2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册2.3二次函数的值域 讲义

高一数学必修一专题讲解：二次函数的值域
第一部分：计算二次函数的值域
一、计算二次函数在实数集上的值域。
（1）计算二次函数在实数集上的值域结论，如下表所示：
结论 推理
结论一：二次函数 （）在 上的值域： 。 推理：二次函数（）的图象，如下图所示： 根据上图可以得到二次函数的值域：。
结论二：二次函数 （）在 上的值域： 。 推理：二次函数（）的图象，如下图所示： 根据上图可以得到二次函数的值域：。
（2）计算二次函数在实数集上的值域的例题讲解，如下表所示：
例题 解答过程
例题一：二次函数 。 计算：函数在上的值域。 解：第一步：计算对称轴。 的对称轴：。 第二步：计算值域。 （开口向上）在处取得最小值： 在上的值域。
例题二：二次函数 。 计算：函数在上的值域。 解：第一步：计算对称轴。 的对称轴：。 第二步：计算值域。 （开口向下）在处取得最大值： 在上的值域。
（3）计算二次函数在实数集上的值域的跟踪训练，如下表所示：
跟踪训练 解答过程
跟踪训练一：已知：函数 。 计算：函数在 上的值域。 解：
跟踪训练二：已知：函数。 计算：函数在上的值域。 解：
（4）计算二次函数在实数集上的值域的跟踪训练参考答案，如下表所示：
跟踪训练一： 跟踪训练二：
二、计算二次函数在给定区间上的值域（一）。
（1）计算二次函数在给定区间上的值域（一）结论，如下表所示：
结论 推理
结论一：二次函数 （）在 上的值域： ①当时： 。 ②当时： 。 推理：①二次函数（）的图象，如下图所示： 当时：如左图所示： 二次函数（）在 的值域：。 ②二次函数（）的图象，如下图所示： 当时：如左图所示： 二次函数（）在 的值域：。
结论二：二次函数 （）在 上的值域： ①当时： 。 ②当时： 。 推理：①二次函数（）的图象，如下图所示： 当时：如左图所示： 二次函数（）在 的值域：。 ②二次函数（）的图象，如下图所示： 当时：如左图所示： 二次函数（）在 的值域：。
结论三：二次函数 （）在 上的值域： ①当时： 。 ②当时： 。 推理：①二次函数（）的图象，如下图所示： 当时：如左图所示： 二次函数（）在 的值域：。 ②二次函数（）的图象，如下图所示： 当时：如左图所示： 二次函数（）在 的值域：。
结论四：二次函数 （）在 上的值域： ①当时： 。 ②当时： 。 推理：①二次函数（）的图象，如下图所示： 当时：如左图所示： 二次函数（）在 的值域：。 ②二次函数（）的图象，如下图所示： 当时：如左图所示： 二次函数（）在 的值域：。
结论五：二次函数 （）在 上的值域： ①当时： 。 ②当时： 。 推理：①二次函数（）的图象，如下图所示： 当时：如左图所示： 二次函数（）在 的值域：。 ②二次函数（）的图象，如下图所示： 当时：如左图所示： 二次函数（）在 的值域：。
结论六：二次函数 （）在 上的值域： ①当时： 。 ②当时： 。 推理：①二次函数（）的图象，如下图所示： 当时：如左图所示： 二次函数（）在 的值域：。 ②二次函数（）的图象，如下图所示： 当时：如左图所示： 二次函数（）在 的值域：。
结论七：二次函数 （）在 上的值域： ①当时： 。 ②当时： 。 推理：①二次函数（）的图象，如下图所示： 当时：如左图所示： 二次函数（）在 的值域：。 ②二次函数（）的图象，如下图所示： 当时：如左图所示： 二次函数（）在 的值域：。
结论八：二次函数 （）在 上的值域： ①当时： 。 ②当时： 。 推理：①二次函数（）的图象，如下图所示： 当时：如左图所示： 二次函数（）在 的值域：。 ②二次函数（）的图象，如下图所示： 当时：如左图所示： 二次函数（）在 的值域：。
（2）计算二次函数在给定区间上的值域（一）例题讲解，如下表所示：
例题 本题解答
例题一：已知：函数 。 计算：函数在 上的值域。 解：的对称轴：。 在处取得最小值：。 所以：函数在上的值域：。
例题二：已知：函数 。 计算：函数在 上的值域。 解：的对称轴：。 在处取得最大值：。 所以：函数在上的值域：。
例题三：已知：函数 。 计算：函数在 上的值域。 解：的对称轴：。 在处取得最小值：。 所以：函数在上的值域：。
例题四：已知：函数 。 计算：函数在 上的值域。 解：的对称轴：。 在处取得最大值：。 所以：函数在上的值域：。
（3）计算二次函数在给定区间上的值域（一）跟踪训练，如下表所示：
跟踪训练 解答区域
跟踪训练一：已知：函 数。 计算：函数在区间 上的值域。 解：
跟踪训练二：已知：函 数。 计算：函数在区间 上的值域。 解：
跟踪训练三：已知：函 数。 计算：函数在区间 上的值域。 解：
跟踪训练四：已知：函 数。 计算：函数在区间 上的值域。 解：
（4）计算二次函数在给定区间上的值域（一）跟踪训练参考答案，如下表所示：
跟踪训练一： 跟踪训练二：
跟踪训练三： 跟踪训练四：
三、计算二次函数在给定区间上的值域（二）。
（1）计算二次函数在给定区间上的值域（二）结论，如下表所示：
结论 推理
结论一：二次函数 （）在 上的值域： （1）当时： ①： ②： 。 ③： 或 。 （2）当时： ①： 。 ②： 。 推理：（1）（）的图象如下图所示： ①当和时： 如左图所示：（）在 上的值域：。 ②当和时： 如左图所示：（）在 上的值域：。 ③当和时： 如左图所示：（）在 上的值域： 或。 （2）（）的图象如下图所示： ①当时： 如左图所示：（）在 上的值域：。 ②当时： 如左图所示：（）在 上的值域：。
结论二：二次函数 推理：（1）（）的图象如下图所示：
（）在 上的值域： （1）当时： ①： 。 ②： 。 ③： 或 。 （2）当时： ①： 。 ②： 。 ①当和时： 如左图所示：（）在 上的值域：。 ②当和时： 如左图所示：（）在 上的值域：。 ③当和时： 如左图所示：（）在 上的值域： 或。 （2）（）的图象如下图所示： ①当时： 如左图所示：（）在 上的值域：。 ②当时： 如左图所示：（）在 上的值域：。
综合结论一：当对称轴属于给定区间时：①在对称轴处取得一个最值；②在距离对称轴比较远的给定区间端点处取得另一个最值。 综合结论二：当对称轴不属于给定区间时：在 给定区间的两个端点处取得两个最值。
（2）计算二次函数在给定区间上的值域（二）例题讲解，如下表所示：
例题 解法设计
例题一：已知：函数 。 计算：函数在 上的值域。 解：函数的对称轴：时： 在处取得最小值：。 在处取得最大值： 。 所以：函数在上的值域：。
例题二：已知：函数 。 计算：函数在 上的值域。 解：函数的对称轴： 时：在处取得最大值： 。 在和处同时取得最大 值：。 所以：函数在上的值域：。
例题三：已知：函数 。 计算：函数在 上的值域。 解：函数的对称轴：。 在处取得最小值：。 在处取得最大值：。 所以：函数在上的值域：。
例题四：已知：函数 。 计算：函数在 上的值域。 解：函数的对称轴：。 在处取得最小值：。 在处取得最大值：。 所以：函数在上的值域：。
（3）计算二次函数在给定区间上的值域（二）跟踪训练，如下表所示：
跟踪训练 解答区域
跟踪训练一：已知：函数。 计算：函数在 的值域。 解：
跟踪训练二：已知：函数。 计算：函数在 的值域。 解：
跟踪训练三：已知：函数。 计算：函数在 的值域。 解：
跟踪训练四：已知：函数。 计算：函数在 的值域。 解：
（4）计算二次函数在给定区间上的值域（二）跟踪训练参考答案，如下表所示：
跟踪训练一： 跟踪训练二：
跟踪训练一： 跟踪训练二：
第二部分：构造二次函数求值域
一、以根号为自变量的二次函数。
（1）构造以根号为自变量的二次函数例题讲解（一），如下表所示：
例题 解法设计
例题一：已知：函数 。 计算：函数的值域。 解：假设：。。根据根号大于等于零得到： 。，。 函数的对称轴：。 在处取得最小值：。 所以：函数的值域：。
例题二：已知：函数 。 计算：函数的值域。 解：假设：。。根据根号大于等于零得到：。，。 的对称轴：。 在处取得最大值：。 所以：函数的值域：。
例题三：已知：函数 。 计算：函数在区间 上的值域。 解：假设：。。 。，。 的对称轴：。 在处取得最小值：。 在处取得最大值：。 所以：函数在区间上的值域：。
（2）构造以根号为自变量的二次函数例题讲解（二），如下表所示：
例题 解法设计
例题一：已知：函数 。 计算：函数的值域。 解：假设：。。根据根号下大于等于零得到：。，。 的对称轴：。 在处取得最小值：。 所以：函数的值域：。
例题二：已知：函数 。 计算：函数的值域。 解：假设：。。根据根号下大于等于零得到：。， 。 的对称轴：。 在处取得最大值：。 所以：函数的值域：。
例题三：已知：函数 。 计算：函数在区间上的值域。 解：假设：。。 。，。 的对称轴：。 在处取得最大值：。 在处取得最小值：。 所以：函数在区间上的值域：。
（3）以根号为自变量的二次函数跟踪训练，如下表所示：
跟踪训练 解答区域
跟踪训练一：已知：函数 。 计算：函数的值域。 解：
跟踪训练二：已知：函数 。 计算：函数的值域。 解：
跟踪训练三：已知：函数 。 计算：函数在区间上的值域。 解：
跟踪训练四：已知：函数 。 计算：函数在区间上的值域。 解：
（4）以根号为自变量的二次函数跟踪训练参考答案，如下表所示：
跟踪训练一： 跟踪训练二：
跟踪训练三： 跟踪训练四：
二、以反比例函数为自变量的二次函数。
（1）构造以反比例函数为自变量的二次函数例题讲解（一），如下表所示：
例题 解法设计
例题一：已知：函数 。 计算：函数在区间 上的值域。 解：假设：。。 ，。 的对称轴：。 在处取得最小值：。 所以：函数在区间上的值域：。
例题二：已知：函数 。 计算：函数在区间 上的值域。 解：假设：。 。，。 的对称轴：。 在处取得最大值：。 在处取得最小值：。 所以：函数在区间上的值域：。
（2）构造以反比例函数为自变量的二次函数例题讲解（二），如下表所示：
例题 解法设计
例题一：已知：函数 。 计算：函数在区间 上的值域。 解：假设：。 。根据对应系数相等得到： ，，，， 。 。 假设：。。 ，。 的对称轴：。 在处取得最大值：。 在处取得最小值：。 所以：函数在区间上的值域：。
例题二：已知：函数 。 计算：函数在区间 上的值域。 解：。 假设：。。，。 的对称轴：。 在处取得最小值：。 所以：函数在区间上的值域：。
（3）构造以反比例函数为自变量的二次函数跟踪训练，如下表所示：
跟踪训练 解答区域
跟踪训练一：已知：函数 。 计算：函数在区间 上的值域。 解：
跟踪训练二：已知：函数 。 计算：函数在区间 上的值域。 解：
跟踪训练三：已知：函数 。 计算：函数在区间 上的值域。 解：
跟踪训练四：已知：函数 。 计算：函数在区间 上的值域。 解：
（4）构造以反比例函数为自变量的二次函数跟踪训练参考答案，如下表所示：
跟踪训练一： 跟踪训练二：
跟踪训练三： 跟踪训练四：