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整式乘除与因式分解
黄婉儿
数学，在我们的生活中可谓是无处不在，无论是建筑物的设计，又或是城市的规划，无论哪里，似乎都能跟数学沾边。而我们这一章学的整式乘除与因式分解，恰恰又是与我们的生活联系得很紧密的一章。
可是，这一章也是我们学习的难点，有很多问题我们常常会混淆。比如我们会把同底数幂的乘法与幂的乘方混淆，很多人在计算同底数幂的乘法时把两个底数相加。所以我总结出了本章以下几个易错点。
1、 对乘方概念不明确。
如 错误解为：，主要原因原因是应是等于，而不是；
2、 乘法公式掌握不好。
我们在计算中经常出现下列结果，需引起同学们注意，如，这是错误的。要求正确区别平方差公式与完全平方公式，
平方差公式：a -b =（a+b）（a-b）
完全平方公式：a ±2ab+b =（a±b）
3、用提公因式法分解因式时，经常出现下列情况：
，此时，中还有公因式可以提出来，正确解法是：
我们在做分解因式时，对于最后的结果，应该再仔细寻找一遍，看是否还有公因式的存在，还有公因式存在的结果并不完整，应该要继续提公因式。
4、因式分解的最后结果应是不能再分解为止，如
我们在因式分解的时候，要注意结果的每一项是否还含有可分解的地方，就算再细微，或是分解了之后远不如不分解时的简短，我们都要把它分解开来，一点都不放过。
对于整式乘除与因式分解，我总结出来的几点都是同学们平时易错的地方，但只要我们细心，能够正确分清它们之间的联系与概念，我们就可以做到零错误。同时，我们也要会利用整体思想与构造公式模型的思想去灵活运用每一个公式和知识点，那么，再难的数学题也会被我们攻克。
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探索因式分解
石础健
初一的时候，我们就已经学过了整式的乘法，现在，就先大家介绍下因式分解。其实说白了，分解因式和整式的乘法其实是两种相似的运算，打个比方：如果把整式的乘法看成从家走到学校的路，那么分解因式就是从学校走到家的路。从数学的角度来说分解因式就把一个多项式化成几个整式积的形式。
我想大家看了我的介绍一定对分解因式有了初步的理解，现在我在给大家介绍几个分解因式的方法。
首先，先给大家介绍一个分解因式最基本的方法：提公因式法。要学会提公因式，就得先了解什么是公因式。我们把多项式各项都含有的相同因式叫做这个多项式各项的公因式。找公因式有三个步骤：①找各项系数的最大公约数；②找各项都含有的字母；③找相同字母的最小指数。举个例子：的公因式就是。如果你已经掌握了公因式的概念，那么我们现在就可一学习下提公因式法。准确的说，如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把着个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这就叫做提公因式法。也就是说，提公因式法就是把单项式乘以多项式反过来运用，即（小学时说的乘法分配律的逆运算）。
介绍完了提公因式法，咱再给你支一招：运用公式法。其实运用公式法就是运用公式或公式的逆运算来进行分解因式的一种方法。
现在就向你介绍几个常用的公式：
只要你能够掌握这些公式，并且熟练的用在分解因式上，那么你就算是基本学会了运用公式法。
仅仅是掌握了那两种方法是远远不够的，所以我再向大家介绍两种方法：分组分解法和十字相乘法：
当多项式的项数较多时，可以将这个多项式进行合理的分组，以达到顺利分解的目的，这样就可以用到分组分解法（最基本的一种分组分解法的表达公式为。
分组分解法还有两条基本原则：
(1) 分组后可以直接提取公因式；(2)分组后可以直接应用公式。
(2) 接着介绍一下十字相乘法：
(3) 最基本的一种十字相乘法，即。对于形如结构特征的二次三项式就可以考虑用十字相乘法,（“”型也可考虑此种方法。）
只要你学会了以上四种分解因式的方法，那么可以说，对于大部分分解因式的题目，你都可以轻松地解决它们。学习是永无止境的，那么你可以去了解另一些方法。例如：双十字相乘法，拆法、添项法，换元法，待定系数法，因式定理、综合除法……这些方法对与今后的学习将会有很大的帮助。
分解因式的方法是多样的，且其方法之间相互联系，一道题很可能要同时运用多种方法才可能完成，故在知晓这些方法之后，一定要注意各种方法灵活运用，牢固掌握!
最后，再向大家介绍一些分解因式的思路与解题步骤：
(1)先看各项有没有公因式，若有公因式，则先提取公因式；
(2)再看能否使用公式法；
(3)用分组分解法或十字相乘法；
(4)分解因式的最后结果，必须是几个整式的积，如，因其右边不是积的形式，故不是分解因式；
(5)分解因式的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止．如．尽管其右边已是两个整式的乘积形式，但还能继续分解，故不是分解因式。
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因式分解学习心得
叶雅翠
因式分解就是把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做多项式因式分解因式，也叫做分解因式，在数学求根作图方面有很广泛应用。
因为分解有两种方法，一是提公因式法，二是公式法。提公因式法就是把一个多项式各项含有的公共因式提前，将多项式化为两个因式乘积的形式。公式法是利用先前学的乘法公式进行因式分解，主要就有两种公式平方差公式和完全平方公式。
刚开始学因式分解的时候感觉不是很难 ，做起提来也算是得心应手，但越往后有一段时间就越学越晕，不是弄错了符号，就是看少了公因式的字母或数字，后来经过大量的学习轰炸，终于不会再犯这种错误了，连有些变形较深的或应用到日常中的题目也有所涉猎，如：
已知x—y= xy=8，求-的值。
解：原式=
=
把x—y= ， xy=8代入
原式=
这种题目在卷子上不少见，虽然不算难题，但巧妙地结合了提公因式法和公式法中的解法，而且一不留心就会少个负号，提错数。所以对待这种题目最重要是先擦亮眼找准公因式，把它提出来之后再看看有没有可以用公式法解得，总之结果一定会是整式的积的形式，因式分解是中学最重要的变形之一，她被广泛应用于初等学习中，是我们解决很多数学问题的有效工具，因始我们要好好学习因式分解。
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§15.1.4 《多项式与多项式相乘》课堂实录
高重英
一、课前小测：
师：课前小测，用5分钟。
生：在学案上认真解答。
师：巡视，了解学生解题情况。
生：口答小测答案，全体学生修改。
二、知识回顾：
师：再回顾上节课学了的知识。
说出单项式乘以单项式的运算法则和多项式乘以多项式的运算法则：
生：口答法则
师：前面讲的整式的乘法实际上就是： 单项式 × 单项式 单项式 × 多项式。
三、创设情境，感知新知
师：提出问题，引入新课问题：为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长米，宽米的长方形绿地增长米，加宽米，求扩地以后的面积是多少？
组织讨论：如图，计算此长方形的面积有几种方法？如何计算？
生：分小组讨论方案，小组派代表把答案在黑板上写出
方法一：；
方法二：；
方法三：；
方法四：；
师：分析方案的正确性，修正答案，讲解理由。因为同一块绿地的面积相等
所以得到；
师：提出多项式乘以多项式的规律生：口述多项式乘以多项式的法则
四、学以致用
师：讲解例题，计算：
（1）；
（2）；
解 (1)原式
生：演板类似例题(2)
师：讲解，提出几点注意：（1）不要漏乘项 （2）项与项带符号相乘
生：做练习，看谁做的快
生：请四位同学各演板一题，教师巡查
师：讲解，补充其他学生出现的典型错误:。
正解：,确定所有同学都能利用法则计算
师：同学会了多项式乘以多项式后，老师想让大家再上一个台阶
生：在学案上快速计算，请一生把结果写到黑板上
师：对答案，改错
引导发现计算规律
生：推出：
师：抢答计算结果，给快速的同学表扬和鼓励
生：运用上式，口答问题
五、 本节课我学会了：
生：我的收获：（小组交流）
生：我学会了多项式与多项式怎样相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
生：多项式与多项式相乘时，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号。多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定各项的符号。不要漏乘。
生：我学会了怎样快速计算形如：
师：同学们总结得都很好，望解题时认真对待，尽量不出错。
六、课堂小测
生：下面开始做课堂测验
生：做5分钟后,上交.
生：这节课上到这里,下课!
(a+b)( m+n)=am+an+bm+bn
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笑傲《整式乘法与因式分解》
何嘉盈
我们知道，可以用字母表示数，用含有字母的式子表示实际问题中的数量关系，通过对整式的进一步讨论和学习，是我们能够解决更多与数量关系有关的问题，加深对“从数到式”达到笑傲数学的程度，轻松学习数学。
因式分解是把一个多项式化为几个整式的乘积形式，它与整式乘法是互逆的；对一个多项式进行因式分解，就应先考虑它是否有公因式，再考虑是否能运用公式；因式分解要进行到每个多项式因式都不能继续分解时才能终止；当多项式的首项是负号时，通常把负号连同公因式一起提取出来，这时，要注意括号内各项的符号都要改变；要有“整体”意识。
在初中数学中,因式分解是一个十分重要的概念,在解题中有着广泛的应用,借助分解因式可解决计算、求值、说理等多方面的问题。因式分解也是整式乘法的一种重要变形,在解题过程中,问题变化万千,方法灵活多样,课本中介绍了提公因式法,运用公式法,分组分解法和简单的十字相乘法等基本方法,本文拟就初中数学中的因式分解谈几点粗浅的认识
通过课堂上的学习，对于整式的乘法有了更深入的学习体会：
1.了解了式乘法（同底数幂、幂的乘方、积的乘方）的概念和公式。理解代数式的值的概念，能正确地求出代数式的值；
2、 理解整式、单项式、多项式的概念，会把多项式按字母的降幂（或升幂）排列，理解同类项的概念，会合并同类项；
3、 掌握同底数幂的乘法和除法、幂的乘方和积的乘方运算法则，并能熟练地进行数字指数幂的运算；
4、 能熟练地运用乘法公式（平方差公式完全平方公式及（x+a）(x+b)=x2+(a+b)x+ab）进行运算；
而分解因式的学习，则先学好整式的乘法，掌握公式，才会在因式分解中游刃有余：
1．因式分解不能只分解多项式中的某项，而是分解全部，并且一定要分解到每一个因式都不能再分解为止。
2．因式分解时，应先观察多项式中的各项是否含有公因式，若有应先提公因式，所以提公因式是因式分解的最基本的方法。
3、若多项式是两项之差，应注意观察可否用平方差公式来分解，但也要注意有的时候利用加法的交换律同样有平方差的存在。若多项式为三项，应注意是否符合完全平方公式分解。笑傲数学，笑傲整式乘法，笑傲因式分解，学会总结、学会举一反三，数学世界将畅游神奇和美妙！
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关于因式分解
叶晨
刚上初二时，翻开崭新的数学书，很快发现了一个新的名词------ 因式分解。于是便产生了好奇心，究竟是什么是因式分解呢呢？甚至产生了一点担心儿担心，因式分解会不会很难学呢？当学习了这一章后，我的疑问就解开了。
我觉得，因式分解的运算和我们早在初一的时就学过的整式乘法运算有着些许联系。因式分解与整式乘法是相反方向的运算、而什么是因式分解呢？其实就是把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把一个多项式因式分解。
随着慢慢的学习，我学习到了两种因式分解的方法。提公因式方法以及公式法。首先，先来说说提公因式法。例如式子、就可以用提公因式来分解，先取多项式各项中都含有的相同因式，也就是公因式。可得像是这种因式分解的的方法就叫做提公因式法。同时，在找公因式时要注意以下几个步骤：一、我们要找各项系数的最大公约；二、找各项都含有的字母；三、找相同字母最小指数。例如这个式子通过以上的步骤，可得公因式是。在学习了提公因式法后，我还接着学习了公式法。公式法就是运用公式或逆运算来进行因式分解。这本书中我们学到的公式主要有)和，。式子中有公因式要先提公因式要先提公因式，然后再运用公法进行因式分解，结果必须进行到每个因式都不能在分解为止。
当然，分解因式还有许多的方法，分组分解法，十字相乘法，换元法等。学习是永无止境的，在分解因式上我们还需要学习的还有很多。总而言之，分解因式的方法多种多样，我们一定要将他们灵活运用，才能真正的牢固掌握因式分解！
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整式乘除与因式分解
叶家欣
著名数学家华罗庚说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日月之繁，无处不用到数学。”特别是二十一世纪的今天，数学的应用更是无所不在。
老师说过，数学思想方法是处理数学问题的指导思想和基本策略，是数学的灵魂.因此，我们领悟和掌握以数学知识为载体的数学思想方法，是提高思维水平，真正懂得数学的价值，建立科学的数学观念，从而发展数学，运用数学的重要保证.整式乘除一章中，隐含着许多重要的数学思想方法，需要我们去挖掘、拓展和应用，经过了学习整式的乘除，我们在老师的谆谆教诲下，学习到了许多关于整式乘除的数学思想和方法。
如：
一、构造公式模型的思想方法
计算11×101×10001.
分析:若直接相乘,计算量很大,但仔细观察到:11=10+1,101=100+1,10001=10000+1,所以在原式中只要乘以(10-1),即可连续运用平方差公式计算.
二、整体思想
因式分解：a +2a（b+c）+（b+c）
分析：这个式子看似很难因式分解，而且毫无头绪，但只要把（b+c）看成一个整体，那么完全平方公式（a+b） =a +2ab+b 就体现出来了。那么这个因式分解便可快速解出。
在整式的乘除与因式分解这章中，除了体现了数学思想，我们还学习了整式的乘除法、乘法公式、因式分解等等，这些看似枯燥无味的数式运算中，里头可是蕴含了许多知识，计算途中如果一个细节出了问题，那么整道题都等于是错误，所以我们一定要细心，这一个个小小的数字中，蕴含的可是大大的学问，它们可是解决其他数学问题的重要基础，我们应该认真学好。
我记得我以前一直分不清整式乘法与因式分解有什么不同，但通过老师的讲解，我才知道了乘法运算是利用运算方法得出最后结果，而因式分解则是把一个多项式化成了几个整式的积的形式。
从这个事例可以得出，整式乘除与因式分解既有共同之处，也有不同之处，我们要留意细节，归纳整理，这样才有条理的学习数学，分清每一个知识点。
数学是奇妙的，它总是千变万化，就像一颗神秘的糖果，不去尝试，就不会知道其中的味道，在这章的学习中，我懂得了小数字也有大含义。
这就是数学的魅力之处。
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因式分解学习感想
杨金辉
近来，我们刚刚学完了因式分解这一课。别人说这个很难，但是经过一番学习，我发现并没有他们想象的那么难，主要是要掌握方法。下面谈谈我的一些学习因式分解的心得。
首先，要懂题意，这是前提，你只有看懂了题目，才能继续往下想，不要一拿起笔就“唰唰”地写，这样只会让思想变得很乱。所以说我们在做题时一定要耐心，看清题意再做。
其次，就是要巧做题了，有的人一看到长题目就害怕，其实不用的。在场的题目也有它的规律或做题技巧，只要看出来了，困难就迎刃而解了。怎样巧做呢，其实，在因式分解题目中有很多题目，是可以倒用某些公式的。例如a2-b2，这道题可以倒用平方差公式，得(a+b)(a-b)，又如ax+by-bx-by，这道题看上去好像没有着手处，其实其实只要找同类项就行了，可以得出a(x-y)+b(y-x)，到这里很多同学又不会了，但仔细看看，(x-y)与(y-x)互为相反数，转换一下就可得出a(x-y)-b(x-y)，再合并同类项就得出答案(a-b)(x-y)了。
再来就是要细心，在做题时，我们不要忽略一些看似简单的题目，例如：a4-b4,，倒用平方差公式得(a2+b2)(a2-b2)，仔细观察，a2-b2还能分解得(a+b)(a-b)，最后答案为(a2+b2) (a+b)(a-b)。类似的题目还有很多，我们在做题时一定要多加小心，不要掉进陷阱。
在考试中，我们没有太多的时间去思考一道题，有人说在考试时遇到一道分值很高的难题怎么办？为了对付这种情况，要从平时做起，平时要多做练习，只有熟悉了题型，才能一看到题目就马上转过思想来。
以上就是本人对因式分解的一些见解，希望能帮到大家！
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初中数学论文
——因式分解
杨珂帆
学无止境，只有一步步去攀登才能获取更多的知识。学习数学也一样，它开发我们的智力，又和日常生活息息相关。下面我们就来了解与生活有紧密联系的因式分解。
学习因式分解，我们首先要了解因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，(也叫作分解因式)
学习过整式的乘除之后，我们会发现分解因式与整式乘法互为逆变形。
因式分解有什么重要的意义呢？因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养我们的解题技能，发展我们的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础。
因式分解应注意三原则：
1 分解要彻底
2 最后结果只有小括号
3 最后结果中多项式首项系数为正
因式分解 之 提公因式法↓
例题 3(x-y) -2(y-x)
分析：这道计算题如果直接运算的话，显然无从下手。但是，如果我们用到了提公因式法，就可以轻松解决这个问题。从这道题来看，好像没有公因式，但是要注意一点，我们可以利用以前学过的知识，知道(y-x) 可以转换为(x-y) ，因为是平方，所以-2符号不变。所以这道式子可以转换为3(x-y) -2(x-y)
∴ 3(x-y) -2(y-x)
解 =3(x-y) -2(x-y)
=(x-y) [3(x-y)-2] (提出(x-y)的最低次数，选定为公因式)
=(x-y) (3x-3y-2) (化到最简)
学好因式分解，可以方便我们的生活，成为我们解决许多数学问题的有力工具。
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§15.1.4 《多项式与多项式相乘》教学设计
高重英
教学目标 知识技能 探索多项式乘法法则，理解多项式乘法法则运用多项式乘以多项式法则运算
数学思考 经历观察、探索、归纳，解题等的学习过程，培养学生逆向思维，渗透化归的思想方法
情感态度 通过创设情境，激发学生学习兴趣，给学生创造成功的机会，体验成功的快乐。
重点 多项式乘以多项式
难点 1、不漏乘项 2、正确处理符合问题
使用教具 多媒体
教学过程
设计意图【1】检查旧知识，为本节新知做铺垫。【2】回顾知识，便于本节学习【3】这个问题激起学生的求知欲望，引起学生对多项式乘法学习的兴趣。 【4】借助几何图形的直观，使学生从图形中可以看到。让学生对这个结论有直观感受．小组讨论可得不同结果，发散学生思维【5】让学生试着总结多项式与多项式相乘的法则. 【6】强调多项式与多项式相乘的基本法则，提醒注意多项式的每一项都应该带上他前面的正负号．在计算时一定要注意确定积中各项的符号．【7】学生演板，发现问题，巩固知识【8】拓广探索【9】学生自己总结 一、课前小测：【1】（1）； （2）； （3）； （4）；（5）； （6）；（7）=二、知识回顾：【2】1、写出三个公式：2、说出单项式乘以单项式的运算法则和多项式乘以多项式的运算法则：3、前面讲的整式的乘法实际上就是：单项式×单项式 单项式×多项式三、创设情境，感知新知【3】1、问题：为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长米，宽米的长方形绿地增长米，加宽米，求扩地以后的面积是多少？组织讨论：如图，计算此长方形的面积有几种方法？如何计算？小组讨论，你从计算中发现了什么？【4】方法一：方法二：方法三：方法四：由于和表示同一个量，所以有：2、探索法则与应用。学生动手3、过程分析： ----单×多 ----单×多4、得到结论：【5】多项式与多项式相乘法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。四、学以致用1、例题：（1）； （2）；（3） 【6】2、练习：大显身手：比一比，看谁做的快【7】（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）；3、再上新台阶：试一试【8】（1） （2）（3） （4）4、根据上面计算的结果，你们有什么发现？观察课本148页图，填空 + ( ) + ( )5、试一试： 确定下列各式中和的值:（口答）（1） （2） （3） （4） （5）,、为正整数， ，= ，= 。提醒：（1）利用下式（2）注意符号五、 本节课我学会了：【9】1、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。2、多项式与多项式相乘时，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号。多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定各项的符号。3、公式：六、课堂小测 （在学生学案上）七、课后作业：学习辅导48页 教材170页第一题
预习提示 《整式除法》一节，并完成课后课堂练习。
板书设计 课题：多项式与多项式相乘 1、多项式与多项式相乘 2.、讲例板书 3、注意几点 （1）不漏乘 （2）带符号相乘
课后反思 掌握多项式乘以多项式的法则，熟练地运用法则，准确地进行计算。要注意不要漏乘任何一项；要注意带“－”的问题； 在几个多项式乘以多项的运算中，要注意运算顺序，完成乘法后，要合并同类项，得出最简结果。通过例题教学，学会总结知识。培养学生灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力。
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因式分解趣味无穷
吴小莉
通过学习因式分解，我从更广的方面学会了一种数学变形。在小学时我们知道，要想解决类于630能被那些数除的题，就需要把630解成质数的乘积的形式，即
630=2×3×5×7
类似地在式子的变行中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式，如 =x（x+1）
像这样把一个式子变成几个整式的积的形式，这种方法即为因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
因式分解有两种方法，一种为提公因式法。将多项式ma+mb+mc的各项都有的字母m提取也来，就能得到m（a+b+c）这样就把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式（a+b+c）是（ma+mb+mc）所得的商，像这种分解因式的方法就叫做提公式法。其技巧是“先提后用”。
把整式乘法的平方差公式（a+b）(a—b)=和完全平方公式反过来，就可以得到。这样的分解因式就叫做公式法
分解因式必须进行每一个多项式因式都不能再分解为止，如 就完了吗？不，还可以继续分解成（a+1）（a－1）
通过学习因式分解，让我对这种数学变形有了更浓厚的兴趣。让然我明白，纸上得来终觉浅的真理，生活处处皆数学，只要多观察，你就拿到了开启智慧之门的金钥匙。
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因式分解的应用
郭子荣
通过对书本第十五章的学习,我们已学会在因式分解的几种基本方法.下面我来简单谈谈这些方法的应用.
⑴提公因式法.
各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式.如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.简单来说就是找到躲在里面相同的数!
来做一题试试吧! -am+bm-cm
没错,当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的;取相同的多项式,多项式的次数取最低的.即里面的m,所以把m提出来,那么各项还剩下的,就是把落单的那几个凑在一起,形成一个大集体.
过程如下:
-am+bm-cm
= -m(a-b+c);
这里要提到一点,如果多项式的第一项是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数成为正数.提出“-”号时,多项式的各项都要变号.这也就是要注意符号的问题.再来一题,a(x-y)+b(y-x),对了,把隐藏在里面的(x-y)给找出来.过程如下:
a(x-y)+b(y-x)
=a(x-y)-b(x-y)
=(x-y)(a-b).
⑵运用公式法
如果把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫运用公式法.
大家还记得这些耳熟能详的公式吗
平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b);
完全平方公式:a2±2ab＋b2＝(a±b)2;
大家有没有发现呢,在我们做过的题目中,能运用完全平方式分解因式的都是三项式.所以我们便可以说:”能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数的平方和的形式,另一项是这两个数乘积的2倍.”
在a2+4ab+4b2,我们能观察到,里面有两个数的平方和,例如a2可以写做(a)2和4b2能写成(2b)2的形式.此外,我们还能发现里面有4ab,而4ab又恰好是a与2b乘积的两倍.所以说a2+4ab+4b2能运用完全平方和公式.
过程如下:
a2+4ab+4b2
=(a)2+2*(a*2b)+(2b)2
=(a+2b)2
⑶分组分解法
把一个多项式适当分组后,再进行分解因式的方法叫做分组分解法.
就像把他们分成几组好朋友,但是要考虑他们到底和不和得来,是否适合分完后还能做知心朋友呢 用分组分解法时,一定要想想分组后能否继续完成因式分解,由此选择合理选择分组的方法,即分组后,可以直接提公因式或运用公式.
例如:m2+5n-mn-5m,我们可以发现如果就按这顺序来分的话显然不行,所以我们必须换一种思路,转一下弯,尝试分组分解法!我们便可以发现当我们把m2和-5m分为一组,把-mn和5n分为另外一组时,我们就可以找到躲在他们里面共同的(m-5)了!所以要恰当的分组.
过程如下:
m2+5n-mn-5m
= m2-5m -mn+5n
= (m2-5m)+(-mn+5n)
= m(m-5)-n(m-5)
= (m-5)(m-n)．
对于因式分解的基本方法,还有很多,本文只介绍这三种,若您感兴趣,或有更好的思路,可以继续深入研究.
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因式分解学习心得
古京卉
第一次接触因式分解时，我发现它与整式乘法就如亲生兄弟一样，只不过一个正着走，一个倒着走罢了。因式分解，就是把一个多项式化成几个整式的积的形式，正好与整式乘法相逆
？怎么运算更简便呢？一看到这个眼熟的式子，我面马上想起了前面学的整式乘法公式（x+y）（x-y）=。那么把整式的两边调焕，是否成立？纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。原来，
=
=x（x+y—y（x+y）
=(x—y)(x+y)
通过计算，我发现此公式可逆用。同样地，通过老师的讲解和计算，不难得出
，
这两个数的平方和加上或减去这个数的积的两倍，就是两数和或差的平方，这样的式子叫完全平方公式。学到了公式，就有了做因式分解题目的基础。但为了更好的运用它们，我们还需要学习更多的方法。下面请看又一例
分解公式：（a+b）—12m（a+b）+36m
解原式=m（a+b）—12（a+b）+36m
=m（a+b）—2（a+b）6+6
把a+b看作一个整体n，则原式化为完全平方式
n—12n+36=m（a+b—6）
这道题需要运用整体思想，因式分解中许多题目都有用到这种思想。而且，通过几次小测，我发现因式分解的学习中一定要有打破沙锅问到底的钻研精神，即将一道式子分解得不能再分了，才算过关。
在因式分解的学习中，我不仅学会了如何分解因式，学会如何应用各种数学思想，更懂得了钻研精神在数学学习中是多么的重要！
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§15.1.4 《多项式与多项式》教学反思
高重英
多项式与多项式相乘的基础是单项式与多项式乘法法则，在此基础上从几何代数两个角度去探索多项式与多项式相乘的法则，然后能熟练运用，使学生进一步感受数形结合的魅力。
整个教学过程的主线和重点定在学生如何自主地探索多项式乘法法则的程以及如何熟练运用法则解决问题这两点上，并创设了复习旧知，做好铺垫；创设情境，探索新知；总结规律，归纳法则；运用知识，尝试解题；应用巩固，延伸训练；课内深化，提升能力；反馈总结，达标测试等几个教学环节。
“问题是数学的心脏。”因此，本节课我根据优化课堂教学的需要对教材进行适当的加工处理，根据教学要求，结合学生的实际，按照学生的年龄特征、认知规律，把课本中的例题、结论等书面东西，转化为学生能够亲自参加的活生生的数学活动，在有趣的活动中自己解决问题。以问题带动教学，精心创设探究性问题，让学生感受到数学问题的探索性和挑战性，以此激发学生的探索欲与创造欲。
在这节课，我用知识推进的方式，从正方形的面积下手，将正方形分割成符合要求的长方形，再来进行面积的计算或表示。以此来推进新知识，并在黑板上认真板书计算过程和讲解每一步的原因，强调书写的步骤和容易出错的地方。还在黑板上出了几道题来请学生上台演练，并请学生来评判正误。尽管如此，我还是不敢奢望当天的作业能全数过关。就在我怀着忐忑不安的心情批改作业时，我才发现当天的作业比以前好很多。不论是书写格式，还是计算过程，乃至最后多项式的排列，都令我很满意。
我感觉我们教师在备课和授课者两个环节上要注意衔接，要学会在讲授知识时把自己处在学生的角度来接受知识，不能高估学生能力。有些知识在我们看来是非常容易理解的，可是学生却不能正确理解和接受，我们要在教学之后的作业批改中反思自己的教学，让自己的教学能更好的走进学生！使学生体验到了平等、自由和民主，同时也受到了激励和鼓舞，从而形成积极而丰富的人生态度与体验。
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如何提高数学听课效率
戴丽芬
我认为要提高数学的听课效率要做到三点：一要保持良好的睡眠，二要边听边思考，三要认真做好老师课堂布置的作业。
我认为这三个方面是非常重要的，缺少其中任何一点都会导致听课效率下降，甚至会使听课效率变为零。
其中我认为第一点是最重要的，没有充足的睡觉危害极大，其最主要的表现就是上课没法专心听讲，甚至上课想睡觉，还会使思维的灵活程度下降，影响解题能力，在睡眠严重不足的时候会使得听课效率为零。有时候我也会犯这种错误。有一次我因为睡眠不足而导致在上课的时候走神，结果一节课下来什么也没有听懂，跟没上课一样。所以我认为有足够的睡眠是提高学习效率的最重要的一项，没有足够的睡眠的话，其余两项都是空谈，因此何足挂齿良好的睡眠是提高学习效率的前提。
在有充足的睡眠后，连听课边思考边消化就是提高学习效率的下一个步骤。在认真听课的同时边思考老师提出来的问题，做好笔记写出自己的解题方法，与老师比比谁快。这样就可以在边听边思考的过程中把要学习的东西消化，不仅可以切实提高学习效率，而且可以节约时间。这样还可以把节约下来的时间用在其实学科上面，还可以提高其它学科的学习效率。所以在上课时边听边思考边消化是提高学习效率的重要步骤。
在边听边思考边消化的过程后要认真完成老师课堂上布置的作业是最好的提高。老师经常给我们说课堂效率是课后效率的2 倍。我也这样认为，在马上学会后马上消化其效率是最大的，所以如果大家想要更好地提高课堂学习效率的话，上课就要好好完成作业。因此，提高数学学习效率的最好补充就是认真做好老师布置的课堂作业。
以上三点提高课堂效率的方法是我个人总结的，希望大家能用我的方法提高大家的学习效率，更好地学好数学。
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论“整式的乘除和因式分解”
陈晓聪
学了第15章，“整式的乘除和因式分解”我深感数学是多么地无止无尽，学了加减乘除后又有平方、平方根，学了自然数、小数、负数，又升华到整体实数。一步一个脚印，印证着我们点点滴滴的进步和成长，而第15章，则是我们成长过程中的一个中途站。
下面让我们来看看它们各自的概念：
整式的乘除：单项式和多项式进行除法和乘法。
因式分解：个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。
不难看出，它们2个是一个互逆的过程，整式的乘除是把式子分成一个又一个单项式，而因式分解则是把它们合成1个或几个整式。所以，同时学习这2个知识，对我们来说，是思维的一次挑战，我们要在适应一个解体方向后立刻扭转神经去迎接与此完全截然相反的解题方式，如果成功了，恭喜你，你获得了一个进步的阶梯；如果失败了，那么，就意味着数学成了你的绊脚石，你必须努力而又艰辛地剔除它们，逐个攻破。
笛卡尔曾经说过：“仅仅是具备出色的智力是不够的，主要的问题是如何出色地使用它”，学了这章课，我深刻地认识到了这句话的意思，那就是：智商高是没有用的，关键的是你会不会运用你所理解的知识。这课的概念非常简单，几乎一看就明白，但是为什么有些同学考试还是会考砸呢？关键就是输在“运用”这一难关上。老师曾经对我们说过：“计算是死的，来来去去就是这么几个步骤，个个都会，关键是你要算对，算准，要细心，要不再怎么理解成绩都是死的。”是啊，那么简单的步骤谁不会？但是我们要不就是一下又算错了数，一下又是看漏了数，一下子这个一下子那个，但是问你方法呢，我们每个人都能说得头头是道，甚至比老师还清楚。因此，15章这个课程，不仅仅考验我们的智商和理解能力，更多的是考验我们的运用能力，我们的细心和耐心，所以说数学是无止无尽的，不仅仅是指知识，更多的是培养我们无止无尽的细心和耐心。
“书山有路勤为径，学海无涯苦坐舟”，朋友们，我们的数学之路还漫长而又艰辛，第15章只不过是我们数学旅途中的一个休息点，因此，让我们以勤奋为船帆，以艰苦为船底，向数学这个浩瀚无边的海洋进发！
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§15.1.4 《多项式与多项式相乘》学案
高重英
学习目标：
（1）经历探索多项式乘法法则的过程，理解多项式乘法法则；
（2）灵活运用多项式乘以多项式的运算法则。
（3）学会快速计算型如：
一、课前小测：
计算：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7）
二、知识回顾：
1、写出三个公式：
2、说出单项式乘以单项式的运算法则和多项式乘以多项式的运算法则：
3、小结：整式的乘法实际上就是：单项式 × 单项式 单项式 × 多项式
多项式 × 多项式
三、创设情境，感知新知
1、问题：为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长米，宽米的长方形绿地增长米，加宽米，求扩地以后的面积是多少？
组织讨论：如图，计算此长方形的面积有几种方法？如何计算？
小组讨论，你从计算中发现了什么？
方法一：
方法二：
方法三：
方法四：
由于和表示同一个量，所以有：
2、探索法则与应用。学生动手
根据乘法分配律，我们也能得到下面等式：
过程分析：
=
=
公式：
法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
四、学以致用
1、例题：（1） （2） （3）
2、练习：大显身手：比一比，看谁做的快
（1）; （2）； （4）；
（4）； （5）； （6）；
3、练习：再上新台阶：试一试
（1） （2）
（3） （4）
根据上面计算的结果，你们有什么发现？观察课本148页图，填空
+ ( ) + ( )
4、试一试： 确定下列各式中和的值:（口答）
（1） =
（2） =
（3） = ， =
（4） = ， =
（5）,、为正整数， = ，= ，= 。
提醒：（1）利用下式
（2）注意符号
五、 本节课我学会了：
1、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
2、多项式与多项式相乘时，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号。多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定各项的符号。
3、公式：
六、课堂小测
1、计算
（1）; （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）；
七、课后作业：学习辅导48页。
八、巩固提高
一块长米，宽米的玻璃，长宽各裁掉米后恰好能铺盖一张办公桌台面(玻璃与台面一样大小)，问台面面积是多少
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初中数学八年级上册
“整式的乘法与因式分解”教学计划书
一、教材分析
“整式的乘法与因式分解”是整式的加减的后续学习从幂的运算到各种整式的乘除法，整章教材都突出了学生的自主探索过程，依据原有的知识基础，或运用乘法的各种运算规律，或借助直观而又形象的图形面积，得到各种运算的基本法则、两个主要的乘法公式及因式分解的基本方法学生自己对知识内容的探索、认识与体验，完全有利于学生形成合理的知识结构，提高数学思维能力．
二、本章特点
本章是整式的加减的后续学习，首先，从幂的运算入手，逐步展开整式的乘法运算；接着，在整式的乘法中提炼出两种特殊的乘法运算，即两个乘法公式；接着，整式的除法，与乘法一样，从同底数幂相除，展开到单项式除以单项式和多项式除以单项式。最后，从整式的乘法的逆过程出发，引人因式分解的相关知识．乘法公式本身也是特殊多项式的乘法，因式分解则是整式乘法的逆过程．所有这一切都让学生自己进行体验、探索与认识，有利于学生知识的迁移，形成新的知识结构．本章主要有如下特点：
1、注重知识形成的探索过程，让学生在探索过程中领悟知识，在领悟过程中建构体系，从而更好地实现知识体系的更新和知识的正向迁移．
2、知识内容的呈现方式力求与学生已有的知识结构相联系，同时兼顾学生的思维水平和心理特征．
3、让学生掌握基本的数学事实与数学活动经验，减轻不必要的记忆负担．
4、注意从生活中选取素材，给学生提供一些交流、讨论的空间，让学生从中体会数学的应用价值，逐步养成谈数学、想数学、做数学的良好习惯。
三、本章知识结构框图
四、本章学习目标
1.探索并了解正整数幂的运算性质（同底数幂的乘法和除法，幂的乘方，积的乘方），并会运用它们进行计算．探索并了解单项式乘（或除以）单项式、多项式乘以（或除以）单项式、多项式与多项式相乘的法则，会进行简单的整式的乘法运算．
2.会由整式的乘法推导乘法公式，了解两个乘法公式的几何背景，并能运用公式进行简单的计算．
3.掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算。
4.了解因式分解的意义及其与整式的乘法之间的关系，从中体会事物之间可以相互转化的辩证思想．会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）
五、本章课时的安排（14课时）
15.1整式的乘法 5课时
15.2乘法公式 2课时
15.3整式的除法 2课时
15.4因式分解 3课时
本单元复习与检测 2课时
六、本章教学建议
§15.1整式的乘法（建议5课时）
本节包括幂的运算和整式乘法两大部分：
1、幂的运算有同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方，教材注重从学生已有的知识结构出发，让学生自己动手做一做，主动探索，在自己的实践中获得知识，从而建构新的知识体系．在教学过程中，教师应把重点放在对这三个运算法则的探索过程中，让学生通过自己的主动建构，获得新的知识体系，再熟悉运用它们进行计算的操作技能．针对学生的情况，适当补充一定量的口答题，让学生进一步熟悉幂的运算法则．对于辅导练习、习题中的一些辨析题，建议教师在教学中能较好地组织学生进行思考与交流，让学生通过对这些判断题的讨论甚至争论，加强对幂的运算性质的掌握，同时也培养一定的批判性思维能力．
2、整式的乘法有单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘． 单项式与单项式相乘．让学生通过适当的尝试，获得一些直接的经验，体验单项式与单项式的乘法运算规律，在此基础上，总结出这一运算的法则．单项式与多项式相乘，同单项式与单项式相乘类似，同样是让学生通过适当的尝试，获得一些直接的经验，体验单项式与多项式的乘法运算规律，在此基础上，总结出这一运算的法则．多项式与多项式相乘，与前两种运算不同，没有那么直观．教学中应充分结合导图中的问题来理解多项式与多项式相乘的结果，即让学生信服 (m + n ) ( a + b ) 与 ( ma + mb + na + nb ) 是相等的．然后，把其中的一个因式 ( m + n ) 看作一整体，再利用乘法分配律来理解 ( m + n )与 ( a + b )相乘的结果，从而导出多项式与多项式相乘的法则．跟前两种整式的乘法一样，教师在教学中不宜把重点放在多项式与多项式相乘的法则本身上，而应重视知识的形成过程，重视法则的理解及其运用．
§15.2 乘法公式（建议2课时）
本节包括两个部分：两数和乘以它们的差、两数和的平方．本节知识实际上不是新知识，而是上一节整式乘法的一些特例．与一般的整式乘法不同的是，教材给出了几个乘法公式的几何背景材料，帮助学生加深对乘法公式的理解和记忆．
教材给出了一个帮助学生理解两个乘法公式的几何背景图，让学生通过用式子表示图形面积的运算而领悟公式，体会数形结合的数学思想方法．
§15.3 整式的除法法 （建议2课时）
本节主要内容有：同底数幂的除法，单项式与单项式相除、多项式除以单项式．本节知识的结构体系与前面整式乘法相似，由数式通性，建议运用 “类比”思想方法学习本节知识，让学生通过适当的尝试，获得一些直接的经验，体验运算规律，在此基础上，总结出运算的法则．并与整式乘法做比较。
§15.4 因式分解（建议3课时）
本节主要内容有：因式分解和因式分解的方法（提公因式法和公式法）．与以往的传统教材相比，这部分内容有所减弱，教学时，教师不必将过繁过难的因式分解方法再补充给学生，加大学生的负担，使教材实验偏离课程改革的方向．
1 ．我们把因式分解放在整式的乘法之后作为一节，目的是想让学生能更进一步明确因式分解与整式的乘法之间的关系.
2.“试一试”给学生留有自主活动的空间，然后再进人稍有层次的例题的学习．让学生进一步感受到因式分解的过程与整式的乘法恰好相反．
七、辅助资源与说明
见《精品课程课程资源包》
八、教学效果
课堂学生表现综述，课堂小测结果分析，单元总体学习结果，测验结果等。
九、反思与建议
见《精品课程教研经验集》
整式乘法
整式除法
乘法公式
因式分解
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解剖整式、因式
徐倩儿
数学是什么
什么是数学？有人说：“数学，不就是数的学问吗？”
这样的说法可不对。因为数学不光研究“数”，也研究“式”，大家都很熟悉的整式、因式，也都是数学研究的对象。
数字就像银河里的繁星，数也数不尽，算也算不完，形式也是五花八门，0、整数、分数、小数、自然数，你想不到的数，都有，但是，这一切的数，其实只要用几个字母就可以把这一切的数全包括。
数学是专门研究有规律的事物的学科，凡此种种的数都有他们的运算规律，就像所有的行星都围绕着地太阳转，而太阳又围绕这宇宙转，都有自己的轨道，而在数学中，一个字母，可以代表一个数、字母、或式子等，而由这些字母组成的公式都有自身计算结果的规律。
同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减。这两个结论无论怎么带入数字去算，都能行得通，这样一来，我们就可以用两条式子来概括：；。
它们是数、式运算，及解决其他许多数学问题的重要基础，我们可以从数的乘除运算中，得到关于正式的乘除运算的启发。
利用这两条式子，我们就能够解决一个式子的快速运算，让我们一眼扫下去就能在心里得出一个快速、准确的答案，不仅省时，而且省力。
掌握一些数学代数式的规律，能对自己的运算速度加快，准确率提高。
广泛的应用性也是数学的一个显著特征。宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。20世纪里，随着应用数学分支的大量涌现，数学已经渗透到几乎所有的科学部门。不仅物理学、化学等学科仍在广泛地享用数学的成果，连过去很少使用数学的生物学、语言学、历史学等等，也与数学结合形成了内容丰富的生物数学、数理经济学、数学心理学、数理语言学、数学历史学等边缘学科。
各门科学的“数学化”，是现代科学发展的一大趋势。
学好数学，真的很重要！！！
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整式的除法
冯梦晖
在这一个学期里，我们学习了整式的除法，使我有很深的感悟，也使我有所感想。
很多同学对整式除法可能理解的不太透彻，对于多项式除以单项式总会做得一头雾水，同底数幂相除可能会比较容易上手，学单项式除以单项式时还能勉强应付，到了到了多项式除以单项式时就做得力不从心了，问题出在哪呢？不妨听我从头分析！
整式的除法包括了三个内容：“同底数幂的除法”、“单项式相除”、“多项式除以单项式”。 整式的除法只要求单项式除以单项式、多项式除以单项式，并且结果都是整式。重点是单项式除以单项式,而多除以单项式则通过转化为单项式除以单项式来计算。
一、知识梳理
1.能熟练地运用幂的除法运算性质进行计算
同底数幂的除法公式是进行除法运算的基础,也是中考的必考内容,运算时要注意符号问题,同时系数、指数也要分清.
2.灵活地进行整式的混合运算
整式的混合运算是考查的重点,多项式除以单项式通常转化为单项式除以单项式.整式的乘除要与整式的加减区分开来,切勿混淆.因此要牢记运算法则.
3.零次幂
理解零次幂的意义,会判定零次幂的底数的取值范围,会求非零代数式的零次幂.
二、例题解析
1.计算的时候，除了与同底数幂相除的法则进行比较(如：a5÷a4·a2)以外，还应该关注(如：(ab)5÷(ab)2，(a+b)6÷(a+b)4)所体现的整体思想方法。
2. 负整数指数幂、零指数幂和科学记数法
(1)当a≠0时，规定a0=1； ，这里底数a可表示非零数，或字母或单项式、多项式(均不能为零)。
3. 整式的除法法则
(1)单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
(2)多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。多项式除以单项式的运算，实际是转化成单项式除以单项式的运算，多项式除以单项式所得的商的项数与多项式的项数相同，因此不要漏项.
整式除法的常见有以下错误在学习中要注意
(1)漏除如(在2a2b2c÷3ab2最后的结果中漏字母c. )
(2)结果书写不规范在书写代数式时，项的系数不能用带分数表示，若有带分数一律要化成假分数或小数形式.
(3)忽略混合运算中的运算顺序。整式的混合运算与有理数的混合运算相同，“有乘方，先算乘方，再算乘除，最后算加减：如果有括号，先算括号里面的. ”
(4)运算结果不是最简形式。运算结果中有同类项时，要合并同类项，化成最简形式.
这些问题可能都不难，但却非常有代表性，我们经常做错的就是这一类型的题目，失分也是在粗心这一方面，我们经常会忽略一些小细节，因为觉得太过于简单与自信，总觉得容易完成，也常常是这种心态让我们总在做完题目，成绩发下来，看见错在了那里，重新静下心来再次运算才能恍然大悟，原来自己是错在了粗心大意之下，其实只要我们认真审题，静下心来，不骄不躁，很多题目都可以迎刃而解，这种方法也适用于我们的各科学习！
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21世纪教育网精品教学课件
整式的乘法（2）
多项式乘以多项式
石岐中学初二数学 高重英
复习引新
1 .单项式与单项式相乘
. 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
2. 单项式与多项式相乘
就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加
(1) 3x2·5x3 =
(2) 4y· (-2xy2) =
m(a+b+c)=ma+mb+mc
15X5
-8xy3
a
b
m
n
问题: 如下图，为了扩大街心花园的绿地面积把一块原长a米、宽m米的长方形绿地，增长了b米，加宽了n米。你能用几种方案求出扩大后的绿地的面积？
[先小组讨论]
方案四：S=a b + a n + b m + m n
a
m
b
n
方案三：S= b ( a + m ) + n ( a + m )
方案二: S= a ( b + n ) + m ( b + n )
方案一 S=( a + m ) ( b + n )
探究新知
∴( a + m )( b + n ) = a ( b + n ) + m ( b + n )
=a b + a n + b m +mn
观察上述式子,你能的得到(x-3)(x-6)的结果吗
或( a + m )( b + n ) = b ( a + m ) + n ( a+m)
=ba+bm+an+mn
∵它们表示的都是同一块绿地的面积
S=( a + m ) ( b + n )
S= a ( b + n ) + m ( b + n )
S= b ( a + m ) + n ( a + m )
S=a b + a n + b m + m n
上面的两个等式为我们提供了多项式与多项式相乘的方法，你发现 了什么？
归纳得出: 多项式与多项式相乘的法则
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
(a+b)( m+n)=am+an+bm+bn
由上可得
例1 计算：
(1) ( 3x + 1 )( x – 2 ) ;
(2) ( x – 8 y )( x – y ) .
解 (1)原式 = 3x · x – 3x ·2 + 1·x - 1×2
(2 )原式 = x · x – x · y – 8y · x + 8y ·y
= 3 x2 - 6 x + x – 2
=3x2 – 5x - 2
= x 2 - x y – 8xy + 8y2
= x 2 - 9xy + 8y2
提示：
1.不要漏乘
2.注意每项带符号
3.结果化为最简形式
(1) (2x+1)(x+3); (2) ( a - 1)2 ；
(3) (a+3b)(a –3b ). (4) (x-2)(x +4)
答案: (1) 2x2+7x+3;
(2) a2-2a+1; (3) a2-9b2
(4) x3 -2x2 +4x -8
比一比 看谁做的快
2
(x+2)(x+3) =
(x-4)(x+1) =
(y+4)(y-2) =
(y-5)(y-3). =
根据上面计算的结果，你们有什么发现？观察右图，填空
(x+p)(x+q）=( ) +( )x+( )
再上新台阶
试一试
x + 5x+6
x – 3x-4
y + 2y-8
y - 8y+15
2
2
2
2
2
x
p+q
pq
a
m
n
x
p
x
q
x
2
px
qx
pq
试一试：
确定下列各式中m的值:（口答）
(1) (x+4)(x+9) = x2 + m x + 36
(2) (x-2)(x-18) = x + m x +36
(3) (x+3)(x+p) = x + m x +36
(4) (x-6) (x-p) = x + m x + 36
(1) m =13
(2) m = - 20
(3) p =12, m= 15
(4) p= 6, m= -12
2
2
2
提个醒：
（1）利用下式
(x+p)(x+q）
= x +(p+q)x+pq
（2）注意符号
2
∴m =p+q
我的收获：
本节课我学会了……
1、多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
(a+b)( m+n)=am+an+bm+bn
2、 多项式与多项式相乘时，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号。多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定各项的符号。
3、(x+p)(x+q) = x + (p+q) x + p q
2
课外作业:
必做题 ： 课本P.149 第6,7题
选做题:课本150页第11题
学习辅导48页
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探讨因式分解
罗宇莹
传统的因式分解，是数学的工具使学生熟练掌握一些因式分解技能技巧，本来十分简单的问题演绎得十分复杂（如拆项、添项法，提取公因式法，十字相乘法，分组分解法）
因式分解指的是把一个多项式分解为几个整式的积的形式，它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。其实因式分解是整式乘法的逆应用，与分解因数类似，它与整式乘法一起“双剑合璧”，才能完成好对于式的运算，化简、变形。以下我以著名的分马故事来一同探讨因式分解的数学思想.
古阿拉伯民间有一个非常有趣的故事，一直流传至今：
从前有个牧民，辛苦一辈子所得的全部财产是17匹马，临终前，他把三个儿子叫到他身边留下遗嘱：“孩子啊！我把17匹马留给你们，老大得，老二得，老三得，把马分完，但不许把马宰了再分！”事后，三兄弟在一起商量了很久，始终无法按老人的意图把马分开。他们只好去请教爱动脑筋的邻居老大爷，老大爷认真思索之后说：“我借一匹马给你们，共有18匹马，这样就好分了,老大得是9匹马，老二得是6匹马，老三得是2匹马，你们总共分得17匹马，剩下的1匹马再还给我.”巧妙地“借一还一”！既符合老人的遗嘱，又让兄弟都满意.
这种“借一还一”启示我们找到了分解因式的新方法—拆项、添项分解法，这是数学解题的重要技巧。
但在一般的情况下，我们常用的方法是①提②用③分组，“提”即为提取公因式；“用”即为用公式；“分组”即为按系数分组、按次数分组、按字母分组.下面我就简单介绍一下①提②用③分组.
①提，当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。例如：8x3 +4x +2x的公因式就是2x，在掌握公因式后就因掌握提取公因式，说白了，提取公因式就是把单项式乘以多项式的逆运算.例如：ac±bc=（a±b）×c.(小学时说的乘法分配律的逆运算)
②用，在我们学习数学中，学过n多个公式.但在因式分解中我们常用的公式是：
a -b =（a+b）（a-b）
a ±2ab+b =（a±b）
a +b +c +2ab+2ac+2bc=(a+b+c)
只要我们能充分掌握，并巧妙地运用在分解因式上，那么我们就算是基本学会了运用公式法。
③分组，在运用分组分解法时，要明确分组的目的，就是分组后能继续分解因式，或能继续运用公式或能继续提取公因式，它需要我们把问题局部化，而局部化之后又要整体化.最基本的一种分组分解法的表达公式为：ab+bc+cd+da=b（a+c）+d(a+c)=(a+c)(b+d)
最后，我来介绍一下十字相乘法吧！、
十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数.即x +（P+q）x+pq=(x+p)(x+q)
拆项、添项法，提取公因式法，十字相乘法，分组分解法对我们的解题有着很大的作用.其实，因式分解并不复杂，只要我们善于运用、灵活运用以上的方法，在做题时不慌、不忙，在分解时，注意一些事项.。就可以将因式分解了。
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因式分解
郑加凡
这天，老师给我们上一堂意义非凡的活动课，主要探究的是个别有规律的式子的因式分解法。
开始上课了，老师二话不说在黑板上写下了一个式子——。“同学们，你们知道这些式子怎样因式分解吗？”我们看了又看，不管是提公因式，还是用公式，都不能分解出来。于是我们分组讨论，还是讨论不出个结果。这时，老师在黑板上把答案写了出来：（X+5）(X+9).是怎样得出这个结论的呢？我们又开始了探究，我们想了各种各样的方法，依然是不行。这时老师笑了笑，把做题的过程给我们写了出来：=(x+5)(x+9)即x2+(p+q)x+pq=
(x+p)(x+q)。我们顿时恍然大悟。老师又说：“再找几个数试试。”于是我们又找了几个式子代入，发现真的有这个规律。老师又教我们十字相乘法进行解答以及验算，我们马上就实践起来。经过几道题目的磨练，我们已经掌握了这种方法了。
之后，我们在练习册，测验等地方有这种问题时我们就可以及时使用老师教的方法解决，顿时就简单了很多。
经过了这堂课的学习，我发现了数学的乐趣。生活中存在许许多多的规律，就等着我们用数学去解答。只有学好了数学，才能给国家社会做更多贡献。
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