2019-2020学年湖南省娄底市双峰县八年级（上）期中数学试卷（Word版 含解析）

2019-2020学年湖南省娄底市双峰县八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）使分式有意义的x的取值范围是（　　）
A．x＝﹣2 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x≠2
2．（3分）如果a＝（﹣2019）0，b＝（﹣0.1）﹣1，c＝（﹣）﹣2，那么a、b、c三数的大小为（　　）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a
3．（3分）下列约分中，正确的是（　　）
A．＝ B．＝0
C．＝x3 D．＝
4．（3分）若关于x的分式方程有增根，则a的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．0或2
5．（3分）以下列长度的三条线段为边，能构成三角形的是（　　）
A．7，8，15 B．15，20，4 C．7，6，18 D．6，7，5
6．（3分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC＝8cm，且△ABD的周长为16cm，则△ABC的周长为（　　）
A．24 cm B．21 cm C．18 cm D．16 cm
7．（3分）将一副三角板ABC如图放置，使点A在DE上，BC∥DE，其中，则∠E＝30°，则∠AFC的度数是（　　）
A．45° B．50° C．60° D．75°
8．（3分）如图，点P是AB上任意一点，∠ABC＝∠ABD，还应补充一个条件，才能推出△APC≌△APD．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出△APC≌△APD的是（　　）
A．BC＝BD B．AC＝AD C．∠ACB＝∠ADB D．∠CAB＝∠DAB
9．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，则BE的长为（　　）
A．5 B．10 C．12 D．13
10．（3分）“绿水青山就是金山银山”，为了加大深圳城市森林覆盖率，市政府决定在2019年3月12日植树节前植树2000棵，在植树400棵后，为了加快任务进程，采用新设备，植树效率比原来提升了25%，结果比原计划提前5天完成所有计划，设原计划每天植树x棵，依题意可列方程（　　）
A．﹣＝5
B．﹣＝5
C．﹣＝5
D．﹣＝5
二.填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（3分）分式，，的最简公分母是　 　．
12．（3分）随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.00000074mm2，这个数用科学记数法表示为　 　．
13．（3分）计算：+＝　 　； （x+y）＝　 　．
14．（3分）已知a﹣＝5，则a2+的值是　 　．
15．（3分）已知x＝1是分式方程＝的根，则实数k＝　 　．
16．（3分）在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为　 　．
17．（3分）已知△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：3：5，则△ABC的最小内角为　 　°．
18．（3分）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，CD⊥AB于D，则∠DCB等于　 　．
三、解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）计算：
（1）
（2）（3x3y﹣2z﹣1）﹣2（5xy﹣2z﹣1）2
20．（8分）解方程
（1）；
（2）．
21．（8分）先化简，再求值：．其中x在下列数0，2，﹣2，1中，选取一个你喜欢的代入．
22．（10分）如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE＝CD．
求证：BD＝DE．
23．（10分）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，点A、D在直线BC的异侧，AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若∠BFD＝150°，求∠ACB的度数．
24．（10分）某项工程如果由乙单独完成比甲单独完成多用6天；如果甲、乙先合做4天后，再由乙单独完成，那么乙一共所用的天数刚好和甲单独完成工程所用的天数相等．求甲单独完成全部工程所用的时间．
25．（12分）如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；
（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
2019-2020学年湖南省娄底市双峰县八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）使分式有意义的x的取值范围是（　　）
A．x＝﹣2 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x≠2
【分析】根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵分式有意义，
∴2x﹣4≠0，
解得x≠2．
故选：D．
2．（3分）如果a＝（﹣2019）0，b＝（﹣0.1）﹣1，c＝（﹣）﹣2，那么a、b、c三数的大小为（　　）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a
【分析】将三个数化简后即可求出答案．
【解答】解：a＝1，b＝（）﹣1＝﹣10，c＝（）2＝，
∴a＞c＞b，
故选：C．
3．（3分）下列约分中，正确的是（　　）
A．＝ B．＝0
C．＝x3 D．＝
【分析】直接利用分式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：A、＝，故此选项错误；
B、，无法化简，故此选项错误；
C、＝x4，故此选项错误；
D、＝，正确．
故选：D．
4．（3分）若关于x的分式方程有增根，则a的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．0或2
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出a的值．
【解答】解：去分母得：2﹣a＝x﹣1，
由分式方程有增根，得到x﹣1＝0，即x＝1，
代入整式方程得：a＝2，
故选：C．
5．（3分）以下列长度的三条线段为边，能构成三角形的是（　　）
A．7，8，15 B．15，20，4 C．7，6，18 D．6，7，5
【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边可得答案．
【解答】解：A、7+8＝15，不能构成三角形，不符合题意；
B、15+4＜20，不能构成三角形，不符合题意；
C、7+6＜18，不能构成三角形，不符合题意；
D、5+6＞7，能构成三角形，符合题意．
故选：D．
6．（3分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC＝8cm，且△ABD的周长为16cm，则△ABC的周长为（　　）
A．24 cm B．21 cm C．18 cm D．16 cm
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∵△ABD的周长为16cm，
∴AB+BD+DA＝AB+BD+DC＝AB+BC＝16cm，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝16+8＝24（cm），
故选：A．
7．（3分）将一副三角板ABC如图放置，使点A在DE上，BC∥DE，其中，则∠E＝30°，则∠AFC的度数是（　　）
A．45° B．50° C．60° D．75°
【分析】先利用平行线的性质得到∠BCE＝∠E＝30°，然后根据三角形外角性质计算∠AFC的度数．
【解答】解：∵BC∥DE，
∴∠BCE＝∠E＝30°，
∵∠B＝45°，
∴∠AFC＝∠B+∠BCF＝45°+30°＝75°．
故选：D．
8．（3分）如图，点P是AB上任意一点，∠ABC＝∠ABD，还应补充一个条件，才能推出△APC≌△APD．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出△APC≌△APD的是（　　）
A．BC＝BD B．AC＝AD C．∠ACB＝∠ADB D．∠CAB＝∠DAB
【分析】根据题意，∠ABC＝∠ABD，AB是公共边，结合选项，逐个验证得出正确结果．
【解答】解：A、补充BC＝BD，先证出△BPC≌△BPD，后能推出△APC≌△APD，故正确；
B、补充AC＝AD，不能推出△APC≌△APD，故错误；
C、补充∠ACB＝∠ADB，先证出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，故正确；
D、补充∠CAB＝∠DAB，先证出△ABC≌△ABD，后能推出△APC≌△APD，故正确．
故选：B．
9．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，则BE的长为（　　）
A．5 B．10 C．12 D．13
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AE＝BE，求出BE长即可．
【解答】解：∵ED垂直平分AB，
∴BE＝AE，
∵AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，
∴12+5+AE＝30，
∴AE＝13，
∴BE＝AE＝13，
故选：D．
10．（3分）“绿水青山就是金山银山”，为了加大深圳城市森林覆盖率，市政府决定在2019年3月12日植树节前植树2000棵，在植树400棵后，为了加快任务进程，采用新设备，植树效率比原来提升了25%，结果比原计划提前5天完成所有计划，设原计划每天植树x棵，依题意可列方程（　　）
A．﹣＝5
B．﹣＝5
C．﹣＝5
D．﹣＝5
【分析】根据题目中的数量关系，可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
＝5，
故选：D．
二.填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（3分）分式，，的最简公分母是　2x（x+1）（x﹣1）　．
【分析】先把分母因式分解，再找出最简分母即可．
【解答】解：∵2x﹣2＝2（x﹣1），
x2+x＝x（x+1），
x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），
∴分式，，的最简公分母是2x（x+1）（x﹣1），
故答案为2x（x+1）（x﹣1）．
12．（3分）随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.00000074mm2，这个数用科学记数法表示为　7.4×10﹣7　．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000 000 74＝7.4×10﹣7；
故答案为：7.4×10﹣7．
13．（3分）计算：+＝　1　； （x+y）＝　　．
【分析】第一个分式先变形为同分母分式相减，再依据法则计算、约分即可得；第二个分式先将分母因式分解，再约分即可得．
【解答】解：+＝﹣＝＝1，
（x+y）＝ （x+y）＝，
故答案为：1，．
14．（3分）已知a﹣＝5，则a2+的值是　27　．
【分析】把已知条件两边平方，然后利用完全平方公式展开整理即可得解．
【解答】解：∵a﹣＝5，
∴（a﹣）2＝25，
即a2﹣2+＝25，
整理得a2+＝27．
故答案为：27．
15．（3分）已知x＝1是分式方程＝的根，则实数k＝　　．
【分析】先将x的值代入已知方程即可得到一个关于k的方程，解此方程即可求出k的值．
【解答】解：将x＝1代入＝得，＝，
解得，k＝．
故答案为：
16．（3分）在△ABC中，∠B＝67°，∠C＝33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为　40°　．
【分析】由内角和定理先求得∠A＝80°，再利用角平分线的定义可求得∠CAD的度数．
【解答】解：
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣67°﹣33°＝80°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD＝∠BAC＝×80°＝40°，
故答案为：40°．
17．（3分）已知△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：3：5，则△ABC的最小内角为　20　°．
【分析】根据比例设三个内角分别为x、3x、5x，然后根据三角形的内角和等于180°列式求解即可．
【解答】解：设三个内角分别为x、3x、5x，
则x+3x+5x＝180°，
解得：x＝20°．
则∠A＝20°，∠B＝60°，∠C＝100°，
∴△ABC的最小内角为20°．
故答案为：20．
18．（3分）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，CD⊥AB于D，则∠DCB等于　20°　．
【分析】由等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，根据等边对等角的性质，即可求得∠ACB的度数，又由CD⊥AB，可求得∠ACD的度数，继而求得答案．
【解答】解：∵等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ACB＝∠B＝＝70°，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD＝90°﹣∠A＝50°，
∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝70°﹣50°＝20°．
故答案为：20°．
三、解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）计算：
（1）
（2）（3x3y﹣2z﹣1）﹣2（5xy﹣2z﹣1）2
【分析】（1）首先计算乘方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
（2）根据幂的乘方与积的乘方的运算方法化简即可．
【解答】解：（1）
＝﹣2﹣2+1+
＝﹣
（2）（3x3y﹣2z﹣1）﹣2（5xy﹣2z﹣1）2
＝x﹣6y4z2×25x2y﹣4z﹣2
＝
20．（8分）解方程
（1）；
（2）．
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：2（2x﹣1）＝3（x﹣3），
去括号得：4x﹣2＝3x﹣9，
移项合并得：x＝﹣7，
经检验x＝﹣7是分式方程的解；
（2）去分母得：x﹣1+2x+2＝4，
移项合并得：3x＝3，
解得：x＝1，
经检验x＝1是增根，分式方程无解．
21．（8分）先化简，再求值：．其中x在下列数0，2，﹣2，1中，选取一个你喜欢的代入．
【分析】直接将括号里面通分运算，进而利用分式的混合运算法则化简得出答案．
【解答】解：原式＝÷
＝÷
＝×
＝，
由题意可得：x≠±2，x≠0，
取x＝1时，原式＝．
22．（10分）如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE＝CD．
求证：BD＝DE．
【分析】根据等边三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝30°，再根据角之间的关系求得∠DBC＝∠CED，根据等角对等边即可得到DB＝DE．
【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°．
∠DBC＝30°（等腰三角形三线合一）．
又∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED．
又∵∠BCD＝∠CDE+∠CED，
∴∠CDE＝∠CED＝∠BCD＝30°．
∴∠DBC＝∠DEC．
∴DB＝DE（等角对等边）．
23．（10分）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，点A、D在直线BC的异侧，AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若∠BFD＝150°，求∠ACB的度数．
【分析】（1）根据BF＝EC，可以得到BC＝EF，然后根据题目中的条件，利用全等三角形的判定即可证明结论成立；
（2）根据邻补角互补和全等三角形的性质可以得到∠ACB的度数．
【解答】（1）证明：∵BF＝EC，
∴BF+FC＝EC+FC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）；
（2）∵∠BFD＝150°，∠BFD+∠DFE＝180°，
∴∠DFE＝30°，
由（1）知，△ABC≌△DEF，
∴∠ACB＝∠DFE，
∴∠ACB＝30°．
24．（10分）某项工程如果由乙单独完成比甲单独完成多用6天；如果甲、乙先合做4天后，再由乙单独完成，那么乙一共所用的天数刚好和甲单独完成工程所用的天数相等．求甲单独完成全部工程所用的时间．
【分析】利用总工作量为1，分别表示出甲、乙完成的工作量进而得出等式求出答案．
【解答】解：设甲单独完成全部工程所用的时间为x天，则乙单独完成全部工程所用的时间为（x+6）天，根据题意得，
+＝1，
解得，x＝12，
经检验，x＝12是原方程的解，
答：甲单独完成全部工程所用的时间为12天．
25．（12分）如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；
（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP＝∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°得出结论即可；
（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC＝BP，AP＝BQ，②AC＝BQ，AP＝BP，建立方程组求得答案即可．
【解答】解：（1）当t＝1时，AP＝BQ＝1，BP＝AC＝3，
又∵∠A＝∠B＝90°，
在△ACP和△BPQ中，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）．
∴∠ACP＝∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．
∴∠CPQ＝90°，
即线段PC与线段PQ垂直．
（2）①若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BP，AP＝BQ，
，
解得
；
②若△ACP≌△BQP，
则AC＝BQ，AP＝BP，
，
解得
；
综上所述，存在
或
使得△ACP与△BPQ全等．