3.2 函数的基本性质 课时必刷练习（含解析）

第3.2课时 函数的基本性质
一、单选题（本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．已知为奇函数，且在上是递增的，若，则的解集是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
2．定义域为的函数是偶函数，且在上是增函数，在上是减函数，又，则 （ ）．
A．在上是增函数且有最大值2 B．在上是减函数且有最大值2
C．在上是增函数且有最小值2 D．在上是减函数且有最小值2
3．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．函数为的导函数，令，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
6．函数在单调递减，且为奇函数.若，则满足的的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
7．函数的单调减区间是（ ）
A． B． C． D．
8．已知是偶函数，任意，且，满足，，则的解集是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意）
9．若（）是奇函数，则下列点一定在函数图像上的是（ ）
A． B． C． D．
10．下列函数中,是偶函数,且在区间上为增函数的是（ ）
A． B．y=1-x2 C． D．
11．关于定义在R上的函数，下列命题正确的是（ ）
A．若满足，则在R上不是减函数
B．若满足，则函数不是奇函数
C．若在区间上是减函数，在区间也是减函数，则在R上是减函数
D．若满足，则函数不是偶函数
E.函数是R上的偶函数，且，则
12．已知定义在R上的函数的图象关于y轴对称，且对于，当且时，恒成立．若对任意的恒成立，则实数的范围可以是下面选项中的
A． B． C． D．
三、填空题（本大题共4小题）
13．已知f(x)是定义在上的单调递增函数，且，则满足的x的取值范围是_______.
14．已知函数f（x）＝是（﹣∞，+∞）上的奇函数，则g（﹣1）＝__．
15．函数满足：对任意的总有．则不等式的解集为________．
16．已知y=f(x)是定义在区间(-2，2)上单调递减的函数，若f(m-1)>f(1-2m)，则m的取值范围是_______.
四、解答题（本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程）
17．已知函数f(x)=，证明函数在(-2，+∞)上单调递增.
18．已知函数．
（1）若，求的值；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明．
19．已知二次函数满足，．
（1）求的解析式．
（2）求在上的最大值．
20．定义在R上的函数满足，且当时，，对任意R，均有．
（1）求证：；
（2）求证：对任意R，恒有；
（3）求证：是R上的增函数；
（4）若，求的取值范围．
21．对于区间和函数，若同时满足：①在上是单调函数；②函数的值域还是，则称区间为函数的“不变”区间.
（1）求函数的所有“不变”区间；
（2）函数是否存在“不变”区间？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
22．已知奇函数f（x）是定义在（﹣3，3）上的减函数，且满足不等式f（x﹣3）+f（x2﹣3）＜0，设不等式解集为A，B＝A∪{x|1≤x≤}，求函数g（x）＝﹣3x2+3x﹣4（x∈B）的最大值．
参考答案
1．B
【解析】因为为奇函数，且在上是递增的，所以在也是递增的．
当时，；
当时，．
故选：B
2．B
【解析】因为函数是实数集上偶函数，且在上是增函数，在上是减函数，
所以函数在上是减函数，在上是增函数，
则，
又因为上是增函数，所以有；
在上是减函数，所以有；
因此当时，有最大值，最大值为，
而函数是实数集上偶函数，
因此函数在实数集上有最大值2
故选：B
3．A
【解析】函数定义域为，则，函数为奇函数，排除BD，
又，，所以即在时不是单调递增，排除C．
故选：A．
4．B
【解析】由题意得，，，
解得，所以．
所以，所以为减函数．
因为，
所以，
故选：B．
5．C
【解析】由题意可得：恒成立，所以函数在上递增，
又，所以函数是奇函数，
当 时，即，所以，即；
当时，即，所以，即，
所以“”是“”的充要条件.
故选：C.
6．D
【解析】解：由函数为奇函数，得，
不等式即为，
又在单调递减，所以得，即，
故选：D.
7．A
【解析】
直接通过解析式，结合二次函数图象得：递增，在递减，
故选：A.
8．A
【解析】因为是偶函数，所以的图象关于轴对称，
又因为的图象可由的图象向右平移1个单位得到，
所以的图象关于对称，
因为任意，且，满是，
所以任取，
则在上单调递减，
由对称性可知在上单调递增，
由根据对称性可得，
因为，所以或
解得或.
即的解集是，
故选：A.
9．AB
【解析】因为（）是奇函数，所以，又，所以令则得，所以点，一定在的图像上，
故选：AB．
10．AD
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝|x|，是偶函数，且在区间（0，+∞）上为增函数，符合题意；
对于B，y＝1﹣x2，是二次函数，在区间（0，1）上为减函数，不符合题意；
对于C，y，是反比例函数，是奇函数，不符合题意；
对于D，y＝2x2+4，为二次函数，是偶函数且在区间（0，+∞）上为增函数，符合题意；
故选：AD．
11．ADE
【解析】由题意，对于A中，由，而，由减函数定义可知，在 上一定不是减函数，所以A正确；
对于B中，若，定义域关于原点对称，则，则函数可以是奇函数，所以B错误；
对于C中，由分段函数的单调性的判定方法，可得选项C不正确；
对于D中，若是偶函数，必有，所以D正确；
对于E中，若是偶函数，则，由，可得，所以E正确.
故选：ADE.
12．AC
【解析】f(x)关于y轴对称，即f(x)为偶函数，
又当时，＜0成立，
∴f(x)在(-∞，0）上为减函数，则f(x)在(0,+∞）上为增函数，
∵，∴|2ax|<|2x2+1|,即4a2x2<4x4+4x2+1,即4x4+(4-4a2)x2+1>0恒成立，
令t=x2,(t≥0),∴4t2+(4-4a2)t+1>0在[0,+∞)恒成立，令f(t)=4t2+(4-4a2)t+1,
∴当t=时，即-1≤a≤1时，f(t)在[0,+∞)上为增函数，∴f(t)min≥f(0)=1>0符合题意，
当t=时，即a<-1或a>1时，应满足(4-4a2)2-16<0,解得,
所以此时a的取值范围为,
综上，故AC符合题意 .
故选：AC
13．x＜
【解析】因为，所以和化为，
又因为f(x)是定义在上的单调递增函数，
所以，解得.
故答案为：.
14．1
【解析】由题意g（﹣1）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（2×1﹣3）＝1，
故答案为：1．
15．
【解析】因为对任意的总有
所以函数是上的单调增函数，
从而由得，解得．
故答案为：
16．
【解析】由题意得：解得故答案为：
17．证明见解析.
【解析】证明： x1，x2∈(-2，+∞)，且x1>x2>-2，
f(x)=
则f(x1)-f(x2)=
=，
因为x1>x2>-2，
所以x1-x2>0，x1+2>0，x2+2>0，
所以>0，所以f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在(-2，+∞)上单调递增.
18．（1）；（2）在上单调递增；证明见解析．
【解析】（1）∵，∴，∴．
（2）在上是单调递增的，证明如下：
任取，且，
则，
∵，∴．又，∴，
∴，即，
∴在上单调递增．
19．（1）；（2）3．
【解析】（1）设，，则
，
∴由题，恒成立
∴，，得，，，
∴.
（2）由（1）可得，
所以在单调递减，在单调递增，且，
∴.
20．（1）见解析； （2）见解析； （3）见解析； （4） .
【解析】（1）证明：令a＝b＝0，得f (0)＝f 2 (0)，又因为f (0) ≠ 0，所以f (0)＝1.
（2）当x < 0时，－x >0，
所以f (0) ＝f (x) f (－x) ＝1，即，
又因为时，，所以对任意x∈R，恒有f (x) >0.
（3）证明：设，则，所以f (x2)＝f [(x2－x1)＋x1]＝f (x2－x1) f (x1)．
因为x2－x1>0，所以f (x2－x1)>1，又f (x1) > 0，
则f (x2－x1) f (x1) > f (x1)，即f (x2) > f (x1)，所以f(x)是R上的增函数．
（4）由f (x)·f (2x－x2) >1， f (0)＝1得f (3x－x2) > f (0)，
又由f (x) 为增函数，所以3x－x2 > 0 0 < x < 3.故x的取值范围是(0，3)．
21．（1）；（2）.
【解析】（1）因为函数在上是增函数，
所以，解得或，或，
因为，
所以 ，
所以函数的 “不变”区间是；
（2）假设函数存在“不变”区间，
因为函数单调递增，
所以，消去m得，即，
因为，所以，即，
所以，解得，
所以，
所以，
所以实数的取值范围是
22．
【解析】解：根据题意，可得，解得，
又∵f（x）是奇函数，
，
又f（x）在（﹣3，3）上是减函数，
，即，解得x＞2或x＜﹣3，
综上得，即，
，
又知：g（x）在B上为减函数，
∴．
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