3.2函数与方程、不等式之间的关系 同步练习—2021-2022学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册（Word含答案解析）

北京·高一·同步练习
函数与方程、不等式之间的关系
一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)
1．函数的零点为（ ）
A．(2,3) B．(3,2) C．2,3 D．(2,0)，(3,0)
2．二次函数的零点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
3．函数f(x)＝(x2－1)的零点个数是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
4．函数的零点有（ ）
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数个
5．函数在区间上是减函数，那么实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数在区间内的图象为连续不断的一条曲线，则“”是“函数在区问内有零点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．如图分别为定义域和值域均为的函数和函数的图象，则下列命题正确的是（ ）
A．函数恰有个零点 B．函数恰有个零点
C．函数恰有个零点 D．函数恰有个零点
8．定义在的奇函数满足，且当时，，则函数在区间上的零点个数为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
9．已知函数若方程有三个不同的实根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．若函数（）有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)
11．已知函数，则函数的零点个数为______________.
12．若函数有且仅有一个零点，则实数的取值为________．
13．用二分法计算的一个正数零点附近的函数值，参考数据如下：
那么方程的一个近似根(精确到0.1)为______.
14．已知函数，则该函数的单调递增区间为______，若方程有三个不同的实根，则实数的取值集合是______．
15．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数，称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数. 设，则函数的所有零点之和为________.
三、解答题(共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)
16．已知关于x的一元二次方程.
（1）若方程有两个实数根，其中一个根在区间（-1，0）内，另一个根在区间（1，2）内，求m的取值范围.
（2）若方程有两个不相等的实数根，且均在区间（0，1）内，求m的取值范围.
17．已知函数是定义域为的奇函数，当时，.
（1）求出函数在上的解析式；
（2）画出函数的图像，并写出单调区间；
（3）若与有3个交点，求实数的取值范围.
18．已知函数恒有零点
（1）求实数的取值范围；
（2）若函数有两个不同的零点，且其倒数之和为，求实数的值．
19．已知二次函数的图象的对称轴为，且函数的零点为和.
（1）求的解析式；
（2）若，求函数的所有零点之和；
（3）试求在上的最小值.(其中)
20．已知二次函数，有两个零点为和．
（1）求、的值；
（2）证明：；
（3）用单调性定义证明函数在区间上是增函数；
（4）求在区间上的最小值．
21．已知函数.
（1）当时，求函数的零点；
（2）对于给定的正数有一个最大的正数，使时，都有，试求出这个正数，并求它的取值范围.
试卷第4页，共4页
试卷第9页，共9页
参考答案
1．C
【分析】
利用零点的概念直接求解.
【详解】
函数，令，
即，解得或
故零点为，
故选：C.
【点睛】
函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
2．C
【分析】
根据函数的零点与相应方程的根的关系，利用判别式求解.
【详解】
已知二次函数，
因为，所以二次函数有2个零点.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查函数的零点，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
3．B
【分析】
先确定出函数的定义域，然后解f(x)＝0即可得到答案.
【详解】
要使函数有意义，则x2－4≥0，解得x≥2或x≤－2.
由f(x)＝0，得x2－4＝0或x2－1＝0(不成立舍去)，即x＝2或x＝－2，
所以函数的零点个数为2.
故选:B.
【点睛】
本题考查函数零点个数问题，属于简单题.
4．C
【分析】
由根的判别式可得方程有两个不相等的实根，即可得到函数的零点个数；
【详解】
解：，
所以方程有两个不相等的实根，故函数有2个零点.
故选：C
【点睛】
本题考查函数的零点，属于基础题.
5．C
【分析】
先讨论a的取值，当时，为一次函数，满足条件．当时，为二次函数，利用函数的单调性和对称轴之间的关系，确定区间和对称轴的位置，从而建立不等式关系，进行求解即可．
【详解】
当时，，在定义域R上单调递减，满足在区间上是减函数，故成立．
当时，二次函数的对称轴为，
∴要使在区间上是减函数，则必有且对称轴，即，解得，
综上，，即a的取值范围是．
故选：C．
6．A
【分析】
先根据零点的存在性定理分析充分性，然后再举例分析必要性，由此判断出属于何种条件.
【详解】
由零点存在性定理，可知充分性成立；
反之，若函数，则易知，
且在区间内有两个零点，故必要性不成立.
故选：A.
7．C
【分析】
将各选项中的复合函数分为内层函数和外层函数，先分析外层函数的零点及其范围，再分析内层函数方程的根的个数，即可得出结论.
【详解】
对于A选项，令，
则外层函数有个零点，，
关于的方程只有1个根，关于的方程只有1个根，
所以，函数恰有个零点，A选项错误；
对于B选项，令，
则外层函数有个零点，，，
关于的方程有个根，关于的方程有个根，关于的方程有个根，
所以，函数恰有个零点，B选项错误；
对于C选项，令，
则外层函数有个零点，，
关于的方程有个根，关于的方程有个根，
所以，函数恰有个零点，C选项正确；
对于D选项，令，
则外层函数有个零点，，，
关的方程有个根，关的方程有3个根，关于的方程有1个根，
所以，函数恰有个零点.
故选：C.
【点睛】
本题考查复合函数零点个数的判断，一般要将复合函数分为内层函数和外层函数来分析，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
8．B
【分析】
由奇函数的性质周期函数的性质结合函数在上的解析式，确定函数的零点.
【详解】
∵当时，，
又函数为奇函数，∴
∴当时，，，
∵
∴函数是周期函数，且周期为4，，
∴
∴ 函数在的零点有4个，即，
∴函数在的零点有4个，又函数在的零点有2,3,4，
∴函数在区间上的零点个数为11个，
故选：B.
9．B
【分析】
首先当时，令，可求得方程有两个根，只需当时，有一个实根，即，使即可求解.
【详解】
当时，令，解得，
故在时有两个不同的实根．
又方程有三个不同的实根，
故当时，有一个实根．
由，得，所以．
故选：B
【点睛】
本题考查了根据方程根的个数求参数的取值范围，属于基础题.
10．A
【分析】
函数（）有两个不同的零点等价于函数在均有一个解，再解不等式即可.
【详解】
解：因为，
由函数（）有两个不同的零点，
则函数在均有一个解，
则，解得：，
故选：A.
【点睛】
本题考查了分段函数的零点问题，重点考查了分式不等式的解法，属中等题.
11．3
【分析】
根据函数零点定义，在分段函数的每一段求得零点，加起来就是零点的个数.
【详解】
解：当时，，
令得或（舍掉），
当时，，
令得或，
所以函数的零点个数为3个.
故答案为：3.
【点睛】
函数零点个数的判定有下列几种方法：
（1）直接求零点：令，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点；
（2）零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在上是连续的曲线，且，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点；
（3）画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
12．0或
【分析】
由题知方程的解仅有一个，注意按和分类讨论．
【详解】
当时，函数为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；
当时，函数为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程有两个相等实根．
∴，解得．
综上，当或时，函数仅有一个零点．
故答案为：0或.
13．1.4
【分析】
先由题中参考数据可得根在区间内，又因为和精确到小数点后面一位都是符合要求，即可得到答案.
【详解】
由表格可得：函数的零点在之间
又因为题中要求精确到0.1，和精确到小数点后面一位都是1.4符合要求.
故答案为：1.4.
【点睛】
易错点睛：本题主要考查用二分法求区间根的问题，属于基础题型．在利用二分法求区间根的问题上，如果题中有根的精确度的限制，在解题时就一定要计算到满足要求才能结束．
14．和
【分析】
作出函数，根据图象可得单调递增区间，通过的图象与有三个不同的实根，即可求解实数的取值集合．
【详解】
解：由函数，
作出函数如图所示：
方程有三个不同的实根，即的图象与有三个不同的交点，
故答案为：和；
【点睛】
此题考查函数与方程，考查函数的单调性，考查数形结合的思想，属于基础题
15．
【分析】
令，显然，可得出，将问题转化为函数与函数的图象交点的横坐标之和，可知两个函数的图象都关于点，数形结合可得出结果.
【详解】
，令，可得，
则函数的零点，即为函数与函数的图象交点的横坐标，
作出函数与函数的图象如下图所示：
由图象可知，两函数除以交点之外，其余的交点关于点对称，
所以，函数的所有零点之和为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查函数的零点之和，一般转化为两函数的交点问题，解题时要注意函数图象对称性的应用，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
16．（1）；（2）
【分析】
（1）令，由题意结合二次函数的图像与性质可得解不等式组即可.
（2）由题意结合二次函数的图像与性质可得，解不等式组即可.
【详解】
解：（1）令，
依题意得函数的图象与x轴的交点
分别在区间（1，0）和（1，2）内，
画出函数的大致图象，
如图：
由图像得即，∴.
即m的取值范围是.
（2）根据函数图象与x轴的两个交点均在区间（0，1）内，画出函数的大致图象，
如图：
由图像得，即
∴.即m的取值范围是.
【点睛】
本题考查了函数零点所在的区间求参数的取值范围，同时考查了二次函数的图像与性质，属于中档题.
17．（1）（2）图见解析，在上单调递增，在上单调递减.（3）
【分析】
（1）通过①由于函数是定义域为的奇函数，则；②当时，，利用是奇函数，．求出解析式即可．
（2）利用函数的奇偶性以及二次函数的性质画出函数的图象，写出单调增区间，单调减区间．
（3）利用函数的图象，直接观察得到的范围即可．
【详解】
（1）①由于函数是定义域为的奇函数，则；
②当时，，因为是奇函数，所以．
所以．
综上：．
（2）图象如下图所示：．
单调增区间： 单调减区间：．
（3）因为方程有三个不同的解，由图像可知， ，即．
【点睛】
本题考查函数与方程的应用，二次函数的简单性质的应用，函数图象的画法，考查计算能力．
18．（1）；（2）.
【分析】
（1）分，两种情况讨论，当时，利用判别式求解，当时，验证即可（2）根据零点为对应方程的根，利用根与系数的关系求解即可.
【详解】
当 时，函数为，显然有零点；
当时，由 ，得 ，
∴当，且 时，函数有零点．
综上，实数的取值范围为 ．
（2）由题目条件知，设 ，是函数的两个零点，
则有 ．
，即 ，
，解得．
又当时， ，符合题意，
．
【点睛】
本题主要考查了函数的零点，函数与方程，分类讨论，属于中档题.
19．（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）由题设，由待定系数法求出即得的解析式；
（2）代入得，令，采用换元法求解，利用韦达定理即可得函数的所有零点之和；
（3）分两种情况讨论在上的最小值.
【详解】
（1）由题设，又函数的零点为和，
所以，解得：，
所以；
（2）
，
令，则，所以，
所以，令，
由韦达定理知的三个零点之和为；
（3）由（1）知，
当即时，；
当即时，；
所以.
【点睛】
本题考查了函数解析式的求解，考查了函数零点的计算，考查了分类讨论的思想求解函数的最值，考查了学生的运算求解能力.
20．（1），；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）.
【分析】
（1）利用韦达定理可得出关于实数、的方程组，即可求出这两个未知数的值；
（2）直接计算和f1 x，可证明出；
（3）任取，作差，因式分解后判断差值的符号，即可证明出函数在区间上是增函数；
（4）分和两种情况讨论，分析函数在区间上的单调性，即可得出函数在区间上的最小值的表达式.
【详解】
（1）由韦达定理得，解得；
（2）由（1）知，
，，
因此，；
（3）任取，则，
，，，，即，
因此，函数在区间上是增函数；
（4）当时，函数在区间上为减函数，此时；
当时，函数在区间上减函数，在区间上为增函数，
此时.
综上所述，.
【点睛】
本题考查二次函数相关的问题，涉及利用韦达定理求参数、二次函数对称性、单调性的证明、以及二次函数在区间上最值的求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
21．（1）；（2）答案见解析.
【分析】
（1）可令，解含有绝对值的方程，对进行讨论，最后得出符合条件的的值.
（2）因为时，，故问题只需在给定的区间内恒成立，再按照和两种情况分类讨论，即可得到结论.
【详解】
（1）令,得,
当时，方程化简为：，
解得：（舍）或（舍），
当时，方程化简为：，
解得：（舍），或，.
（2）当时，，故问题只需要在给定的区间内恒成立，
由分两种情况讨论：
当时，即时，是方程的较小根
由于则，所以
当时，即时，是方程的较大根，
由于则
所以
综上 ，且 .
【点睛】
分类讨论方法，关键点在于运算时由于不确定性，需要对某个参数进行讨论，进而分类运算.
恒成立问题，关键点在对于任意，恒成立，可转化为.
北京·高一·