2.3 二次函数与一元二次方程 课时必刷练习（含解析）

第2.3课时 二次函数与一元二次方程、不等式
一、单选题（本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．已知不等式的解为，则（ ）
A． B． C． D．
2．不等式的解集为，则函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．不等式的解集为（ ）
A．或 B．
C． D．
4．已知不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．或
5．设，则“”是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．二次函数只有一个零点，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C．或 D．或
7．已知关于的一元二次不等式的解集为，且，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
8．已知不等式ax2﹣bx+2＞0的解集为{x|＜x＜2}，则不等式2x2+bx+a＜0的解集为（　　）
A．{x|＜x＜1} B．{ x|x＜或x＞}
C．{x|＜x＜} D．{x|x＜或x＞1}
二、多选题（本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意）
9．下面所给关于x的不等式，其中一定为一元二次不等式的是（ ）
A．3x+4<0 B．x2+mx-1>0
C．ax2+4x-7>0 D．x2<0
10．下列四个不等式中，解集为的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值可以是（ ）.
A．6 B．7 C．8 D．9
12．已知关于的方程,下列结论正确的是( )
A．方程有实数根的充要条件是，或
B．方程有一正一负根的充要条件是
C．方程有两正实数根的充要条件是
D．方程无实数根的必要条件是
E.当时,方程的两实数根之和为0
三、填空题（本大题共4小题）
13．若不等式的解集为，则m的取值范围是________.
14．若不存在整数x满足不等式，则实数k的取值范围是_____.
15．若ax2+bx+2>0的充要条件是，则a+b的值为___________.
16．已知不等式的解集为，则的最小值为__________.
四、解答题（本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程）
17．已知集合A＝{x|x2﹣3x+2≤0}，函数f(x)＝x2﹣2ax+1．
（1）当a≠0时，解关于x的不等式f(x)≤3a2+1；
（2）若命题“存在x0∈A，使得f（x0）≤0”为假命题，求实数a的取值范围．
18．已知方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0有两个负实根，求实数k的取值范围.
19．若，是关于的方程的两个实数根，且（是整数），则称方程为“偶系二次方程”.如方程，，，，，都是“偶系二次方程”.
（1）判断方程是不是“偶系二次方程”，并说明理由；
（2）对于任意一个整数，是否存在实数，使得关于的方程是“偶系二次方程”，并说明理由.
20．已知不等式的解集与关于的不等式的解集相同.
（1）求实数值；
（2）若实数，满足，求的最小值.
21．（1）当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求实数m的取值范围．
（2）对任意－1≤x≤1，函数y＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于0，求a的取值范围．
22．国家为了加强对烟酒生产的管理，实行征收附加税政策．现在某种酒每瓶70元，不征收附加税时，每年大约产销100万瓶；若政府征收附加税，每销售100元征收R元(叫做税率为R%)，则每年产销量将减少10R万瓶．要使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元，R应怎样确定？
参考答案
1．A
【解析】由题可得和是方程的两个根，且，
，解得，，
.
故选：A.
2．C
【解析】因为不等式的解集为，
故，故，故，
令，解得或，
故抛物线开口向下，与轴的交点的横坐标为，
故选：C．
3．C
【解析】，得，所以不等式的解集是.
故选：C
4．A
【解析】的解集为,则
的根为，即，，
解得，
则不等式可化为，即为，
解得或，
故选：A.
5．B
【解析】由解得，
，
“”是的必要不充分条件.
故选：B.
6．D
【解析】二次函数只有一个零点，
则，解得或（舍去），
所以不等式化为，解得或.
故答案为：D
7．B
【解析】因为关于的一元二次不等式的解集为，
故且，故.
又，
当且仅当即时等号成立.
故选：B.
8．A
【解析】不等式ax2﹣bx+2＞0的解集为{x|＜x＜2}，
所以，2是方程ax2-bx+2＝0的两个实数根，且a＜0，
由根与系数的关系知，解得；
所以不等式2x2+bx+a＜0化为2x2﹣x﹣1＜0，
解得＜x＜1；
所以不等式2x2+bx+a＜0的解集为{x|＜x＜1}．
故选：A．
9．BD
【解析】选项A是一元一次不等式，故错误；选项B，D，不等式的最高次是二次，二次项系数不为0，故正确；当时，选项C是一元一次不等式，故不一定是一元二次不等式，即错误.
故选：BD.
10．BCD
【解析】对于A，对应函数开口向下，显然解集不为；
对于B，，对应的函数开口向上，，其解集为；
对于C，，对应的函数开口向上，其解集为；
对于D，对应的函数开口向下，其解集为；
故选：BCD.
11．ABC
【解析】设，其图像为开口向上，对称轴是的抛物线，如图所示.
若关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，
因为对称轴为，则
解得，.
又，故可以为6，7，8.
故选：ABC
12．BCD
【解析】在A中,由得或,故A错误；
在B中,当时,函数的值为,由二次函数的图象知,方程有一正一负根的充要条件是,故B正确；
在C中,由题意得解得,故C正确；
在D中,由得,又,故D正确；
在E中,当时,方程为,无实数根,故E错误.
故选：BCD.
13．
【解析】因为不等式的解集为，
所以，所以，
所以m的取值范围是.
故答案为：.
14．
【解析】由题意得或时均不符合题意，
故.于是原不等式即为，
依题意应有且，.
故答案为：.
15．-14.
【解析】因为ax2+bx+2>0的充要条件是，
所以ax2+bx+2=0的两根为-和，且a<0.
所以，且a<0，
解得a=-12，b=-2.
∴a+b=-14.
故答案为：-14
16．8
【解析】由题知，则，
则=8，当且仅当，
即时取等号.故的最小值为8.
故答案为8
17．（1）见解析；（2）a＜1．
【解析】（1）不等式f(x)≤3a2+1整理得x2﹣2ax﹣3a2≤0，即(x+a)(x﹣3a)≤0，
若a＞0，则解集为[﹣a,3a]；若a＜0，则解集为[3a,﹣a]．
（2）由集合描述知：A＝{x|1≤x≤2}，命题“存在x0∈A，使得f（x0）≤0”的否定为：“对任意的x∈[1,2]，均有x2﹣2ax+1＞0成立”为真命题，即，
只需，而当x＝1时，取最小值，
∴2a＜2，即a＜1．
1、：即可.
2、：即可.
18．或
【解析】要使原方程有两个负实根，必须满足：
，即 ，
所以，
解得-2≤k<-1或所以实数k的取值范围是k-2≤k<-1或19．（1）不是.理由见解析；（2）存在，使得关于的方程是“偶系二次方程”，理由见解析
【解析】（1）不是.理由如下：
解方程得，，，
3.5不是整数，不是“偶系二次方程”.
（2）存在.理由如下：
解法一：和是“偶系二次方程”，
假设，当，时，，
是“偶系二次方程”，当时，，，
是“偶系二次方程”，
当时，，符合题意，可设.
对于任意一个整数，当时，，，
，，，是整数，
对于任意一个整数，存在，使得关于的方程是“偶系二次方程”.
解法二：由题可知，，，
假设对于任意一个整数，存在实数，使得关于的方程是“偶系二次方程”，则，
，
，
当时，，与题意不符，舍去；
当时，. 为任意一个整数，为整数，
设，则，，又，符合题意，
对于任意一个整数，存在，使得关于的方程是“偶系二次方程”.
20．（1）；（2）.
【解析】（1），解得，又解集为：，故和是方程的两根，根据韦达定理得到：.
（2），则，
当，即时取等号，即时有最小值.
21．（1）{m|m<－5}；（2）{a|a<1}．
【解析】（1）令y＝x2＋mx＋4．∵y<0在1≤x≤2上恒成立．∴y＝0的根一个小于1，另一个大于2．
如图所示：
可得，∴m的取值范围是{m|m<－5}．
（2）∵x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，即x2＋ax－4x＋4－2a>0恒成立．
∴(x－2)·a>－x2＋4x－4.∵－1≤x≤1，∴x－2<0．∴.
令y＝2－x，则当－1≤x≤1时，y的最小值为1，∴a<1．故a的取值范围为{a|a<1}．
22．.
【解析】设产销量为每年x万瓶，则销售收入为每年70x万元，从中征收附加税为70x·R%万元，并且x＝100－10R，由题意，得70(100－10R)·R%≥112，
即R2－10R＋16≤0，
解得2≤R≤8，
∴税率定在2%～8%(包括2%和8%)时，可使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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