4.5 函数的应用（二）课时必刷练习（含解析）

第4.5课时 函数的应用（二）
一、单选题（本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．有一组数据如下表：
t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
v 1.01 1.39 2.05 2.12 2.41
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ）
A． B． C． D．v＝2t－2
2．已知是函数的一个零点，且，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求.音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为的声波，其音量的大小可由如下公式计算：（其中是人耳能听到声音的最低声波强度），则70 dB的声音的声波强度是60 dB的声音的声波强度的（ ）
A．倍 B．倍 C．10倍 D．倍
4．已知函数，且关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
5．某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系为自然对数的底数，为常数.若该食品在的保鲜时间是，在的保鲜时间是，则该食品在的保鲜时间是（ ）
A． B． C． D．
6．设函数则（ ）
A．在区间内均有零点.
B．在区间内均无零点.
C．在区间内无零点，在区间内有零点.
D．在区间内有零点，在区间内无零点.
7．若方程有唯一解，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或或
8．已知函数，若函数有3个零点，则实数m的取值范围（ ）
A． B． C．（0，1） D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意）
9．在一次社会实践活动中，某数学调研小组根据车间持续5个小时的生产情况画出了某种产品的总产量（单位：千克）与时间（单位：小时）的函数图像，则以下关于该产品生产状况的正确判断是.
A．在前三小时内，每小时的产量逐步增加
B．在前三小时内，每小时的产量逐步减少
C．最后一小时内的产量与第三小时内的产量相同
D．最后两小时内，该车间没有生产该产品
10．已知函数有下述四个结论，其中正确的结论是
A． B．是奇函数
C．在上单增 D．对任意的实数a，方程都有解
11．已知函数,,且,则下列结论错误的是
A． B． C． D． E.
12．下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中正确的是（ ）
A．这几年生活水平逐年得到提高
B．生活费收入指数增长最快的一年是2015年
C．生活价格指数上涨速度最快的一年是2016年
D．虽然2017年的生活费收入增长缓慢，但生活价格指数略有降低，因而生活水平有较大的改善
E.2016年生活价格指数上涨的速度与2017年生活价格指数下降的速度相同
三、填空题（本大题共4小题）
13．用二分法求方程在区间[2，3]内的实根，由计算器可算得，，，那么下一个有根区间为_________．
14．若方程的根在内，则的取值范围是_____．
15．某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为________元.
16．函数在区间和内各有一个零点，则实数的取值范围是___________.
四、解答题（本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程）
17．已知关于的方程，求方程实数根的个数？
18．某公司为了实现2019年销售利润1000万元的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：从销售利润达到10万元开始，按销售利润进行奖励，且奖金数额y(万元)随销售利润x(万元)的增加而增加，但奖金数额不超过5万元.现有三个奖励模型：y=0.025x，y=1.003x，y=lnx+1，其中是否有模型能完全符合公司的要求？请说明理由.(参考数据：1.003538≈5，e≈2.71828…，e8≈2981)
19．已知二次函数.
（1）若二次函数有零点，求实数的取值范围；
（2）如果是满足（1）的最大整数，且二次函数的零点是二次函数的一个零点，求的值及二次函数的另一个零点.
20．如图所示，已知底角为的等腰梯形ABCD，底边BC长为7，腰长为，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象．
21．已知函数（且）.
（1）若的图象如图①所示，求、的取值范围；
（2）若的图象如图②所示，有且仅有一个实数解，求的取值范围
22．若关于x的方程有实数解，求实数a的取值范围．
参考答案
1．A
【解析】从表格中看到此函数为单调增函数，排除B，增长速度越来越慢，排除C和D，所以A正确.
故选：A
2．D
【解析】解：∵在上单调递减，在上单调递减，
在上单调递减，
∵，，，
故选：D．
3．C
【解析】由得，所以，，所以，所以70 dB的声音的声波强度是60 dB的声音的声波强度的10倍.
故选：C
4．B
【解析】若要使方程即有且只有一个实数根，
则函数的图象与直线有且仅有一个交点，
在同一坐标系中作出函数及的图象，如图，
数形结合可得，若函数的图象与直线有且仅有一个交点，
则，
所以实数的取值范围为.
故选：B.
5．C
【解析】由题可知当时，；当时，，
，解得，
则当时，.
故选：C.
6．C
【解析】解：令，得，作出函数和的图像，如图所示
根据图像可知，在区间内无零点，在区间内有零点，
故选：C
7．D
【解析】因为方程有唯一解，即与的图象有唯一交点，
又表示圆心为，半径为的上半圆包括和，而是过点的直线，
如图：
当直线与半圆相切时，由圆心到直线的距离公式得：，，
又
由图象可知，当或或时，与的图象有唯一交点，
故选：D．
8．C
【解析】因为函数有3个零点，所以有三个实根，即直线与函数的图象有三个交点．
作出函数图象，由图可知，实数的取值范围是．
故选：C．
9．BD
【解析】由该车间持续5个小时的生产总产量（单位：千克）与时间（单位：小时）的函数图像，得：前3小时的产量逐步减少，故A错，B正确；
后2小时均没有生产，故C错，D正确．
故选BD
10．ABD
【解析】，，A正确；
，是奇函数，B正确；
在上是减函数，C错；
由于时，，时，，即的值域是，它又是上的减函数，因此对任意实数，有唯一解，D正确．
故选：ABD．
11．AD
【解析】因为函数,,都是增函数,所以,都是增函数,
又,,所以,
,,所以,
所以,故A错误,B正确；
因为,所以,,即,所以,故C正确,D错误；
令,,则,,
由于函数,都和相交,且和关于直线对称,又和的交点为,所以,所以E正确.
故选：AD
12．ABD
【解析】由题意知，“生活费收入指数”生活价格指数”的差是逐年增大的，故A正确；“生活费收入指数”在
2015～2016年最陡故B正确；“生活价格指数”在2016～2017年比较平缓，故C错；2017年“生活价格
指数”呈下降趋势，而“生活费收入指数”呈上升趋势故D正确；2016年生活价格指数上涨的速度与2017年生活价格指数下降的速度,故E错.
故选:ABD.
13．
【解析】，，，
所以下一个有根区间为.
故答案为：
14．
【解析】设，则，解得：，
即的取值范围为.
故答案为：.
15．2250
【解析】设彩电的原价为a元，∴a(1＋40%)·80%－a＝270，∴0.12a＝270，解得a＝2 250.
∴每台彩电的原价为2 250元.
故答案为：2250.
16．
【解析】为开口方向向上，对称轴为的二次函数，
，即，解得：，即实数的取值范围为.
故答案为：.
17．答案见解析
【解析】作出函数的图象如图所示，
当或时，方程实数根有两个.
当时，方程实数根有三个.
当时，方程实数根有四个.
当时，方程无实数根.
18．奖励模型能完全符合公司的要求，答案见解析.
【解析】解：由题意，符合公司要求的模型需同时满足：
当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x·25%.
（1）对于y=0.025x，易知满足①，但当x>200时，y>5，不满足公司的要求；
（2）对于y=1.003x，易知满足①，但当x>538时，不满足公司的要求；
（3）对于，易知满足①.
当x∈[10，1000]时，y≤ln1000+1.
下面证明ln1000+1<5.
因为ln1000+1-5=ln1000-4= (ln1000-8)=(ln1000-ln2981)<0，满足②.
再证明lnx+1≤x·25%，即2lnx+4-x≤0.
设F(x)=2lnx+4-x，则F′(x)= -1=<0，x∈[10，1000]，
所以F(x)在[10，1000]上为减函数，
F(x)max=F(10)=2ln10+4-10=2ln10-6=2(ln10-3)<0，满足③.
综上，奖励模型能完全符合公司的要求.
19．（1）；（2），另一个零点为4.
【解析】（1）由题意得，所以，解得.
（2）由（1）可知，
所以方程的根，二次函数的零点是，
∴二次函数的一个零点是，
∴方程的一个根为2，
∴，解得，
∴，解得或，
所以二次函数的另一个零点为4.
20．，图见解析.
【解析】如图，过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H.
因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，，所以BG＝AG＝DH＝HC＝2.
又BC＝7，所以AD＝GH＝3.
当点F在BG上，即x∈[0，2]时，；
当点F在GH(不包括点G)上，即x∈(2，5]时，；
当点F在HC(不包括点H)上，即x∈(5，7]时，.
综上，得左边部分的面积y关于x的函数解析式为，
其大致图象如图所示．
21．（1），；（2）或.
【解析】（1）由为减函数可得，又，解得；
（2）图②中 ，函数的图象如图所示.
由图象可知使有且仅有一解，则或.
22．
【解析】令，则原方程等价为有正根，又，
知此方程有两个正根，则应满足，
即，解得．
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