3.3函数的应用同步练习—2021-2022学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册（Word含答案解析）

北京·高一·同步练习
函数的应用
一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)
1．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元．当销售单价为6元时，日均销售量为480桶．根据数据分析，销售单价在进价基础上每增加1元，日均销售量就减少40桶．为了使日均销售利润最大，销售单价应定为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
2．高为、满缸水量为的鱼缸的轴截面如图所示，现底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为时水的体积为，则函数的大致图像是
A． B．
C． D．
3．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用新工艺把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为，为使每吨的平均处理成本最低，该单位每月处理量应为（ ）.
A．200吨 B．300吨 C．400吨 D．600吨
4．某企业为节能减排，用万元购进一台新设备用于生产.第一年需运营费用万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加万元，该设备每年生产的收入均为万元.设该设备使用了年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则等于（ ）
A． B． C． D．
5．某工厂八年来某种产品总产量C与时间t的函数关系如图所示.下列说法：
①前三年中产量增长的速度越来越快；
②前三年中产量增长的速度保持稳定；
③第三年后产量增长的速度保持稳定；
④第三年后，年产量保持不变；
⑤第三年后，这种产品停止生产.
其中说法正确的是（ ）
A．②⑤ B．①③ C．①④ D．②④
6．某城市为保护环境、维护水资源，鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用水不超过8吨，按每吨2元收取水费，每月用水超过8吨，超过部分加倍收费．若某职工某月缴水费20元，则该职工这个月实际用水(　　)
A．10吨 B．13吨 C．11吨 D．9吨
7．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，之后增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间的关系，可选用
A．一次函数 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
8．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．
加油时间
加油量（升）
加油时的累计里程（千米）
年月日
年月日
注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程
在这段时间内，该车每千米平均耗油量为（ ）
A．升 B．升 C．升 D．升
9．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为
A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟
10．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数
被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，以下关于狄利克雷函数的五个结论中，正确的个数是个.
①函数偶函数；
②函数的值域是；
③若且为有理数，则对任意的恒成立；
④在图象上存在不同的三个点，，，使得为等边角形.
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)
11．国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元的14％纳税；超过4000元的按全稿酬的11％纳税.某人出版了一书共纳税420元，这个人的稿费为______元.
12．某公司一年购买某种货物吨，每次购买吨，运费为万元/次，一年的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是__________．
13．旅行社为某旅游团租飞机旅游，其中旅行社的包机费为15000元．旅游团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团的人数不超过35人，则飞机票每张收费800元；若旅游团的人数多于35人，则给予优惠，每多1人，机票每张少收10元，但旅游团的人数不超过60人．设该旅游团的人数为人，飞机票总费用为元，旅行社从飞机票中获得的利润为元，当旅游团的人数_____________时，旅行社从飞机票中可获得最大利润．
14．如图①是反映某条公交线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）与乘客量之间关系的图像．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图②③所示：
给出下列说法：（1）图②的建议：提高成本，并提高票价；（2）图②的建议：降低成本，并保持票价不变；（3）图③的建议：提高票价，并保持成本不变；（4）图③的建议：提高票价，并降低成本．其中所有说法正确的序号是______．
15．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.
给出下列四个结论：
①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是____________________．
三、解答题(共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)
16．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价(单位：元/)与上市时间(单位：天)的关系符合图1中的折线表示的函数关系，西红柿种植成本(单位：元/)与上市时间(单位：天)的关系符合图2中的抛物线表示的函数关系.
（1）写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式，图2表示的种植成本与时间的函数关系式；　
（2）若市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的纯收益最大？
17．某厂家拟在年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量（即该产品的年产量）（单位：万件）与年促销费（单位：万元）满足（为常数），如果不举行促销活动，该产品的年销售量是万件，已知年生产该产品的固定投入为万元，每生产万件该产品需要再投入万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.
（1）将年该产品的利润（单位：万元）表示为年促销费用的函数；
（2）该厂家年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？
18．绿色出行已成为环保重要途径，我市拟对现有公交支线发车间隔进行调整，已知901路公交车发车时间间隔单位：分钟满足，经市场调研测算，公交车的载客量与发车的时间间隔相关，当时，公交车为满载状态，载客量为40人；当时，载量会减少，减少的人数与成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为8人，记公交车的载客量为．
（1）求的表达式，并求发车时间间隔为5分钟时公交车的载客量；
（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问：当公交车车发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？
19．某厂借嫦娥奔月的东风，推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为20000元，每生产一件“玉兔”需要增加投入100元，根据初步测算，总收益满足函数，其中x是“玉兔”的月产量．
（1）将利润f（x）表示为月产量x的函数；
（2）当月产量为何值时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？（总收益=总成本+利润）
20．为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量(单位：)与时间(单位：）的函数关系为，当消毒后，测量得药物释放量等于；而实验表明，当药物释放量小于对人体无害．
（1）求的值；
（2）若使用该消毒剂对房间进行消毒，求对人体有害的时间有多长？
21．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
（1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
（2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式；讨论的单调性，并说明其实际意义．
试卷第6页，共6页
试卷第11页，共11页
参考答案
1．D
【解析】
设定价在进价的基础上增加x元，日销售利润为y元，则
y=x[480﹣40（x﹣1）]﹣200，
由于x＞0，且520﹣40x＞0，所以，0＜x＜13；
即y=﹣40x2+520x﹣200，0＜x＜13．
所以，当时，y取最大值．
∴销售单价应定为元
故选D
点睛：解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．含有绝对值的问题突破口在于分段去绝对值，分段后在各段讨论最值的情况.
2．B
【分析】
由函数的自变量为水深，函数值为鱼缸中水的体积，得到函数图像过原点，再根据鱼缸的形状，得到随着水深的增加，体积的变化速度是先慢后快再慢的，即可求解.
【详解】
根据题意知，函数的自变量为水深，函数值为鱼缸中水的体积，所以当时，体积，所以函数图像过原点，故排除A、C；
再根据鱼缸的形状，下边较细，中间较粗，上边较细，所以随着水深的增加，体积的变化速度是先慢后快再慢的，故选B.
【点睛】
本题主要考查了函数的使用应用问题，其中解答中根据水缸的形状，得到函数的性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
3．C
【分析】
列出处理成本函数，然后由基本不等式求最小值，并得出取最小值时处理量．
【详解】
由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为，当且仅当，即时，等号成立，故该单位每月处理量为400吨时，可使每旽的平均处理成本最低.故选;C
【点睛】
本题考查基本不等式在函数中的应用，解题关键是列出函数关系式．
4．D
【分析】
设该设备第年的营运费为万元，利用为等差数列可求年平均盈利额，利用基本不等式可求其最大值.
【详解】
设该设备第年的营运费为万元，
则数列是以2为首项，2为公差的等差数列，则，
则该设备使用年的营运费用总和为，
设第n年的盈利总额为，则，
故年平均盈利额为，
因为，当且仅当时，等号成立，
故当时，年平均盈利额取得最大值4.
故选：D.
【点睛】
本题考查等差数列在实际问题中的应用，注意根据题设条件概括出数列的类型，另外用基本不等式求最值时注意检验等号成立的条件.
5．A
【分析】
总产量C与时间t的函数是分段函数，按前三年与三年后两段图象的特征分别分析即可得解.
【详解】
观察函数图象知，在区间上图象是线段，直线上升，表明年产量增长的速度保持不变，②正确；
在区间上图象是线段，却是水平的，表明总产量停留在第三年末的总产量上未变，第三年后的年产量为0，即产品停止生产，⑤正确.
故选：A
6．D
【分析】
根据条件建立函数解析式，然后利用函数解析式 进行求解即可．
【详解】
设用水吨时，对应的收费为，
则由题意知，当 ，此时最多缴费16元．
当，超出部分为
即
∴该职工这个月实际用水8，
∴由 ，
即，
解得（吨），
故选D．
【点睛】
本题主要考查分段函数的应用，利用条件建立函数关系是解决本题的关键．
7．D
【分析】
分别分析一次函数、二次函数、指数型函数、对数型函数单调性以及其变化快慢结合题意即可得结果.
【详解】
根据基本初等函数的图象与性质可知，一次函数增长的速度不变，不满足题意；要满足调整后初期利润增长迅速，如果是二次函数，则必须开口向上，而此时在二次函数对称轴的右侧增长的速度是越来越快，没有慢下来的可能，不符合要求；要满足调整后初期利润增长迅速，如果是指数函数，则底数必是大于1的数，而此时指数函数增长的速度也是越来越快的，也不满足要求；对于对数函数，当底数大于1时，对数函数增长的速度先快后慢，符合要求，故选D．
【点睛】
本题主要考查了基本初等函数的性质在实际中的应用，熟练掌握它们的单调性是解题的关键，属于中档题.
8．B
【详解】
因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量升. 而这段时间内行驶的里程数千米. 所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为升，故选B.
考点：平均变化率.
9．B
【详解】
由图形可知，三点都在函数的图象上，
所以，解得，
所以，因为，所以当时，取最大值，
故此时的t=分钟为最佳加工时间，故选B.
考点：本小题以实际应用为背景，主要考查二次函数的解析式的求解、二次函数的最值等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.
10．D
【分析】
当时，，当时，，函数为偶函数，①正确，函数的值域是，②正确，为有理数，则当时，，当时，，故，③正确，，，构成等边三角形，故④正确，得到答案.
【详解】
当时，，当时，，故，函数为偶函数，①正确；
函数的值域是，②正确；
为有理数，则当时，，当时，，故，③正确；
，，，故，，构成等边三角形，故④正确；
故选：D.
【点睛】
本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生的理解能力和对于函数性质的灵活运用.
11．3800
【详解】
若稿费为4000元，则纳税元，设此人的稿费为元，则纳税元.
解本小题的关键是读懂题意，建立正确的数学模型．注意先确定420元的稿费在哪个收入段中．
12．
【详解】
总费用为，当且仅当，即时等号成立．故答案为30.
点睛:在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．
13．或
【分析】
根据题意，写出与的分段函数模型，进而表示出与的分段函数模型，然后根据二次函数的性质求解最大值.
【详解】
解析：依题意，得则旅行社的利润当且时，；当且时，，当或时，最大，最大为18060．综上，当或时，旅行社可获最大利润．
【点睛】
利用分段函数模型解决实际问题的策略：对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小；在求解最值时，一般可利用函数的性质求解，也可以利用基本不等式计算.
14．（2）（3）
【分析】
根据题意知图像反应了收支差额与乘客量的变化情况，即直线的斜率说明票价问题；当的点说明公司的成本情况，再结合图像进行说明。
【详解】
根据题意和图②知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变，故（2）正确；
由图③看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明了此建议是提高票价而保持成本不变，故（3）正确.
故答案为（2）（3）
【点睛】
本题考查用函数图像说明两个量之间的变化情况，主要根据实际意义进行判断，考查了读图能力和数形结合思想，解题关键是对图形的理解。
15．①②③
【分析】
根据定义逐一判断，即可得到结果
【详解】
表示区间端点连线斜率的负数，
在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；
甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强．④错误；
在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；
在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；
故答案为：①②③
【点睛】
本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.
16．（1），，；（2）从2月1日开始的第天上市的西红柿的纯收益最大.
【分析】
（1）由题意，根据分段函数与二次函数的图像，分别求出函数解析式即可；
（2）设上市时间为时的纯收益为，根据题意，由（1）的结果得到，分别求出每一段的最大值，即可得出结果.
【详解】
（1）由图1可得，当时，；
当时，，
即图1表示的市场售价与时间的函数关系式；
由图2，设对应的二次函数解析式为，
又该函数过点，所以，解得，
则，；
（2）设上市时间为时的纯收益为，
则由题意，得，
即，
当时，，
当时，取得最大值；
当时，，
当时，取得最大值.
综上，当，即从2月1日开始的第天上市的西红柿的纯收益最大.
【点睛】
本题主要考查二次函数模型与分段函数模型的应用，属于常考题型.
17．（1）；（2）促销费用投入万元时，厂家的利润最大.
【分析】
（1）由时，可构造方程求得，得到，代入利润关于的函数中，化简可得结果；
（2）利用基本不等式可求得，由取等条件可得结果.
【详解】
（1）由题意可知：当时，（万件），，解得：，
，又每件产品的销售价格为，
年利润，
（2）当时，（当且仅当，即时取等号），
此时年利润（万元）；
该厂家年的促销费用投入万元时，厂家的利润最大，最大为万元.
18．（1），38人；（2）4分钟.
【分析】
（1）讨论、，分别求的解析式，进而求即可.
（2）在上利用基本不等式求最大值，注意等号成立条件，比较在上的最大值，即可知净收益最大的发车时间间隔.
【详解】
（1）当时，．
当时，，又，即，
∴.
∴人.
（2）当时，，当且仅当时等号成立.
当时，，
∴时，每分钟的净收益最大.
19．（1）（2）当时，该厂所获利润最大，最大利润为25000元．
【分析】
（1）由题意，由总收益总成本利润可知，分及求利润，利用分段函数表示；
（2）在及分别求函数的最大值或取值范围，从而确定函数的最大值．从而得到最大利润．
【详解】
（1）由题意，
当时，
；
当时，
；
故
（2）当时，；
当时，（元
当时，（元
，
当时，该厂所获利润最大，最大利润为25000元．
20．（1）；（2）．
【分析】
（1）把代入即可求得的值；
（2）根据，通过分段讨论列出不等式组，从而求解.
【详解】
（1）由题意可知，故；
（2）因为，所以，
又因为时，药物释放量对人体有害，
所以或，解得或，所以，
由，故对人体有害的时间为．
21．(1) 时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)见解析.
【分析】
（1）由题意知求出f（x）＞40时x的取值范围即可；
（2）分段求出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，再说明其实际意义．
【详解】
（1）由题意知，当时，
，
即，
解得或，
∴时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；
（2）当时，
；
当时，
；
∴；
当时，单调递减；
当时，单调递增；
说明该地上班族中有小于的人自驾时，人均通勤时间是递减的；
有大于的人自驾时，人均通勤时间是递增的；
当自驾人数为时，人均通勤时间最少．
【点睛】
本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．
北京·高一·