式P(t)＝115＋25sin(160πt)，其中P(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：
(1)求函数P(t)的周期；
(2)求此人每分钟心跳的次数；
(3)画出函数P(t)的草图；
(4)求出此人的血压在血压计上的读数，并与标准值进行比较．
解析：(1)由于ω＝160π代入周期公式T＝，可得T＝＝(min)，
所以函数P(t)的周期为min.
(2)函数P(t)的频率f＝＝80(次/分)，即此人每分钟心跳的次数为80.
(3)列表：
t/min 0
P(t)/mmHg 115 140 115 90 115
描点、连线并左右扩展得到函数P(t)的简图如图所示．
(4)此人的收缩压为115＋25＝140(mmHg)，舒张压为115－25＝90(mmHg)，与标准值120/80 mmHg相比较，此人血压偏高．
一、选择题
1．电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin，则当t＝ s时，电流强度I为(　　)
A． 5 A B． 2.5 A C． 2 A D． －5 A
解析　当t＝时，I＝5sin
＝5sin＝5cos ＝＝2.5(A)．
答案　B
2．如图所示为某市某天中6 h至14 h的温度变化曲线，其近似满足函数
y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，则该天8 h的温度大约为(　　)
A．16 ℃ B．15 ℃ C．14 ℃ D．13 ℃
解析：　由题意得A＝×(30－10)＝10，
b＝×(30＋10)＝20，
∵2×(14－6)＝16，∴＝16，∴ω＝，
∴y＝10sin＋20，
将x＝6，y＝10代入得10sin＋20＝10，
即sin＝－1，
由于<φ<π，可得φ＝，
∴y＝10sin＋20，x∈[6,14]．
当x＝8时，y＝10sin＋20＝20－5≈13，
即该天8 h的温度大约为13 ℃，故选D.
答案　D
3．有一冲击波，其波形为函数y＝－sin的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰，则正整数t的最小值是(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
答案　C
4．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈
f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，
7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)
B．f(x)＝9sin(1≤x≤12，x∈N*)
C．f(x)＝2sinx＋7(1≤x≤12，x∈N*)
D．f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)
解析：令x＝3可排除D，令x＝7可排除B，由A＝＝2可排除C；或由题意，
可得A＝＝2，b＝7，周期T＝＝2×(7－3)＝8，∴ω＝.
∴f(x)＝2sin＋7.
∵当x＝3时，y＝9，
∴2sin＋7＝9，
即sin＝1.
∵|φ|<，∴φ＝－.
∴f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)．
答案 A
5．如图1 6 5，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为
s＝6sin，那么单摆摆动一个周期所需的时间为(　　)
图1 6 5
A．2π s B．π s
C．0.5 s D．1 s
解析：　依题意是求函数s＝6sin的周期，T＝＝1，故选D.
答案　D
6．如图1 6 9所示，有一广告气球，直径为6 m，放在公司大楼上空，当行人仰望气球中心的仰角∠BAC＝30°时，测得气球的视角为2°(若β很小时，可取sin β≈β)，试估算该气球的高BC的值约为(　　)
图1 6 9
A．70 m B．86 m
C．102 m D．118 m
解析：　假设气球到人的距离AC为s，
∴6＝s×sin 2°＝s×2×，
∴s≈171.887 m，
∴h＝BC＝s×sin 30°＝85.94 m≈86 m.
答案　B
7．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin＋k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（ ）
A．5 B．6
C．8 D．10
解析：根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k=2，k=5，最大值为3＋k=8．
答案 C
8．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是(　　)
A．[0,1] B．[1,7]
C．[7,12] D．[0,1]，[7,12]
解析：∵T＝12，∴＝，
从而可设y关于t的函数为y＝sin.
又t＝0时，y＝，即sinφ＝，不妨取φ＝，
∴y＝sin.
∴当2kπ－≤t＋≤2kπ＋(k∈Z)，即12k－5≤t≤12k＋1(k∈Z)时，该函数单调递增，
∵0≤t≤12，∴函数的单调递增区间为[0,1]，[7,12]．
答案 D
二、填空题
9．下图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(m)在某天0～24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数解析式为____________________．
解析：　根据题图设h＝Asin(ωt＋φ)，
则A＝6，T＝12，＝12，∴ω＝.
点(6,0)为“五点”作图法中的第一点，
∴×6＋φ＝0，∴φ＝－π，
∴h＝6sin＝－6sin t，t∈[0,24]．
答案　h＝－6sin t，t∈[0,24]
10．已知某种交流电电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数I＝5sin，t∈[0，＋∞)，则这种交流电在0.5 s内往复运动的次数为________．
解析：　因为f＝＝＝＝50，
所以0.5 s内往复运动的次数为0.5×50＝25.
答案　25
11.一个单摆的平面图如图．设小球偏离铅锤方向的角为α(rad)，并规定当小球在铅锤方向右侧时α为正角，左侧时α为负角．α作为时间t(s)的函数，近似满足关系式α＝Asin，其中ω>0.已知小球在初始位置(即t＝0)时，α＝，且每经过π s小球回到初始位置，那么A＝________；α关于t的函数解析式是____________________．
解析：　∵当t＝0时，α＝，
∴＝Asin，∴A＝.
又∵周期T＝π，∴＝π，解得ω＝2.
故所求的函数解析式是α＝sin，t∈[0，＋∞)．
答案　　α＝sin，t∈[0，＋∞)
12．某城市一年中12个月的月平均气温y与月份x的关系可近似地用函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的月平均气温为________℃.
解析：根据题意得28＝a＋A,18＝a＋Acos＝a－A，解得a＝23，A＝5，
所以函数y＝23＋5cos，令x＝10，得y＝23＋5cos＝23＋5cos＝20.5.
答案 20.5
三、解答题
13 .如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动1圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．
(1) 将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；
(2) 点P第一次到达最高点大约需要多少时间？
解析：　(1)如图所示建立平面直角坐标系，设角φ是以Ox为始边，OP0为终边的角．
OP每秒钟内所转过的角为＝，
则OP在时间t(s)内所转过的角为t.
由题意可知水轮逆时针转动，
得z＝4sin＋2.
当t＝0时，z＝0，得sin φ＝－，即φ＝－.
故所求的函数关系式为z＝4sin＋2.
(2)令z＝4sin＋2＝6，
得sin＝1，
令t－＝，得t＝20，
故点P第一次到达最高点大约需要20 s.
14．某海滨浴场一天的海浪高度y(m)是时间t(0≤t≤24)(h)的函数，记作y＝f(t)，下表是某天各时的浪高数据：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
(1) 选用一个三角函数来近似描述这个海滨浴场的海浪高度y(m)与时间t(h)的函数关系；
(2) 依据规定，当海浪高度不少于1 m时才对冲浪爱好者开放海滨浴场，请依据(1)的结论，判断一天内的8 h至20 h之间，有多少时间可供冲浪爱好者进行冲浪？
解析：　(1)以时间为横坐标，海浪高度为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示：
依据散点图，可以选用函数y＝Asin(ωt＋φ)＋h来近似描述这个海滨浴场的海浪高度y(m)与时间t(h)的函数关系．
从表中数据和散点图，可知A＝＝，T＝12，
所以＝12，得ω＝.
又h＝＝1，于是y＝sin＋1.
由图，知×0＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
又|φ|≤，所以φ＝，
从而y＝sin＋1，
即y＝cos t＋1(0≤t≤24)．
(2)由题意，可知y≥1，
所以cos t＋1≥1，即cos t≥0，
所以2kπ－≤t≤2kπ＋(k∈Z)，
即12k－3≤t≤12k＋3(k∈Z)．
又0≤t≤24，所以0≤t≤3或9≤t≤15或21≤t≤24.
故一天内的8 h至20 h之间有6个小时可供冲浪爱好者进行冲浪，即9 h至15 h．
15．已知电流I(A)与时间t(s)的关系为I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)．
(1)如图所示的是该函数在一个周期内的图象，求该函数的解析式；
(2)如果t在任意一段s的时间内，电流I都能取到最大值和最小值，那么ω的最小值是多少？
解析：(1)由图可知A＝300，周期
T＝2＝，∴ω＝＝150π.
又当t＝时，I＝0，即sin＝0，
而|φ|<，∴φ＝.
故所求的函数解析式为I＝300sin(150πt＋)．
(2)依题意，周期T≤，即≤，
∴ω≥300π，
故ω的最小值为300π.