(共37张PPT)
人教版 九年级上册
24.1.4 圆周角
新知导入
学习目标：
1.理解圆周角的概念；
2.掌握圆周角定理及推论，能够运用相关知识解决问题；
3.理解并掌握圆内接多边形的定义及其性质.
1.什么是圆心角？
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
2.弧、弦、圆心角关系定理？
新知导入
知识点
思考：如图∠AOB是圆心角，∠ACB是什么角呢？它有哪些特点呢？
特点：顶点在圆上，并且两边都和圆相交
新知讲解
∠ACB是圆周角
新知讲解
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角．
注意：①顶点在圆上，②两边都和圆相交 两者缺一不可
判断：下图中∠BAC 是圆周角的是( )
A
新知讲解
①顶点在圆上，②两边都和圆相交 两者缺一不可
探究：如图，圆心角∠BOC，圆周角∠BAC对着同一条弧BC. 试猜想它们之间存在怎样的数量关系？
新知讲解
如何证明呢？
发现：同弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.
新知讲解
为了证明上面的结论，在☉O任取一个圆周角∠BAC，沿AO所在直线将圆对折，由于点A的位置不同，折痕会：
（1）在圆周角的一条边上；
（2）在圆周角的内部；
（3）在圆周角的外部.
新知讲解
如图所示：
证明：（1）圆心O在边BA上
∵OA=OC
∴∠A= ∠C
∵∠BOC= ∠ A+ ∠C
=2∠ A
=2∠BAC
∴
新知讲解
证明：（2）圆心O在∠BAC的内部
新知讲解
D
连接并延长AO交☉O于点D.
由（1）知，
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC
证明：（3）圆心O在∠BAC的外部
新知讲解
D
连接并延长BO交☉O于点D，连接DC.
由（1）知，
一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.
新知讲解
圆周角定理：
进一步，我们还可以得到以下推论：
新知讲解
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等．
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
如何证明呢？
证明：（1）在同弧中
∴∠ABC=∠ADC
新知讲解
同弧所对的圆周角相等．
D
A
B
O
C
E
F
在等弧中
新知讲解
等弧所对的圆周角相等．
证明：（2）
·
O
A
C
B
∵OA=OB=OC，
∴△AOC、△BOC都是等腰三角形.
∴ ∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB.
又∵ ∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°.
∴ ∠ACB=∠OCA+∠OCB=180°÷2=90°.
新知讲解
半圆（或直径）所对的圆周角是直角
新知讲解
∵ ∠ACB=90°
∴ ∠AOB=2∠ACB=180°
∵AB经过点O，
∴AB是☉O的直径.
90°的圆周角所对的弦是直径．
例4 如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm. ∠ACB的平分线交⊙O于D. 求BC、AD、BD的长.
解：∵AB是直径，
∴ ∠ACB=∠ADB=90°.
在Rt△ACB中，根据勾股定理得
合作探究
∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠DCB.
∴∠AOD=∠BOD,
∴AD=BD.
合作探究
在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
合作探究
注意：圆周角有关问题中，若出现“直径”，则通常构造直角三角形来求解.
圆内接四边形
新知讲解
圆内接多边形：如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
圆内接四边形的四个角有什么关系？
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆.
那么∠A与∠C, ∠B与∠D之间存在怎样的数量关系呢？为什么？
∠A+ ∠C=180 ，
∠B+ ∠D=180
新知讲解
∴∠A＋∠C＝180°，
同理∠B＋∠D＝180°，
性质：圆的内接四边形的对角互补.
新知讲解
∵ BCD和BAD所对的圆心角的和是360°，
⌒ ⌒
证明：连接OB、OD
C
O
D
B
A
∵∠A＋∠BCD＝180°，
E
∠BCD＋∠DCE＝180°.
∴∠A＝∠DCE.
思考：图中∠A与∠DCE的有怎样的数量关系？
新知讲解
推论：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.
推论：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.
性质：圆的内接四边形的对角互补.
圆内接四边形：
新知讲解
1.如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D=32°，则∠OAC=（ ）
A. 64° B. 58°
C. 68° D. 55°
B
课堂练习
2.四边形ADBC内接于⊙O，∠AOB＝122°，则∠ACB等于（ ）
A．131° B．119° C．122° D．58°
B
课堂练习
3.如图，△ABD是⊙O的内接三角形，作AD//OC，与⊙O相交于点C，且∠BOC=110°，则∠ABD的大小为（ ）
A．20° B．30°
C．40° D．50°
A
课堂练习
B
课堂练习
4.如图，⊙A过点O（0，0）、C（ ，0）、
D（0，2），点C是⊙A上的一点，连接CO、CD，
则∠DCO的度数是（ ）
A．22.5° B．30°
C．37.5° D．45°
5.如图，⊙O的直径AB⊥CD，∠A=22.5°，OC=4，求CD的长.
解：∵∠A=22.5°，
∴∠BOC=45°，
∵AB⊥CD，
∴ ∠ECO=45°.
∴ CE=OE，
课堂练习
课堂练习
在Rt△COE中，根据勾股定理得
∵CD=2CE
圆周角
定义
圆周角定理
推论
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等.
顶点在圆上，并且两边都和圆相交.
半圆或直径所对的圆周角相等，都等于90°（直角）.反之亦然.
圆内接四边形的对角互补.
课堂总结
板书设计
24.1.3 弧、弦、圆心角
圆是中心对称图形：
弧、弦、圆心角关系定理：
例3 练习
作业布置
1.必做题：教材P88 练习第 1—5 题
2.选做题：教材P90 第 14 题
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24.1.4 圆周角 教学设计
课题 24.1.4 圆周角 单元 第24章 学科 数学 年级 九年级
学习目标 1.理解圆周角的概念；2.掌握圆周角定理及推论，能够运用相关知识解决问题；3.理解并掌握圆内接多边形的定义及其性质.
重点 理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解决简单的几何问题.
难点 理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 复习回顾：1.什么是圆心角？圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.2.弧、弦、圆心角关系定理？ 复习回顾圆心角、弧、弦的关系. 回顾旧知，学习新知.
讲授新课 环节一：理解圆周角的概念思考：如图∠AOB是圆心角，∠ACB是什么角呢？它有哪些特点呢？∠ACB是圆周角特点：顶点在圆上，并且两边都和圆相交顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角．注意：①顶点在圆上，②两边都和圆相交判断：下图中∠BAC 是圆周角的是( A )分析：①顶点在圆上，②两边都和圆相交 两者缺一不可. 环节二：探究圆周角定理及推论探究：如图，圆心角∠BOC，圆周角∠BAC对着同一条弧BC. 试猜想它们之间存在怎样的数量关系？发现：同弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.如何证明呢？为了证明上面的结论，在☉O任取一个圆周角∠BAC，沿AO所在直线将圆对折，由于点A的位置不同，折痕会：（1）在圆周角的一条边上；（2）在圆周角的内部；（3）在圆周角的外部.圆心O在∠BAC的一边上∵OA=OC∴∠A= ∠C∵∠BOC= ∠ A+ ∠C=2∠ A=2∠ BAC∴圆心O在∠BAC 的内部连接并延长AO交☉O于点D.由（1）知，∵∠BAC=∠BAD+∠DAC圆心O在∠BAC的外部连接并延长BO交☉O于点D，连接DC.由（1）知，圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于该弧它所对的圆心角的一半.进一步，我们还可以得到以下推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角都是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．如何证明呢？证明：（1）在同弧中∴∠BAC=∠BDC同弧所对的圆周角相等．在等弧中等弧所对的圆周角相等．半圆（或直径）所对的圆周角都是直角证明：（2）∵OA=OB=OC，∴△AOC、△BOC都是等腰三角形.∴ ∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB.又∵ ∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°.∴ ∠ACB=∠OCA+∠OCB=180°÷2=90°.小结：半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°.∵∠ACB=90°.∴ ∠AOB=2∠ACB=180°∵AB经过点O，∴AB是☉O的直径.小结：90°的圆周角所对的弦是直径.环节三：合作探究例4 如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm. ∠ACB的平分线交⊙O于D. 求BC、AD、BD的长.解：∵AB是直径，∴ ∠ACB=∠ADB=90°.在Rt△ACB中，根据勾股定理得∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠DCB.∴∠AOD=∠BOD,∴AD=BD.在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，注意：解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形来求解.环节四：探究圆内接多边形如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.圆内接四边形的四个角有什么关系？如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆. 那么∠A与∠C, ∠B与∠D之间存在怎样的数量关系呢？为什么？ ∠A+ ∠C=180 ，∠B+ ∠D=180 证明：∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角360°，∴∠A＋∠C＝180°，同理∠B＋∠D＝180°，性质：圆的内接四边形的对角互补.思考：图中∠A与∠DCE的有怎样的数量关系？∵ BCD和BAD所对的圆心角的和是周角，∴∠A＋∠BCD＝180°，∵∠BCD＋∠DCE＝180°.∴∠A＝∠DCE.推论：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.小结：圆内接四边形的性质：圆的内接四边形的对角互补.推论：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.环节五：课堂练习1.如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D=32°，则∠OAC=（ B ）A. 64° B. 58° C. 68° D. 55°2.四边形ADBC内接于⊙O，∠AOB＝122°，则∠ACB等于（ B ） A．131° B．119° C．122° D．58°3.如图，△ABD是⊙O的内接三角形，作AD//OC，与⊙O相交于点C，且∠BOC=110°，则∠ABD的大小为（ A ）A．20° B．30° C．40° D．50°4.如图，⊙A过点O（0，0）、C（ ，0）、D（0，2），点C是⊙A上的一点，连接CO、CD，则∠DCO的度数是（ B ）A．22.5° B．30° C．37.5° D．45°5.如图，⊙O的直径AB⊥CD，∠A=22.5°，OC=4，求CD的长.解：∵∠A=22.5°，∴∠BOC=45°，∵AB⊥CD，∴ ∠ECO=45°.∴ CE=OE， 在Rt△COE中，根据勾股定理得 ∵CD=2CE 对比圆心角，学习圆周角的定义.探究圆周角定理及推论，熟练掌握圆周角的相关知识.运用圆周角的相关知识解决问题，体会知识的运用.探究圆内接四边形的性质学生练习，师生互评订正. 运用类比的方法，使学生更加容易理解圆周角概念.理解并掌握弧、弦、圆心角、圆周角的关系定理及圆周角的相关推论.培养学生运用数学知识解决生活中实际问题的能力.掌握圆内接四边形的相关知识.通过各种变式练习，让学生理解和掌握圆周角定理及相关推论.
课堂小结 师生共同梳理本节课的知识点. 强化本节课的知识点.
板书 24.1.3 弧、弦、圆心角圆是中心对称图形： 弧、弦、圆心角关系定理：例3 练习 教师展示本节课的内容. 展示本节课的内容.
D
A
B
O
C
E
F
圆周角
顶点在圆上，并且两边都和圆相交.
定义
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等.
圆周角定理
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）.反之亦然.
圆内接四边形的对角互补.
推论
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