第三章·函数章节检测-2021-2022学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册（Word含答案解析）

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章节检测·函数
一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)
1．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数f (x)＝ax2＋bx＋c，若a>b>c，且a＋b＋c＝0，则函数f (x)的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．若函数是定义在上的偶函数，则该函数的最大值为
A．5 B．4
C．3 D．2
4．已知，则等于（ ）
A． B．
C． D．
5．函数在单调递减，且为奇函数.若，则满足的的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
6．函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数且，则使的x的取值范围（ ）．
A． B． C． D．
7．已知函数是上的增函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．定义在上的函数满足以下三个条件：
①对于任意的，都有；
②函数的图象关于轴对称；
③对于任意的，都有；
则、、从小到大的关系是（ ）
A． B．
C． D．
9．关于函数，有下列四个命题：①的值域是；②是奇函数；③在上单调递增；④方程总有四个不同的解；其中正确的是
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
10．已知函数为定义在上的奇函数，且时，．若对任意，都存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)
11．已知函数，则________.
12．函数y=|-x2+2x+1|的单调递增区间是_________ ；单调递减区间是_________．
13．若存在，使不等式成立，则实数取值范围是__.
14．已知函数的值域为，则实数的值为__________
15．已知函数，若，则函数的零点个数为________；若函数有4个零点，则实数的取值范围是_______.
三、解答题(共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)
16．设函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab的两个零点分别是－3和2.
（1）求函数f(x)；
（2）当函数f(x)的定义域是[0，1]时，求函数f(x)的值域．
17．已知函数f(x)＝x＋，且此函数图像过点(1，5)．
（1）求实数m的值；
（2）判断f(x)的奇偶性；
（3）讨论函数f(x)在[2，＋∞)上的单调性．
18．已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）＝f（2）＝3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，求实数a的取值范围；
（3）在区间[﹣1，1]上，y＝f（x）的图象恒在y＝2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围．
19．一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用，已知每服用且克的药剂，药剂在血液中的含量（克）随着时间（小时）变化的函数关系式近似为，其中．
（1）若病人一次服用9克的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？
（2）若病人第一次服用6克的药剂，6个小时后再服用3m克的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，试求m的最小值．
20．函数的定义域为，且对一切，都有，当时，总有.
（1）求的值；
（2）判断单调性并证明；
（3）若，解不等式.
21．对于定义域为的函数，若同时满足下列条件：①在内有单调性；②存在区间，使在区间上的值域也为，则称为上的精彩函数，为函数的精彩区间．
（1）求精彩区间符合条件的精彩区间；
（2）判断函数是否为精彩函数？并说明理由．
（3）若函数是精彩函数，求实数的取值范围．
试卷第4页，共4页
试卷第1页，共8页
参考答案
1．A
【分析】
由给定函数有意义，列出不等式组求解即得.
【详解】
函数有意义，则有，解得且，
所以原函数的定义域是.
故选：A
2．D
【分析】
由已知得a>0，c<0，f (0)<0，可得函数图象开口向上，与y轴的交点在x轴的下方，可得选项.
【详解】
由a>b>c且a＋b＋c＝0，得a>0，c<0，所以函数图象开口向上，排除A，C.
又f (0)＝c<0，所以排除B，
故选：D.
【点睛】
本题考查二次函数的辨析，常由二次函数的系数的正负，得出抛物线的开口方向，对称轴的位置，与x轴、y轴的交点等，属于基础题.
3．A
【详解】
试题分析：偶函数定义域关于原点对称，所以，函数开口向上.由于函数为偶函数，故，所以，最大值为.
考点：二次函数最值.
4．B
【分析】
用替换解析式中的，即可得答案.
【详解】
在中，用替换，
可得
故选：B.
【点睛】
本题考查函数解析式的应用求解，是基础题.
5．D
【分析】
由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式化为，解得答案．
【详解】
解：由函数为奇函数，得，
不等式即为，
又在单调递减，所以得，即，
故选：D.
6．C
【分析】
由函数的单调性和奇偶性可得、的解，转化条件为或，即可得解.
【详解】
因为函数是定义在R上的偶函数，且在上是减函数，，
所以函数在上单调递增，，
所以当时，，当时，，
不等式等价于或，解得或.
所以使的x的取值范围为.
故选：C.
7．B
【分析】
设，，由在上是增函数，则在时单调递增，在上递增，且，从而可求.
【详解】
解：函数是上的增函数，
设，，
由分段函数的性质可知，函数在单调递增，函数在单调递增，且，
，
解得，
故选：B.
【点睛】
考查分段函数在上的单调性，既需要分段考虑，又需要整体考虑，基础题.
8．D
【分析】
由①得函数的周期为2，由②得函数的对称轴为x=1，由③得函数的单调性，综合以上函数的性质可以推理得解.
【详解】
①对于任意的，都有，
所以函数的周期为T=2；
②函数的图象关于轴对称，
所以函数f(x)关于直线对称；
③对于任意的，
都有，
所以函数在单调递增，
因为，
所以.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查函数的周期性、对称性和单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.属于中档题.
9．C
【分析】
①中通过令可求得的值，可知值域包括，①错误；
②根据奇函数的定义可判断出②正确；
③中通过反例可确定在上不满足单调递增的定义，③错误；
④将方程变为，通过验证两个一元二次方程各有两个不等实根，并且不是其中任何一个的根，即可确定方程共有四个不同解，④正确.
【详解】
①中，令，解得：，可知值域含有元素，则①错误
②中，由解析式可知定义域为
又 是奇函数，则②正确
③中，当时，；当时，
可知在上不满足单调递增的定义，则③错误
④由得：，即
整理可得：
与各有两个不等实根
又 不是两个方程的根
方程总有四个不同的解，则④正确
故选
【点睛】
本题考查函数知识的综合应用，涉及到函数值域、奇偶性和单调性的判断、方程根的分布等知识；易错点是在判断单调性时，忽略函数为分段函数的特点，采用并集符号连接单调区间，造成单调性求解错误.
10．D
【分析】
将原问题转化为成立，利用二次函数值域求解方法和奇函数的性质可求得的取值范围；根据二次函数值域和的唯一性，可确定的取值范围；根据两取值范围之间的包含关系，可构造不等式求得结果.
【详解】
对任意，都存在唯一的，使得成立等价于对任意，都存在唯一的，使得成立
当时，
为奇函数 当时，，即
当时，；当时，
具有唯一性
是的子集，解得：
即当时，对任意，都存在唯一的，使得成立
故选：
【点睛】
本题考查函数中的任意与存在性混合命题的求解，涉及到二次函数的性质、函数奇偶性的应用等知识；关键是能够将问题转化为两函数值域之间的包含关系上，通过包含关系构造不等式求得结果.
11．3
【分析】
根据分段函数的解析式，代入即可求得
【详解】
由题意，函数，
可得.
故答案为：.
12．， ，
【分析】
作出函数y=|-x2+2x+1|的图象，结合函数图象写出增区间、减区间即可.
【详解】
作出函数y=|-x2+2x+1|的图像，如图所示，
观察图像得，函数y=|-x2+2x+1|在和上单调递增，在和上单调递减，
所以原函数的单调增区间是，，单调递减区间是，.
故答案为：，；，
13．.
【分析】
对不等式进行参变量分离得到，然后令，，
即可以得到的取值范围.
【详解】
由题意，可知：，可得：
令，.
在上单调减，在上单调增，而，.
.
根据题意
故答案为:.
【点睛】
本题考查能成立问题的解决思路以及参变量分离方法，属中档题.
14．1
【分析】
根据二次函数的值域为，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解.
【详解】
由题意，函数的值域为，
所以满足，解得.
即实数的值为1.
故答案为：1.
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
15．2
【分析】
当时，由对勾函数的性质可判定其顶点处恰好为零点位置；
分类讨论时，由对勾函数的性质确定顶点位置，条件需有4个零点等价转换为顶点值小于4，进而构建不等式解得范围；时不成立；时，由对勾函数的性质确定顶点位置其在x轴处，都成立，最后综上总结即可.
【详解】
当时，，由对勾函数的性质易得，当且仅当时，等号成立，所以函数的零点个数为2个.
当时，由对勾函数的性质易得，当且仅当时，等号成立，
要使有4个零点，则有，解得；
当时，，易知此时函数有2个零点，不符合题意；
当时，函数，当且仅当时，等号成立，所以此时函数有4个零点，
综上所述，实数的取值范围为.
故答案为：2；
【点睛】
本题考查利用函数性质研究函数零点的个数，以及由函数零点个数求参数取值范围，利用对勾函数的性质求解，注意绝对值对函数的值域的影响，属于较难题.
16．（1）f(x)＝－3x2－3x＋18；（2）.
【分析】
（1）结合一元二次方程根与系数关系，由韦达定理解关于的二元一次方程即可；
（）由（1）得f(x)＝－3x2－3x＋18，结合二次函数对称轴与定义域的关系判断值域范围，代值运算即可
【详解】
（1）∵f(x)的两个零点是－3和2，∴－3和2是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的两根，
∴有9a－3(b－8)－a－ab＝0，①　4a＋2(b－8)－a－ab＝0.②　①－②得b＝a＋8.③
将③代入②得4a＋2a－a－a(a＋8)＝0，即a2＋3a＝0.∵a≠0，∴a＝－3，∴b＝a＋8＝5，∴f(x)＝－3x2－3x＋18.
（2）由（1）得f(x)＝－3x2－3x＋18＝－3(x＋)2＋＋18.图像的对称轴是直线x＝－.
∵0≤x≤1，∴f(x)min＝f（1）＝12，f(x)max＝f(0)＝18，∴此时函数f(x)的值域是．
【点睛】
方法点睛：本题考查由一元二次方程的解求解参数，求解定区间上二次函数的值域，需掌握以下方法：
（1）一元二次方程根与系数的关系为：；
（2）定区间上二次函数的值域问题，先确定对称轴，再由图像特征判断定区间上图像的增减性，进一步确定值域.
17．（1）m＝4；（2）奇函数；（3）f(x)在[2，＋∞)上单调递增．
【分析】
（1）（2）代值可求解析式，由定义可求奇偶性；
（3）设，作差法与的大小关系即可.
【详解】
（1）∵函数f(x)的图像过点(1，5)，∴1＋m＝5，∴m＝4.
（2）由（1）知f(x)＝x＋，
∵x≠0，∴f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
∵f(－x)＝－x＋＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
（3）任取，且x1＝x1＋－x2－＝(x1－x2)＋＝.
∵且x14，
∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x)在[2，＋∞)上单调递增．
18．（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）根据题意，设，根据，求得，即可得到函数的解析式；
（2）由函数在区间上不单调，利用二次函数的性质，得到，即可求解；
（3）把区间上，的图象恒在的图象上方，转化为不等式在区间上恒成立，令，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数是二次函数，且，可得函数对称轴为，
又由最小值为1，可设，
又，即，解得，
所以函数的解析式为.
（2）由（1）函数的对称轴为，
要使在区间上不单调，则满足，解得，
即实数的取值范围是.
（3）由在区间上，的图象恒在的图象上方，
可得在区间上恒成立，
化简得在区间上恒成立，
设函数，
则在区间上单调递减
∴在区间上的最小值为，
∴.
【点睛】
本题主要考查了二次函数解析式的求解，以及二次函数的图象与性质综合应用，其中解答中熟练应用二次函数的图象与性质，合理转化是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
19．（1）；（2）
【分析】
（1）分两段解不等式，解得结果即可得解；
（2）求出当时，，再根据函数的单调性求出最小值为，解不等式可得解.
【详解】
（1）由题意，当可得，
当时，，解得，此时；
当时，，解得，此时，
综上可得，
所以病人一次服用9克的药剂，则有效治疗时间可达小时；
（2）当时，，
由，在均为减函数，
可得在递减，即有，
由，可得，可得m的最小值为．
【点睛】
本题考查了分段函数的应用，正确求出分段函数解析式是解题关键，属于中档题.
20．（1）（2）是上的增函数，证明见解析（3）
【分析】
(1)令代入即可.
(2)证明单调性的一般思路是取,且再计算,故考虑取
,代入,再利用当时,总有即可算得的正负,即可证明单调性.
(3)利用将3写成的形式,再利用前两问的结论进行不等式的求解即可.
【详解】
(1)令,得,∴.
(2)是上的增函数,证明：任取,且,则,∴,∴,
即,
∴是上的增函数.
(3)由及,可得,结合（2）知不等式等价于,可得,解得.所以原不等式的解集为.
【点睛】
(1)单调性的证明方法：设定义域内的两个自变量,再计算，若，则为增函数；若，则为减函数．计算化简到最后需要判断每项的正负，从而判断的正负．
(2)利用单调性与奇偶性解决抽象函数不等式的问题,注意化简成的形式,
若在区间上是增函数,则,并注意定义域.
若在区间上是减函数,则,并注意定义域.
21．(1),,;(2)不是精彩函数,证明见解析;(3).
【分析】
(1)由精彩函数的定义,建立等量关系,即可求得符合条件的精彩区间;
(2)判断函数是否满足精彩函数的条件即可.
(3)由函数在定义域上单调递增,然后由有两个不等的实数解,转化为利用根的判别式求解的取值范围.
【详解】
(1)由函数在定义域上为增函数,则由题意可得,解得,所以函数符合条件的精彩区间有:,,.
(2)不是精彩函数,证明如下:
由函数在区间(0,2)上单调递减,在区间(2,+)上单调递增,可得函数在定义域(0,+)上不单调,即不满足精彩函数的第一个条件,所以函数不是精彩函数.
(3)由函数定义域为,且易知函数在定义域上为单调递增函数,
因函数是精彩函数,则需有两个不等的实数解,即方程有两个不等的实数根设为,且,, ,
则令,
由题意得:,
联立解得
【点睛】
本题考查了函数与方程的综合应用,考查了函数基本性质的运用,考查了在给定区间上利用根的判别式判断方程解的问题,属于中档题.
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