2021-2022学年山东省菏泽市牡丹区九年级（上）第一次月考数学试卷（Word版 含解析）

2021-2022学年山东省菏泽市牡丹区九年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号填在答题卡的相应区域．）
1．（3分）一元二次方程x2＝2x的根为（　　）
A．x＝0 B．x＝2 C．x＝0或x＝2 D．x＝0或x＝﹣2
2．（3分）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的根，则该三角形的周长为（　　）
A．8 B．10 C．8或10 D．12
3．（3分）已知关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣2，则另一个根为（　　）
A．5 B．﹣1 C．2 D．﹣5
4．（3分）平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（　　）
A．AB＝BC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD
5．（3分）如图， ABCD的周长为16cm，AC与BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为（　　）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
6．（3分）如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，若∠DHO＝20°，则∠ADC的度数是（　　）
A．120° B．130° C．140° D．150°
8．（3分）如图，正方形ABCD边长为6，E是BC的中点，连接AE，以AE为边在正方形内部作∠EAF＝45°，边AF交CD于F，连接EF．则下列说法正确的有（　　）
①∠EAB＝30°；②BE+DF＝EF；③tan∠AFE＝3；④S△CEF＝6．
A．①②③ B．②④ C．①④ D．②③④
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，请把最后结果填写在答题卡的相应区域内．）
9．（3分）若a是方程2x2﹣4x+1＝0的一个根，则代数式2021﹣2a2+4a的值为 　 　．
10．（3分）对于实数a，b，定义运算“ ”：a b＝a2﹣5a+2b，例如：4 3＝42﹣5×4+2×3＝2．根据此定义，则方程x 3＝0的根为　 　．
11．（3分）关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　．
12．（3分）“武汉樱花节”观赏人数逐年增加据有关部门统计，2014年约为30万人次，2016年约为43.2万人次，则观赏人数年均增长率为　 　．
13．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于 　 　．
14．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为　 　．
三、解答题（本大题共58分，请把解答过程写在答题卡的相应区域内．）
15．（16分）解方程：
（1）x2+4x﹣1＝0（配方法）；
（2）5x2＝4﹣2x；
（3）3（x﹣3）2＝6﹣2x；
（4）（x﹣1）（x+2）＝4．
16．（7分）已知关于x的方程mx2+（3﹣m）x﹣3＝0（m为实数，m≠0）．
（1）求证：此方程总有两个实数根．
（2）如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m的值．
17．（7分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）证明四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．
18．（8分）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？
19．（8分）阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0①，解得y1＝1，y2＝4，
当y＝1，x2＝1时，∴x＝±1；
当y＝4，x2＝4时，∴x＝±2；
原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2，
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用　 　法达到降次的目的，体现了数学的转化思想．
（2）试用上述方法解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0．
20．（12分）已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．
（1）如图①，当点D在线段BC上时，
①求证：BC⊥CF；
②BC，CD，CF之间的数量关系为 　 　；（将结论直接写在横线上）
（2）如图②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出正确结论并给予证明；
（3）如图②，若AF与BC相交于点G，AB＝2，CF＝2，求正方形ADEF的边长．
2021-2022学年山东省菏泽市牡丹区九年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号填在答题卡的相应区域．）
1．（3分）一元二次方程x2＝2x的根为（　　）
A．x＝0 B．x＝2 C．x＝0或x＝2 D．x＝0或x＝﹣2
【分析】移项后利用因式分解法求解可得．
【解答】解：∵x2＝2x，
∴x2﹣2x＝0，
则x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝0，x2＝2，
故选：C．
2．（3分）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的根，则该三角形的周长为（　　）
A．8 B．10 C．8或10 D．12
【分析】用因式分解法可以求出方程的两个根分别是4和2，根据等腰三角形的三边关系，腰应该是4，底是2，然后可以求出三角形的周长．
【解答】解：x2﹣6x+8＝0
（x﹣4）（x﹣2）＝0
∴x1＝4，x2＝2，
由三角形的三边关系可得：
腰长是4，底边是2，
所以周长是：4+4+2＝10．
故选：B．
3．（3分）已知关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣2，则另一个根为（　　）
A．5 B．﹣1 C．2 D．﹣5
【分析】根据关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决．
【解答】解：∵关于x的方程x2+3x+a＝0有一个根为﹣2，设另一个根为m，
∴﹣2+m＝，
解得，m＝﹣1，
故选：B．
4．（3分）平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（　　）
A．AB＝BC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD
【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形判断．
【解答】解：A、是邻边相等，可得到平行四边形ABCD是菱形，故不符合题意；
B、是对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故符合题意；
C、是对角线互相垂直，可得到平行四边形ABCD是菱形，故不符合题意；
D、无法判断．
故选：B．
5．（3分）如图， ABCD的周长为16cm，AC与BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为（　　）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【分析】由 ABCD的周长为16cm，即可求得AD+CD＝8cm，又由OE⊥AC，可得DE是线段AC的垂直平分线，即可得AE＝EC，继而可得△DCE的周长等于AD+CD的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，OA＝OC，
∵ ABCD的周长为16cm，
∴AD+CD＝8cm，
∵OA＝OC，OE⊥AC，
∴EC＝AE，
∴△DCE的周长为：DE+EC+CD＝DE+AE+CD＝AD+CD＝8（cm）．
故选：C．
6．（3分）如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】先根据翻折变换的性质得出CD＝C′D，∠C＝∠C′＝90°，再设DE＝x，则AE＝8﹣x，由全等三角形的判定定理得出Rt△ABE≌Rt△C′DE，可得出BE＝DE＝x，在Rt△ABE中利用勾股定理即可求出x的值，进而得出DE的长．
【解答】解：∵Rt△DC′B由Rt△DBC翻折而成，
∴CD＝C′D＝AB＝8，∠C＝∠C′＝90°，
设DE＝x，则AE＝8﹣x，
∵∠A＝∠C′＝90°，∠AEB＝∠DEC′，
∴∠ABE＝∠C′DE，
在Rt△ABE与Rt△C′DE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△C′DE（ASA），
∴BE＝DE＝x，
在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，
∴42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
∴DE的长为5．
故选：C．
7．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，若∠DHO＝20°，则∠ADC的度数是（　　）
A．120° B．130° C．140° D．150°
【分析】由四边形ABCD是菱形，可得OB＝OD，AC⊥BD，又由DH⊥AB，∠DHO＝20°，可求得∠OHB的度数，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得△OBH是等腰三角形，继而求得∠ABD的度数，然后求得∠ADC的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，AC⊥BD，∠ADC＝∠ABC，
∵DH⊥AB，
∴OH＝OB＝BD，
∵∠DHO＝20°，
∴∠OHB＝90°﹣∠DHO＝70°，
∴∠ABD＝∠OHB＝70°，
∴∠ADC＝∠ABC＝2∠ABD＝140°，
故选：C．
8．（3分）如图，正方形ABCD边长为6，E是BC的中点，连接AE，以AE为边在正方形内部作∠EAF＝45°，边AF交CD于F，连接EF．则下列说法正确的有（　　）
①∠EAB＝30°；②BE+DF＝EF；③tan∠AFE＝3；④S△CEF＝6．
A．①②③ B．②④ C．①④ D．②③④
【分析】延长CB到G，使BG＝DF，连接AG，证明△ABG≌△ADF，即可证得AG＝AF，∠DAF＝∠BAG，再证明△AEG≌△AEF，根据全等三角形的对应边相等即可得出结论．
【解答】解：延长CB到G，使BG＝DF，连接AG．如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABE＝∠D＝90°，
∴∠ABG＝90°＝∠D，
在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG＝AF，∠1＝∠2，
又∵∠EAF＝45°，∠DAB＝90°，
∴∠2+∠3＝45°，
∴∠1+∠3＝45°，
∴∠GAE＝∠EAF＝45°．
在△AEG和△AEF中，
，
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴GE＝EF，
∵GE＝BG+BE，DF＝BG，
∴EF＝DF+BE，故②正确，
∵BE＝EC＝3，AB＝6，
∴tan∠3＝，
∴∠3≠30°，故①错误，
设DF＝x，则EF＝x+3，
在Rt△EFC中，∵EF2＝CF2+EC2，
∴（x+3）2＝32+（6﹣x）2，
∴x＝2，
∴DF＝BG＝2，
∴tan∠AFE＝tanG＝＝3，故③正确，
∴S△CEF＝ CE CF＝×3×4＝6，故④正确．
故选：D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，请把最后结果填写在答题卡的相应区域内．）
9．（3分）若a是方程2x2﹣4x+1＝0的一个根，则代数式2021﹣2a2+4a的值为 　2022　．
【分析】把x＝a代入已知方程，并求得2a2﹣4a+1＝0，然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可．
【解答】解：把x＝a代入2x2﹣4x+1＝0，得2a2﹣4a+1＝0，
变形得2a2﹣4a＝﹣1，
∴2021﹣2a2+4a＝2021﹣（2a2﹣4a）＝2021﹣（﹣1）＝2022．
故答案为：2022．
10．（3分）对于实数a，b，定义运算“ ”：a b＝a2﹣5a+2b，例如：4 3＝42﹣5×4+2×3＝2．根据此定义，则方程x 3＝0的根为　x1＝2，x2＝3　．
【分析】直接利用新定义运算公式将原式变形，进而解方程得出答案．
【解答】解：x 3＝0，
则x2﹣5x+6＝0，
（x﹣2）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝2，x2＝3．
故答案为：x1＝2，x2＝3．
11．（3分）关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　k＞﹣1且k≠0　．
【分析】由方程有两个不等实数根可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】解：由已知得：，
即，
解得：k＞﹣1且k≠0．
故答案为：k＞﹣1且k≠0．
12．（3分）“武汉樱花节”观赏人数逐年增加据有关部门统计，2014年约为30万人次，2016年约为43.2万人次，则观赏人数年均增长率为　20%　．
【分析】设观赏人数年均增长率为x，根据2014及2016年的观赏人次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设观赏人数年均增长率为x，
根据题意得：30（1+x）2＝43.2，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：观赏人数年均增长率为20%．
故答案为：20%．
13．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于 　　．
【分析】根据菱形性质求出AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，根据勾股定理求出AB，再根据菱形的面积公式求出即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝OC，BO＝OD，AC⊥BD，
∵AC＝8，DB＝6，
∴AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，
由勾股定理得：AB＝＝5，
∵S菱形ABCD＝×AC×BD＝AB×DH，
∴×8×6＝5DH，
∴DH＝，
故答案为：．
14．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为　6　．
【分析】连接BD，DE，根据正方形的性质可知点B与点D关于直线AC对称，故DE的长即为BQ+QE的最小值，进而可得出结论．
【解答】解：连接BD，DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于直线AC对称，
∴DE的长即为BQ+QE的最小值，
∵DE＝BQ+QE＝＝＝5，
∴△BEQ周长的最小值＝DE+BE＝5+1＝6．
故答案为：6．
三、解答题（本大题共58分，请把解答过程写在答题卡的相应区域内．）
15．（16分）解方程：
（1）x2+4x﹣1＝0（配方法）；
（2）5x2＝4﹣2x；
（3）3（x﹣3）2＝6﹣2x；
（4）（x﹣1）（x+2）＝4．
【分析】（1）利用配方法求解可得；
（2）利用公式法求解可得；
（3）整理后因式分解法求解可得；
（4）整理后因式分解法求解可得．
【解答】解：（1）x2+4x﹣1＝0，
x2+4x＝1，
x2+4x+4＝1+4，即（x+2）2＝5，
∴x+2＝±
∴x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；
（2）5x2＝4﹣2x，
5x2+2x﹣4＝0，
∵a＝5，b＝2，c＝﹣4，
∴△＝4﹣4×5×（﹣4）＝84＞0，
∴x＝＝，
∴，；
（3）3（x﹣3）2＝6﹣2x，
3（x﹣3）2+2（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（3x﹣9+2）＝0，
∴x﹣3＝0或3x﹣7＝0，
∴，x2＝3；
（4）（x﹣1）（x+2）＝4，
x2+x﹣6＝0，
（x﹣2）（x+3）＝0，
∴x﹣2＝0或x+3＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣3．
16．（7分）已知关于x的方程mx2+（3﹣m）x﹣3＝0（m为实数，m≠0）．
（1）求证：此方程总有两个实数根．
（2）如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m的值．
【分析】（1）根据判别式即可求出答案．
（2）由求根公式即可求出m的值．
【解答】解：（1）Δ＝（3﹣m）2﹣4m×（﹣3）
＝m2﹣6m+9+12m
＝m2+6m+9
＝（m+3）2≥0
∴此方程总有两个不相等的实数根．
（2）由求根公式，得，
∴x1＝1，（m≠0）．
∵此方程的两个实数根都为正整数，
∴整数m的值为﹣1或﹣3．
17．（7分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）证明四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．
【分析】（1）首先根据题意画出图形，由E是AD的中点，AF∥BC，易证得△AFE≌△DBE，即可得AF＝BD，又由在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，可得AD＝BD＝CD＝AF，证得四边形ADCF是平行四边形，继而判定四边形ADCF是菱形；
（2）首先连接DF，易得四边形ABDF是平行四边形，即可求得DF的长，然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，求得答案．
【解答】（1）证明：如图，∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE＝DE，BD＝CD，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
∴AF＝DB．
∵DB＝DC，
∴AF＝CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝DC＝BC，
∴四边形ADCF是菱形；
（2）解：连接DF，
∵AF∥BC，AF＝BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF＝AB＝5，
∵四边形ADCF是菱形，
∴S＝AC DF＝10．
18．（8分）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？
【分析】（1）根据日利润＝每件利润×日销售量，可求出售价为60元时的原利润，设售价应定为x元，则每件的利润为（x﹣40）元，日销售量为20+＝（140﹣2x）件，根据日利润＝每件利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）设该商品需要打a折销售，根据销售价格不超过50元，列出不等式求解即可．
【解答】解：（1）设售价应定为x元，则每件的利润为（x﹣40）元，日销售量为20+＝（140﹣2x）件，
依题意，得：（x﹣40）（140﹣2x）＝（60﹣40）×20，
整理，得：x2﹣110x+3000＝0，
解得：x1＝50，x2＝60（舍去）．
答：售价应定为50元；
（2）该商品需要打a折销售，
由题意，得，62.5×≤50，
解得：a≤8，
答：该商品至少需打8折销售．
19．（8分）阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0①，解得y1＝1，y2＝4，
当y＝1，x2＝1时，∴x＝±1；
当y＝4，x2＝4时，∴x＝±2；
原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2，
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用　换元　法达到降次的目的，体现了数学的转化思想．
（2）试用上述方法解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0．
【分析】（1）利用换元法把高次方程转化为二次方程；
（2）设x2+x＝y，原方程可变为y2﹣4y﹣12＝0，解得y1＝6，y2＝﹣2，则原方程转化为x2+x＝6和x2+x+2＝0，然后解两个一元二次方程即可．
【解答】解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想；
故答案为换元；
（2）设x2+x＝y，原方程可变为y2﹣4y﹣12＝0，解得y1＝6，y2＝﹣2，
当y＝6时，x2+x＝6，
即（x+3）（x﹣2）＝0，解得x1＝﹣3，x2＝2；
当y＝﹣2时，x2+x＝﹣2，即x2+x+2＝0，Δ＝12﹣4×2＝﹣7＜0，方程没有实数解；
所以原方程的根为：x1＝﹣3，x2＝2．
20．（12分）已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．
（1）如图①，当点D在线段BC上时，
①求证：BC⊥CF；
②BC，CD，CF之间的数量关系为 　BC＝CF+CD　；（将结论直接写在横线上）
（2）如图②，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出正确结论并给予证明；
（3）如图②，若AF与BC相交于点G，AB＝2，CF＝2，求正方形ADEF的边长．
【分析】（1）①根据SAS证△DAB≌△FAC，可得出∠ACB+∠ACF＝45°+45°＝90°，即可证明结论；
②由△DAB≌△FAC得出CF＝BD，即可得出BC＝CF+CD；
（2）根据SAS证△DAB≌△FAC，可得出∠BCF＝∠ACF﹣∠ACB＝135°﹣45°＝90°，即可证CF⊥BC，由CD＝DB+BC，DB＝CF，得出CD＝CF+BC即可；
（3）过点A向CD做垂线交BC于点H，根据勾股定理分别求出AH和DH，再利用勾股定理求出AD即可．
【解答】解：（1）①证明：正方形ADEF中，AD＝AF，
∵∠BAC＝∠DAF＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△DAB与△FAC中，
，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴∠ABC＝∠ACF，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ACB+∠ACF＝45°+45°＝90°，
即BC⊥CF；
②∵△DAB≌△FAC，
∴CF＝BD，
∵BC＝BD+CD，
∴BC＝CF+CD，
故答案为：BC＝CF+CD；
（2）CF⊥BC成立；BC＝CD+CF不成立，CD＝CF+BC．理由如下：
∵正方形ADEF中，AD＝AF，
∴∠BAC＝∠DAF＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△DAB与△FAC中，
，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴∠ABC＝∠ACF，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
∴∠ABD＝180°﹣45°＝135°，
∴∠BCF＝∠ACF﹣∠ACB＝135°﹣45°＝90°，
∴CF⊥BC，
∵CD＝DB+BC，DB＝CF，
∴CD＝CF+BC．
（3）过点A向CD做垂线交BC于点H，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴三角形ABC是等腰直角三角形，
∴，
∵，
在Rt△ABC中，，
∴BH＝2，
在Rt△AHB中，，
∵CF＝2，
∴BD＝2，
∴DH＝BD+BH＝4，
在Rt△AHD中，，
∴正方形ADEF的边长为．