第十三章 轴对称等腰三角形、最短路径问题 综合复习（含解析）
文档属性
| 名称 | 第十三章 轴对称等腰三角形、最短路径问题 综合复习（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-10-25 13:38:11 | ||
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文档简介
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等腰三角形、最短路径问题
一．等腰三角形
1．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，若AB＝10，则CE的长为（ ）
A．5 B．8 C．10 D．10
2．如图，AD是等边△ABC的一条中线，若在边AC上取一点E，使得AE＝AD，则∠EDC的度数为（ ）
A．30° B．20° C．25° D．15°
3．如图，已知∠AOB＝60°，点P在OA边上，OP＝8cm，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2cm，则OM为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．1cm
4．如图，△ABC中，AB＝AC，作△BCE，点A在△BCE内，点D在BE上，AD垂直平分BE，且∠BAC＝m°，则∠BEC＝（ ）
A．90°﹣m° B．180°﹣2m° C．30°+m° D．m°
5．如图，在边长为4的等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，连接DF，则DF的长为 ．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，PD垂直平分AB，连接BD并延长，交边AC于点E．若△BCE是等腰三角形，则∠BAC的度数为 ．
7．如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角∠ACG的平分线相交于点F，过F作DF∥BC交AB于D，若BD＝8cm，DE＝3cm，则CE的长为 ．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝15cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为 cm．
求证：等腰锐角三角形腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半．
已知等腰三角形一边上的高与另一边的夹角为20°，求这个等腰三角形顶角的度数？（画出符合题意的图形，直接写出答案即可）
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，且BD＝CE，BE＝CF．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）猜想：当∠A满足什么条件时，△DEF是等边三角形？并说明理由．
12．已知：在△ABC中，AB＝AC，DE∥AB，DF∥AC．
求证：AC＝DE+DF．
二．最短路径
1．如图，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使PA+PB最小，则下列图形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，等腰△ABC的底边BC长为6，腰长为8，EF垂直平分AB，点P为直线EF上一动点，则BP+CP的最小值（ ）
A．6 B．8 C．10 D．14
3．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝32°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF＝（ ）
A．110° B．112° C．114° D．116°
4．如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝152°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC，AE＝DE．在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（ ）
A．55° B．56° C．57° D．58°
5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，∠ABC的平分线交AC于点D，点E，F分别是BD、AB上的动点，则AE+EF的最小值为（ ）
A．2 B．2.4 C．2.5 D．3
6．如图，在△AOB中，∠OAB＝∠AOB＝15°，OB＝6，OC平分∠AOB，点P在射线OC上，点Q为边OA上一动点，则PA+PQ的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是21，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为 ．
8．如图，四边形ABCD中，∠C＝58°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为 ．
9．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝7，AC＝4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，P是直线m上的一动点，则△APC的周长的最小值为 ．
10．如图等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是24，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为 ．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM平分∠ACB，点D为CM上一点，点P为边AC上一动点（不与点A，C重合），连结DP，BP．已知CD＝BC，当DP+BP的值最小时，∠CDP的度数为 ．
12．如图，点A、B在直线l同侧，请你在直线l上画出一点P，使得PA+PB的值最小，画出图形并证明．
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD，过点D作AC的垂线，垂足为F，延长DF交AB于点E，连接CE．
（1）求证：CE＝BE．
（2）若AB＝15cm，P是直线DE上的一点．则当P在何处时，PB+PC最小？并求出此时PB+PC的值．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝3，DF是线段AC的垂直平分线；交AC边于点D，交AB边于点E，以BE为边作等边△BEF，连接CF、AF．
（1）求证：△ACF是等边三角形；
（2）若点P是直线DE上一动点，连接BP、CP，当点P运动到何处时，BP+CP的值最小？并求出该最小值．
参考答案与试题解析
一．等腰三角形
1．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，若AB＝10，则CE的长为（ ）
A．5 B．8 C．10 D．10
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝BC＝10，∠A＝36°，
∴∠C＝∠A＝36°，
∵AB的垂直平分线是DE，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝36°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝108°﹣36°＝72°，
∵∠BEC＝∠A+∠ABE＝72°
∴∠BEC＝∠EBC，
∴CE＝BC＝10，
故选：C．
2．如图，AD是等边△ABC的一条中线，若在边AC上取一点E，使得AE＝AD，则∠EDC的度数为（ ）
A．30° B．20° C．25° D．15°
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AD是等边△ABC的一条中线，
∴AD⊥BC，∠CAD＝∠BAC＝30°，
∵AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED，
∵∠ADE+∠AED+∠CAD＝180°，
∴∠ADE＝75°，
∴∠EDC＝90°﹣75°＝15°，
故选：D．
3．如图，已知∠AOB＝60°，点P在OA边上，OP＝8cm，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2cm，则OM为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．1cm
【解答】解：过P作PD⊥OB于D，
∵PM＝PN，MN＝2cm，
∴MD＝ND＝1（cm），
∵PD⊥OB，
∴∠PDO＝90°，
∵∠POB＝60°，
∴∠OPD＝30°，
∴OD＝OP，
∵OP＝8cm，
∴OD＝4（cm），
∴OM＝OD﹣MD＝3（cm），
故选：B．
4．如图，△ABC中，AB＝AC，作△BCE，点A在△BCE内，点D在BE上，AD垂直平分BE，且∠BAC＝m°，则∠BEC＝（ ）
A．90°﹣m° B．180°﹣2m° C．30°+m° D．m°
【解答】解：∵AD垂直平分BE，
∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵AB＝AC，
∴AE＝AC，
∴∠AEC＝∠ACE，
∴∠BEC＝∠BEA+∠ACE，
∵∠BAC＝m°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣m°，
∴∠BEC＝（180°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝[180°﹣（∠ABC+∠ACB）]＝[180°﹣（180°﹣m°）]＝m°，
故选：D．
5．如图，在边长为4的等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，连接DF，则DF的长为 ．
【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝4，∠A＝∠C＝60°，
∵AD＝DB＝2，BE＝EC＝2，
∴AH＝AD cos60°＝1，DH＝AH＝，CF＝CE cos60°＝1，
∴FH＝AC﹣AH＝CF＝4﹣1﹣2＝2，
∴DF＝＝＝．
故答案为：．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，PD垂直平分AB，连接BD并延长，交边AC于点E．若△BCE是等腰三角形，则∠BAC的度数为 45°或36° ．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝α，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝＝90°﹣α，
∵PD垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠BAD＝α，
∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝90°﹣2α，
∴∠BEC＝∠ABE+∠BAC＝3α，
当BE＝BC时，
∠BEC＝∠C，即90°﹣α＝3α，
解得α＝22.5°，
∴∠BAC＝2α＝45°；
当BE＝CE时，
∠EBC＝∠C，此时点E和点A重合，舍去；
当CE＝BC时，
∠BEC＝∠EBC，即90°﹣2α＝3α，
解得α＝18°，
∴∠BAC＝2α＝36°．
故∠BAC的度数为45°或36°．
故答案为：45°或36°．
7．如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角∠ACG的平分线相交于点F，过F作DF∥BC交AB于D，若BD＝8cm，DE＝3cm，则CE的长为 5cm ．
【解答】解：∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∵DF∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，
∴∠ABF＝∠DFB，
∴BD＝DF＝8cm，
同理，CE＝EF，
∵EF＝DF﹣DE＝5cm，
∴CE＝5cm，
故答案为：5cm．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝15cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为 5 cm．
【解答】解：
连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，
∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝15cm，
∴∠B＝∠C＝30°，BD＝CD＝7.5cm，
∴AB＝＝5cm＝AC，
∵AB的垂直平分线EM，
∴BE＝AB＝cm
同理CF＝cm，
∴BM＝＝5cm，
同理CN＝5cm，
∴MN＝BC﹣BM﹣CN＝5cm，
故答案是：5．
9．求证：等腰锐角三角形腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半．
【解答】证明：如图：△ABC是等腰锐角三角形，AB＝AC，BD是腰AC上的高．
过点A作AE⊥BC于点E，
∴∠EAC+∠C＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠DBC+∠C＝90°，
∴∠DBC＝∠EAC，
∵AB＝AC，AE⊥BC，
∴∠EAC＝∠BAC，
∴∠DBC＝∠BAC．
10．已知等腰三角形一边上的高与另一边的夹角为20°，求这个等腰三角形顶角的度数？（画出符合题意的图形，直接写出答案即可）
【解答】解：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，
故顶角是90°﹣20°＝70°；
或顶角是180°﹣（90°﹣20°）×2＝40°；
底上的高在其内部，
故顶角是20°×2＝40°．
当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+20°＝110°．
故这个等腰三角形顶角的度数为70°或40°或110°．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，且BD＝CE，BE＝CF．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）猜想：当∠A满足什么条件时，△DEF是等边三角形？并说明理由．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△DBE和△ECF中，，
∴△DBE≌△ECF，
∴DE＝FE，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝60°时，△DEF是等边三角形，
理由：∵△BDE≌△CEF，
∴∠FEC＝∠BDE，
∴∠DEF＝180°﹣∠BED﹣∠EFC＝180°﹣∠DEB﹣∠EDB＝∠B
要△DEF是等边三角形，只要∠DEF＝60°．
所以，当∠A＝60°时，∠B＝∠DEF＝60°，
则△DEF是等边三角形．
12．已知：在△ABC中，AB＝AC，DE∥AB，DF∥AC．
求证：AC＝DE+DF．
【解答】证明：∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠EDC＝∠C，
∴ED＝EC，
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AFDE为平行四边形，
∴DF＝EA，
∴AC＝AE+EC＝DE+DF．
二．最短路径
1．如图，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使PA+PB最小，则下列图形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵点A，B在直线l的同侧，
∴作A点关于l的对称点A'，连接A'B与l的交点为P，
由对称性可知AP＝A'P，
∴PA+PB＝PA′+PB＝A′B为最小，
故选：B．
2．如图，等腰△ABC的底边BC长为6，腰长为8，EF垂直平分AB，点P为直线EF上一动点，则BP+CP的最小值（ ）
A．6 B．8 C．10 D．14
【解答】解：连接AP，
∵EF垂直平分AB，
∴AP＝BP，
∴BP+CP≥AC，
∴当PB+CP＝AC时，BP+CP值最小，
∵等腰△ABC腰长为8，
∴AC＝8，
∴BP+CP的最小值为8，
故选：B．
3．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝32°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF＝（ ）
A．110° B．112° C．114° D．116°
【解答】解：如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E′，交BC于F′，则点E′，F′即为所求．
∵四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝α，
∴∠ADC＝180°﹣α，
由轴对称知，∠ADE′＝∠P，∠CDF′＝∠Q，
在△PDQ中，∠P+∠Q＝180°﹣∠ADC
＝180°﹣（180°﹣32°）
＝32°，
∴∠ADE′+∠CDF′＝∠P+∠Q＝32°，
∴∠E′DF′＝∠ADC﹣（∠ADE′+∠CDF′）
＝180°﹣64°
＝116°．
故选：D．
4．如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝152°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC，AE＝DE．在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（ ）
A．55° B．56° C．57° D．58°
【解答】解：如图，延长AB至A′，使A′B＝AB，
延长AE至A″，使A″E＝AE，
则BC垂直平分AA′，DE垂直平分AA″，
∴AM＝A′M，AN＝A″N，
根据两点之间，线段最短，
当A′，M，N，A″四点在一条直线时，A′M+MN+NA″最小，
则AM+MN+AN的值最小，
即△AMN的周长最小，
∵AM＝A′M，AN＝A″N，
∴可设∠MAA′＝∠MA′A＝x，∠NAA″＝∠NA″A＝y，
在△AA′A″中，x+y＝180°﹣∠BAE＝180°﹣152°＝28°，
∵∠AMN＝∠MAA′+∠MA′A＝2x，∠ANM＝2y，
∴∠AMN+∠ANM＝2x+2y＝56°，
故选：B．
5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，∠ABC的平分线交AC于点D，点E，F分别是BD、AB上的动点，则AE+EF的最小值为（ ）
A．2 B．2.4 C．2.5 D．3
【解答】解：作点A关于BD的对称点M，
∵BD平分∠ABC，
∴M落在BC上．
∴BM＝BA＝4，
过M作MF⊥AB于F，交BD于E，
则AE+EF的最小值是MF的长．
∵∠MFB＝∠CAB＝90°，
∴MF∥CA，
∴，
即，MF＝2.4，
∴AE+EF＝MF＝2.4．
故选：B．
6．如图，在△AOB中，∠OAB＝∠AOB＝15°，OB＝6，OC平分∠AOB，点P在射线OC上，点Q为边OA上一动点，则PA+PQ的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：作AH⊥OB于H，交OC于P，作PQ⊥OA于Q，
∵∠OAB＝∠AOB＝15°，
∴PH＝PQ，
∴PA+PQ＝PA+PH＝AH，
∴PA+PQ的最小值为AH，
在Rt△ABH中，∵OB＝AB＝6，∠ABH＝30°，
∴AH＝AB＝3，
∴PA+PQ的最小值为3，
故选：C．
7．等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是21，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为 10 ．
【解答】解：如图，连接AD．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝ BC AD＝×6×AD＝21，
∴AD＝7，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△BDM的周长最短为AD+BD＝AD+BC＝10，
故答案为：10．
8．如图，四边形ABCD中，∠C＝58°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为 64° ．
【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠C＝58°，
∴∠DAB＝122°，
∴∠HAA′＝58°，
∴∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝58°，
∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF＝58°，
∴∠EAF＝122°﹣58°＝64°，
故答案为：64°．
9．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝7，AC＝4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，P是直线m上的一动点，则△APC的周长的最小值为 10 ．
【解答】解：∵直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，
∴BP＝CP，
∴△ACP的周长＝AP+PC+AC＝BP+AP+AC≥AB+AC，
∴当A、B、P三点共线时，△ACP的周长最小，
∵AB＝6，BC＝7，AC＝4，
∴△ACP的周长6+4＝10，
∴△ACP的周长最小值为10，
故答案为10．
10．如图等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是24，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为 11 ．
【解答】解：如图，连接AD．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝ BC AD＝×6×AD＝24，
∴AD＝8，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△BDM的周长最短为AD+BD＝AD+BC＝11，
故答案为：11．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM平分∠ACB，点D为CM上一点，点P为边AC上一动点（不与点A，C重合），连结DP，BP．已知CD＝BC，当DP+BP的值最小时，∠CDP的度数为 22.5 ．
【解答】解：如图，作点B关于AC的对称点B′，连接DB′交AC于点P，当D，P，B′共线时，PD+PB的值最小．
∵∠ACB＝90°，CM平分∠ACB，
∴∠DCB＝×90°＝45°，
∵CB＝CB′，CD＝CB，
∴CD＝CB′，
∴∠CDB′＝∠B′，
∵∠DCB＝∠CDB′+∠B′，
∴∠CDP＝22.5°，
故答案为：22.5．
12．如图，点A、B在直线l同侧，请你在直线l上画出一点P，使得PA+PB的值最小，画出图形并证明．
【解答】解：如图所示，作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，交直线l于点P，连接BP，
则BP＝B'P，
∴AP+BP＝AP+B'P＝AB'，
∴PA+PB的值最小等于线段AB'的长，
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD，过点D作AC的垂线，垂足为F，延长DF交AB于点E，连接CE．
（1）求证：CE＝BE．
（2）若AB＝15cm，P是直线DE上的一点．则当P在何处时，PB+PC最小？并求出此时PB+PC的值．
【解答】解：（1）∵△ACD为等边三角形，DE⊥AC，
∴DE垂直平分AC，
∴∠AEF＝∠FEC，
∵∠ACB＝∠AFE＝90°，
∴DE∥BC，
∴∠AEF＝∠EBC，∠FEC＝∠ECB，
∴∠ECB＝∠EBC，
∴CE＝BE；
（2）连接PA，PC，
∵DE垂直平分AC，P在DE上，
∴PC＝PA，
∵两点之间线段最短，
∴当P与E重合时PA+PB最小为15 cm，
∴PB+PC最小为15 cm．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝3，DF是线段AC的垂直平分线；交AC边于点D，交AB边于点E，以BE为边作等边△BEF，连接CF、AF．
（1）求证：△ACF是等边三角形；
（2）若点P是直线DE上一动点，连接BP、CP，当点P运动到何处时，BP+CP的值最小？并求出该最小值．
【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵FD是线段AC的垂直平分线，
∴FD⊥AC，CD＝AD，
∴CF＝AF，
∵∠ACB＝∠ADF＝90°，
∴FD∥BC，
∴BE＝AE，
∵△BEF是等边三角形，
∴∠ABF＝∠BEF＝60°，BE＝EF，
∴EF＝AE，
∴∠EAF＝∠EFA，
∴2∠EAF＝∠BEF＝60°，
∴∠EAF＝30°，
∴∠CAF＝∠BAC+∠EAF＝60°，
∴△ACF是等边三角形；
（2）解：∵FD是AC的垂直平分线，
∴PA＝PC，
∴BP+PC＝BP+PA，
∵BP+PA≥AB，
∴当点P运动到点E处时，BP+CP的值最小，最小值为AB．
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝3，
∴AB＝2BC＝6，
∴BP+CP的最小值为6.
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等腰三角形、最短路径问题
一．等腰三角形
1．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，若AB＝10，则CE的长为（ ）
A．5 B．8 C．10 D．10
2．如图，AD是等边△ABC的一条中线，若在边AC上取一点E，使得AE＝AD，则∠EDC的度数为（ ）
A．30° B．20° C．25° D．15°
3．如图，已知∠AOB＝60°，点P在OA边上，OP＝8cm，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2cm，则OM为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．1cm
4．如图，△ABC中，AB＝AC，作△BCE，点A在△BCE内，点D在BE上，AD垂直平分BE，且∠BAC＝m°，则∠BEC＝（ ）
A．90°﹣m° B．180°﹣2m° C．30°+m° D．m°
5．如图，在边长为4的等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，连接DF，则DF的长为 ．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，PD垂直平分AB，连接BD并延长，交边AC于点E．若△BCE是等腰三角形，则∠BAC的度数为 ．
7．如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角∠ACG的平分线相交于点F，过F作DF∥BC交AB于D，若BD＝8cm，DE＝3cm，则CE的长为 ．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝15cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为 cm．
求证：等腰锐角三角形腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半．
已知等腰三角形一边上的高与另一边的夹角为20°，求这个等腰三角形顶角的度数？（画出符合题意的图形，直接写出答案即可）
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，且BD＝CE，BE＝CF．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）猜想：当∠A满足什么条件时，△DEF是等边三角形？并说明理由．
12．已知：在△ABC中，AB＝AC，DE∥AB，DF∥AC．
求证：AC＝DE+DF．
二．最短路径
1．如图，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使PA+PB最小，则下列图形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，等腰△ABC的底边BC长为6，腰长为8，EF垂直平分AB，点P为直线EF上一动点，则BP+CP的最小值（ ）
A．6 B．8 C．10 D．14
3．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝32°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF＝（ ）
A．110° B．112° C．114° D．116°
4．如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝152°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC，AE＝DE．在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（ ）
A．55° B．56° C．57° D．58°
5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，∠ABC的平分线交AC于点D，点E，F分别是BD、AB上的动点，则AE+EF的最小值为（ ）
A．2 B．2.4 C．2.5 D．3
6．如图，在△AOB中，∠OAB＝∠AOB＝15°，OB＝6，OC平分∠AOB，点P在射线OC上，点Q为边OA上一动点，则PA+PQ的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是21，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为 ．
8．如图，四边形ABCD中，∠C＝58°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为 ．
9．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝7，AC＝4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，P是直线m上的一动点，则△APC的周长的最小值为 ．
10．如图等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是24，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为 ．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM平分∠ACB，点D为CM上一点，点P为边AC上一动点（不与点A，C重合），连结DP，BP．已知CD＝BC，当DP+BP的值最小时，∠CDP的度数为 ．
12．如图，点A、B在直线l同侧，请你在直线l上画出一点P，使得PA+PB的值最小，画出图形并证明．
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD，过点D作AC的垂线，垂足为F，延长DF交AB于点E，连接CE．
（1）求证：CE＝BE．
（2）若AB＝15cm，P是直线DE上的一点．则当P在何处时，PB+PC最小？并求出此时PB+PC的值．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝3，DF是线段AC的垂直平分线；交AC边于点D，交AB边于点E，以BE为边作等边△BEF，连接CF、AF．
（1）求证：△ACF是等边三角形；
（2）若点P是直线DE上一动点，连接BP、CP，当点P运动到何处时，BP+CP的值最小？并求出该最小值．
参考答案与试题解析
一．等腰三角形
1．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，若AB＝10，则CE的长为（ ）
A．5 B．8 C．10 D．10
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝BC＝10，∠A＝36°，
∴∠C＝∠A＝36°，
∵AB的垂直平分线是DE，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝36°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝108°﹣36°＝72°，
∵∠BEC＝∠A+∠ABE＝72°
∴∠BEC＝∠EBC，
∴CE＝BC＝10，
故选：C．
2．如图，AD是等边△ABC的一条中线，若在边AC上取一点E，使得AE＝AD，则∠EDC的度数为（ ）
A．30° B．20° C．25° D．15°
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AD是等边△ABC的一条中线，
∴AD⊥BC，∠CAD＝∠BAC＝30°，
∵AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED，
∵∠ADE+∠AED+∠CAD＝180°，
∴∠ADE＝75°，
∴∠EDC＝90°﹣75°＝15°，
故选：D．
3．如图，已知∠AOB＝60°，点P在OA边上，OP＝8cm，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2cm，则OM为（ ）
A．2cm B．3cm C．4cm D．1cm
【解答】解：过P作PD⊥OB于D，
∵PM＝PN，MN＝2cm，
∴MD＝ND＝1（cm），
∵PD⊥OB，
∴∠PDO＝90°，
∵∠POB＝60°，
∴∠OPD＝30°，
∴OD＝OP，
∵OP＝8cm，
∴OD＝4（cm），
∴OM＝OD﹣MD＝3（cm），
故选：B．
4．如图，△ABC中，AB＝AC，作△BCE，点A在△BCE内，点D在BE上，AD垂直平分BE，且∠BAC＝m°，则∠BEC＝（ ）
A．90°﹣m° B．180°﹣2m° C．30°+m° D．m°
【解答】解：∵AD垂直平分BE，
∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵AB＝AC，
∴AE＝AC，
∴∠AEC＝∠ACE，
∴∠BEC＝∠BEA+∠ACE，
∵∠BAC＝m°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣m°，
∴∠BEC＝（180°﹣∠ABC﹣∠ACB）＝[180°﹣（∠ABC+∠ACB）]＝[180°﹣（180°﹣m°）]＝m°，
故选：D．
5．如图，在边长为4的等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，连接DF，则DF的长为 ．
【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝4，∠A＝∠C＝60°，
∵AD＝DB＝2，BE＝EC＝2，
∴AH＝AD cos60°＝1，DH＝AH＝，CF＝CE cos60°＝1，
∴FH＝AC﹣AH＝CF＝4﹣1﹣2＝2，
∴DF＝＝＝．
故答案为：．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，PD垂直平分AB，连接BD并延长，交边AC于点E．若△BCE是等腰三角形，则∠BAC的度数为 45°或36° ．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝α，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝＝90°﹣α，
∵PD垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴∠ABD＝∠BAD＝α，
∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝90°﹣2α，
∴∠BEC＝∠ABE+∠BAC＝3α，
当BE＝BC时，
∠BEC＝∠C，即90°﹣α＝3α，
解得α＝22.5°，
∴∠BAC＝2α＝45°；
当BE＝CE时，
∠EBC＝∠C，此时点E和点A重合，舍去；
当CE＝BC时，
∠BEC＝∠EBC，即90°﹣2α＝3α，
解得α＝18°，
∴∠BAC＝2α＝36°．
故∠BAC的度数为45°或36°．
故答案为：45°或36°．
7．如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角∠ACG的平分线相交于点F，过F作DF∥BC交AB于D，若BD＝8cm，DE＝3cm，则CE的长为 5cm ．
【解答】解：∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∵DF∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，
∴∠ABF＝∠DFB，
∴BD＝DF＝8cm，
同理，CE＝EF，
∵EF＝DF﹣DE＝5cm，
∴CE＝5cm，
故答案为：5cm．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝15cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为 5 cm．
【解答】解：
连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，
∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝15cm，
∴∠B＝∠C＝30°，BD＝CD＝7.5cm，
∴AB＝＝5cm＝AC，
∵AB的垂直平分线EM，
∴BE＝AB＝cm
同理CF＝cm，
∴BM＝＝5cm，
同理CN＝5cm，
∴MN＝BC﹣BM﹣CN＝5cm，
故答案是：5．
9．求证：等腰锐角三角形腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半．
【解答】证明：如图：△ABC是等腰锐角三角形，AB＝AC，BD是腰AC上的高．
过点A作AE⊥BC于点E，
∴∠EAC+∠C＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠DBC+∠C＝90°，
∴∠DBC＝∠EAC，
∵AB＝AC，AE⊥BC，
∴∠EAC＝∠BAC，
∴∠DBC＝∠BAC．
10．已知等腰三角形一边上的高与另一边的夹角为20°，求这个等腰三角形顶角的度数？（画出符合题意的图形，直接写出答案即可）
【解答】解：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，
故顶角是90°﹣20°＝70°；
或顶角是180°﹣（90°﹣20°）×2＝40°；
底上的高在其内部，
故顶角是20°×2＝40°．
当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+20°＝110°．
故这个等腰三角形顶角的度数为70°或40°或110°．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，且BD＝CE，BE＝CF．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）猜想：当∠A满足什么条件时，△DEF是等边三角形？并说明理由．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△DBE和△ECF中，，
∴△DBE≌△ECF，
∴DE＝FE，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝60°时，△DEF是等边三角形，
理由：∵△BDE≌△CEF，
∴∠FEC＝∠BDE，
∴∠DEF＝180°﹣∠BED﹣∠EFC＝180°﹣∠DEB﹣∠EDB＝∠B
要△DEF是等边三角形，只要∠DEF＝60°．
所以，当∠A＝60°时，∠B＝∠DEF＝60°，
则△DEF是等边三角形．
12．已知：在△ABC中，AB＝AC，DE∥AB，DF∥AC．
求证：AC＝DE+DF．
【解答】证明：∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠EDC＝∠C，
∴ED＝EC，
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AFDE为平行四边形，
∴DF＝EA，
∴AC＝AE+EC＝DE+DF．
二．最短路径
1．如图，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使PA+PB最小，则下列图形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵点A，B在直线l的同侧，
∴作A点关于l的对称点A'，连接A'B与l的交点为P，
由对称性可知AP＝A'P，
∴PA+PB＝PA′+PB＝A′B为最小，
故选：B．
2．如图，等腰△ABC的底边BC长为6，腰长为8，EF垂直平分AB，点P为直线EF上一动点，则BP+CP的最小值（ ）
A．6 B．8 C．10 D．14
【解答】解：连接AP，
∵EF垂直平分AB，
∴AP＝BP，
∴BP+CP≥AC，
∴当PB+CP＝AC时，BP+CP值最小，
∵等腰△ABC腰长为8，
∴AC＝8，
∴BP+CP的最小值为8，
故选：B．
3．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝32°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF＝（ ）
A．110° B．112° C．114° D．116°
【解答】解：如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E′，交BC于F′，则点E′，F′即为所求．
∵四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝α，
∴∠ADC＝180°﹣α，
由轴对称知，∠ADE′＝∠P，∠CDF′＝∠Q，
在△PDQ中，∠P+∠Q＝180°﹣∠ADC
＝180°﹣（180°﹣32°）
＝32°，
∴∠ADE′+∠CDF′＝∠P+∠Q＝32°，
∴∠E′DF′＝∠ADC﹣（∠ADE′+∠CDF′）
＝180°﹣64°
＝116°．
故选：D．
4．如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝152°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC，AE＝DE．在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（ ）
A．55° B．56° C．57° D．58°
【解答】解：如图，延长AB至A′，使A′B＝AB，
延长AE至A″，使A″E＝AE，
则BC垂直平分AA′，DE垂直平分AA″，
∴AM＝A′M，AN＝A″N，
根据两点之间，线段最短，
当A′，M，N，A″四点在一条直线时，A′M+MN+NA″最小，
则AM+MN+AN的值最小，
即△AMN的周长最小，
∵AM＝A′M，AN＝A″N，
∴可设∠MAA′＝∠MA′A＝x，∠NAA″＝∠NA″A＝y，
在△AA′A″中，x+y＝180°﹣∠BAE＝180°﹣152°＝28°，
∵∠AMN＝∠MAA′+∠MA′A＝2x，∠ANM＝2y，
∴∠AMN+∠ANM＝2x+2y＝56°，
故选：B．
5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，∠ABC的平分线交AC于点D，点E，F分别是BD、AB上的动点，则AE+EF的最小值为（ ）
A．2 B．2.4 C．2.5 D．3
【解答】解：作点A关于BD的对称点M，
∵BD平分∠ABC，
∴M落在BC上．
∴BM＝BA＝4，
过M作MF⊥AB于F，交BD于E，
则AE+EF的最小值是MF的长．
∵∠MFB＝∠CAB＝90°，
∴MF∥CA，
∴，
即，MF＝2.4，
∴AE+EF＝MF＝2.4．
故选：B．
6．如图，在△AOB中，∠OAB＝∠AOB＝15°，OB＝6，OC平分∠AOB，点P在射线OC上，点Q为边OA上一动点，则PA+PQ的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：作AH⊥OB于H，交OC于P，作PQ⊥OA于Q，
∵∠OAB＝∠AOB＝15°，
∴PH＝PQ，
∴PA+PQ＝PA+PH＝AH，
∴PA+PQ的最小值为AH，
在Rt△ABH中，∵OB＝AB＝6，∠ABH＝30°，
∴AH＝AB＝3，
∴PA+PQ的最小值为3，
故选：C．
7．等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是21，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为 10 ．
【解答】解：如图，连接AD．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝ BC AD＝×6×AD＝21，
∴AD＝7，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△BDM的周长最短为AD+BD＝AD+BC＝10，
故答案为：10．
8．如图，四边形ABCD中，∠C＝58°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为 64° ．
【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠C＝58°，
∴∠DAB＝122°，
∴∠HAA′＝58°，
∴∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝58°，
∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF＝58°，
∴∠EAF＝122°﹣58°＝64°，
故答案为：64°．
9．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝7，AC＝4，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，P是直线m上的一动点，则△APC的周长的最小值为 10 ．
【解答】解：∵直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，
∴BP＝CP，
∴△ACP的周长＝AP+PC+AC＝BP+AP+AC≥AB+AC，
∴当A、B、P三点共线时，△ACP的周长最小，
∵AB＝6，BC＝7，AC＝4，
∴△ACP的周长6+4＝10，
∴△ACP的周长最小值为10，
故答案为10．
10．如图等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是24，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为 11 ．
【解答】解：如图，连接AD．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝ BC AD＝×6×AD＝24，
∴AD＝8，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△BDM的周长最短为AD+BD＝AD+BC＝11，
故答案为：11．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM平分∠ACB，点D为CM上一点，点P为边AC上一动点（不与点A，C重合），连结DP，BP．已知CD＝BC，当DP+BP的值最小时，∠CDP的度数为 22.5 ．
【解答】解：如图，作点B关于AC的对称点B′，连接DB′交AC于点P，当D，P，B′共线时，PD+PB的值最小．
∵∠ACB＝90°，CM平分∠ACB，
∴∠DCB＝×90°＝45°，
∵CB＝CB′，CD＝CB，
∴CD＝CB′，
∴∠CDB′＝∠B′，
∵∠DCB＝∠CDB′+∠B′，
∴∠CDP＝22.5°，
故答案为：22.5．
12．如图，点A、B在直线l同侧，请你在直线l上画出一点P，使得PA+PB的值最小，画出图形并证明．
【解答】解：如图所示，作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，交直线l于点P，连接BP，
则BP＝B'P，
∴AP+BP＝AP+B'P＝AB'，
∴PA+PB的值最小等于线段AB'的长，
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD，过点D作AC的垂线，垂足为F，延长DF交AB于点E，连接CE．
（1）求证：CE＝BE．
（2）若AB＝15cm，P是直线DE上的一点．则当P在何处时，PB+PC最小？并求出此时PB+PC的值．
【解答】解：（1）∵△ACD为等边三角形，DE⊥AC，
∴DE垂直平分AC，
∴∠AEF＝∠FEC，
∵∠ACB＝∠AFE＝90°，
∴DE∥BC，
∴∠AEF＝∠EBC，∠FEC＝∠ECB，
∴∠ECB＝∠EBC，
∴CE＝BE；
（2）连接PA，PC，
∵DE垂直平分AC，P在DE上，
∴PC＝PA，
∵两点之间线段最短，
∴当P与E重合时PA+PB最小为15 cm，
∴PB+PC最小为15 cm．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝3，DF是线段AC的垂直平分线；交AC边于点D，交AB边于点E，以BE为边作等边△BEF，连接CF、AF．
（1）求证：△ACF是等边三角形；
（2）若点P是直线DE上一动点，连接BP、CP，当点P运动到何处时，BP+CP的值最小？并求出该最小值．
【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵FD是线段AC的垂直平分线，
∴FD⊥AC，CD＝AD，
∴CF＝AF，
∵∠ACB＝∠ADF＝90°，
∴FD∥BC，
∴BE＝AE，
∵△BEF是等边三角形，
∴∠ABF＝∠BEF＝60°，BE＝EF，
∴EF＝AE，
∴∠EAF＝∠EFA，
∴2∠EAF＝∠BEF＝60°，
∴∠EAF＝30°，
∴∠CAF＝∠BAC+∠EAF＝60°，
∴△ACF是等边三角形；
（2）解：∵FD是AC的垂直平分线，
∴PA＝PC，
∴BP+PC＝BP+PA，
∵BP+PA≥AB，
∴当点P运动到点E处时，BP+CP的值最小，最小值为AB．
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝3，
∴AB＝2BC＝6，
∴BP+CP的最小值为6.
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