高中数学新课标人教A版 必修五： 一元二次不等式及其解法习题课 课件

(共30张PPT)
第2课时　一元二次不等式及其解法习题课
1.掌握一元二次不等式的解法．
2.会解与一元二次不等式有关的恒成立问题和实际应用问题．
1.一元二次不等式的应用是本课的热点．
2.多以解答题形式考查，属中低档题目．
若关于x的不等式ax2＋2x＋2＞0在R上恒成立，求实数a的取值范围．
题目给出的不等式疑似一元二次不等式，需讨论a＝0和a≠0两种情况．当a≠0时，由二次函数的图象可知，要使不等式在R上恒成立，只需a＞0且Δ＜0.
1.本例中若把不等式改为：“(a2－1)x2－(a－1)x－1＜0在R上恒成立”，求a的取值范围．
由题目可获取以下主要信息：
①不等式中含有参数；
②不等式解集已知．
解答本题可先判断二次项系数的符号，然后根据三个二次之间的关系求字母的取值，再进一步求解．
汽车在行驶时，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要因素．在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：
s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.
试判断甲、乙两车有无超速现象，并根据所学数学知识给出判断的依据．
由题目可获取以下主要信息：
①限速40 km/h；②刹车距离s甲＞12 m，s乙＞10 m；
③刹车距离s甲、s乙与车速关系确定．
解答本题可将刹车距离直接代入关系式分别得到一个关于x的一元二次不等式，解此不等式即可求出x的范围，即汽车刹车前的车速范围．
[规范作答]　由题意，对于甲车，有0.1x＋0.01x2＞12，2分
即x2＋10x－1 200＞0.
解得x＞30或x＜－40(舍去).4分
这表明甲车的车速超过30 km/h，但根据题意刹车距离略超过12 m，由此估计甲车不会超过限速40 km/h.6分
对于乙车，有0.05x＋0.005x2＞10，8分
即x2＋10x－2 000＞0.
解得x＞40或x＜－50(舍去).10分
这表明乙车的车速超过40 km/h，超过规定限速.12分
[题后感悟]　(1)实际应用问题是新课标下考查的重点，突出了应用能力的考查，在不等式应用题中常以函数模型出现，如一元二次不等式应用题常以二次函数为模型．解题时要弄清题意，准确找出其中不等关系再利用不等式解法求解．
(2)解不等式应用题，一般可按如下四步进行：
①阅读理解、认真审题、把握问题中的关键量、找准不等关系；
②引进数学符号，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)；
③解不等式(或求函数最值)；
④回扣实际问题．　
3.国家为了加强对烟酒生产的宏观调控，实行征收附加税政策，现知某种酒每瓶70元，不加收附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税R元(叫做税率R%)，则每年的销售将减少10R万瓶，要使每年在此项经营中所收附加税金不少于112万元，问R应怎样确定？
解析：　设产销量为每年x万瓶，则销售收入为每年70x万元，
从中征收的税金为70x·R%万元，其中x＝100－10R.
由题意，得70(100－10R)R%≥112，
整理，得R2－10R＋16≤0.
∵Δ＝36＞0，方程R2－10R＋16＝0的两个实数根为x1＝2，x2＝8.
然后画出二次函数y＝R2－10R＋16的图象，由图象得不等式的解集为{R|2≤R≤8}．
答：当2≤R≤8时，每年在此项经营中所收附加税金不少于112万元．
一元二次不等式的解集与二次函数和二次方程之间的关系：
(1)从函数观点看(以a>0的二次函数为例)
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的值满足y>0时的自变量x组成的集合，同时也是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合，而一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标．
(3)当一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集为R时，意味着ax2＋bx＋c>0恒成立．由图象可知：关于这类恒成立问题只需考虑开口方向和判别式Δ即可，而不必利用最值转化的思路求解．
[注意]　解一元二次不等式时，要将二次不等式以及与其对应的二次方程、二次函数的图象联系起来，真正做到“数形结合”．
◎若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
【错因】　当a－2＝0时，原不等式不是一元二次不等式，不能应用根的判别式．
练考题、验能力、轻巧夺冠