函数与方程（1）
姓名________ 班级__________ 学号__________ 日期__________ 成绩_______
1、函数f(x)=2x+5的零点是________
2、已知关于x的一元二次方程2x2+px+15=0有一个零点是-3，则另一个零点是_______
3、函数y=-x2+8x-16在区间[3,5]上零点个数是____
4、设函数，则函数的零点是______
5、函数f(x)=ax+b有一个零点是2，那么函数g(x)=bx2-ax的零点是_______
6、定义在R上的偶函数y=f(x)在[0，+∞上单调递减，函数f(x)的一个零点为，则不等式f(log4x)<0的解集是_______
7、求证：方程5x2-7x-1=0的根在一个在区间（-1,0）上，另一个在区间(1,2)上。
8、已知函数f(x)=2(m-1)x2-4mx+2m-1
（1）m为何值时，函数的图象与x轴有两个不同的交点；
（2）如果函数的一个零点在原点，求m的值。
函数与方程（2）
姓名________ 班级__________ 学号__________ 日期__________ 成绩_______
1、函数f(x)=3x-16在区间[3,5]上有____个零点
2、已知f(x)的图象是连续不断的，有如下的x与f(x)的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 6.36 3.23 -1.76 -10.0 21.6 131
则函数f(x)存在零点的区间是______
3、函数的零点所在区间是（n,n+1），则正整数n=______
4、方程x5-x-1=0的一个零点存在的区间可能是_____(端点值为整数)
5、二次函数f(x)=ax2+bx+c的部分对应值如下表：
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 6 m -4 -6 -6 -4 n 6
6、方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内有实根，取区间中点x0=2.5，那么下一个有根区间是_______
7、方程lgx=x-5的大于1的根在区间（n,n+1），试求正整数n的值。
8、利用计算器求方程10x=3-x的近似解。（精确到0.1）
参考答案
函数与方程（1）
1、 2、 3、1
4、 5、0， 6、（0，）∪（2，+∞）
7、设f(x)=5x2-7x-1
f(-1)>0,f(0)<0,f(1)<0,f(2)>0
且y=f(x)的图象在（-1，0）和（1，2）上是连续不断的曲线
所以,方程的根在（-1，0）上，另一个根在（1，2）上
8、（1）
（2）
函数与方程（2）
1、0 2、（2，3）（4，5） 3、1
4、（1，2） 5、（-3，-1）（2，4） 6、（2，2.5）
7、
由图象知，f(x)=lgx-x+5的大于1的根x0>5
又，f(5)>0,f(6)<0,故x0∈(5,6)，所以，n=5
8、
由图象，知函数f(x)=10x+x-3的根x0∈（0，1）
又，f(0)<0,f(0.5)>0→x0∈（0，0.5）
f(0.25)<0,f(0.5)>0→x0∈（0.25，0.5）
f(0.375)<0,f(0.5)>0→x0∈（0.375，0.5）
f(0.375)<0,f(0.4375)>0→x0∈（0.375，0.4375）
而0.375与0.4375精确到0.1都是0.4，所以，方程的近似解为0.4
x
5
y
y
x
3
1第三十二课时 函数与方程小结与复习
【学习导航】
学习要求
1．了解函数的零点与方程根的关系；
2．根据具体的函数图象，能够用二分法求相应方程的近似解；
3．体会函数与方程的内在联系，初步建立用函数方程思想解决问题的思维方式．
自学评价
1．一元二次函数与一元二次方程
一元二次函数与一元二次方程（以后还将学习一元二次不等式）的关系一直是高中数学函数这部分内容中的重点，也是高考必考的知识点．我们要弄清楚它们之间的对应关系：一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解；反之，一元二次方程的解也是对应的一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标．
2．函数与方程
两个函数与图象交点的横坐标就是方程的解；反之，要求方程的解，也只要求函数与图象交点的横坐标．
3．二分法求方程的近似解
二分法求方程的近似解，首先要找到方程的根所在的区间，则必有，再取区间的中点，再判断的正负号，若，则根在区间中；若，则根在中；若，则即为方程的根．按照以上方法重复进行下去，直到区间的两个端点的近似值相同（且都符合精确度要求），即可得一个近似值．
【精典范例】
例1：已知二次函数的图象经过点三点，
（1）求的解析式；
（2）求的零点；
（3）比较，，，与的大小关系．
分析：可设函数解析式为，将已知点的坐标代入方程解方程组求、、．
【解】（1）设函数解析式为，
由解得，
∴．
（2）令得或，
∴零点是．
（3） ，
，，．
点评：当二次函数的两个零点都在（或都不在）区间中时，；有且只有一个零点在区间中时，．
例2：利用计算器，求方程的近似解（精确到）．
分析一：可先找出方程的根所在的一个区间，再用二分法求解．
解法一：设，通过观察函数的草图得：
，，
∴方程有一根在内，设为，
∵，∴，
又∵，∴，如此继续下去，得
，
，
∵精确到的近似值都为，所以方程的一个近似值都为，用同样的方法，可求得方程的另一个近似值为．
点评：解题过程中要始终抓住重点：区间两端点的函数值必须异号．
分析二：还可以用方程近似解的另一种方法——“迭代法”来求解．
解法二：将原方程写成 ①
取代入等式右边得，再将代入方程①右边，得，……
如此循环计算数十次后，可得计算结果稳定在，∴该方程的近似解为，精确到后为．用同样的方法可以求出方程的另一个近似解为．
点评：“迭代法”也是一种常用的求近似解的方法．
例3：已知函数的图象与轴在原点的右侧有交点，试确定实数的取值范围．
分析：
【解】（1）当时，与轴的交点为，符合题意；
（2）时，，
时，的图象是开口向下的抛物线，它与轴的两交点分别在原点的两侧；
时，的图象是开口向上的抛物线，必须，解得
综上可得的取值范围为.
追踪训练一
1．函数的图象与轴交点横坐标为 （ D ）
）
A. B. C.或 D.
2．已知则方程的解的个数是（ A ）
A. B. C. D. 不确定
3．直线与曲线
只有一个公共点，则k的值为（ A ）
A. 0， B. 0，
C. D. 0，
4．函数与轴交点坐标是 、，方程的根为 或 ．
5．已知方程在区间中有且只有一解，则实数的取值范围为 .
6．已知函数过点，则方程的解为 ．
7．求方程的近似解（精确到）．
答案：和
8．判断方程（其中）在区间内是否有解．
答案：有解．
第32课 函数与方程小结与复习
分层训练
1．已知二次函数（）的对称轴是，则，，的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．在区间上有零点的函数是（ ）
A．B．C． D．
3．函数在区间上的最大值为，则的值为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
4．已知不等式的解集为，则不等式的解集为____________．
5．已知一个二次函数，当时有最大值，它的图象截轴所得的线段为．
（1）求该函数的解析式；
（2）试证明方程有两个不等的实数根，且两根分别在区间和内；
（3）求出该函数的零点．
【解】
6．方程的实数根的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．无穷多个
7．二次函数满足，且在上递增，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．函数在区间上的最大值为，最小值为，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．用二分法求方程在区间内的实根，取区间中点，那么下一个有根区间是______________。
10．已知函数，，且方程有实根，
（1）证明：且；
（2）若是方程的一个实根，判断的正负，并说明理由．
拓展延伸
11．已知二次函数 (,,), ,对于任意，都有，且当时，有．
（1）求的值；（2） 求证, ；
（3） 当时，函数
是单调的，求证或．
12．已知二次函数 ()，设关于的方程的两根为、，的两实根为、．
（1）若，求、的关系式；
（2）若、均为负整数，且，求的解析式；
（3）若，求证：
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分层训练
1．已知二次函数（）的对称轴是，则，，的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．在区间上有零点的函数是（ ）
A．B．C． D．
3．函数在区间上的最大值为，则的值为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
4．已知不等式的解集为，则不等式的解集为____________．
5．已知一个二次函数，当时有最大值，它的图象截轴所得的线段为．
（1）求该函数的解析式；
（2）试证明方程有两个不等的实数根，且两根分别在区间和内；
（3）求出该函数的零点．
【解】
6．方程的实数根的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．无穷多个
7．二次函数满足，且在上递增，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．函数在区间上的最大值为，最小值为，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．用二分法求方程在区间内的实根，取区间中点，那么下一个有根区间是______________。
10．已知函数，，且方程有实根，
（1）证明：且；
（2）若是方程的一个实根，判断的正负，并说明理由．
拓展延伸
11．已知二次函数 (,,), ,对于任意，都有，且当时，有．
（1）求的值；（2） 求证, ；
（3） 当时，函数
是单调的，求证或．
12．已知二次函数 ()，设关于的方程的两根为、，的两实根为、．
（1）若，求、的关系式；
（2）若、均为负整数，且，求的解析式；
（3）若，求证：
本节学习疑点：
学生质疑
教师释疑(共17张PPT)
函数与方程
课题：方程的根与函数的零点
教学目标：1.熟练掌握二次函数的图象，会判断一元二次方程根的存在性及根的个数。
2.了解函数的零点与方程根的联系。
3.认识到函数的图象及单调性在确定零点的作用。
提出问题：
一元二次方程 的根与二次函数 的图象有什么关系？
先来观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数的图象:
方程 与函数
0
3
2
2
=
-
-
x
x
3
2
2
-
-
=
x
x
y
方程 与函数
0
1
2
2
=
+
-
x
x
1
2
2
+
-
=
x
x
y
方程 与函数
0
3
2
2
=
+
-
x
x
3
2
2
+
-
=
x
x
y
O
指出：
（1）方程x2-2x-3=0的根与函数
y= x2-2x-3的图象之间的关系；
（2）方程x2-2x+1=0的根与函数
y= x2-2x+1的图象之间的关系；
（3）方程x2-2x+3=0的根与函数
y= x2-2x+3的图象之间的关系.
判别式
=b2-4ac >0 0 <0
二次函数y=ax2+bx+c
的图象
一元二次方程ax2+bx+c=0
的根
二次函数y=ax2+bx+c
的图象与x轴的交点
有两个不等的
实数根x1，x2
有两个相等实数根x1=x2
没有实数根
x
y
x1
x2
x
y
x1=x2
x
y
一般地,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的根与二次函数 y= ax2+bx+c (a≠0）的图象有如下关系：
(x1,0)，
(x2,0)
(x1,0)
没有交点
结论：一元二次方程的根与相应的二次函数图象的关系是
推广到一般情形是:
函数y=f(x)的图象与x轴的交点情况
方程f(x)=0的实根情况
若一元二次方程有实数根,它的根就是相应二次函数的图象与x轴交点的横坐标;
若一元二次方程没有实数根,则相应二次函数的图象与x轴没有交点.
想一想：推广到一般情形又怎样呢？
定义：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点(zero point).
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
引出函数零点的概念
剖析概念,你能得出什么结论吗？
结论：函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根。
想一想,怎样求函数的零点呢？
求函数的零点有两种方法：
①代数法:求方程f(x)=0的实数根；
②几何法:将它与函数y=f(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点。
下面我们来探究二次函数的零点情况
1、用代数法探究
结论：二次函数
(1)△>0,二次函数有两个零点；
(2)△=0,二次函数有一个二重零点或二阶零点；
(3)△<0,二次函数没有零点。
2、用数形结合法探究(以 为例)
观察二次函数 的图象,填空：
①在区间[-2,1]上有零点 ;
f(-2)= ;f(1)= ;
f(-2)·f(1) 0。
②在区间[2,4]上有零点 ;
f(2)·f(4) 0。
-1
5
- 4
<
3
<
想一想：怎样判断一个函数在给定区间上是否存在零点呢？
让我们来看一个例子
x
y
0
-4
1
3
-1
观察下面函数y=f(x)的图象
·
·
·
·
a
d
c
b
①在区间[a,b]上 (有/无
零点;f(a)·f(b) 0.
②在区间[b,c]上 (有/无零点);
f(b)·f(c) 0.
③在区间[c,d]上 (有/无零点);f(b)·f(c) 0.
有
有
有
<
<
<
？你知道判断一个函数在给定区间上是否存在零点的方法了吗？
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.即存在c∈(a,b)，使得f(c )=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.
连续函数在某个区间上存在零点的判别方法：
思考:若函数y=f(x)在区间[a,b]上有零点，是否一定有f(a)·f(b)<0？
例1 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数.
解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（表3--1）和图象（图3.1--3）.
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
f(x) -4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972
表3--1
分析：先说明它存在零点，再求零点的个数。
巩固深化
图3.1--3
由表3--1和图3.1--3可知，f(2)<0,f(3)>0，即f(2)· f(3) <0，说明这个函数在区间(2,3)内有零点。
由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点.
0 1 2 3 4
例2.函数 的零点所在的大致区间是( )
A . (1, 2) B . (2, 3)
C . 和(3, 4) D . (e, +∞)
分析:从已知的区间(a,b) ,求f(a),f(b),判断是否有f(a)·f(b)<0.
解:因为f(1)=-2<0,f(2)=ln2-1<0,故在(1,2)内没有零点,非A.又f(3)=ln3-2/3>0,所以f(2)·f(3)<0,所以f(x)在(2,3)内有一个零点,选B.
例3. 若方程 在(0, 1)内恰有一解,求实数a的取值范围.
分析:令 ,由题意应有f(0)·f(1)<0,解出a.
解:令 ,因为方程在(0,1)内恰在一解,则f(0)·f(1)<0,即
-1·(2a-2)<0,解得 a>1.
例4.二次函数 中,
a·c<0,则函数的零点个数是( ).
A. 1个 B. 2个 C. 0个 D. 无法确定
分析:分析条件a·c<0,a是二次项系数,确定抛物线的开口方向, c=f(0), 所以a·c=a·f(0)<0,由此可解出a.
解:因为c=f(0),所以a与f(0)异号,即：
a>0
f(0)<0
或
a<0
f(0)>0
所以函数必有两个零点,故选B.
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的根与二次函数y= ax2+bx+c (a≠0）的图象的关系；
2、函数零点的概念；
3、连续函数在某个区间上存在零点的判别方法。
