2021-2022学年华东师大版九年级数学下册26.2.1二次函数y=ax2的图象与性质 课件（32张）

(共32张PPT)
26.2.1 二次函数 y =ax2 (a≠0)
的图象与性质
学习目标
1. 会用描点法画出二次函数 y =ax2 （a≠0）
的图象。
2. 掌握二次函数 y =ax2 （a≠0）的性质：
开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值。
回顾
反比例函数的图象
一次函数的图象
二次函数的图象是什么形状？
一条直线
双曲线
例1 画二次函数 的图象。
解：（1）列表：在 x 的取值范围内列出
函数对应值表：
…
…
y=x
…
3
2
1
0
-1
-2
-3
…
x
描点法
探究
0
1
4
1
4
9
9
（2）在平面直角坐标系中描点：　
x
y
o
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
10
8
6
4
2
-2
y = x2
（3）用光滑曲线顺次连接各点，便得到函数y= x2 的图象.
1
x
2
3
4
5
6
7
-2
-1
-5
-4
-3
-7
-6
8
1
2
3
-1
4
6
5
y
7
9
-2
0
y＝x2
例2 画二次函数 的图象。
解：（1）列表：在 x 的取值范围内列出函数
对应值表：
…
…
y=-x
…
3
2
1
0
-1
-2
-3
…
x
-9
-9
-4
-4
-1
-1
0
探究
描点法
（2）在平面直角坐标系中描点：　
x
y
o
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-2
-4
-6
-8
y = - x2
（3）用光滑曲线顺次连接各点，便得到函数y= -x2 的图象.
-10
这个函数的图象有什么特点
观察姚明的投篮……
二次函数的图象是不是跟投篮路线很像？
抛物线：
像这样的曲线通常叫做抛物线。
二次函数的图象都是抛物线。
一般地，二次函数 （a≠0） 的图象叫做抛物线
知识要点
y=ax + bx + c
用描点法画 y=2x2 和y=-2x2的图象
y=2x2
y= -2x2
x ··· -2 -1 0 1 2 ···
y=2x2 ··· ···
x ··· -2 -1 0 1 2 ···
y=-2x2 ··· ···
8
0
2
2
8
-8
-8
-2
-2
0
解：① 列表
解：① 列表
②描点
③连线
②描点
③连线
O
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
－8
2
4
6
8
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
y=2x2
y=-2x2
x
y
这条抛物线关于
y轴对称，y轴就
是它的对称轴.
对称轴、顶点、最低（高）点、最值
对称轴与抛物线的交点
叫做抛物线的顶点.
抛物线 y=x2 在 x轴上方(除顶点外)；
顶点是它的最低点，开口向上，并且向上无限伸展；
当x=0时,函数 y的值最小，最小值是0.
y
抛物线 y = -x2在x轴下方(除顶点外)；
顶点是它的最高点，开口向下，并且向下无限伸展；
当x=0时，函数 y的值最大，最大值是0.
当a>0时，在对称轴的
左侧 (即x＜0时） ，
y随着x的增大而减小。
当a>0时，在对称轴的
右侧 (即x＞0时） ，
y随着x的增大而增大。
当a<0时，在对称轴的
左侧 (即x＜0时） ，
y随着x的增大而增大。
当a<0时，在对称轴的
右侧 (即x＞0时） ，
y随着x的增大而减小。
当x=-2时，y=4
当x=-1时，y=1
当x=1时，y=1
当x=2时，y=4
当x=-2时，y=-4
当x=-1时，y=-1
当x=1时，y=-1
当x=2时，y=-4
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y = x2
y = - x2
（0，0）
（0，0）
y轴
y轴
在x轴上方(除顶点外)
在x轴下方( 除顶点外)
向上
向下
当x=0时, y最小值 =0
当x=0时, y最大值 =0
当x＜0时, y随着x的增大而减小.
当x＞0时, y随着x的增大而增大.
当x＜0时,y随着x的增大而增大.
当x＞0时,y随着x的增大而减小.
y = x2、y= -x2
（直线 x=0）
（直线 x=0）
(1)列表：
(2)描点：
(3)连线：
x
y=2x2
-2
0
1
-1
2
y=x2
y= x2
1
2
…
…
顶点坐标
例3 画出函数y=x2、y=2x2、y= x2的图象：
1
2
y=x2
y=2x2
y= x2
1
2
a>0，开口都向上；
对称轴都是 y轴；
增减性相同。
只是开口
大小不同
顶点都是原点(0,0)
探究
0
1
1
4
4
2
2
8
8
0
|a| 越大，开口越小。
(1)列表：
(2)描点：
(3)连线：
x
y=-2x2
-2
0
1
-1
2
y=-x2
y=- x2
1
2
…
…
顶点坐标
例4 画出函数y=-x2、y=-2x2、y=- x2的图象：
1
2
y=-x2
y=-2x2
y=- x2
1
2
a < 0，开口都向下；
对称轴都是 y轴；
增减性相同.
只是开口
大小不同
-4
-1
-4
-1
0
-8
-8
-2
-2
0
|a| 越大，开口越小。
顶点都是原点(0,0)
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=ax2 (a>0)
y= ax2 (a<0)
（0，0）
（0，0）
y轴
y轴
在x轴的上方(除顶点外)
在x轴的下方( 除顶点外)
向上
向下
当x=0时, y最小值 =0
当x=0时, y最大值 =0
当x＜0时, y随着x的增大而减小.
当x＞0时, y随着x的增大而增大.
当x＜0时, y随着x的增大而增大.
当x＞0时, y随着x的增大而减小.
y = ax2
（直线 x=0）
（直线 x=0）
（a≠0）
0
4
4
1
1
A
B
C
D
E
F
在同一坐标系内，
抛物线y=x2与
抛物线y= -x2的
位置有什么关系？
抛物线y=x2与
y=-x2关于x轴轴对称.
抛物线y=x2与
y=-x2关于原点中心对称.
3．抛物线y=x2的顶点坐标为 ．
若点A（a，4）在其图象上，则a的值是 ．
若点B（3，b）在其图象上，则b= ．
（0，0）
±2
9
（0，0）
-9
±2
2. 抛物线y=－x2上有一点A (2, __ ),
点A关于y轴的对称点A ′坐标为(__ , __)，
这个点____(填“在”或“不在”) y=－x2的图象上．
-4
-2
-4
在
练一练
4．抛物线y=－x2的顶点坐标为 ．
若点A（3，m）在其图象上，则m= ．
若点B（n，-4）在其图象上，则n的值是 ．
5．如图，A、B分别为y=x2上两点，
且线段AB⊥y轴，若AB=6，则
A点坐标为___________,
B点坐标为___________.
（-3，9）
（3，9）
练一练
例4、已知二次函数y=ax2(a≠0)的图象经过点(-2,-3). (1)求a的值，并写出这个二次函数的解析式.
(2)说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴、 开口方向和图象的位置.
1. 二次函数y=ax2(a≠0)的图象是一条抛物线.
2. 图象关于y轴对称,顶点是坐标原点.
当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线 的最低点;
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点.