反比例函数的图像与性质
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22．6 反比例函数的图像与性质
教学目标：
（1）知识与技能目标：经历画反比例函数图象的实践，知道反比例函数的图象是双曲线，会画反比例函数的图象。
（2）方法与过程目标：经历利用反比例函数图象来直观探究反比例函数基本性质的过程，进一步体会数形结合的思想方法和研究函数问题的方法，归纳并掌握反比例函数的性质。
（3）情感与态度目标：通过及时总结画图过程中所获得的经验，逐步提高从函数图象中获得信息的能力，养成认真、细心、严谨的学习态度和学习习惯。
二、学情教材分析：
由函数的关系式画出函数的图象，学生已经掌握了一次函数、二次函数的图象与性质，教材安排了由函数关系式先画出函数图象，然后有图象来归纳函数性质，在画图时教师指导学生来完成。设置问题让学生明白从哪些方面总结反比例函数的性质。
教学重点：
1、反比例函数图象的正确画法。
2、反比例函数基本性质的探究。
教学难点：
画反比例函数的图象.因为反比例函数的图象有两个分支，而且这两个分支的是不连续的，学生初次接触，一定会感到困难。
三、教学过程设计：
自学内容安排：
1、复习反比例函数的概念
2、鼓励学生回忆正比例函数的学习方法和探究过程，探索本节研究的主要内容。
探究一：怎样画反比例函数的图象？
（1）列表：
x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 …
y … -1 -2 -3 -6 6 3 2 1 …
（2）描点：
（3）连线：
学生动手实践，在草稿纸上画图。
意图：锻炼学生学以致用，探索新知的能力，也锻炼学生动手能力。
教师与学生活动：
1、教师在黑板上演示画反比例函数的图象时多取点的情况，通过演示感受反比例函数图象的大致形状。和纠正学生画图中的不足。
2、怎样画反比例函数的图象？
探究二：反比例函数的图象特征与性质
根据反比例函数、、的图象，让学生通过进行观察、比较，分析下面问题。
（1）图象是由几部分构成的，为什么不连续？图象的位置分布。
（2）结合图象函数值何时变大，何时变小？
（3）如果从图象上任取一点P(a,b)，那么与点P关于原点成中心对称的Pˊ(-a, -b)还在图象上吗？图象具有什么性质？
学生思考，并与同伴交流。
做一做：画反比例函数的图象。（见课本P40页）
意图：进一步让学生锻炼由函数解析式画反比例函数图象的能力。
议一议：观察图象你能得出函数哪些性质？（可以类比K﹥0时情况来探究）
☆教师提醒学生注意反比例函数图象的不连续性，在每一象限内函数值的变化情况。
比一比：反比例函数y= 与y=－的图象有什么相同点和不同点？
总结：
一般的，反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线
反比例函数y=的图象，当k>0时，两个分支分别位于第一象限和第三象限内，在每个象限内，y的值随x值的增大而减小；
当k<0时，两个分支分别位于第二象限和第四象限内，在每个象限内，y的值随x值的增大而增大.
当x值的绝对值无限增大或接近于零时，反比例函数图象的两个分支都无限接近x轴或y轴，但永远不会与x轴和y轴相交.
例题：如图，已知P是双曲线上的任意一点，过P分别作PA⊥轴，PB⊥轴，A，B分别是垂足，
（1）求四边形PAOB的面积。
（2）P点在图象上移动时，四边形PAOB的面积如何变化？
结论：从反比例函数y=的图象上任一点向两坐标轴作垂线，这一点和垂足及坐标原点所构成的矩形面积S矩=│k│．
四、小结：
本节课我们学习了反比例函数的概念及其图象的性质.对函数的概念，函数的图象的性质有了进一步的认识。
反比例函数的图象位置和增减性是由反比例系数k的符号决定的；反之，双曲线的位置和函数性质也能推出k的符号，注意让学生体会数形结合的思想方法。
五、练习：
六、作业：
教学反思：
这节课主要教学目标是让学生学会画反比例函数的图像，通过作图理解反比例函数的图像是双曲线，并理解比例系数k对图像的影响。在教学过程中，学生基本上完成了作图，并且通过作图初步归纳出比例系数k与图像的关系，我在教学过程中的板书设计等也达到示范性的作用。
这节课的问题在于，学生的参与度不是很高，主动积极地创设性学习不够，大部分学生能按照老师的意图进行操作和总结，但是在开创性问题上明显参与度不高，比如在例题中（2）的分析中，学生缺乏主动探索的精神，在课堂教学中也没有留出足够多的时间和营造合适的氛围来让他们讨论探索这个问题，这是很明显的一个失误，对于学生的创造性思维的培训是一个大的缺失。
如果重新上这节课，在教学设计我可能会作了一大的改变，让学生先作出y= 与y=－的图像，然后通过观察图像的异同点来进行总结归纳，在总结的地方引导学生观察一个点P（x,y）上xy与k的关系，为后面的例题（2）问题作好铺垫。
教学目标：
（1）知识与技能目标：经历画反比例函数图象的实践，知道反比例函数的图象是双曲线，会画反比例函数的图象。
（2）方法与过程目标：经历利用反比例函数图象来直观探究反比例函数基本性质的过程，进一步体会数形结合的思想方法和研究函数问题的方法，归纳并掌握反比例函数的性质。
（3）情感与态度目标：通过及时总结画图过程中所获得的经验，逐步提高从函数图象中获得信息的能力，养成认真、细心、严谨的学习态度和学习习惯。
二、学情教材分析：
由函数的关系式画出函数的图象，学生已经掌握了一次函数、二次函数的图象与性质，教材安排了由函数关系式先画出函数图象，然后有图象来归纳函数性质，在画图时教师指导学生来完成。设置问题让学生明白从哪些方面总结反比例函数的性质。
教学重点：
1、反比例函数图象的正确画法。
2、反比例函数基本性质的探究。
教学难点：
画反比例函数的图象.因为反比例函数的图象有两个分支，而且这两个分支的是不连续的，学生初次接触，一定会感到困难。
三、教学过程设计：
自学内容安排：
1、复习反比例函数的概念
2、鼓励学生回忆正比例函数的学习方法和探究过程，探索本节研究的主要内容。
探究一：怎样画反比例函数的图象？
（1）列表：
x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 …
y … -1 -2 -3 -6 6 3 2 1 …
（2）描点：
（3）连线：
学生动手实践，在草稿纸上画图。
意图：锻炼学生学以致用，探索新知的能力，也锻炼学生动手能力。
教师与学生活动：
1、教师在黑板上演示画反比例函数的图象时多取点的情况，通过演示感受反比例函数图象的大致形状。和纠正学生画图中的不足。
2、怎样画反比例函数的图象？
探究二：反比例函数的图象特征与性质
根据反比例函数、、的图象，让学生通过进行观察、比较，分析下面问题。
（1）图象是由几部分构成的，为什么不连续？图象的位置分布。
（2）结合图象函数值何时变大，何时变小？
（3）如果从图象上任取一点P(a,b)，那么与点P关于原点成中心对称的Pˊ(-a, -b)还在图象上吗？图象具有什么性质？
学生思考，并与同伴交流。
做一做：画反比例函数的图象。（见课本P40页）
意图：进一步让学生锻炼由函数解析式画反比例函数图象的能力。
议一议：观察图象你能得出函数哪些性质？（可以类比K﹥0时情况来探究）
☆教师提醒学生注意反比例函数图象的不连续性，在每一象限内函数值的变化情况。
比一比：反比例函数y= 与y=－的图象有什么相同点和不同点？
总结：
一般的，反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线
反比例函数y=的图象，当k>0时，两个分支分别位于第一象限和第三象限内，在每个象限内，y的值随x值的增大而减小；
当k<0时，两个分支分别位于第二象限和第四象限内，在每个象限内，y的值随x值的增大而增大.
当x值的绝对值无限增大或接近于零时，反比例函数图象的两个分支都无限接近x轴或y轴，但永远不会与x轴和y轴相交.
例题：如图，已知P是双曲线上的任意一点，过P分别作PA⊥轴，PB⊥轴，A，B分别是垂足，
（1）求四边形PAOB的面积。
（2）P点在图象上移动时，四边形PAOB的面积如何变化？
结论：从反比例函数y=的图象上任一点向两坐标轴作垂线，这一点和垂足及坐标原点所构成的矩形面积S矩=│k│．
四、小结：
本节课我们学习了反比例函数的概念及其图象的性质.对函数的概念，函数的图象的性质有了进一步的认识。
反比例函数的图象位置和增减性是由反比例系数k的符号决定的；反之，双曲线的位置和函数性质也能推出k的符号，注意让学生体会数形结合的思想方法。
五、练习：
六、作业：
教学反思：
这节课主要教学目标是让学生学会画反比例函数的图像，通过作图理解反比例函数的图像是双曲线，并理解比例系数k对图像的影响。在教学过程中，学生基本上完成了作图，并且通过作图初步归纳出比例系数k与图像的关系，我在教学过程中的板书设计等也达到示范性的作用。
这节课的问题在于，学生的参与度不是很高，主动积极地创设性学习不够，大部分学生能按照老师的意图进行操作和总结，但是在开创性问题上明显参与度不高，比如在例题中（2）的分析中，学生缺乏主动探索的精神，在课堂教学中也没有留出足够多的时间和营造合适的氛围来让他们讨论探索这个问题，这是很明显的一个失误，对于学生的创造性思维的培训是一个大的缺失。
如果重新上这节课，在教学设计我可能会作了一大的改变，让学生先作出y= 与y=－的图像，然后通过观察图像的异同点来进行总结归纳，在总结的地方引导学生观察一个点P（x,y）上xy与k的关系，为后面的例题（2）问题作好铺垫。