登陆21世纪教育 助您教考全无忧
§15.4.2 《完全平方公式因式分解》教学设计
蒋琛
教学目标 知识技能 1、能说出平方差公式的特点。2、能较熟练地应用平方差公式分解因式。3、初步会用提公因式法与公式法分解因式，并能说出提公因式在这类因式分解中的作用。4、知道因式分解的要求：把多项式的每一个因式都分解到不能再分解。
数学思考 经历观察、探索、归纳，解题等的学习过程，培养学生逆向思维，渗透化归的思想方法，进一步了解换元的思想方法。
情感态度 通过创设情境，激发学生学习兴趣，给学生创造成功的机会，体验成功的快乐．进一步培养学生的观察和联想能力。
重点 应用平方差公式分解因式。
难点 灵活应用公式分解因式。
使用教具 多媒体
教学过程
设计意图【1】激发学生兴趣【2】教师让学生分析、讨论、总结，最后得出结论【3】放手让学生讨论，达到熟悉公式结构特征的目的．培养学生的归纳能力．【4】学生有前一活动学习的经验，可以让学生尝试独立完成，然后与同伴交流、总结解题经验．【5】渗透整体思想和换元法【6】运用公式法分解因式的关键是将多项式进行适当的变形，使之符合公式的结构特点．【7】学生在探索的过程中会遇到困难出现问题，通过合作学习加以解决． 【8】给学生创造成功的机会，体验成功的快乐．【9】对知识回顾和反思，加深对知识的理解和掌握． 活动1课前小测：看谁算得快1、计算： ；2、已知，，则______。学生兴致勃勃、争先恐后地计算起来了。老师让做得最快的同学上台展示做题过程，待学生回答完之后，老师追问“为什么”，思维敏捷的学生讲出是将原来的平方差公式反过来运用，可以使计算快捷简便。活动2、观察，探索与归纳问题：你能将分解因式吗？你是如何思考的？要将进行因式分解，可以发现它没有公因式，不能用提公因式法分解因式，但我们还可以发现这个多项式是两个数的平方差形式归纳：如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式。活动3、明察秋毫下列多项式能否用平方差公式分解因式？， ， ， 分解因式的平方差公式，左边是一个二次二项式，满足两数平方差的特征，就可以化成右边的两数和与这两数的差的积，从而达到因式分解的目的。活动4、例题解析[例1]分解因式（1） （2）教师给出例题，放手让学生独立思考求解，然后师生共同讨论，纠正学生解题中可能发生的错误，并对各种错误进行评析．变式练习1、分解因式：（1） （2）活动5. 融会贯通[例2]分解因式（1） （2）把和 各看成一个整体, 分别相当于公式中的和。设，，则原式化为。[例3]分解因式：学生有前一活动学习的经验，可以让学生尝试独立完成，然后与同伴交流、总结解题经验．请两个学生上台做题。变式练习2、分解因式：（1） （2）活动6、自我挑战[例4]分解因式（1） （2）运用公式法分解因式是因式分解的基本方法，但在实际运用时，我们所要分解的多项式，即使能运用公式法分解，也并非都能直接套用公式，往往需要先作适当的变形后才能运用公式分解。此题型表面上看不是平方差公式的形式，但对指数变形后就可以了。因式分解的要求：把多项式的每一个因式都分解到不能再分解。活动7、综合应用[例5]分解因式（1） （2）教师巡视指导，学生积极动脑动手做题教师让学生讨论如何进行分解因式，体会分解因式的一般步骤，归纳：1）、先提公因式（有的话）；2）、利用公式（可以的话）；分解因式时要分解到不能分解为止。活动8、计算能力比赛计算计算活动9、 1、课时小结本节课你有什么收获？还有何疑惑？利用平方差公式分解因式时，应看清楚是否符合条件。必须是两个数或式的平方差的形式。分解因式时，有公因式时应先提取公因式，再看能否用公式法进行因式分解。因式分解应分解到每一个因式都不能分解为止。2、分层作业（1）课本习题15．4─2、7题（2）预习“用完全平方公式分解因式”（3）选作题：分解因式
预习提示 问题1：根据学方差公式分解因式的经验和方法，分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？问题2：把下列各式分解因式． （1）（2）
板书设计 15.4.2 公式法（一）一、1、课前小测． 2、将分解因式． 用平方差公式分解因式：二、例题讲解三、小结与作业
课后反思 灵活运用公式（特别与幂的运算性质相结合的公式）的能力较差，如要将变成然后应用平方差公式这样的题目学生无从下手。由于我没有考虑到学生的实际情况，讲解时过快，大部分学生不能理解。上台做题的两位同学都不会，对这一突发情况，我及时调整教学，另出了一道例题用换元法一步一步慢慢地跟学生讲解，进一步强化整体思想。后来，再让那两位同学上台做，他们都做对了。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 2 页 （共 4 页） 版权所有@21世纪教育网(共19张PPT)
21世纪教育网精品教学课件
运用公式法（完全平方公式）因式分解
石岐中学 蒋琛
看谁算得快
1、计算： 9982-22
你运用了什么知识？
2、已知x+y=4，
x-y=2，
则x2-y2=______
乘法公式
平方差公式：
(a+b)(a-b) = a2-b2
a2-b2 =(a+b)(a-b)
两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积。
整式乘法
因式分解
a2-b2 =(a+b)(a-b)
这就是用平方差公式进行因式分解。
平方差公式：
下列多项式能否用平方差公式分解因式？
= y2 –x2
= (y + x) ( y – x )
= – (x2 + y2)
范例
例1.分解因式：
先确定a2和b2
巩固
练习1.分解因式：
范例
例2.分解因式：
先确定a2和b2
2、(2x+y) 2 - (x-2y) 2
1、(x+p) 2 - (x+q) 2
(1)（x+p)2-(x+q)2
解：（2）(x+p)2 – (x+q) 2
= [ (x+p) +(x+q)] [(x+p) –(x+q)]
把(x+p)和 (x+q)各看成一个整体,设x+p=a，x+p=b，则原式化为a2-b2.
这里可用到了整体思想喽！
把（x+p)和(x+q)看成了
一个整体，分别相当于
公式中的a和b。
=(2x+p+q)(p-q).
范例
例2.分解因式：
先确定a2和b2
2、(2x+y) 2 - (x-2y) 2
1、(x+p) 2 - (x+q) 2
运用整体思想
范例
例3.分解因式：
先确定a2和b2
1、(2x+y) 2 - (x-2y) 2
2、9(2x+y) 2 - 4(x-2y) 2
运用整体思想
范例
练习2. 分解因式：
运用整体思想
范例
例4. 分解因式：
– a4 + 16
因式分解的要求：把多项式的每一个因式都分解到不能再分解．
x4– y4
范例
例5. 分解因式：
综合利用已学的因式分解方法
1、a3b - ab
2、(a-b)x2 +（b-a)y2
范例
例6.简便计算：
利用因式分解计算
本节课你有什么收获？
还有何疑惑？
1、利用平方差公式分解因式时，应看清楚是否符合条件。必须是两个数或式的平方差的形式。
2、分解因式时，有公因式时应先提取公因
式，再看能否用公式法进行因式分解。
3、因式分解应分解到每一个因式都不能分解
为止。
比如：x3-x=x(x2-1)，做完了吗？
=x(x+1)(x-1)登陆21世纪教育 助您教考全无忧
§15.4.2 《完全平方公式因式分解》学生学案
蒋琛
在整式这一章的学习中，同学们的计算能力应该得到了很大的提升。下面我们来展开一场计算能力竞赛，看哪位同学答得又快又准！
活动1、看谁算得快
1、计算：；
2、已知，，则______
活动2、讨论
问题：你能将分解因式吗？你是如何思考的？
活动3、明察秋毫
下列多项式能否用平方差公式分解因式？
，，，
活动4. 例题解析
[例1]分解因式
（1） （2）
变式练习1、分解因式：
（1） （2）
活动5、融会贯通
分解因式（1） （2）
分解因式：
变式练习2、分解因式：
（1） （2）
活动6、自我挑战
[例4]分解因式
（1） （2）
活动7、综合应用
[例5]分解因式
（1） （2）
活动8、计算能力比赛
1、 计算
2、 计算
活动9、小结及作业
1、课时小结
本节课你有什么收获？还有何疑惑？
2、分层作业
（1）课本习题15．4─2、7题
（2）预习“用完全平方公式分解因式”
（3）选作题：分解因式
3、 布置预习
问题1：根据学方差公式分解因式的经验和方法，分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？
问题2：把下列各式分解因式。
（1）
（2）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 1 页 （共 3 页） 版权所有@21世纪教育网登陆21世纪教育 助您教考全无忧
§15.4.2 《完全平方公式因式分解》课堂实录
蒋琛
[师]：在整式这一章的学习中, 同学们的计算能力应该得到了很大的提升.下面我们来展开一场计算能力竞赛,看哪位同学答得又快又准!请看投影:
活动1、看谁算得快
1、计算：；
2、已知，，则_ ____。
[生]：学生兴致勃勃、争先恐后地计算起来了。
[师]：让做得最快的同学上台展示做题过程，学生很快做题完毕。第一位同学利用解方程组的方法将第二题完成。
[生]：老师，我的方法不一样
[师]：请这位同学将你的方法写在黑板上，展现给同学们！
学生答题完毕，老师追问“为什么”？思维敏捷的学生讲出是将原来的平方差公式反过来运用，可以使计算快捷简便。
活动2、观察，探索与归纳
[师]：提问：你能将分解因式吗？你是如何思考的？
[生]：要将进行因式分解，可以发现它没有公因式，不能用提公因式法分解因式，但我还可以发现这个多项式是两个数的平方差形式，可以将原来的平方差公式反过来运用，
[师]：很好！
如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式。
这就是用平方差公式进行因式分解。
活动3、明察秋毫
[师]：下列多项式能否用平方差公式分解因式？
， ， ，
[生]：第一个和第三个可以
[师]归纳：分解因式的平方差公式，左边是一个二次二项式，满足两数平方差的特征，就可以化成右边的两数和与这两数的差的积．从而达到因式分解的目的。
活动4、例题解析
[师] ：请同学们独立思考求解，然后我们共同讨论。
[例1]分解因式
（1） （2）
[生]：变式练习1、分解因式：
（1） （2）
[师]：纠正学生解题中可能发生的错误，并对各种错误进行评析．
活动5、融会贯通
[师] 出示[例2]
分解因式（1） （2）
[师]：分析：把和 各看成一个整体, 分别相当于公式中的和。设，，则原式化为。
[师]：请同学们完成第二题，请一位同学上台解答。
[师]：出示[例3]
分解因式：
学生有前一活动学习的经验，可以让学生尝试独立完成，然后与同伴交流、总结解题经验．请两个学生上台做题。
[生]：上台的两位同学灵活运用公式（特别与幂的运算性质相结合的公式）的能力较差，要将变成然后应用平方差公式这样的题目学生无从下手。由于我没有考虑到学生的实际情况，讲解时过快，大部分学生不能理解。上台做题的两位同学都不会，对这一突发情况，我及时调整教学，另出了一道例题用换元法一步一步慢慢地跟学生讲解，进一步强化整体思想。后来，再让那两位同学上台做，他们都做对了。
[生]：变式练习2.分解因式：
（1） （2）
活动6、自我挑战
[师] 出示[例4]
[例4]分解因式
（1） （2）
[师]：提示：运用公式法分解因式是因式分解的基本方法，但在实际运用时，我们所要分解的多项式，即使能运用公式法分解，也并非都能直接套用公式，往往需要先作适当的变形后才能运用公式分解。
归纳：此题型表面上看不是平方差公式的形式，但对指数变形后就可以了。运用公式法分解因式的关键是将多项式进行适当的变形，使之符合公式的结构特点。
因式分解的要求：把多项式的每一个因式都分解到不能再分解。
活动7、综合应用
[师]:同学们，目前我们已经学习了因式分解的两种方法，请大家观察下面两题，想一想如何分解？
出示[例5]分解因式
（1） （2）
教师巡视指导，学生积极动脑动手做题,学生在探索的过程中会遇到困难出现问题，通过合作学习加以解决．
教师让学生讨论如何进行分解因式，体会分解因式的一般步骤。
[生]：归纳：
1）、先提公因式（有的话）；
2）、利用公式（可以的话）；
分解因式时要分解到不能分解为止．
活动8、计算能力比赛
[师]:同学们，下面我们再进行一次运算比赛，老师很期待同学们的表现！
1、 计算。
2、 计算。
活动9、小结及作业
1、课时小结
[师]:本节课你有什么收获？还有何疑惑？
1）、利用平方差公式分解因式时，应看清楚是否符合条件。必须是两个数或式的平方差的形式。
2）、分解因式时，有公因式时应先提取公因式，再看能否用公式法进行因式分解。
3）、因式分解应分解到每一个因式都不能分解为止。
2、分层作业
（1）课本习题15．4─2、7题
（2）预习“用完全平方公式分解因式”
（3）选作题：分解因式
[师]：布置预习
问题1：根据学方差公式分解因式的经验和方法，分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？
问题2：把下列各式分解因式．
（1）
（2）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 1 页 （共 4 页） 版权所有@21世纪教育网登陆21世纪教育 助您教考全无忧
初中数学八年级上册
“整式的乘法与因式分解”教学计划书
一、教材分析
“整式的乘法与因式分解”是整式的加减的后续学习从幂的运算到各种整式的乘除法，整章教材都突出了学生的自主探索过程，依据原有的知识基础，或运用乘法的各种运算规律，或借助直观而又形象的图形面积，得到各种运算的基本法则、两个主要的乘法公式及因式分解的基本方法学生自己对知识内容的探索、认识与体验，完全有利于学生形成合理的知识结构，提高数学思维能力．
二、本章特点
本章是整式的加减的后续学习，首先，从幂的运算入手，逐步展开整式的乘法运算；接着，在整式的乘法中提炼出两种特殊的乘法运算，即两个乘法公式；接着，整式的除法，与乘法一样，从同底数幂相除，展开到单项式除以单项式和多项式除以单项式。最后，从整式的乘法的逆过程出发，引人因式分解的相关知识．乘法公式本身也是特殊多项式的乘法，因式分解则是整式乘法的逆过程．所有这一切都让学生自己进行体验、探索与认识，有利于学生知识的迁移，形成新的知识结构．本章主要有如下特点：
1、注重知识形成的探索过程，让学生在探索过程中领悟知识，在领悟过程中建构体系，从而更好地实现知识体系的更新和知识的正向迁移．
2、知识内容的呈现方式力求与学生已有的知识结构相联系，同时兼顾学生的思维水平和心理特征．
3、让学生掌握基本的数学事实与数学活动经验，减轻不必要的记忆负担．
4、注意从生活中选取素材，给学生提供一些交流、讨论的空间，让学生从中体会数学的应用价值，逐步养成谈数学、想数学、做数学的良好习惯。
三、本章知识结构框图
四、本章学习目标
1.探索并了解正整数幂的运算性质（同底数幂的乘法和除法，幂的乘方，积的乘方），并会运用它们进行计算．探索并了解单项式乘（或除以）单项式、多项式乘以（或除以）单项式、多项式与多项式相乘的法则，会进行简单的整式的乘法运算．
2.会由整式的乘法推导乘法公式，了解两个乘法公式的几何背景，并能运用公式进行简单的计算．
3.掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算。
4.了解因式分解的意义及其与整式的乘法之间的关系，从中体会事物之间可以相互转化的辩证思想．会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）
五、本章课时的安排（14课时）
15.1整式的乘法 5课时
15.2乘法公式 2课时
15.3整式的除法 2课时
15.4因式分解 3课时
本单元复习与检测 2课时
六、本章教学建议
§15.1整式的乘法（建议5课时）
本节包括幂的运算和整式乘法两大部分：
1、幂的运算有同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方，教材注重从学生已有的知识结构出发，让学生自己动手做一做，主动探索，在自己的实践中获得知识，从而建构新的知识体系．在教学过程中，教师应把重点放在对这三个运算法则的探索过程中，让学生通过自己的主动建构，获得新的知识体系，再熟悉运用它们进行计算的操作技能．针对学生的情况，适当补充一定量的口答题，让学生进一步熟悉幂的运算法则．对于辅导练习、习题中的一些辨析题，建议教师在教学中能较好地组织学生进行思考与交流，让学生通过对这些判断题的讨论甚至争论，加强对幂的运算性质的掌握，同时也培养一定的批判性思维能力．
2、整式的乘法有单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘． 单项式与单项式相乘．让学生通过适当的尝试，获得一些直接的经验，体验单项式与单项式的乘法运算规律，在此基础上，总结出这一运算的法则．单项式与多项式相乘，同单项式与单项式相乘类似，同样是让学生通过适当的尝试，获得一些直接的经验，体验单项式与多项式的乘法运算规律，在此基础上，总结出这一运算的法则．多项式与多项式相乘，与前两种运算不同，没有那么直观．教学中应充分结合导图中的问题来理解多项式与多项式相乘的结果，即让学生信服 (m + n ) ( a + b ) 与 ( ma + mb + na + nb ) 是相等的．然后，把其中的一个因式 ( m + n ) 看作一整体，再利用乘法分配律来理解 ( m + n )与 ( a + b )相乘的结果，从而导出多项式与多项式相乘的法则．跟前两种整式的乘法一样，教师在教学中不宜把重点放在多项式与多项式相乘的法则本身上，而应重视知识的形成过程，重视法则的理解及其运用．
§15.2 乘法公式（建议2课时）
本节包括两个部分：两数和乘以它们的差、两数和的平方．本节知识实际上不是新知识，而是上一节整式乘法的一些特例．与一般的整式乘法不同的是，教材给出了几个乘法公式的几何背景材料，帮助学生加深对乘法公式的理解和记忆．
教材给出了一个帮助学生理解两个乘法公式的几何背景图，让学生通过用式子表示图形面积的运算而领悟公式，体会数形结合的数学思想方法．
§15.3 整式的除法法 （建议2课时）
本节主要内容有：同底数幂的除法，单项式与单项式相除、多项式除以单项式．本节知识的结构体系与前面整式乘法相似，由数式通性，建议运用 “类比”思想方法学习本节知识，让学生通过适当的尝试，获得一些直接的经验，体验运算规律，在此基础上，总结出运算的法则．并与整式乘法做比较。
§15.4 因式分解（建议3课时）
本节主要内容有：因式分解和因式分解的方法（提公因式法和公式法）．与以往的传统教材相比，这部分内容有所减弱，教学时，教师不必将过繁过难的因式分解方法再补充给学生，加大学生的负担，使教材实验偏离课程改革的方向．
1 ．我们把因式分解放在整式的乘法之后作为一节，目的是想让学生能更进一步明确因式分解与整式的乘法之间的关系.
2.“试一试”给学生留有自主活动的空间，然后再进人稍有层次的例题的学习．让学生进一步感受到因式分解的过程与整式的乘法恰好相反．
七、辅助资源与说明
见《精品课程课程资源包》
八、教学效果
课堂学生表现综述，课堂小测结果分析，单元总体学习结果，测验结果等。
九、反思与建议
见《精品课程教研经验集》
整式乘法
整式除法
乘法公式
因式分解
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品资料·第 2 页 （共 3 页） 版权所有@21世纪教育网
