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第二章《有理数及其运算》检测卷
提高卷（一）
第I卷（选择题）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若收入60元记作＋60元，则－20元表示（ ）．
A．收入20元 B．收入40元 C．支付40元 D．支出20元
【答案】D
【分析】
在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【详解】
解：根据题意，收入60元记作+60元，
则-20元表示支出20元．
故选：D．
【点睛】
本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
2．–4的绝对值是（ ）
A．4 B．–4 C． D．
【答案】A
【分析】
根据绝对值的性质解答即可．
【详解】
解：∵|-4|=4，
∴-4的绝对值是4．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了绝对值的定义，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，比较简单．
3．若零上记作，则零下应记作（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【详解】
解：如果零上5℃记作+5℃，那么零下4℃记作-4℃，
故选：C．
【点睛】
本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
4．表示的意义是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据相反数和有理数的乘方即可求出答案．
【详解】
解：表示的是．
故选：D．
【点睛】
本题考查有理数的乘方和相反数，解题的关键是正确理解乘方的意义．
5．下列各式正确的是（ ）
A．＞ B．
C． D．
【答案】D
【分析】
有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【详解】
解：A.，此选项错误；
B.，此选项错误；
C.，
，此选项错误；
D.
，此选项正确；
故选D．
【点睛】
本题考查了有理数大小比较，要熟练掌握并正确运用有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
6．下列说法正确的是（ ）
A．是负小数，但不是负分数 B．整数可以看作是分母为1的分数
C．0不是负数，但它是正数，因为它的前面没有“-” D．非负数即正数
【答案】B
【分析】
整数和分数统称为有理数，正数和负数表示具有相反意义的量，在数轴上，正数位于0的右侧，负数位于0的左侧，非负数是正数和0的统称．
【详解】
A. 是负小数，也是负分数，故A错误；
B. 整数可以看作是分母为1的分数，故B正确；
C. ，0既不是正数也不是负数，故C错误；
D. 非负数是正数和0的统称，故D错误，
故选：B．
【点睛】
本题考查有理数的分类，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
7．已知，，且，则的值为（ ）
A．－2 B．－2或－10 C．－10 D．8
【答案】D
【分析】
根据绝对值的定义，求出a的值，根据乘方得定义，求出b的值，结合“a【详解】
解：∵|a|=5，
∴a=5或-5，
∵b3=-27，
∴b=-3，
又∵a∴a=-5，b=-3，
-a-b=-（-5）-（-3）=8，
故选：D．
【点睛】
本题考查了有理数的乘方，绝对值和有理数的减法，正确掌握有理数乘法的定义，绝对值的定义和有理数减法法则是解题的关键．
8．下列说法：①平方等于4的数只有2；②若a，b互为相反数，则＝﹣1；③若|﹣a|＝a，则（﹣a）3＜0；④若ab≠0，则的取值在0，1，2，﹣2这4个数中，不能得到的是0，其中正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【分析】
各项利用乘方的意义，相反数，绝对值的定义判断即可．
【详解】
解：①平方等于4的数有2和﹣2，不符合题意；
②若a，b互为相反数，且都不为0，则＝﹣1，不符合题意；
③若|﹣a|＝a，则a≥0，（﹣a）3≤0，不符合题意；
④若ab≠0，则的取值在0，1，2，﹣2这4个数中，当a＝2、b＝－2时，，不符合题意，
故选：A．
【点睛】
本题考查乘方的意义，相反数，绝对值的定义，属于基础题型．
9．下列各对数中数值相等的是（ ）
A．﹣12和（﹣1）2 B．﹣（﹣3）和﹣|﹣3|
C．（﹣2）3和﹣23 D．﹣3×23和﹣（3×2）3
【答案】C
【分析】
根据有理数的乘方，化简绝对值，去多重符号，再逐项分析即可
【详解】
A. ，
故该选项不符合题意，
B.
故该选项不符合题意，
C.
故该选项符合题意，
D.
故该选项不符合题意，
故选C
【点睛】
本题考查了有理数的乘方，化简绝对值，去多重符号，掌握以上知识是解题的关键．
10．用科学记数法表示289万正确的是（ ）
A．2.89×107 B．2.89×106 C．28.9×105 D．2.89×104
【答案】B
【分析】
应先把289万整理为用个表示的数，科学记数法的一般形式为：a×10n，在本题中a为2.89，10的指数为整数数位减1．
【详解】
解：289万=2 890 000=2.89×106．
故选：B．
【点睛】
此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．用四舍五入法0.00247精确到万分位是_____________．
【答案】0.0025
【分析】
根据题意可得精确到万分位，只需要将万分位后面的数四舍五入，即可求解．
【详解】
解：0.00247精确到万分位是0.0025．
故答案为：0.0025．
【点睛】
此题主要考查了近似数与有效数字，熟练掌握近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位，一个近似数的有效数字是从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是这个数的有效数字是解题的关键．
12．一种面粉的质量标识为“25±0.25千克”，则该面粉质量合格的范围是______．
【答案】 千克 千克
【分析】
根据一种面粉的质量标识为“25±0.25千克”，可以求出合格面粉的质量的取值范围，即可求解．
【详解】
解：∵一种面粉的质量标识为“25±0.25千克”，
∴该面粉质量合格的范围是： 千克 千克，
即该面粉质量合格的范围是： 千克 千克．
故答案为： 千克 千克．
【点睛】
本题考查正数和负数，解题的关键是明确正负数在题目中的实际意义．
13．使用计算器计算：_______．
【答案】184
【分析】
按照有理数的计算法则用计算器求解即可得到答案．
【详解】
解：按照计算顺序可得结果为184．
故答案为：184．
【点睛】
本题主要考查了计算器的使用，解题的关键在于能够熟练掌握计算器的使用方法．
14．2020年12月6日，新闻报道称我国有1 200 000剂新冠疫苗支援印尼，其中1 200 000用科学记数法表示为________．
【答案】
【分析】
科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于1时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】
解：，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
15．近似数8.3万精确到 __位；__（结果用科学记数法表示）．
【答案】千；
【分析】
近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位；先计算，再利用科学记数法的表示方法求解即可．
【详解】
解：∵近似数8.3万3所在的位是千位
∴精确到千位；
．
故答案为：千；．
【点睛】
本题主要考查了科学记数法与近似数，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
16．若，则_______．
【答案】-5
【分析】
根据多重符号的化简原则进行化简即可．
【详解】
解：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了有理数多重符号的化简，熟知运算法则是解题的关键．
17．已知a，b为有理数且满足，则__________．
【答案】
【分析】
根据绝对值和平方的非负性求出a，b，代入计算即可；
【详解】
∵，
∴，，
∴，，
∴；
故答案是．
【点睛】
本题主要考查了绝对值非负性的应用、有理数的乘方运算，准确计算是解题的关键．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．用数轴上的点表示下列各数：，-2.5，，0，，并用“”把它们连接起来．
【答案】数轴见解析，
【分析】
首先分别在数轴上表示，再根据数轴上的数右边的总比左边的大可得答案．
【详解】
解：如图：
根据数轴可得： ．
【点睛】
此题主要考查了有理数的比较大小和数轴，关键是掌握数轴上的数右边的总比左边的大．
19．计算：
（1）
（2）﹣14+14+（2﹣32）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）根据乘法分配律可以解答本题；
（2）根据幂的乘方和有理数的减法可以解答本题．
【详解】
解：（1）
；
（2）﹣14+14+（2﹣32）
．
【点睛】
本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
20．已知实数a，b满足|2a﹣8|0，求代数式的值．
【答案】2
【分析】
由绝对值、二次根式的非负性解得a＝4，b＝3，再代入数值，根据二次根式的性质解题．
【详解】
解：根据题意得2a﹣8＝0，b﹣3＝0，
∴a＝4，b＝3，
∴2，
即代数式的值是2．
【点睛】
本题考查绝对值、二次根式的非负性、二次根式的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）28；（2）；（3）；（4）
【分析】
（1）直接利用有理数的乘法运算法则计算即可；
（2）直接利用有理数的乘法运算法则计算即可；
（3）直接利用有理数的除法运算法则计算即可；
（4）直接利用有理数的乘法和除法的混合运算法则计算即可．
【详解】
解：（1），
，
（2），
，
，
（3），
，
，
，
（4），
，
，
．
【点睛】
本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握相应的运算法则及注意符号的变化．
22．已知x是整数，并且，在数轴上表示x可能取的所有数值．
【答案】见详解
【分析】
数轴上的点与实数是一一对应的关系，要注意解不等式的整数解，是在其取值范围内找到符合条件的数值．
【详解】
解：∵x为整数，并且，
∴x=2，1，0，1，2，3．
如图所示：
【点睛】
主要考查了数轴，数轴上的点与实数是一一对应的关系．把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
23．观察下列等式
将以上三个等式两边分别相加得：
．
（1）猜想并写出： ；
（2）直接写出下列各式的计算结果：
① ；
② ；
（3）探究并计算：
【答案】（1）；（2）①；②；（3）
【分析】
（1）根据题意猜想得到结论，写出即可；
（2）①②利用得出的拆项法化简各式，计算即可得到结果；
（3）原式变形后，利用拆项法变形，计算即可得到结果．
【详解】
解：（1），
，
，
；
故答案为：；
（2）①
；
故答案为：；
②
；
故答案为：；
（3）
．
【点睛】
此题考查了有理数的混合运算，规律型：数字的变化类，根据题中的等式得出相应的规律是解本题的关键．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a、c满足．若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，点B在点A、C之间，且满足BC＝2AB．
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）若点P为数轴上一动点，其对应的数为x当时，x＝ ；当代数式取得最小值时，此时最小值为 ．
（3）动点M从B点位置出发，沿数轴以每秒1个单位的速度向终点C运动，同时动点N从A点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向C点运动，设运动时间为t秒．问：当t为何值时，M、N两点之间的距离为2个单位？
【答案】（1）-3，1，9；（2）0或-6；12；（3）当t为2或6时M、N两点之间的距离为2个单位．
【分析】
（1）根据，，，即可求出，再由，，以及数轴上点的位置进行求解即可；
（2）由题意得即，解方程即可；即表示P点到A和到C的距离之和，利用绝对值的几何意义进行求解即可；
（3）由题意可知M点表示的数为，N点表示的数为，由题意得：，由此进行资金即可
【详解】
解：（1）∵，，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
由数轴上的位置可知，
∴，
∴，
故答案为：-3，1，9；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴或-6；
∵，
∴即表示P点到A和到C的距离之和
图下图所示，当P在-3的左侧时，此时，
同理可以求出当P在9的右侧时，
如图，当P在A、C之间（包含A、C）此时，
∴的最小值为12，
故答案为：0或-6；12；
（3）由题意可知M点表示的数为，N点表示的数为，
由题意得：即，
解得或，
∴当t为2或6时M、N两点之间的距离为2个单位．
【点睛】
本题主要考查了绝对值的非负性，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
25．细心观察下面三个图形，按下述方法找出规律．
（1）分别写出前面三个图形四角中四个数的积分别是 、 、 ；
（2）分别写出前面三个图形四角中四个数的和分别是 、 、 ；
（3）请你说明你发现的规律找出第四个正方形中的数，并说明理由．
【答案】（1）24，60，120；（2）-10，-13，-16；（3）191，理由见解析
【分析】
（1）根据有理数乘法的性质计算，即可得到答案；
（2）根据有理数加法的性质计算，即可得到答案；
（3）根据有理数乘法和加法的性质计算，并结合前三个图形的数字规律，即可完成求解．
【详解】
（1）(－1)×(－2)×(－3)×(－4)＝24；
(－1)×(－3)×(－5)×(－4)＝60；
(－1)×(－4)×(－5)×(－6)＝120；
故答案为：24，60，120；
（2）(－1)＋(－2)＋(－3)＋(－4)＝－10；
(－1)＋(－3)＋(－5)＋(－4)＝－13；
(－1)＋(－4)＋(－5)＋(－6)＝－16；
故答案为：-10，-13，-16；
（3）(－1)×(－5)×(－6)×(－7)＝210；
(－1)＋(－5)＋(－6)＋(－7)＝－19；
∵第1个正方形中的数
第2个正方形中的数
第3个正方形中的数
∴第四个正方形中的数．
【点睛】
本题考查了有理数加减法、乘法，以及数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握有理数加减法和乘法的性质，结合数字规律，从而完成求解．
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第二章《有理数及其运算》检测卷
提高卷（一）
第I卷（选择题）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若收入60元记作＋60元，则－20元表示（ ）．
A．收入20元 B．收入40元 C．支付40元 D．支出20元
2．–4的绝对值是（ ）
A．4 B．–4 C． D．
3．若零上记作，则零下应记作（ ）
A． B． C． D．
4．表示的意义是（ ）
A． B． C． D．
5．下列各式正确的是（ ）
A．＞ B．
C． D．
6．下列说法正确的是（ ）
A．是负小数，但不是负分数 B．整数可以看作是分母为1的分数
C．0不是负数，但它是正数，因为它的前面没有“-” D．非负数即正数
7．已知，，且，则的值为（ ）
A．－2 B．－2或－10 C．－10 D．8
8．下列说法：①平方等于4的数只有2；②若a，b互为相反数，则＝﹣1；③若|﹣a|＝a，则（﹣a）3＜0；④若ab≠0，则的取值在0，1，2，﹣2这4个数中，不能得到的是0，其中正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．下列各对数中数值相等的是（ ）
A．﹣12和（﹣1）2 B．﹣（﹣3）和﹣|﹣3|
C．（﹣2）3和﹣23 D．﹣3×23和﹣（3×2）3
10．用科学记数法表示289万正确的是（ ）
A．2.89×107 B．2.89×106 C．28.9×105 D．2.89×104
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．用四舍五入法0.00247精确到万分位是_____________．
12．一种面粉的质量标识为“25±0.25千克”，则该面粉质量合格的范围是______．
13．使用计算器计算：_______．
14．2020年12月6日，新闻报道称我国有1 200 000剂新冠疫苗支援印尼，其中1 200 000用科学记数法表示为________．
15．近似数8.3万精确到 __位；__（结果用科学记数法表示）．
16．若，则_______．
17．已知a，b为有理数且满足，则__________．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．用数轴上的点表示下列各数：，-2.5，，0，，并用“”把它们连接起来．
19．计算：
（1）
（2）﹣14+14+（2﹣32）．
20．已知实数a，b满足|2a﹣8|0，求代数式的值．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
22．已知x是整数，并且，在数轴上表示x可能取的所有数值．
23．观察下列等式
将以上三个等式两边分别相加得：
．
（1）猜想并写出： ；
（2）直接写出下列各式的计算结果：
① ；
② ；
（3）探究并计算：
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a、c满足．若点A与点B之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，点B在点A、C之间，且满足BC＝2AB．
（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）若点P为数轴上一动点，其对应的数为x当时，x＝ ；当代数式取得最小值时，此时最小值为 ．
（3）动点M从B点位置出发，沿数轴以每秒1个单位的速度向终点C运动，同时动点N从A点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向C点运动，设运动时间为t秒．问：当t为何值时，M、N两点之间的距离为2个单位？
25．细心观察下面三个图形，按下述方法找出规律．
（1）分别写出前面三个图形四角中四个数的积分别是 、 、 ；
（2）分别写出前面三个图形四角中四个数的和分别是 、 、 ；
（3）请你说明你发现的规律找出第四个正方形中的数，并说明理由．
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