2021-2022学年数学人教B版（2019）必修第二册6.2.2直线上向量的坐标及其运算导学案

6.2.2直线上向量的坐标及其运算
学习目标
课标要求 素养要求
1.理解直线上向量的坐标的定义. 2.掌握直线上向量的运算与坐标的关系. 3.会求数轴上两点之间的距离及中点坐标. 　　通过对直线上向量的坐标定义的理解,提升学生的数学抽象、直观想象素养;通过直线上向量坐标的运算,提升学生的数学运算素养.
自主预习
1.如图,已知向量a长度为1.
(1)那么向量a与向量b和c是什么关系
(2)向量b和c用a怎么表示
2.数轴是怎样定义的
3.画一条数轴,在轴上作出两个坐标相反的点.
我们已学过了数轴上点的坐标,如图
问题1　点A,B的坐标分别是什么
问题2　向量,的长度分别是多少
问题3　如果向量e是与轴方向相同的单位向量,如何用e表示,
问题4　如果点A(x1),B(x2),又怎么办呢
课堂探究
一、直线上向量的坐标的定义
给定一条直线l以及这条直线上一个单位向量e,一定存在唯一的实数x,使得a=xe,此时,　　　　　称为向量a的坐标.
如果直线上向量a的坐标为x,此时|a|=|xe|=|x||e|=|x|;
当x>0时,a的方向与e的方向　　　　　;
当x=0时,a为　　　　　;
当x<0时,a的方向与e的方向　　　　　.
题型一　直线上的向量坐标
例1　已知e是直线l上的一个单位向量,向量a与b都是直线l上的向量,分别在下列条件下写出a与b的坐标:
(1)a=2e,b=-3e;(2)a=-e,b=4e.
训练1　如图所示,求出向量a,b的坐标.
思考:如何得出直线上向量的坐标呢
二、直线上向量的运算与坐标的关系
我们已学过了数轴上点的坐标,如图
问题1　向量+坐标是多少
问题2　如果A(x1),B(x2)又怎么办呢
问题3　以小组为单位总结如下问题,若a,b的坐标分别为x1,x2,则
a+b的坐标为　　　　　;
a-b的坐标为　　　　　;
λa的坐标为　　　　　;
ua+vb的坐标为　　　　　;
ua-vb的坐标为　　　　　.
学生总结:(1)假设直线上两个向量a,b的坐标分别为x1,x2,当a=b时,　　　　　;反之,结论也成立.
(2)a+b的坐标是　　　　　,a-b的坐标是　　　　　,ua+vb的坐标是　　　　　,ua-vb的坐标是　　　　　.
题型二　直线上向量坐标的线性运算
例2　已知直线上向量a的坐标为-3,b的坐标为4,求下列向量的坐标:
(1)a-b;(2)b;(3)-2a+3b.
我们已学过了数轴上点的坐标,如图
问题1　,对应的坐标分别是多少
问题2　如果点A(x1),B(x2),又怎么办呢
问题3　与两者顺序有关吗
如果已知数轴上点A(x1),B(x2),则以两点为端点的向量的坐标如何表示
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.
训练2　已知A,B都是数轴上的点,A(-3),且的坐标为-5,求点B的坐标.
三、数轴上两点之间的距离公式与中点坐标公式
我们已学过了数轴上点的坐标,如图
问题1　,对应的长度分别是多少
问题2　AB的中点坐标是多少
问题3　如果点A(x1),B(x2),又怎么办呢
学生总结数轴上两点之间的距离公式与数轴上的中点坐标公式.
设A(x1),B(x2)是数轴上两点,M(x)是线段AB的中点,则AB=||=　　　　　.x=　　　　　　　　　　.
题型三　数轴上两点之间的距离公式与中点坐标公式
例3　已知A,B,C为数轴上三点,且xA=-2,xB=6,试求符合下列条件的点C的坐标.
(1)AC=10;
(2)||=3||.
训练3　设数轴上两点A,B的坐标分别为2,-6,求:
(1)向量的坐标以及点A与B的距离;
(2)线段AB中点的坐标.
课堂练习
1.已知直线上,的坐标分别为-1,2,则下列结论不正确的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.< B.||<||
C.||=3 D.AB的中点坐标为
2.数轴上的向量a的模为1,则a的坐标为(　　)
A.1 B.-1
C.±1 D.不能确定
3.数轴上点A(-3)关于点M(2)的对称点为B(x),则x=　　　　　.
4.已知a,b是直线上的向量,a的坐标为1,且|3a-2b|=1,求b的坐标.
核心素养专练
基础达标
1.已知a,b是直线上的向量,满足|a-b|=1的是 (　　)
A.a,b的坐标分别为-1,+1
B.a,b的坐标分别为0,2
C.a,b的坐标分别为-1,0
D.a,b的坐标分别为-2,0
2.已知a,b是数轴上的向量,且满足|a+b|=|a|+|b|,下列叙述正确的是(　　)
A.a,b都与数轴正方向相同
B.a,b都与数轴正方向相反
C.a,b中一个与数轴正方向相同,另一个与数轴正方向相反
D.a,b都与数轴的正方向相同或相反,或者a,b中至少有一个为零向量
3.数轴上,点A(-2)关于原点O的对称点是点B(x),点O与点C(y)的中点是B.则y=　　　　　.
4.如图所示,求出直线上向量a,b的坐标.
5.设数轴上两点A,B的坐标分别为-1,3,求:
(1)向量的坐标以及点A与B的距离;
(2)线段AB中点的坐标.
能力提升
6.已知a,b是直线上的向量,满足2a+3b=e的一组向量a,b的坐标分别为　　　　　.(答案不唯一)
创新猜想
7.(多选题)已知a,b是同一直线上的向量,下列选项中一定不成立的是(　　)
A.||a|-|b||<|a+b|
B.||a|-|b||<|a-b|<|a|+|b|
C.|a+b|=|a-b|
D.|a|+|b|=|a+b|
参考答案
　　自主预习
略
课堂探究
一、x　相同　零向量　相反
例1　解:(1)∵e的坐标为1,又a=2e,b=-3e,
∴a的坐标为2,b的坐标为-3.
(2)∵e的坐标为1,又a=-e,b=4e,
∴a的坐标为-,b的坐标为4.
训练1　解:因为向量a的起点在原点,因此由a的终点坐标可知a的坐标为-1;把向量b的起点平移到原点,则其终点坐标为2,故b的坐标为2.
思考:略
二、略
例2　解:(1)a-b的坐标为-3-4=-7.
(2)b的坐标为×4=.
(3)-2a+3b的坐标为(-2)×(-3)+3×4=18.
问题略
训练2　解:设点B(x),则x-(-3)=-5,∴x=-8.
三、略
例3　解:(1)∵AC=10,∴|xC-xA|=10,∴xC=xA±10,
∴xC=-12或8.
(2)∵||=3||,∴|xC-xA|=3|xC-xB|,
即|xC+2|=3|xC-6|,∴xC+2=3(xC-6)或xC+2=-3(xC-6),∴xC=10或4.
训练3　解:(1)由题意得的坐标为2,的坐标为-6,又因为=-,所以的坐标为-6-2=-8,而且AB=||=|-8|=8.
(2)设线段AB中点的坐标为x,则x==-2.
课堂练习
1.A
2.解析:设a的坐标为x,
∵|a|=1,∴|xe|=|x||e|=|x|=1,∴x=±1.
答案:C
3.解析:由题意知M是AB的中点,∴2=,x=7.
答案:7
4.解:设b的坐标为x,则|3×1-2x|=1,即3-2x=±1,
∴x=1或x=2,即向量b的坐标为1或2.
核心素养专练
1.解析:利用直线上向量的运算验证,易知C正确.
答案:C
2.解析:设a,b的坐标分别为x,y,则|x+y|=|x|+|y|,所以x,y同号或至少有一个为零,故选D.
答案:D
3.解析:由题意知0=,∴x=2,
x=2=,∴y=4.
答案:4
4.解:因为a的始点在原点,因此由a的终点坐标可知a的坐标为2.
因为b=-4e,所以b的坐标为-4.
5.解:(1)向量的坐标为3-(-1)=4,
AB=||=4.
(2)线段AB的中点坐标为=1.
6.解析:设a,b的坐标分别为x,y,则2x+3y=1,令x=,则y=0.
答案:,0(答案不唯一)
7.解析:∵a与b共线,∴A,B一定不成立;对C,当b=0时成立;对D,当a,b同方向或a,b有一个为0时成立.
答案:AB