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新人教A版 必修5 题型冲关训练
1.1.1 正弦定理
题型一：已知两角和一边解三角形
【例题1】在△ABC中，,,,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D；
【解析】由正弦定理知，故==
【训练1】在△ABC中，已知A=45°，B=30°，c=10，则b=______________.
【答案】；
【提示】利用正弦定理，，，所以
【训练2】在△ABC中，A=75°，B=45°，，解此三角形.
【解析】C=180°―A―B=180°―75°―45°=60°.
由正弦定理知
===.
同理==2.
【训练3】在△ABC中，已知中，求，及△ABC的面积S
【解析】依正弦定理：＝，∴，代入已知条件，
∵，又＝，
∴（或因为∠C＝∠A，△ABC为等腰三角形，所以）∴
【训练4】在中，已知,，解此三角形。
【解析】由正弦定理，即，解得，
由,，及可得，
又由正弦定理，即，解得
【训练5】在△ABC中，已知a＝5，B＝105°，C＝15°，则此三角形的最大边的长为________．
【答案】；
【解析】在△ABC中，大角对大边，故b为最大边长，A＝180°－(B＋C)＝
180°－(105°＋15°)＝60°.
据正弦定理b＝＝＝.
题型二：已知两边和其中一边的对角解三角形
【例题2】在中，，，，求角、和边.
【解析】由正弦定理：得，
， 或.当时，
，，
当时，，，
所以，，或，，.
【训练1】在△ABC中，已知a＝5，c＝10，A＝30°，则B＝( )
A．105° B．60°
C．15° D．105°或15°
【答案】D；
【解析】由正弦定理，得sin C＝＝＝.
∵a
∴B＝180°－(A＋C)，∴B＝105°或15°.故选D.
【训练2】在中，已知，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B；
【解析】由正弦定理可得，带入可得，由于，所以，，又由正弦定理带入可得
【训练3】在中，已知,解此三角形。
【解析】由正弦定理，即，解得，
因为，所以或，
当时，，为直角三角形，此时；
当时，，，所以。
【训练4】已知中,的对边分别为,若且,则( )
A.2 B．4＋ C．4— D．
【解析】.
由可知,,所以,.
由正弦定理得,故选A.
【训练5】在△ABC中,若,,,则的大小为___________.
【答案】；
【解析】，所以，因为，所以，又因为,故.
题型三：利用正弦定理判断三角形的形状
【例题3】若△ABC的边角满足，则△ABC的形状是（ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
【答案】D；
【解法】利用正弦定理化为角的关系可得
，
所以，
即，
即，
所以，结合角的范围知或，即或，即或，可知△ABC为等腰或直角三角形.
【训练1】若，则△ABC的形状为（ ）
A.等边三角形 B.等腰直角三角形
C.有一个角为30°的直角三角形 D.有一个角为30°的等腰三角形
【答案】B；
【解析】由题意知，又，故，同理，所以△ABC为等腰直角三角形.
【训练2】已知，在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC，试判断△ABC的形状．
【解析】由已知(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin C，
得b2[sin(A－B)＋sin C]＝a2[sin C－sin(A－B)]，
即b2sin Acos B＝a2cos Asin B，
即sin2Bsin Acos B＝sin2Acos Bsin B，所以sin 2B＝sin 2A，
由于A，B是三角形的内角．故0＜2A＜2π，0＜2B＜2π.
故只可能2A＝2B或2A＝π－2B，
即A＝B或A＋B＝，故△ABC为等腰三角形或直角三角形．
【训练3】在△ABC中，如果，且B为锐角，试判断此三角形的形状。
【解析】因为，所以，又因为B是锐角，所以
因为，所以，由正弦定理得，
即
所以cosC＝0，所以 所以 所以△ABC是等腰直角三角形。
【训练4】在中，已知，，则的形状是（ ）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
解析：由可得，所以，即或，又由及可知，所以为等边三角形。
【训练5】在△ABC中，若＝＝，试判断三角形的形状．
【解析】由正弦定理知＝＝，
∴sin Acos A＝sin Bcos B，∴sin 2A＝sin 2B，
∴2A＝2B或2A＋2B＝π，∴A＝B或A＋B＝.
又∵>1，∴B>A，∴△ABC为直角三角形．
题型四：判断三角形的解的个数
【例题4】如果满足，，的△ABC恰有一个，那么的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.或
【答案】D；
【解析】当即时，三角形只有一个；当时，三角形也只有一个.
【训练1】在△ABC中，已知A=30°，a=8，b=则三角形的面积为（ ）
A. B.16 C.或16 D.或
【答案】D；
【解析】由正弦定理，，所以；又因为，
所以或者，所以或者，所以，得
或。
【训练2】不解三角形，确定下列判断中正确的是（ ）
A. ，有两解 B. ,有一解
C. ，有两解 D. ，无解
【答案】B；
【解析】利用三角形中大角对大边，大边对大角定理判定解的个数可知选Ｂ。
【训练3】在△ABC中，若，且,则A等于
【答案】；
【解析】由于，结合正弦定理知
∵在△ABC中，故，∴，故A＝。
【训练4（1）】△ABC中，已知a＝x cm，b＝2 cm，B＝45°，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的取值范围是 ．
【答案】2＜x＜2；
【解析】若解此三角形有两解，则asinB＜b＜a，即x＜2＜x， ∴2＜x＜2．
【训练4（2）】在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若△ABC只有一解，则x的取值集合为________．
【答案】{x|0【解析】sin A＝＝＝x，
当x＝2时，sin A＝1，△ABC有一解；
又当a≤b时，即x≤2时，A为锐角，△ABC只有一解．
【训练5】判断下列说法，其中正确的是( )
A．a＝7，b＝14，A＝30°有两解
B．a＝30，b＝25，A＝150°只有一解
C．a＝6，b＝9，A＝45°有两解
D．b＝9，c＝10，B＝60°无解
【答案】B；
【解析】A中，由正弦定理得sin B＝＝＝1，所以B＝90°，故只有一解，A错误；B中，由正弦定理得sin B＝＝<1，又A为钝角，故只有一解，B正确；C中，由正弦定理得sin B＝＝>1，所以B不存在，故无解，C错误；D中，由正弦定理得sin C＝＝<1，因为b题型五：利用正弦定理及其变式化简、求值
【例题5】在△ABC中，已知，若，求a，b，c
【解析】因为，所以，设c＝4k，，
则 ，得，解得或k＝1.
因为时b<0，故舍去，所以k＝1，此时，
【训练1】在△ABC中，a、b、c分别为角A,B,C的对边，且,求B的大小。
【解析】根据正弦定理可知：，因为
所以，
所以所以，
又在△ABC中，sin（B+C）=sinA，所以，
因为，所以B=60.
【训练2】△ABC中，C是直角，，则 .
【答案】；
【解析】由得，利用正弦定理可得，又，，故，即，解得或（舍去）.
【训练3】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，证明：．
【证明】由正弦定理得：
．
=
==．
所以，．
【训练4】在△ABC中，，求边c的长。
【解析】显然，由正弦定理，
所以
【训练5】如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长．
【解析】在△ABC中，AB＝5，AC＝9，
∠BCA＝30°
由正弦定理，得 ,
,
∵AD//BC，∴∠BAD＝180°－∠ABC,于是
同理，在△ABD中，AB＝5，，∠ADB＝45°， 解得．
题型六：正弦定理的综合应用
【例题5】在△ABC中，，则的最大值是________
【解析】方法一：因为，所以，
所以
；
方法二：因为，所以，
所以
。
【训练1】在锐角中，则的值等于 ____，的取值范围为 ___________.
【答案】2，；
【解析】 设由正弦定理得
由锐角得，
又，故，
【训练2】在△ABC中，，b+c=4，试确定边a的取值范围.
【解析】由正弦定理得，所以，
故有==，
而==，当B=时，取得最大值1，此时a取得最小值2.
【训练3】在ABC中，若C＝3B，求的取值范围。
【解析】，
因为，所以，故
【训练4】如图所示，已知△ABC，在AB上取一点M，使△ACM和△BCM的外接圆半径之和最小。
【解析】设△ACM和△BCM的外接圆半径分别为，则，，
即，所以，且时取“＝”，所以
【训练5】在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2B＝A＋C，
a＋b＝2c，求sin C的值．
【解析】∵2B＝A＋C，A＋B＋C＝180°，
∴B＝60°，A＋C＝120°，∴0°∵a＋b＝2c，由正弦定理得sin A＋sin B＝2sin C，
∴sin(120°－C)＋＝2sin C，即cos C＋sin C＋＝2sin C，
∴sin C－cos C＝，∴sin(C－30°)＝.
∵－30°sin C＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝.
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新人教A版 必修5 题型冲关训练
1.1.2 余弦定理
题型一：已知两边及夹角解三角形
【例题1】在△ABC中，已知a=2，b= ，∠C=15°，则∠A= _________。
【答案】30°；
【解析】由余弦定理，得= .∴
又由正弦定理，得sinA=
∵ b＞a时，∠B＞∠A，且0°＜∠A＜180°， ∴ ∠A=30°。
【训练1】在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝b＝12，则c的值为( )
A．4 B．8
C．4或8 D．无解
【答案】C；
【解析】由3a＝b＝12，得a＝4，b＝4，利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8.
【训练2】锐角△ABC中，b=1,c=2,则a的取值范围是（ ）
A．1【答案】C；
【解析】由三角形的性质知c-b1，
又＝＞０ 得a<
得a>
综上所得：【训练3】已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝
＋，且∠A＝75°，则b＝( )
A．2 B．4＋2
C．4－2 D.－
【答案】A；
【解析】△ABC中，易知∠B＝30°，由余弦定理知b2＝a2＋c2－2ac·cos 30°，∴b2＝2(＋)2－2(＋)2×＝(2－)(＋)2＝4(2＋)(2－)＝4，∴b＝2.
【训练4】在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，且cos A＝.若a＝4，b＋c＝6，且b【解析】由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，
即a2＝(b＋c)2－2bc－2bccos A，
∴16＝36－bc，∴bc＝8.
由可求得.
【训练5】设△的内角的对边分别为,且,则____
【答案】；
【解析】,由余弦定理得,则,即,故.
题型二：已知三边解三角形
【例题2】若一个三角形的三边之比为，则该三角形最大内角的度数为（ ）
A.30° B.120° C.135° D.150°
【答案】B；
【解析】设该三角形的三边分别为，易知边长为的边对应的角最大，由余弦定理，，所以.
【训练1】已知三角形的三边长分别为a，b和则这个三角形的最大角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D；
【解析】∵>a，>b，设该三角形的最大角为，则==，又，故.
【训练2】在△ABC中，如果，那么这个三角形的最小角是________.
【答案】；
【解析】不妨设三角形三边分别为，则长为的边对的角为最小角，由余弦定理得，又，∴.
【训练3】在△ABC中，sinA:sinB:sinC=2:3:4,则cos∠ABC=_______.
【答案】；
【解析】由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，其中R为该三角形外接圆的半径.设sinA=2k，sinB=3k，sinC=4k (k>0) ，则a=4kR，b=6kR，c=8kR..由余弦定理得cos∠ABC=
【训练4】在△ABC中，AB=3，BC=，AC= 4，则边AC上的高为______.
【答案】；
【解析】由余弦定理，∴所以边AC上的高.
【训练5】已知得三边长成公比为的等比数列,则其最大角的余弦值为_________.
【答案】；
【解析】设最小边为,则其他两边分别为,由余弦定理得,最大角的余弦值为
题型三：判断三角形的形状
【例题3】已知方程的两根之积等于两根之和，且和是三角形的两边，和是其对角，试判断的形状.
【解析】方法1：设方程的两根为，，由根与系数的关系得，，由题意，得，由正弦定理得，即。
又，，，，即为等腰三角形.
方法2：由方法1知：，由余弦定理得，化简可得，所以为等腰三角形.
【训练1】在△ABC中，若2cos Bsin A＝sin C，则△ABC的形状是______．
【答案】等腰三角形；
【解析】方法一：由题设和正、余弦定理得2×＝，化简得a2－b2＝0，
即a＝b，所以△ABC为等腰三角形；
方法二：，所以，因为△ABC，所以B=A，所以△ABC为等腰三角形。
【训练2】在△ABC中，sinA=，判断这个三角形的形状 ( http: / / www. / wxc / )
【解析】方法1：应用正弦定理、余弦定理，可得a=，
所以b（a2－b2）+c（a2－c2）=bc（b+c），（b+c）a2=（b3+c3）+bc（b+c） ( http: / / www. / wxc / )
a2=b2－bc+c2+bc ( http: / / www. / wxc / ) 所以a2=b2+c2 ( http: / / www. / wxc / ) 所以△ABC是直角三角形 ( http: / / www. / wxc / )
方法2：原式即sin（B+C）=，
，
,
,
，
, 从而，，所以△ABC是直角三角形 ( http: / / www. / wxc / )
【训练3】在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是（ ）.
A ( http: / / www. / wxc / )等腰直角三角形 B ( http: / / www. / wxc / )直角三角形 C ( http: / / www. / wxc / )等腰三角形 D ( http: / / www. / wxc / )等边三角形
【答案】C；
【解析】方法一：依题意，，即，
，, 所以，是等腰三角形。
方法二：依题意, 即，所以，选择C.
【训练4】在中，,试判断的形状.
【解析】由条件得：，代入正弦及余弦定理有：，∴ 整理得：，∴为直角三角形.
【训练5】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos C＝(2a－c)cos B.(1)求角B的大小；(2)若b2＝ac，试确定△ABC的形状．
【解析】(1)由已知及正弦定理，得
sin Bcos C＝(2sin A－sin C)cos B，
即sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Acos B，
∴sin(B＋C)＝2sin Acos B.
∵sin(B＋C)＝sin A≠0，∴2cos B＝1，即cos B＝，∴B＝60°.
(2)根据余弦定理，有b2＝a2＋c2－2accos B，又b2＝ac，则ac＝a2＋c2－2accos 60°，即a2＋c2－2ac＝0.∴(a－c)2＝0，即a＝c.
【训练6】如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.由增加的长度决定
【答案】A；
【解析】设三角形三边长分别为,且当三边长均增加时，，从而说明其最大角为锐角，∴此时三角形为锐角三角形.
【训练7】在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状。
【解析】方法一 ：由正弦定理，得
∵B＝60°，∴A+C＝120°，
A＝120°－C，代入上式，得
展开，整理得：
∴C＝60°，故A＝60°
∴△ABC为正三角形
方法二 由余弦定理，得，
，
整理，得，从而a＝b＝c∴△ABC为正三角形
题型四：方程思想的应用
【训练1】在中，已知，求边．
【解析】∴即，
解得．
题型五：利用正弦定理及其变式化简、求值
【例题5】在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a、b是方程的两根，
.
（1）求角C的度数；（2）求AB的长.
【解析】（1） 所以
（2）因为a、b是方程的两根，所以，
所以
【训练1】在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asin A＝
(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C，求A的大小．
【解析】由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)·b＋(2c＋b)·c
即a2＝b2＋c2＋bc，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
∴cos A＝－∵A∈(0，π)，∴A＝120°.
【训练2】在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tan B
＝ac，则角B的值为________．
【答案】或；
【解析】∵＝cos B，结合已知等式得cos B·tan B＝.
∴sin B＝，∵B∈(0，π)∴B＝或
【训练3】在不等边三角形中，a是最大的边，若a2A. B.
C. D.
【答案】B；
【解析】根据余弦定理：cos A＝>0，∴A为锐角．
∵在不等边三角形中，a是最大边，∴A是最大角，
∴△ABC为锐角三角形，∴【训练4】在中,若,则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形.
C．钝角三角形. D．不能确定.
【答案】C；
【解析】 由条件结合正弦定理,得,再由余弦定理,得,所以C是钝角,选C.
【训练5】已知分别是△ABC中的角对边，且.
（1）求角的大小；
（2），求的值.
【解析】（1）由余弦定理知，又.
(2)解法1（利用余弦定理）
将代入得.
.
又.
解法2（利用正弦定理＋余弦定理）
将代入得.
由正弦定理得.
又∴为锐角.，
.
解法3（利用正弦定理）
即
解得.
【训练6】已知，则_______ ( http: / / www. / wxc / )
【解析】已知边的关系要求角，肯定要利用到余弦定理.
由，得,
所以，从而.
题型六：余弦定理的综合应用
【例题6】已知
求的长.
【解析】方法一：连结，在△ABC中，
由余弦定理得
7
在△ABC中，由正弦定理得
又
在△BCD中，由正弦定理得
在Rt△ABD中，由勾股定理得
方法二：四点共圆，且为直径.
在△ABC中，由正弦定理得
由解法一知.
【训练1】已知a、b、c为三角形ABC中角A、B、C的对边，且，求这个三角形的最大内角.
【解析】因为，所以 ，所以
因为b>0,所以所以a>3,所以
即b所以c>a ② ，由①②可得c边最大.
在三角形ABC中，有余弦定理得：
.
所以C=1200,即三角形的最大内角为1200.
【训练2】设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，,，求B.
【解析】由cos（AC）+cosB=及B=π（A+C）得cos（A－C）cos（A+C）=，
即cosAcosC+sinAsinC（cosAcosCsinAsinC）=，所以sinAsinC=.
又由=ac及正弦定理得
故，所以或（舍去）.于是 B= 或 B=.
又由 知或，所以B=.
【训练3】在中,内角A、B、C的对边长分别为、、,已知,且,求b.
【解析】方法一:在中,因为,
则由正弦定理及余弦定理有:,
化简并整理得:.
又由已知,所以.解得.
方法二:由余弦定理得:.
又,,所以.①
又,所以,
,即.
由正弦定理得,故.②
由①,②解得.
【训练4】在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c ，若
，则_________.
【解析】由题意得，由射影定理知＝b，
即，得
【训练5】在△ABC中，已知，AC边上的中线，
求的值。
【解析】设E是BC的中点，连结DE，则DE//AB，且，
设BE＝x，在△BDE中，由余弦定理得：，
即，解得x＝1或（舍），故BC＝2，从而
，解得，
而，由正弦定理得：
【训练6】在中，且，求边的长度。
方法一：由正弦定理得：。
∴。
又∵，且，
∴ 即， 。
又, , 故。
于是由余弦定理得：
即： ，解得或。
方法二：同解法一得，。
由正弦定理得：， 而，
∴
。
解法三：同解法一得， ∴，
又∵，
∴。
由余弦定理得：，∴。
上述哪些解法是正确的？请说明理由。
【解析】解法二和解法三都只得出一个答案，而且解题过程也是无懈可击的，故解法一中的应是增解，那么这一增解是如何产生的呢？解法一到底错在哪里？又如何通过验证而舍去呢？事实上，解法二和解法三都同时注意到角作为三角形内角之一应满足三角形内角和为的条件，而解法一正是忽视了这一细节导致增解的产生。如果我们把题目改成：在中，，求边的长度。无疑解法一得到的两解是正确的，因为此时，而，故有二解。在解法一的情形下，要验根不是很容易做到的，因为题中的角具有二倍、四倍的关系，而不是具体的角，检验比较复杂。当时，由余弦定理可得：，而由可得：， =，矛盾。当时，由余弦定理可得： ，符合题意。
B
D
C
A
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新人教A版 必修5 题型冲关训练
1.2 应用举例（2）
题型一：三角形面积的计算
【例题1】在中，角的对边分别是。的面积为且，。
求角的大小；
求的值。
【解析】（1）由已知得，
∴或（舍） ∴
（2）∵
∴ ，∴……①
又∵，∴
∴，∴……②
由①②得， ……③，由①③可解得．
【训练1】在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.
求的值；
若cosB=，,求的面积.
【解析】（Ⅰ）由正弦定理得所以=,即,即有,即,所以=2.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知: =2,即c=2a,又因为,所以由余弦定理得：
，即,解得,所以c=2,又因为cosB=，所以sinB=，故的面积为=.
【训练2】在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c，cosA=,sinB=cosC.
(Ⅰ)求tanC的值;
(Ⅱ)若a=,求ABC的面积.
【解析】(Ⅰ) ∵cosA=>0,∴sinA=,
又cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA =cosC+sinC.
整理得:tanC=.
(Ⅱ)由图辅助三角形知:sinC=.
又由正弦定理知:,
故. (1)
对角A运用余弦定理:cosA=. (2)
解(1) (2)得: or b=(舍去).
∴ABC的面积为:S=.
【训练3】已知,,分别为三个内角,,的边,
.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)若=2,的面积为,求,.
【解析】(Ⅰ)由及正弦定理得
由于,所以,
又,故.
(Ⅱ) 的面积==,故=4,
而 故=8,解得=2.
方法二:解: 已知:,由正弦定理得:
因,所以: ,
由公式:
得: ,是的内角,所以,所以:
(2)
解得:
【训练4】△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知3cos(B-C)-1=6cosBcosC.
(1)求cosA;
(2)若a=3,△ABC的面积为,求b,c.
【解析】(1)
，
，则.
(2) 由(1)得,由面积可得bc=6①,则根据余弦定理
则②,①②两式联立可得或.
【训练5】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知,.
(1)求证:
(2)若,求△ABC的面积.
【解析】 (1)证明:由 及正弦定理得:
,
即
整理得:,所以,又
所以
(2) 由(1)及可得,又
所以, 所以三角形ABC的面积
题型二：关于面积的取值范围
【例题2】已知△ABC中，2（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，外接圆半径为； ( http: / / www. / wxc / )（1）求∠C； （2）求△ABC面积的最大值 ( http: / / www. / wxc / )
【解析】（1）由2（sin2A－sin2C）=（a－b）·sinB,
得2（－）=（a－b） ( http: / / www. / wxc / )
又∵R=，∴a2－c2=ab－b2 ( http: / / www. / wxc / ) ∴a2+b2－c2=ab ( http: / / www. / wxc / ) ∴cosC== ( http: / / www. / wxc / )
又∵0°＜C＜180°，∴C=60° ( http: / / www. / wxc / )
（2）S=absinC=×ab=2sinAsinB=2sinAsin（120°－A）
=2sinA（sin120°cosA－cos120°sinA）=3sinAcosA+sin2A
=sin2A－sin2Acos2A+=sin（2A－30°）+ ( http: / / www. / wxc / )
∴当2A=120°，即A=60°时，Smax= ( http: / / www. / wxc / )
【训练1】在△ABC中，三个内角A、B、C及其对边a、b、c满足=．
⑴求角A的大小；
⑵若a = 6，求△ABC的面积的最大值．
【解析】⑴根据正弦定理，已知等式可化为=，
∵A＋B =－C，∴sin(A＋B) = sinC，
∴=，
∴sinB = sin(A－B)－sin(A＋B) =－2cosAsinB．
又∵sinB≠0，∴cosA =－，A =．
⑵由余弦定理，得a= b＋c－2bccosA，而a = 6，A =，
所以有36 = b＋c－2bccos= b＋c＋bc≥3bc，
即bc≤12，当b = c =时，取“=”，
从而=bcsinA =bcsin=bc≤．
因此，当b = c =时，△ABC的面积取得最大值．
【训练2】在中，角所对的边分别为且满足
（I）求角的大小；
（II）求的最大值，并求取得最大值时角的大小．
【解析】（I）由正弦定理得因为
所以
（II）由（I）知于是
取最大值2．
综上所述，的最大值为2，此时
【训练3】已知圆的半径是,它的内接中，有
，求角和面积的最大值.
【解析】由正弦定理得，，，则 可变形为，即，
所以。
所以
。
因为所以。
所以当，即时，
【训练4】在△中，内角对边的边长分别是，已知。
（Ⅰ）若，且为钝角，求内角与的大小；
（Ⅱ）若，求△面积的最大值。
【解析】（Ⅰ）由题设及正弦定理，有。
故。因为钝角，所以。
由，可得，得，。
（Ⅱ）由余弦定理及条件，有，故≥。
由于△面积，
又≤，≤，
当时，两个不等式中等号同时成立，
所以△面积的最大值为。
【训练5】如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，设MGA＝（）
试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S1与S2）表示为的函数
（2）求y＝的最大值与最小值
【解析】（1）因为G是边长为1的正三角形ABC的中心，
所以 AG＝，MAG＝，
由正弦定理得
则S1＝GMGAsin＝，同理可求得S2＝
（2）y＝＝＝72（3＋），
因为，所以当＝或＝时，y取得最大值ymax＝240
当＝时，y取得最小值ymin＝216
题型三：三角函数综合性问题
【例题3】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知A—C=90°，a+c=b，求C.
【解析】由正弦定理得，
由，即
A+B+C=1800 ，，
即，由A-C=900 得A=900+C
【训练1】在中,角所对的边分别为,且满足, ．（I）求的面积；（II）若,求的值.
【解析】（I）因为,所以,
又由,得,所以,.
（II）对于,又,解得或,
由余弦定理得,所以.
解法二,对于,又,
由余弦定理得,所以.
【训练2】设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知
（I） 求的周长；
（II）求的值。
【解析】（Ⅰ），
的周长为
（Ⅱ）
，故A为锐角，
【训练3】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．己知
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若
【解析】（I）由正弦定理得
由余弦定理得故
（II）
故
【训练3】在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且 求b
【解析】方法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得.
方法二:由余弦定理得: .又,。
所以…………………………………①
又，
，即
由正弦定理得，故………………………②
由①，②解得。
【训练4】在ABC中，, sinB=.
（I）求sinA的值；
(II)设AC=，求ABC的面积.
【解析】（Ⅰ）由，且，∴，∴，
∴，又，∴
（Ⅱ）如图，由正弦定理得
∴，又
∴
【训练5】在中，
（Ⅰ）求AB的值。
（Ⅱ）求的值。
【解析】（1）在 中，根据正弦定理，，于是
（2）在 中，根据余弦定理，得
于是=，
从而
【训练6】在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且
(Ⅰ)确定角C的大小：
（Ⅱ）若c＝,且△ABC的面积为,求a＋b的值。
【解析】（1）由及正弦定理得，
是锐角三角形，
（2）解法1：由面积公式得
由余弦定理得
由②变形得
解法2：前同解法1，联立①、②得
消去b并整理得解得
所以故
A
B
C
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新人教A版 必修5 题型冲关训练
1.2 应用举例（1）
题型一：解三角形中的长度举例
【例题1】张晓华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是（ ）
A B C D
【答案】B；
【解析】如图1，由条件知， 在中，由正弦定理得。
【训练1】如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，1.414，2.449）。
【解析】①需要测量的数据有：在△ABC中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30,
所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°。
②第一步：由以上①的数据可得：CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA，
第二步：在△ABC中，即AB=
第三步：计算BD，BD=，③得出结论：B，D的距离约为0.33km。
【训练2】为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。
【解析】方法一：①需要测量的数据有：A 点到M，N点的俯角；B点到M，
N的俯角；A，B的距离 d （如图所示） .
②第一步：计算AM . 由正弦定理 ；
第二步：计算AN . 由正弦定理 ；
第三步：计算MN. 由余弦定理 .
方法二：①需要测量的数据有：
A点到M，N点的俯角，；B点到M，N点的府角，；A，B的距离 d （如图所示）.
②第一步：计算BM . 由正弦定理 ；
第二步：计算BN . 由正弦定理 ；
第三步：计算MN . 由余弦定理
【训练3】如图，为了计算北江岸边两景点与的距离，由于地形的限，
制需要在岸上选取和两个测量点，现测得，，
， ，，求两景点与的距离
（假设在同一平面内，测量结果保留整数；参考数据：）
【解析】在△ABD中，设BD=x，则，
即整理得：
解之： ，（舍去），由正弦定理，得： ,
∴≈11(km).
答：两景点与的距离约为11.km.
【训练4】如图1，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°方向，距离为12km,在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°方向，距离为8km,货轮由A处向正北航行到D处时，在看灯塔B在北偏东120°方向，求：（1）A处与D处的距离：（2）灯塔C与D处的距离。
【解析】根据几何图形解三角形。(1)在△ABD中，
∠ADB=60°,∠B=45°,由正弦定理得(km).即A处与D处的距离是24km.
(2)在△ACD中，由余弦定理得
∴CD=8（km）.即灯塔C与D处的距离为8。
【训练5】甲船在A处观察到乙船，在它的北偏东60°的方向，两船相距10海里，乙船正向北行驶．若乙船速度不变，甲船是乙船速度的倍，则甲船应取什么方向才能遇上乙船？此时甲船行驶了多少海里？
【解析】如图，设到C点甲船遇上乙船，则AC=BC，∠B=120°，由正弦定理知=，即=，sin∠CAB=，
所以∠CAB=30°，又∠B=60°－30°=30°，所以BC=AB=10，
又因为AC2=AB2+BC2－2AB·BCcos120°，则AC=10（海里），
所以甲船应取北偏东30°方向，遇上乙船时，甲船行驶了10海里．
【例题6】如图A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，求该救援船到达D点需要多长时间？
【解析】由题意知AB＝5(3＋)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，
在△DAB中，由正弦定理得＝
∴DB＝＝＝
＝＝10(海里)
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20海里
在△DBC中，由余弦定理得
CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1 200－2×10×20×＝900
∴CD＝30(海里)，则需要的时间t＝＝1(小时)
答：救援船到达D点需要1小时．
题型二：解三角形中的高度举例
【例题2】在渤海中有一座小岛，小岛上矗立着一座山，为了测量山的高度，在海平面上选择了相距800米的A、B两点，在A点测得山顶C的仰角为，，又在B点测得，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD。
【解析】如图2，在中，，
由，得。
因为平面ABD，，所以CD=AD=m，即山高CD为m。
【训练1】如图，飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10250m,速度为180km/h,飞行员先看到山顶的俯角为18°30′,经过120秒后又看到山顶的俯角为81°,求山顶的海拔高度(精确到1m).
分析：依据条件，飞行员的两次观测点和山顶可构成一个三角形，明确了该三角形中的已知量与未知量后，就可以解斜三角形.
【解析】① 需要测量的数据有：设飞行员的两次观测点依次为A和B，山顶为M，山顶到直线AB的距离为MD.在△ABM中，由条件知:A=18°30′,B=99°,M=62°30′.
②第一步：AB=180×=6km.
第二步：根据正弦定理,可得BM=
第三步：进而求得:MD=≈2120m.
③得出结论：山顶的海拔高度为10250-2120=8130m.
【训练2】在200米高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A；
【解析】如图所示，在Rt△PAB中，PA=200，∠APB=30°，则PB===，又∠BPC=30°，
∠BCP=180°－60°=120°，由=，得BC==（米）；
【训练3】有一长为100m的斜坡，它的倾斜角为45°，现打算把倾斜角改成30°，则坡底要伸长________m（精确到m）．
【答案】52；
【解析】如图所示,依题意AC=100，∠ACB=45°，
∠ADC=30°，由正弦定理得：=，∴CD=50（－）m≈52m；
【训练4】A、B是黄浦江畔海平面上两个点，相距800m，在A地测得上海明珠电视塔顶C的仰角为45°，A、B与电视塔底部D点所成角∠BAD=120°，又在B处测得∠ABD=45°，求该电视塔的高．
【解析】在△ABD中，∠BAD=180°－120°－45°=15°，AB=800，据正弦定理得
AD===800（+1）（m），
∵CD⊥面ABD，∠CAD=45°，
∴CD=AD=800（+1）（m），即电视塔高CD为800（+1）m．
【训练5】如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30米，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝________.
【答案】15 米；
【解析】由题意可知：在△BCD中，
∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，则∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝135°.
由正弦定理可得：BC＝＝＝15.
又在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，
∴AB＝BC·tan∠ACB＝15×＝15(米)．
【训练6】为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点之间的距离为60 m，则树的高度为( )
A．(15＋3) m B．(30＋15) m
C．(30＋30) m D．(15＋30) m
【答案】C；
【解析】由正弦定理可得
＝，
PB＝＝，
h＝PBsin 45°＝＝(30＋30) m.
题型三：解三角形中的角度举例
【例题3】我国巡逻艇甲在A处观察到走私船乙在北偏东600的B处，两船相距a海里，乙正向北逃跑，若巡逻艇的速度是走私船的倍，问巡逻艇应沿什么方向前进，才能最快追上走私船，此时，巡逻艇走了多少海里？
【解析】如图3，设走私船行驶了x海里，则巡逻艇行驶了x海里，两船在C处相遇． 在中， AB=a，AC=x，，由余弦定理知，即，解得（舍去）。
所以是顶角为1200的等腰三角形， .故巡逻艇应沿北偏东300的方向航行才能最快追上走私船，此时，巡逻艇走了海里。
【训练1】在奥运会垒球比赛前，C国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15°的方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍，问按这样的布置，游击手能不能接着球？（如图所示）
【解析】设游击手能接着球，接球点为B，而游击手从点A跑出，本垒为O点（如图所示）.设从击出球到接着球的时间为t，球速为v，则∠AOB＝15°，OB＝vt，。在△AOB中，由正弦定理得，
∴
而，即sin∠OAB>1,
∴这样的∠OAB不存在，因此游击手不能接着球.
【训练2】在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北30°东，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北60°西、俯角为60°的C处。
(1)求船的航行速度是每小时多少千米；
(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？
【解析】 (1)在Rt△PAB中，∠APB=60° PA=1，∴AB= (千米)
在Rt△PAC中，∠APC=30°，∴AC= (千米)。
在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90°
∴，（千米／时）。
(2)∠DAC=90°－60°=30°
sinDCA=sin(180°－∠ACB)=sinACB=
sinCDA=sin(∠ACB－30°)=sinACB·cos30°－cosACB·sin30°
在△ACD中，据正弦定理得，
∴
答 此时船距岛A为千米
【训练3】在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为1 50，向山顶前进1 00 m后，又从B点测得斜度为450，设建筑物的高为50 m，求山坡对于地平面的斜度的倾斜角。
【解析】在中，
根据正弦定理，有 所以 又在△BCD中，CD=50，，， 。
根据正弦定理有
解得，所以
答：山坡对于地面的斜度的倾斜角为42.940。．
【训练4】我国巡逻艇甲在A处观察到走私船乙在北偏东600的B处，两船相距a海里，乙正向北逃跑，若巡逻艇的速度是走私船的倍，问巡逻艇应沿什么方向前进，才能最快追上走私船，此时，巡逻艇走了多少海里？。
【解析】如图，设走私船行驶了x海里，则巡逻艇行驶了x海里，两船在C处相遇．
在中，AB=a，AC=x，
由余弦定理知，
即 （舍去）
故是顶角为1200的等腰三角形，所以.
所以巡逻艇应沿北偏东300的方向航行才能最快追上走私船，此时，巡逻艇走了海里。
【训练5】巡逻艇在雷达屏幕上发现在南偏西20°，5千米的洋面上有一条走私船，它正以20千米/小时的速度向南偏东40°的方向逃走，已知巡逻艇的最大巡航速度为30千米/小时，并假设走私船在逃走时不改变它的航向，试确定一个追击走私船的最佳方案．
【解析】如图，记巡逻艇的初始位置为A，走私船的初始位置为B，两者航向均不变，追截处记为C，需要时间为t小时，
在ABC中，AB=5，AC=30t，BC=20t，
∠ABC=180°－20°－40°=120°，
由余弦定理得AC2=AB2+BC2－2ABBCcos∠ABC，
即（30t）2=52+（20t）2－2×5×20t×cos120°，即20t2－4t－1=0，
得正数根t≈0.345小时≈20.7分，
由正弦定理得=，即=，
∴sin∠BAC=sin120°=，则∠BAC≈35.27°，35.27°－20°=15.27°≈15°15′，
∴巡逻艇沿南偏东15°15′的方向，大约经过20分42秒能追上走私船．
【训练6】如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里的C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援？(角度精确到1°，sin 41°＝)
【解析】连结BC，由余弦定理得
BC2＝202＋102－2×20×10cos 120°＝700.
于是，BC＝10.
∵＝，∴sin∠ACB＝，
∵∠ACB<90°，∴∠ACB≈41°，
∴乙船应朝北偏东约41°＋30°＝71°的方向沿直线前往B处救援．
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